水动力学基本

3.2.3 流线与迹线
一、流线 1.定义：流线是同一时刻由液流中许多质点组
成的线，线上任一点的流速方向与该线在该点 相切。流线上任一点的切线方向就代表该点的 流速方向，则整个液流的瞬时流线图就形象地 描绘出该瞬时整个液流的运动趋势。
3.2.3 流线与迹线
一、流线
流线微分方程式：
y
ux uy uz 1 dx dy dz dt
量，简称压能。
u2 2g — 不计射流本身重量和空气阻力时，以断面流速u 为初速的铅直上升射流所能达到的高度，水力学中称流
速水头，表示单位重量液体动能。
测压管水头—表示断面测压管水面相对于基准面的 高度，表明单位势能，以Hp表示：
Hp
z
p
断面总水头—表明单位总能量，以H表示：
H z p u2
以个别液体运动质点为对象.研究给定质点在整 个运动过程中的轨迹.各个质点运动状态总和构 成整个液体运动.
点—线—面 运动轨迹 运动要素
四、局限性： 液体质点运动轨迹非常复杂，实用上不需要知 道某一质点的运动轨迹，因此水力学上不常采 用此方法。
3.1.2 欧拉法
一、定义： 直接从流场中每一固定空间点的流速分布入手 ，建立速度、加速度等运动要素的数学表达式 ，来获得整个流场的运动特性。
3.恒定元流连续性方程：
根据质量守恒定律，单位时间内流进dA1的质量 等于流出dA2的质量：
ρ1u1 dA1＝ρ2u2 dA2＝常数 对于不可压缩液体，ρ1＝ρ2＝常数，则有：
u1 dA1＝u2 dA2＝dQ＝常数 恒定元流连续性方程
4.恒定总流连续性方程： 因总流是无数元流的集合体，因此,对上式在总流 过水断面上积分：
uz t
(ux
uz x
uy
uz y
uz
uz ) z
三、含义：
1.等号右边第一项表示通过某固定点的液体质点，其速度 随时间变化而形成的加速度，称为当地加速度.
2.等号右边括号内项表示同一时刻因地点变化而形成的加 速度，称为迁移加速度。
∴ 液体运动质点加速度＝当地加速度＋迁移加速度
ax
du x dt
Q u1 dA1 u2 dA2
A1
A2
引入断面平均流速，可得：
Q＝υ1A1＝υ2A2＝常数 恒定总流连续性方程
★ 它在形式上与恒定元流连续性方程类似，应注
意的是，以断面平均流速v代替点流速u。
意义：恒定总流连续性方程是一个不涉及任何作用
力的运动学方程，所以，它无论对于理想液体还
是实际液体都适用。
2g
意义：理想不可压缩液体恒定元流中，各断面总水 头相等，单位重量的总能量保持不变。
流速水头可用皮托管测定。 皮托管前端管口正对河水来流方向，另一端垂直向上，
测速管液面与河水水面的高差即是所测点的流速水头。 在有压管中，采用测速管与测压管结合测定。测速管液
ux ) z u y ) z
az
duz dt
uz t
(ux
uz
uz ) z
ax
a y
dux dt du y
dt
ux t u y
t
(ux (ux
ux x u y
x
uy uy
ux y u y
y
uz uz
ux ) z uy ) z
az
duz dt
ux t
(ux
u x x
uy
u x y
uz
ux ) z
3.2 欧拉法的基本概念
3.2.1 恒定流与非恒定流
液体运动可分为两类： 恒定流 非恒定流
恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素不随时 间改变，这种流动称为恒定流。
非恒定流：流场中空间点上运动要素随时间改变， 这种流动称为非恒定流。
恒定流： ux＝ux(x,y,z) uy＝uy(x,y,z) uz＝uz(x,y,z)
恒定流（与非恒定流）去掉了时间变量 一元流（二元流、三元流）去掉了y、z坐标 流线（流管）：推出了元流的概念
一元流模型
流管 元流
总流 过流断面 流量 断面平均流速
恒定总流连续性方程
3.4 恒定元流能量方程
3.4.1 理想液体恒定元流能量方程
一、原理： ——能量守恒原理。取不可压缩无粘性流体恒定流
动这样的力学模型。 二、推导：
水力学
第三章 水动力学基础
华中科技大学武昌分校
本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液 体运动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。
主要内容：
❖描述液体运动的两种方法 ❖欧拉法的若干基本概念 ❖恒定一元流的连续性方程式 ❖实际液体恒定总流的能量方程式 ❖能量方程式的应用举例 ❖实际液体恒定总流的动量方程式 ❖恒定总流动量方程式的应用举例
一、液体最基本特征： 液体具有流动性，其静止是相对的，运动才是绝 对的。
二、水动力学研究内容： 1.水动力学研究内容：研究液体的运动规律及其
在工程上的应用。 2.液体的运动规律：液体在运动状态下，作用于
液体上的力和运动要素之间的关系，以 及液体运动特性与能量转换规律等。 3.运动要素：表征液体运动状态的物理量，如速 度、加速度、动水压强、密度、切 应力等，这些量统称为运动要素。
即恒定流中，当地加速度为零，但迁移加速度 可以不为零。
3.2.2 一元流、二元流、三元流 一元流：运动要素是一个坐标的函数，称为一元流 二元流：运动要素是两个坐标的函数，称为二元流 三元流：运动要素是三个坐标的函数，称为三元流 ——液体一般在三元空间中流动，属于三元流动。
简化问题，在一元空间流动——一元流动 ——一元分析法（流束理论）
二、迹线
流线：同时刻连续液体质点的流动方向线。
迹线：同一质点在连续时间内的流动轨迹线。
3.2.4 一元流动模型 流管、元流、总流和过流断面
dA
过流断面——与元 流或总流的流线正 交的横断面
过水断面的形状可以 是平面也可以是曲面。
流管——由流线构成的 一个封闭的管状曲面
元流——充满以流管为 边界的一束液流
• 欧拉法——以考察不同液体质点通过固定的空 间点的运动情况作为基础，综合所有空间点上 的运动情况，构成整个液体的运动。
• 速度分量 ux＝ux(x,y,z,t) uy＝uy(x,y,z,t) uz＝uz(x,y,z,t) p＝p(x,y,z,t)
ρ＝ ρ(x,y,z,t)
x，y，z，t 称为欧拉变数。 x，y，z是液体质点
4.液体运动规律的研究内容： 确定各运动要素随时间和空间的变化规律及其相 互间的关系。——首要研究速度，其次压强。
三、水动力学研究方法： 建立运动模型，结合液体三大力学模型（连续性 假设、不可压缩液体、理想液体），根据物理学 和理论力学的质量守恒定律、动能原理和动量定 理等，建立液体三大基本方程。 连续性方程 能量方程（伯诺里方程） 动量方程
三、连续性方程特例: 上述恒定总流的连续性方程是在流量沿程不变的 条件下导得的。若沿程有流量流进或流出，则总 流的连续性方程在形式上需作相应的修正。其总 流的连续性方程可写为： Q1＝Q2＋Q3
Q2 1
Q1
1
Q3
结论：所有流入液体的流量应等于所有流出液体的流量
3.1-3.3 小结
拉格朗日法
欧拉法
二、表达式：
设某一质点在某一时刻t0的初始坐标(a,b,c)作为 该质点的标志，则在任一时刻，此质点的迹线 方程可表示为：
x＝x(a,b,c,t) y＝y(a,b,c,t) z＝z(a,b,c,t) 其中，a,b,c,t统称为拉格朗日变量，不同初始值 (a,b,c)表示流场中不同液体质点的初始位置。 三、基本特征：
均匀流：各流线为平行直线。过水断面是平面，位于同
一流线上的各质点的流速的大小和方向均相等，迁移加
速度为零。
均匀流：Z1
p1
Z2
p2
(仅限于同一过水断面)
非均匀流：各流线 不是平行直线。
渐变流 急变流
3.2.5 均匀流与非均匀流
渐变流：各流线接近于平行直线的流动。近似认为符合均 匀流压强分布特性。
急变流：非均匀流中除渐变流以外的流动。不符合均匀流 压强分布特性。
（1）动能增量：
1 2
dQ dt u22
－1 2
dQ dt u12＝
dQ dt( u22 2g
u12 ) 2g
（2）势能增量：
dQ dt g z2 － dQ dt g z1 ＝ dQ dt(z2 z1)
（3）根据功能原理
(
p1
p2 )dQ
dt
dQ
dt(z2
在方程的推导过程中，两断面是任意选取的。很
容易把这个关系推广到元流的任意断面,即:
p u2 z C
2g
Z — 断面相对于选定基准面的高度，水力学中称为位置
水头，表示单位重量液体的位置势能，简称位能。
p
— 断面压强作用使液体沿测压管所能上升的高度，
水力 学中称压强水头，表示压力作功所能提供的单位能
在t时刻的运动坐标
对同一质点来说，坐标x，y，z不是独立的，而是 时间t的函数，因此，加速度的三个坐标分量需要 通过相对应的三个速度分量复合求导得到：
a
x
a y
dux dt
du y dt
u x t u y
t
(ux (ux
u x x u y
x
uy uy
u x y u y
y
uz uz
uy
v
dy dl
dx
ux
x
2. 流线特性： (1)流线不能相交或转折，否则在交点或转折处必然
存在两个切线方向，即同一质点同时具有两个运 动方向，这显然是不可能的，因此流线只能是互 不相交的光滑曲线 (2)流线只能是一条光滑曲线。(液体为连续介质） (3)流线分布的疏密程度反映了该时刻流场中各点的 速度大小。流线越密，流速越大；流线越疏，流 速越小