结构力学教案 第10章 影响线及其应用

第十章 影响线及其应用10．1 影响线的概念一、移动荷载对结构的作用1、移动荷载对结构的动力作用:启动、刹车、机械振动等.2、由于荷载位置变化，而引起的结构各处的反力、内力、位移等各量值的变化及产生最大量值时的荷载位置。

二、解决移动荷载作用的途径1、利用以前的方法解决移动荷载对结构的作用时，难度较大。

例如吊车在吊车梁上移动时，R B 、M C2、影响线是研究移动荷载作用问题的工具。

根据叠加原理，首先研究一系列荷载中的一个，而且该荷载取为方向不变的单位荷载。

10.2 用静力法绘制静定结构的影响线一、静力法把荷载Ｐ＝１放在结构的任意位置，以x 表示该荷载至所选坐标原点的距离，由静力平衡方程求出所研究的量值与x 之间的关系（影响线方程）。

根据该关系作出影响线。

二、简支梁的影响线1、支座反力的影响线∑M B =0：∑M A =0：2、弯矩影响线1M C影响线弯矩图（1）当P=1作用在AC段时，研究CB：∑M C=0：（2）当P=1作用在CB段时，研究CB：∑M C=0：3、剪力影响线（1）当P=1作用在AC段时，研究CB：（2）当P=1作用在CB段时，研究CB：三、影响线与量布图的关系1、影响线：表示当单位荷载沿结构移动时，结构某指定截面某一量值的变化情况（分析左图）。

2、量布图（内力图或位移图）：表示当荷载位置固定时，某量值在结构所有截面的分布情况（分析右图）。

四、伸臂梁的影响线例10−1 试作图10−4（a）所示外伸梁的反力R A、R B的影响线，C、D截面弯矩和剪力的影响线以及支座B截面的剪力影响线。

10.3 用机动法作影响线一、基本原理机动法是以虚位移原理为依据把作影响线的问题转化为作位移图的几何问题。

二、优点 不需要计算就能绘出影响线的轮廓。

以X 代替A 支座作用，结构仍能维 持平衡。

使其发生虚位移，依虚位移原理： X ·δX +P · δP =0 X=－P δP /δX =－ δP /δX 令 δX =1， 则 X=－δP 结论：为作某量值的影响线，只需将与该量值相应的联系去掉，并以未知量X 代替；Q C 影响线)而后令所得的机构沿X的正方向发生单位位移，则由此所得的虚位移图即为所求量值的影响线。

例1 用机动法绘制图示的简支梁C截面的弯矩和剪力影响线。

例2 用机动法作图示外伸梁上截面D的弯矩和剪力影响线。

M K、Q K、R B、M D、Q E影响线。

）M D影响线M K影响线Q K影响线R B影响线Q E影响线10.4间接荷载作用下的影响线一、间接荷载对结构的作用间接荷载对结构的作用可以视为结点荷载作用，只不过该荷载的大小随P=1的位置改变而变化。

y 与x 是一次函数关系，当x =0时，y =y C ，当x =l 时，y =y D 。

所以在CD 段，M F 的影响线为连接竖标y C 和y D 的直线。

二、间接荷载作用下影响线的作法１、先作出直接荷载作用下的影响线；2、将所有相邻两个结点之间影响线竖标的顶点用直线相连，即得该量值在结点荷载作用下的影响线，即间接荷载作用下的影响线。

3、依据： （1）影响线定义；（2）叠加原理。

三、练习：试绘制图示结构 M E 、Q E 影响线。

M E 影响线Q E 影响线15/85/83/81/21/41/41/43/25/45/43/410.5桁架的影响线一、桁架上的荷载可视为间接荷载（结点荷载）桁架上的荷载一般也是通过横梁和纵梁而作用于桁架的结点上，故可按“间接荷载作用下的影响”线对待。

二、桁架影响线的绘制方法1、将P=1依次放在它移动过程中所经过的各结点上，分别求出各量值，即各结点处影响线竖标。

2、用直线将各结点竖标逐一相连，即得所求量值的影响线。

三、桁架影响线的绘制举例（1）N CE影响线作1-1截面，令P=1在AD移动，研究其右半部：作1-1截面，令P=1在BD移动，研究其左半部：（2）N DE的影响线作1-1截面，令P=1在AD移动，研究其右半部：作1-1截面，令P=1在BD移动，研究其左半部：（3）N DF的影响线按同样方法，作出N DF的影响线。

左直线的影响线方程为：右直线的影响线方程为：上两式可统一写成下式：（M E0为相应简支梁E截面处的弯矩）（4）N EF的影响线作2-2截面，当P=1在AD段移动时，：当P=1在BF段移动时，研究其左半部：10.6 三铰拱的影响线一、支座反力影响线（a）三铰拱的竖向支座反力与简支梁的支座反力完全相同，水平推力H的影响线，只要将M C0的影响线竖标乘以因子1/f即可。

二、内力影响线（b）（c）（d）三铰拱的内力影响线可分别根据式（b）、（c）、（d）得到。

10．7影响线的应用一、当荷载位置固定时，求某量值的大小1、集中荷载位置固定时，求某量值的大小ab/ly2、分布荷载位置固定时，求某量值的大小若q (x )为均布荷载，则上式成为：综合以上两种情况： 3、举例 试利用影响线求C 截面的弯矩和剪力。

二、求荷载的最不利位置1、均布荷载（a ）当均布荷载布满影响线的正号部分时，量值S 有最大值；当均布荷载布满影响线的负号部分时，量值S 有最小值。

M C =15×1+8×(0.5 ×4 ×2 －0.5 ×2 ×1) = 39.0 kN.mQ C = －15×0.25+8×(0.5×4 ×0.5 －0.5 ×2 ×0.25) = 2.25 kND 0.2513（b ）一段长度为d 的移动均布荷载假设均布荷载在当前的1、2位置上右移一微段d x ，则影响线的面积将减小y 1d x ，并增加y 2d x ，所以M C 的增量为：d M C ＝q (y 2d x –y 1d x )，即：当d M C ／d x ＝０时，M C 有极值。

所以有：y 1＝y 2一段长度为d 的移动均布荷载，当移动至两端点所对应的影响线竖标相等时，所对应的影响线面积最大，此时量值S 有最大值。

２．集中荷载（a ）只有一个集中力：将P 置于S 影响线的最大竖标处即产生S max ，将P 置于S 影响线的最小竖标处即产生S main 。

（b ）一组相互平行且间距不变的集中荷载各段影响线的倾角为α1、α2…αn ，α以逆时针为正。

图示为一组平行且间距不变的移动荷载，设每直线区段内荷载的合力为R 1、R 2…R n ，则它们所产生的量值S 为：当荷载向右移动微小距离Δx ，各集中荷载都没有跨越影响线的顶点，则各合力R 大小不变，相应竖标y i 增量为：则S 的增量为：所以：要使S成为极大值，则这组荷载无论向右移动（Δx>0）或向左移动（Δx <0）时，ΔS均减小（ΔS ≤0）。

即：荷载向右移时，ΔS/Δx ≤0，荷载向左移时，ΔS/Δx≥0，所以S为极大值的条件是：（10−5）同理，S为极小值的条件是：（10−6）由式（10−5）、（10−6）可知，要使S成为极值，必须使ΔS变号，也就是说，无论荷载向左移动或向右移动，∑R i tanαi必须变号。

要使∑R i tanαi变号，必须使各段的合力R i的数值发生变化，而这只有当某一个集中荷载正好作用在影响线的顶点时才有可能发生（必要条件）。

能使ΔS变号的集中荷载称为临界荷载，此时的荷载位置称为临界位置。

临界位置可通过式（10−5）、（10−6）来判别。

确定荷载的最不利位置的步骤：（1）将某一集中荷载置于影响线的一个顶点上；（2）令荷载向左或向右稍移动，计算∑R i tanαi的数值。

如果∑R i tanαi变号，则此荷载为临界荷载，若不变号，应换一个集中荷载，重新计算；（3）从各临界位置中求出其相应的极值，从中选出最大值或最小值，则相应的荷载位置即为最不利位置。

当影响线为三角形时：荷载向左移动时，荷载向右移动时，由于tanα=h/a，tanβ=h/b，所以对三角形影响线，荷载的临界位置可按下式判别：（10−7）10．8 铁路和公路的标准荷载制一、铁路标准荷载1、由我国铁路桥涵设计基本规范（TB10002.1-99）中规定：铁路列车竖向静活载必须采用中华人民共和国铁路标准活载，即“中−活载”。

2、铁路标准活载种类：（a ）为特种活载，（b ）所示为普通活载。

二、公路标准荷载1、我国公路桥涵设计基本规范中规定：使用的标准荷载，包扩计算荷载和验算荷载。

2、计算荷载以汽车车队表示，有汽车−10级、汽车−15级、汽车−20级、汽车−超20级四个等级。

三、换算荷载1、对于铁路和公路的标准荷载，通常利用换算荷载表进行计算。

2、换算荷载K 是均布荷载，它所产生的某一量值，与实际移动荷载产生的该量值的最大值相等，即：式中ω是量值S 影响线的面积。

由上式得移动荷载的换算荷载为：10．9简支梁的绝对最大弯矩及内力包络图一、简支梁的绝对最大弯矩 1、定义:发生在简支梁的某一截面,而比其它任意截面的最大弯矩都大的弯矩.。

2、如何确定绝对最大弯矩:（1）绝对最大弯矩必是该截面的最大弯矩。

（2）绝对最大弯矩必然发生在某一荷载之下。

（3）集中荷载是有限的。

取某一集中荷载作为产生绝对最大弯矩的临界荷载，计算该荷载移动过程中的最大弯矩；类似地，求出其它荷载下的最大弯矩并加以比较，其中最大者即为绝对最大弯矩。

3、P K 位置的确定P K 所在截面的弯矩：式中M 左为P K 以左所有荷载对k 截面的弯矩。

∑M B =0代(2)入(1):求M K (x)的极值 :∴ 或：结论 : P K 与梁上所有荷载的合力对称与中截面。

4、计算步骤（1）先找出可能使跨中产生最大弯矩的临界荷载。

（2）使上述荷载与梁上所有荷载的合力对称于中截面，计算此时临界荷载所在截面的最大弯矩。

（3）类似地，计算出其它截面的最大弯矩并加以比较，其中最大者即为绝对最大弯矩。

二、简支梁的内力包络图1、定义： 把梁上各截面内力的最大值和最小值按同一比例标在图上，连成曲线。

这一曲线即为内力包络图。

(2) 梁上有3个荷载(图二)：R=280×3=840kN 依合力矩定理：R×a=P1×4.8-P3×1.44a=280×(4.8－1.44)/840=1.12 m∑M B =0 R A ×12-840×(6+0.56)=0R A =439.2kn M x=6.56= R A ×6.56－280×4.8=1668.4kN.m2、考虑P 3为临界荷载的情况：通过与前面类似地分析，可知另一绝对最大弯矩： M X=5.44= 1668.4 kN.mR A =459.2kN 比较(1)、(2)，绝对最大弯矩M X=6.56= 1668.4kN.m `例题 求图示简支梁在吊车荷载作用下的绝对最大弯矩。