N阶行列式的性质汇总
行列式大一知识点总结归纳
行列式大一知识点总结归纳行列式是线性代数中的一个重要概念，它在解决方程组、计算矩阵的逆、求解线性方程等方面有着广泛的应用。
在大一的线性代数学习中，行列式是必不可少的一部分。
本文将对大一学习中的行列式知识点进行总结和归纳。
一、行列式的定义行列式是一个实数或复数的方阵所特有的一个标量。
对于一个n阶的方阵A = [a_ij]，其行列式记作det(A)或|A|，行列式的定义如下：det(A) = ∑(-1)^(i+j) * a_ij * det(A_ij)其中，(-1)^(i+j)是一个符号项，a_ij表示A的第i行第j列的元素，det(A_ij)为去掉第i行和第j列后的(n-1)阶方阵的行列式。
二、行列式的性质1. 行列式的转置等于其本身的行列式：det(A^T) = det(A)2. 互换行列式的两行（列）则行列式变号：若交换行列式A的第i行和第j行（列），则有：det(A) = -det(A')3. 行列式的某一行（列）的公因子可以提出：若A的第i行（列）的所有元素都乘以k，则有：det(A) = k * det(A')4. 行列式有一个相同的行（列）或有一个行（列）全为0，则行列式为0：若A的某一行（列）全为0，或A的某两行（列）相同，则det(A) = 0。
5. 行列式的两行（列）对换后不变：若交换A的某两行（列）位置，行列式不变：det(A) = det(A')三、行列式的计算方法1. 二阶行列式：对于二阶行列式A = [a11 a12; a21 a22]，其行列式的值为： det(A) = a11 * a22 - a12 * a212. 三阶行列式：对于三阶行列式A = [a11 a12 a13; a21 a22 a23; a31 a32 a33]，其行列式的值为：det(A) = a11 * a22 * a33 + a12 * a23 * a31 + a13 * a21 * a32 - a13 * a22 * a31 - a12 * a21 * a33 - a11 * a23 * a323. 多阶行列式：对于n阶行列式，可以利用代数余子式与余因子展开法进行计算。
n阶行列式的定义及性质
推论 如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零
证 把这两行互换，有 D D , 故D 0
推论1 行列式中某一行(列)的所有元素的公因子 可以提到行列式符号的外面
推论2 若行列式中有两行(列)成比例，则此行列 式等于零.
推论3 若行列式中某一行(列)的元素全为零，则 此行列式等于零.
证 设行列式
a11 D1 kai1 an1
a12 kai 2 an 2
a1n kain ann
是由行列式 D det(aij ) 的第i行中所有的元素都乘以同一数 k得到的. 由行列式的定义知 ( p1 p2 pn ) ( 1) a1 p1 D1
p1 p2 pn
ai 1 pi1 (kaipi )ai 1 pi1
因此 当
n 4k
或者 n
4k 1
时，该排列是偶排列；
当n
4k 2
或者
n 4k 3 时，该排列是奇排列。
6
定义 在一个排列中，把某两个数的位置互换，而保持其余的 数不动，这种对一个排列作出的变动叫做对换. 将相邻两个数 对换，叫做相邻对换.
例 五级偶排列21354经过2，3对换变成排列31254，容易计算
(21354)=2，所以21354是偶排列.
(2) 在六级排列135246中，共有逆序32，52，54，即
(135246)=3，所以135246是奇排列.
二、排列的逆序数
2. 逆序数计算法：
(q1q2 qn ) ( qi前边的比它
i 1
n
大的数字的个数 )
.例如
(64823517 ) 0 1 0 3 3 2 6 1 16
n阶行列式
1 n阶行列式 按照一定的规则，由排成正方形的一组(n个)数(称为元素)之乘积形成的代数和，称为n阶行列式。
例如，四个数a、b、c、d所排成二阶行式记为
， 它的展开式为ad-bc。 九个数a1，a2，a3;b1，b2，b3;c1，c2，c3排成的三阶行列式记为
， 它的展开式为a1b2c3+a2b3c1+a3b1c2-a1b3c2-a2b1c3-a3b2c1. 行列式起源于线性方程组的求解，在数学各分支有广泛的应用。在代数上，行列式可用来简化某些表达式，例如表示含较少未知数的线性方程组的解等。
在1683年，日本的关孝和最早提出了行列式的概念及它的展开法。莱布尼兹在1693年(生前未发表)的一封信中，也宣布了他关于行列式的发现。
定义 定义1 n阶行列式 2
等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 的代数和，这里
是1,2，...，n的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当 是偶排列时带有正号，当 是奇排列时带有负号。这一定义可写成 这里 3
表示对所有n级排列求和， 表示排列 的逆序数。 由定义1立即看出，n阶行列式是由n! 项组成的。 n阶行列式的性质
性质1 行列互换，行列式不变。 性质2 把行列式中某一行（列）的所有元素都乘以一个数K，等于用数K乘以行列式。 性质3 如果行列式的某行(列）的各元素是两个元素之和，那么这个行列式等于两个行列式的和。
性质4 如果行列式中有两行（列）相同，那么行列式为零。（所谓两行（列）相同就是说两行（列）的对应元素都相等）
性质5 如果行列式中两行（列）成比例，那么行列式为零。 性质6 把一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。 性质7 对换行列式中两行（列）的位置，行列式反号。
n阶行列式的计算
首先给出代数余子式的定义。 定义2 在行列式 4
中划去元素aij所在的第i行第j列，剩下的(n-1)2个元素按原来的排法构成一个n-1阶的行列式Mij，称Mij为元素aij的余子式，Aij=(-1)i+j Mij称为元素的代数余子式。
2.4 n级行列式的性质
0
a12 a13 a1n 0 a2 n a23 a2 n a3n 0
a12 0
=
a12 a1n
a1n a2 n a3n 0 0
提取Leabharlann a12 a13 a23
a1n a2 n
(1)
n
a12 0
(1)n D → 当 n 为奇数时，得
aij kai1 Ai1 kai 2 Ai 2 kain Ain , 这 里 的 A ( j 1, 2,, n) 再 不 含 ij
有第 i 行的元素 →
aij
kai1 Ai1 kai 2 Ai 2 kain Ain
k (ai1 A1 ai 2 A 2 ain A ) ai1 i i in
b a b b
b b a b
b b b a
b 0 0 a b
1 1 提取 [a (n 1)b] 1 1
b a b b
b 1 b b b 0 a b 0 11行 各行上 b [a (n 1)b] 0 0 a b a 0 0 0
a11 ai1 cak1 B ak1 an1 a11 ai1 ak 1 an1 a12 ai 2 a12 a1n ai 2 cak 2 ain cakn ak 2 an 2 a1n ain akn ann a11 ai1 ak 1 an1 a12 ai 2 a1n ain a11 a12 a1n cak1 cak 2 cakn ak 2 an 2 akn ann
§2.4 n 级行列式的性质
行列式的性质及应用知识点总结
行列式的性质及应用知识点总结行列式是线性代数中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面我们来详细总结一下行列式的性质及应用方面的知识点。
一、行列式的定义首先，我们来了解一下行列式的定义。
对于一个 n 阶方阵 A ＝（aij ），其行列式记为｜A| 或 det(A) ，它的值是一个确定的数。
对于二阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 ； a 21 a 22 ｜＝ a 11 a 22 a 12 a 21 。
对于三阶行列式，有｜A| ＝｜a 11 a 12 a 13 ； a 21 a 22 a 23 ； a31 a 32 a 33 ｜＝ a 11 a 22 a 33 ＋ a 12 a 23 a 31 ＋ a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 。
对于n 阶行列式，其定义相对复杂，但可以通过递归的方式来理解。
二、行列式的性质1、行列式转置值不变若将行列式 A 的行与列互换得到的行列式称为 A 的转置行列式，记为 A T ，则有｜A| ＝｜A T ｜。
2、两行（列）互换，行列式的值变号例如，交换行列式 A 中的第 i 行和第 j 行，行列式的值变为｜A| ；交换第 i 列和第 j 列，行列式的值也变为｜A| 。
3、某行（列）乘以 k，行列式的值乘以 k若行列式 A 的某一行（列）的元素都乘以同一个数 k ，则行列式的值等于原来的行列式的值乘以 k 。
4、若某行（列）是两组数之和，则行列式可拆成两个行列式之和例如，若 A 的第 i 行元素为 b i ＋ c i ，则｜A| ＝｜B| ＋｜C| ，其中 B 是将 A 的第 i 行换成 b i 得到的行列式，C 是将 A 的第 i 行换成 c i 得到的行列式。
5、某行（列）乘以 k 加到另一行（列），行列式的值不变例如，将行列式 A 的第 j 行乘以 k 加到第 i 行，行列式的值不变；将第 j 列乘以 k 加到第 i 列，行列式的值也不变。
5n阶行列式的性质及计算
© 2009, Henan Polytechnic University §4 §5 行列式的性质及计算
3 3
第二章 行列式
故
D DT .
证毕
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列 式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号. 证明 设行列式 b11 b12 b1n
第四、五节 行列式的性质及计算
一、行列式的性质 二、行列式的计算
1
第二章 行列式
一、行列式的性质 记
a11 a12 a1n a21 a22 a2 n D
DT
a11 a21 an1 a12 a22 an 2
an1 an 2 ann
T
a1n a2 n ann
bip a jp , b jp aip ,
于是
t D1 1 b1 p bip b jp bnp
1 i j n
1 a1 p1 a jpi aip j anpn
t
t 1 a1 p aip a jp anp ,
1 j i n
则D等于下列两个行列式之和： i a1 n a11 a1i a1n a11 a1 a 21 a 2 i a 2 n a 21 a a2n 2i D a n1 a ni a nn a n1 a a nn ni
是由行列式 D detaij 变换 i , j 两行得到的,
© 2009, Henan Polytechnic University §4 §5 行列式的性质及计算
b21 b22 b2 n D1 , bn1 bn 2 bnn
n阶行列式及行列式性质
例如 排列32514 中， 逆序
32514
逆序 逆序
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定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆序数. 例如 排列32514 中，
a11 a12 a1n
kai1 kai 2 kain k ai1 ai 2 ain
an1 an2 ann
an1 an2 ann 上页 下页 返回
证 左边＝
(1) (ｊ1 ,ｊ2 ,L ,ｊn ) a1ｊ1 L（ｋaｉｊｉ）L anｊn
第二节 n阶行列式
一、全排列及其逆序 二、n阶行列式的定义 三、小结
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一 、全排列及其逆序
1. 概念的引入 引例 用1、2、3三个数字，可以组成多少个没 有重复数字的三位数？
问题 把 n 个不同的元素排成一列，共有几种不 同的排法？
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2. 定义
把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n
故 x3 的系数为 1.
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三、小结
1 n 个不同的元素的所有排列种数为 n!.
2 排列具有奇偶性.
3 计算排列逆序数常用的方法.
4 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方 程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要 而定义的.
5 n 阶行列式共有 n!项，每项都是位于不同行、 不同列的 个元n 素的乘积,正负号由下标排列的
的逆序数，这n个元素的逆序数的总和即为所求 排列的逆序数.
3.2 行列式的性质
A C
0 B
| A|| B | ,
A D 0 B
| A|| B | .
证 应用按行(列)展开法则, 可得
A C
0 En
| A |,
Em C
0 B
| B|.
行列式的性质
29/33
因此由行列式乘积法则及前面两个式子, 可得
A 0 A 0 Em C B C E n 0
1 5 1 1
0 0 0 0
行列式的性质
23/33
三、行列式中行列地位的对称性
根据行列式初等行变换的性质、以及初等行变换与
初等矩阵的关系, 不难验证:
P (i, j ) P (i(k )) k , P (i, j(k ))
易知, 对任意 n 阶初等矩阵 P 和任意 n 阶矩阵 B, 有
则定理3.1和推论3.3可以写成
a
k 1
n
ik
Ajk ai1 Aj1 ai 2 Aj 2
ain Ajn | A | ij ,
上式称为行列式按行展开法则.
行列式的性质
11/33
7 6 5 3 2 2 3 2 2 3 例3.3 设 | A | 2 3 4 5 6 , 求 A31 A33 A34. 1 4 1 1 4 6 1 0 5 8
1
3 7 0 4
9 5 2 1 6 2
3 5 4 4
7 14 10 10
1 1 0 0
r2 3 r1 r3 2 r1 r4 3 r1 r5 4 r1
2
3
1
0 1 2 0
0 2 0 0
0 2 r2 r4 4 1 1 5 3 2 2 2
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N阶行列式的性质汇总
行列式是线性代数中的基本概念之一，广泛应用于各个领域。
1.行列式的定义及表示：
行列式是一个数，用于度量矩阵的一些性质。
对于一个n阶方阵
A=[aij]，其行列式用det(A)表示，也可以用，A，表示。
n阶行列式的定
义为：det(A) = Σ(±a1j1a2j2...anjn)，其中±a1j1a2j2...anjn表示
n个元素的排列，并且符号取决于这个排列的逆序数。
2.行列式的性质：
(1) 行列式与矩阵的转置：一个矩阵的行列式等于其转置矩阵的行列式，即det(A) = det(A^T)。
(2) 行列式与矩阵的相等：如果矩阵B可以通过对矩阵A的一些行或
列进行初等行变换得到，则det(B) = det(A)。
(3) 行列式与纯量因子：如果矩阵A的其中一行或列中所有元素都乘
以同一个数k，那么行列式的值也会乘以k，即det(kA) = k^n * det(A)。
(4) 行列式与矩阵的乘积：对于两个n阶矩阵A和B，其行列式的乘
积等于行列式的乘积，即det(AB) = det(A) * det(B)。
(5) 行列式与逆矩阵：如果矩阵A可逆，则其逆矩阵A^(-1)的行列
式等于矩阵A的行列式的倒数，即det(A^(-1)) = 1 / det(A)。
(6) 行列式与可交换性：对于任意两个n阶矩阵A和B，有det(A*B) = det(B*A)。
(7)行列式与初等变换：对于矩阵A，如果应用了一次初等行变换，其行列式的值也会发生相应的变化，具体变化规律取决于初等行变换的类型。
3.行列式的计算方法：
(1)按行（列）展开法：利用行列式的定义，通过对其中一行（列）展开计算，将n阶行列式转化为n-1阶行列式的计算。
(2)初等变换法：通过一系列初等行变换，将矩阵转化为上（下）三角矩阵，此时行列式的值就是对角线上元素的乘积。
(3)行列式性质法：利用行列式的性质，对矩阵进行化简计算，如将矩阵转化为对角矩阵，或利用矩阵的行列变换得到行列式的乘积或分解。
4.行列式的应用：
(1) 矩阵可逆性判断：一个n阶矩阵A可逆的充分必要条件是其行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。
(2)解线性方程组：通过行列式的计算，可以解线性方程组。
对于n 个未知数n个方程的线性方程组，可以通过行列式的消元方法，求解其唯一可行解或无解的情况。
(3)物理应用：行列式在量子力学、电磁场理论、流体力学等物理学中有广泛的应用，用于描述物理系统的性质。
(4)几何应用：行列式在几何学中有广泛的应用，用于求解空间中的点、直线、平面的位置关系、交点等。
行列式作为线性代数的重要概念之一，具有广泛的应用领域，能够帮助我们分析和解决各种问题。
通过对行列式的理解和应用，可以提高数学分析和解决问题的能力。