基本初等函数知识点总结

基本初等函数

一、指数函数

(一）指数与指数幂的运算

1．根式的概念:一般地，如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >１,且n ∈N ＊.

◆ 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。

当n 是奇数时,a a n n =，当n 是偶数时,⎩

⎨

⎧<≥-==)0()

0(||a a a a a a n n

2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

)

1,,,0(*>∈>=n N n m a a a

n m n

m ,

)1,,,0(1

1*>∈>=

=

-

n N n m a a a

a

n

m

n

m n

m

◆ 0的正分数指数幂等于０,０的负分数指数幂没有意义

3．实数指数幂的运算性质

(1）r a ·s

r r a a += ﻩ),,0(R s r a ∈>；

（2)rs

s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；

(3）

s r r a a ab =)(ﻩ ),,0(R s r a ∈>.

(二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量,函数的定义域为Ｒ．

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和１．

2、指数函数的图象和性质

注意：利用函数的单调性,结合图象还可以看出： （1)在[a ，b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；

ﻫ（２）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =;

二、对数函数 （一）对数

1.对数的概念:一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数,记作：N x a log =（a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式) 说明：错误! 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；

错误! x N N a a x

=⇔=log ；○

3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:

错误! 常用对数:以10为底的对数N lg ； 错误! 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．

指数式与对数式的互化

幂值 真数

b ＝ ＮN ＝ b

底数

对数 (二)对数的运算性质

如果0>a ,且1≠a ，0>M ,0>N ,那么:

＼o ＼ac(○，1) M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；

错误! =N M

a

log M a log －N a log ; 错误! n

a M log n =M a log )(R n ∈.

注意:换底公式

a

b

b c c a log log log =

(0>a ，且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ).

利用换底公式推导下面的结论 （1)b m

n b a n a m

log log =;（2)a

b b a log 1

log =

. （二)对数函数 1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0,+∞)．

注意:错误! 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=,5

log 5

x y = 都

不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 错误! 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a .

1

1

1

1

定义域x

＞０ 定义域x ＞０

值域为R 值域为R 在R 上递

增

在R 上递减

函数图象

都过定点

（1，０) 函数图象都过

定点（１,０)

(三)幂函数

1、幂函数定义：一般地,形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数,其中α为常数. ２、幂函数性质归纳.

(１)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1)；

(２)0>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间

),0[+∞上是增函数.特别地，

当1>α时,幂函数的图象下凸;当10<<α时,幂函数的图象上凸；

(3)0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴. 例题:

1. 已知a>0,a 0，函数y=a ｘ与y=log ａ（-x)的图象只能是 （ )

2.计算: （1) 2

log 227log 553

125

+＝ ;

(2)21343

101.016])2[()8

7(064

.075

.030++-+-----

=

3．函数ｙ＝lo ｇ2

1(2x ２-3x+1)的递减区间为

4.若函数)10(log )(<<=a x x f a

在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的

3倍，

则a= 5.已知1()log (01)1a

x

f x a a x

+=>≠-且，(1)求()f x 的定义域（2)求使()0f x >的x 的

取值范围 6．

7． .