湖南省邵东一中2020-2021学年高一上学期第三次月考(数学)

湖南省邵东一中2020-2021学年高一上学期第三次月考数 学考试时间：120分钟；总分：120注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题(共32分)1．已知集合2{|40}A x x =-<，则RA =（ ）A ．{|2x x ≤-或2}x ≥B ．{|2x x <-或2}x >C ．{|22}x x -<<D ．{|22}x x -≤≤ 2．若0a b >>，则下列不等式不成立的是（ ）A ．11a b<B ．a b >C ．a b +>D ．21a b1+3．在平面直角坐标系中，已知角α始边与x 轴非负半轴重合，顶点与原点重合，且α终边上有一点P 坐标为()2,3-，则2sin cos (αα+= )A ．13B ．13-C ．13D ．14．已知a=log 23，b=log 34，c=log 411，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＜c ＜a B ．b ＜a ＜c C ．a ＜b ＜c D ．a ＜c ＜b 5．《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢²).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为3π，弦长等于2米的弧田.按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方米)为( )A ．3π B ．3π-C ．92-D ．112- 6．函数()22xf x x =+的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知图像连续不断的函数()f x 在区间()(),0.1a b b a -=上有唯一零点，如果用“二分法”求这个零点（精确度0.0001）的近似值，那么将区间(),a b 等分的次数至少是（ ） A ．4B ．6C ．7D ．108．定义在上的函数满足且，若，，则，（ ）A ．B ．C ．D ．二、多选题(共16分)9．下列叙述中不正确的是( )A ．“1a <”是“方程20x x a ++=有一个正根和一个负根”的必要不充分条件B ．若,,a b c ∈R ,则“22ab cb >”的充要条件是“a c >”C ．“1a >”是“11a<”的充分不必要条件 D ．若,,a b c ∈R ,则“20ax bx c ++≥对x ∈R 恒成立”的充要条件是“240b ac -≤”10．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的有（ ） A ．1ab ≤ B 2a b ≤C ．222a b +≥D ．212a b+> 11．设函数()sin 6f x M x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0,0)M ω＞＞的周期是π，则下列叙述正确的有（ ）A ．()f x 的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最大值为MC ．()f x 在区间2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心 12．非空集合A 中的元素个数用()A 表示，对于非空集合A B 、，定义()A B -为：当()()A B ≥时，()()()A B A B -=-，当()()A B <时，()()()A B B A -=-．若{}1,2A =，{}2||45|B x x x a =--=，且()1A B -≤，则a 的可能取值为（ ）A ．0B ．6C ．9D ．12第II 卷（非选择题）三、填空题13．已知扇形的圆心角为23π，扇形的面积为3π，则该扇形的弧长为____________. 14．已知函数()()2,21,2xx f x f x x ⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()2log 7f =__________．15．已知f （x ）=9x-t •3x，()2121x x g x -=+，若存在实数a ，b 同时满足g （a ）+g （b ）=0和f（a ）+f （b ）=0，则实数t 的取值范围是______．16．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()2x f x x =⋅.则方程()|lg |0f x x -=的根的个数为_________.四、解答题(共56分)17．(本题8分)（1）化简：3tan()cos(2)sin()2cos()sin()ππαπαααππα---+----；（2）已知1sin()35πα+=，求5cos()6πα+的值.18．(本题8分)已知a ∈R ，命题p ：∀x ∈[－2，－1]，x 2－a≥0，命题q ：()2000,220x R x ax a ∃∈+--=．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题，求实数a 的取值范围．19．(本题10分)已知函数22()log ((1)1)f x mx m x =+-+.（1）当2m =时，求()f x 的值域；（2）若()f x 的值域为R ，求实数m 的取值范围.20．(本题10分)在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为30米的水底作业.潜水员用氧量包含3个方面：①下潜时，平均速度为v (米/单位时间)，单位时间内用氧量为52v 2；②在水底作业需5个单位时间，每个单位时间用氧量为0.4；③返回水面时，平均速度为2v(米/单位时间)，每个单位时间用氧量为0.2.记该潜水员此次考古活动中总用氧量为y. （1）将y 表示为v 的函数；（2）设0<v ≤5，试确定下潜速度v ，使总的用氧量最小，并求y 的最小值.21．已知函数()()sin 0,06f x A x A πωω⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭同时满足下列两个条件中的两个：①函数()f x 的最大值为2；②函数()f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为2π. （1）求出()f x 的解析式；（2）求方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解的和. .22．设函数()()()212xxf x k x R -=+-∈是偶函数，()1求不等式()52f x >的解集；()2设函数()()()1222xg x n f x f x -⎡⎤=---⎣⎦，若()g x 在[)1,x ∈+∞上有零点，求实数n 的取值范围．参考答案1．A 2．D 3．C 4．B 5．D 6．D 7．D .8．C 9．BD 10．ACD 11．BCD 12．ACD 2． 13．2π 14．7215．[)1+∞， 16．100因为()(2)f x f x =-，所以函数()f x 的对称轴为1x =，又因为()f x 是偶函数，所以()()(2)f x f x f x =-=-，即函数()f x 的周期为2， 方程()|lg |0f x x -=的根的个数即为函数()y f x =和|lg |y x =图象交点的个数， 如图所示为函数()y f x =和|lg |y x =图象，令lg 2x =，得100x =，两函数图象在每个区间[1,]n n -上都有一个交点，1,2,,100n =.所以方程()|lg |0f x x -=共有100个根.17．(1)1;(2)15-.18．（1）1a ≤；（2）21a <<－ (1)令()[]2,2,1f x x a x =-∈--，根据题意，“命题p 为真命题”等价于“当[]2,1x ∈--时，()0min f x ≥”． ∵()1min f x a =-， ∴10a -≥，解得1a ≤. ∴实数a 的取值范围为(],1∞-．(2)由(1)可知，当命题p 为真命题时，实数a 满足1a ≤．当命题q 为真命题，即方程有实数根时，则有Δ＝4a 2－4(2－a)≥0， 解得2a ≤-或1a ≥．∵命题“p ∨q”为真命题，命题“p ∧q”为假命题， ∴命题p 与q 一真一假①当命题p 为真，命题q 为假时，得121a a ≤⎧⎨-<<⎩，解得21a -<<；②当命题p 为假，命题q 为真时，得121a a a >⎧⎨≤-≥⎩或，解得1a >． 综上可得21a -<<或1a >．∴实数a 的取值范围为()()2,11,-⋃+∞．19．（1）27log 8，）∞⎡+⎢⎣；（2）0≤m 3≤-或m 3≥+试题解析：（1）2m =时，()()22log 21f x x x =++，∵22177212488x x x ⎛⎫++=++≥ ⎪⎝⎭，∴()2227log 21log 8x x ++≥,值域为27log 8，）∞⎡+⎢⎣（2）①当m=0时，满足题意，②当m≠0时，0m >⎧⎨≥⎩解得0<m 3≤-m 3≥+所以0≤m 3≤-m 3≥+20．（1）12752,0y v v v=++>；（2）当下潜速度0.4v = (米/单位时间)时，总的用氧量最小，最小值为62.（1）由题意，潜入水底用时30v ，用氧量为2305752v v v ⋅=， 水底作业时用氧量为50.42⨯=，返回水面用时60v，用氧量为60120.2v v ⋅=， 所以总用氧量12752,0y v v v=++>，（2）由（1）可知12752262y v v =++≥=， 当且仅当1275v v =，即25v =时，等号成立， 故当下潜速度0.4v = (米/单位时间)时，总的用氧量最小，最小值为62.21．（1）答案见解析；（2）23π由③可知，T π=，所以2ω=，.又由①可知2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.（2）因为()10f x +=，所以1sin 262x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭， 所以()2266x k k πππ+=-+∈Z 或()72266x k k πππ+=+∈Z ， 解得()6x k k ππ=-+∈Z 或()2x k k ππ=+∈Z .又因为[],x ππ∈-，所以x 的取值为6π-，56π，2π-，2π，故方程()10f x +=在区间[],ππ-上所有解得和为23π. 22．()1{1x x <-或}1x > ()2[4,)+∞()1因为()f x 是偶函数,所以()()f x f x -=恒成立,即()()212212xx x x k k --+-=+-恒成立也即()()22210xk --=恒成立,所以2k =5()222x x f x -=+>得,2225220x x -+>,解得21x <或22x >,即11x x <->或 所以不等式()52f x >的解集为{|1x x <-或1}x >．()()()()12222xg x n f x f x -⎡⎤=---⎣⎦()122222222x x x x x n ---=+----=()()2222222x x x x n ----+-在[)1,x ∈+∞上有零点 即为()()22222220x xxx n ----+-=在[)1,x ∈+∞上有解因为[)1,x ∈+∞,所以220xx-->,所以条件等价于()2222222xx xxn --++=-在[)1,x ∈+∞上有解令2xp =,则2p ≥,令1u p p =-,则u 在[)2,p ∈+∞上单调递增,因此234,2u u n u+≥=设()()244,u r u u r u u u+==+在[)2,+∞上单调递增,在3,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减所以函数()r u 在2u =时取得最小值,且最小值()2 4r =.所以()4,[) r u ∈+∞, 从而满足条件的实数n 的取值范围是[4,)+∞.。