克里金插值
克里金插值(kriging)
则当级数 xk pk 绝对收敛时，称此级数的 k 1
和为ξ的数学期望，记为E(ξ)，或Eξ。
E(ξ) = xk pk k 1
②设连续型随机变量ξ的可能取值区间为(-∞，+∞)，
p(x)为其概率密度函数，若无穷积分
xp(x)dx
绝对收敛，则称它为ξ的数学期望，记为E(ξ)。
P
考虑邻近点，推断待估点
区域化变量： 能用其空间分布来表征一个自然现象的变量。
（将空间位置作为随机函数的自变量）
•空间一点处的观测值可解释为一个随机变量在该点
处的一个随机实现。
• 空间各点处随机变量的集合构成一个随机函数。
（可以应用随机函数理论解决插值和模拟问题）
考虑邻近点，推断待估点 ----空间统计推断要求平稳假设
E(ξ) = xp(x)dx
•数学期望是随机变量的最基本的数字特征，
相当于随机变量以其取值概率为权的加权平均数。
•从矩的角度说，数学期望是ξ的一阶原点矩。
对于一组样本：
N
( zi )
m i1 N
(2)方差 为随机变量ξ的离散性特征数。若数学期望
E[ξ-E(ξ)]2存在，则称它为ξ的方差，记为D(ξ)， 或Var(ξ)，或σξ2。
第二讲
克里金插值
克里金方法（Kriging）, 是以南非矿业 工程师D.G.Krige (克里格)名字命名的一项 实用空间估计技术，是地质统计学 的重要 组成部分，也是地质统计学的核心。
地质统计学
由法国巴黎国立高等矿业学院G．马特隆教授于 1962年所创立。 主要是为解决矿床储量计算和误差估计问题而 发展起来的
条件累积分布函数（ccdf）
普通克里金插值法计算
普通克里金插值法计算一、普通克里金插值法是啥呢？哎呀，普通克里金插值法这东西啊，可真是个有趣的小玩意儿呢。
简单来说，它就是一种在地理信息系统、地质勘探等好多领域都能用到的方法。
比如说，你想知道一块大地上某个地方的土壤养分含量，但是你只在几个点上测量过，这时候普通克里金插值法就能闪亮登场啦。
它就像是一个超级侦探，根据那些已知点的数据，去推测其他未知点的数据。
二、普通克里金插值法的计算原理它的原理其实也不是特别复杂啦。
它是基于一种叫做变异函数的东西。
这个变异函数呢，就像是描述数据之间关系的一个小规则。
比如说，两个点离得近，那它们的数据可能就比较相似，离得远呢，数据可能就差别大一点。
普通克里金插值法就利用这个变异函数，再加上一些权重计算，就可以得出那些未知点的估计值啦。
就好像是给每个已知点都分配一个小任务，让它们根据自己和未知点的关系，来贡献自己的力量，最后算出未知点的值。
三、普通克里金插值法的计算步骤1. 首先要收集数据啦。
这就像是做饭之前要买菜一样重要。
你得有那些已知点的数据，比如说坐标啊，还有你要插值的那个变量的值，像土壤养分的含量数值之类的。
2. 然后就是计算变异函数。
这个变异函数可不是那么好算的呢，要根据你收集到的数据，用一些数学公式去计算。
这个过程就像是在解一道很复杂的谜题，要小心翼翼地按照规则来。
3. 接着就是确定权重啦。
根据变异函数算出每个已知点对于未知点的权重，这就像是给每个小助手（已知点）分配任务的重要性一样。
权重越大，说明这个已知点对未知点的影响就越大。
4. 最后呢，就可以计算未知点的值啦。
把每个已知点的值乘以它的权重，再把这些结果加起来，就得到了未知点的估计值。
就像是大家一起努力，终于完成了一个大工程一样，超级有成就感呢。
四、普通克里金插值法的优缺点1. 优点它的估计结果比较准确呢。
因为它考虑了数据之间的空间关系，就像是考虑了各个点之间的小秘密一样，所以能给出比较靠谱的估计。
它还能给出估计的误差。
克里金插值法（参考内容）
克⾥⾦插值法（参考内容）克⾥⾦插值法克⾥⾦插值法⼜称空间局部插值法，是以变异函数理论和结构分析为基础，在有限区域内对区域化变量进⾏⽆偏最优估计的⼀种⽅法，是地统计学的主要内容之⼀，由南⾮矿产⼯程师D. Matheron 于1951年在寻找⾦矿时⾸次提出，法国著名统计学家G. Matheron 随后将该⽅法理论化、系统化，并命名为Kriging ，即克⾥⾦插值法。
1 克⾥⾦插值法原理克⾥⾦插值法的适⽤范围为区域化变量存在空间相关性，即如果变异函数和结构分析的结果表明区域化变量存在空间相关性，则可以利⽤克⾥⾦插值法进⾏内插或外推。
其实质是利⽤区域化变量的原始数据和变异函数的结构特点，对未知样点进⾏线性⽆偏、最优估计，⽆偏是指偏差的数学期望为0，最优是指估计值与实际值之差的平⽅和最⼩[1]。
因此，克⾥⾦插值法是根据未知样点有限领域内的若⼲已知样本点数据，在考虑了样本点的形状、⼤⼩和空间⽅位，与未知样点的相互空间关系，以及变异函数提供的结构信息之后，对未知样点进⾏的⼀种线性⽆偏最优估计。
假设研究区域a 上研究变量Z （x ），在点x i ∈A （i=1，2，……，n ）处属性值为Z （x i ），则待插点x 0∈A 处的属性值Z （x 0）的克⾥⾦插值结果Z*（x 0）是已知采样点属性值Z （x i ）（i=1，2，……，n ）的加权和，即：)()(10*i ni i x Z x Z ∑==λ（1）式中i λ是待定权重系数。
其中Z(x i )之间存在⼀定的相关关系，这种相关性除与距离有关外，还与其相对⽅向变化有关，克⾥⾦插值⽅法将研究的对象称“区域化变量”针对克⾥⾦⽅法⽆偏、最⼩⽅差条件可得到⽆偏条件可得待定权系数i λ (i=1，2，……，n)满⾜关系式： 11=∑=n i i λ（2）以⽆偏为前提，kriging ⽅差为最⼩可得到求解待定权系数i λ的⽅程组：==+∑∑= = 1 )n ,2,1 )( , ( ) , (1 1 n iijjin iijx x C x x C λµ（3）式中，C（x i，x j）是Z(x i)和Z(x j)的协⽅差函数。
克里金插值法.pptx
针对克里金方法无偏、最小方差条件可得到无偏条件可得待定权系数i (i=1，2，……，
n)满足关系式：
n
i 1
i 1
以无偏为前提，kriging 方差为最小可得到求解待定权系数i 的方程组：
（5）根据求出的权重值，代入公式（1），即可求得评估领域内 n 个采样值的线性组合[2]。
克里金插值法的方法路线图如下：
3
导入数据
数据分析
是否服从 正态分布
是
是否存在 趋势
否
否 数据变换
是 泛克里金方法
根据数据选择 合适的方法
进行预测
计算克里金系数
拟合理论半 变异函数图
绘制经验半 变异函数图
绘制方差 变异云图
c 1
i
ni
dw 1
i1 c d w
（2）根据搜索策略选择合适的参估点，如图 2：
（4）
2
图 2 参估点图示
（3）根据已经求出的变异函数以及采样点数量，三个采样点列出三个等式，求出方程 组的系数，公式为：
C(1,1) C(2,1)
C(3,1)
C(1,2) C(2,2) C(3,2)
C(1,3)1 C(0,1) C(2,3)2 C(0,2)
不取决于 s 点的位置，而取决于位移量 h。为了确保自相关方程有解，必须允许某两点间自 相关可以相等。
然后，可以对方程式左边 Z(s) 进行变换。例如，可以将其转换成指示变量，即如果Z(s)
低于一定的阈值，则将其值转换为 0，将高于阈值的部分转换为 1，然后对高于阈值部分作 出预测，基于此模型作出预测便形成了指示克里金模型。如果将指示值转变成含有变量的
克里金插值的原理
克里金插值的原理克里金插值是一种用于空间插值的统计方法，其原理基于克里格斯的理论，其目标是根据已知的数据点，在未知的位置上进行推测和估计。
克里金插值方法常被用于地理信息系统（GIS）和环境科学领域，用于生成地表上点或区域的预测值。
克里金插值方法的核心思想是利用空间自相关性，即附近的点之间的相似性，来推断未知位置上的值。
在克里金插值中，一个点的值被预测为周围已知点的加权平均值，而权重则根据距离和数据点之间的相似性来计算。
为了更好地理解克里金插值原理，我们来看一个简单的例子。
假设我们有一块平面上的地图，上面标记了一些气温测量点。
我们想要在地图的未测量区域上预测气温。
首先，我们需要确定克里金插值的前提，即变量在空间上具有小尺度变异性（即变量之间的差异在空间上是逐渐变化的）。
在本例中，我们假设气温的变异性在空间上是连续和光滑的。
接下来，我们需要选择合适的变异模型。
在克里金插值中，有两个常用的变异模型：球面模型和指数模型。
球面模型适用于具有圆形相似性的数据，而指数模型适用于具有指数衰减相似性的数据。
在选择变异模型时，需要参考实际数据的变异性和实际问题的特征。
然后，我们需要计算变异模型的参数。
克里金插值使用半方差函数（semivariogram）来描述变量之间的相似性。
半方差函数反映了两个点之间的变量值差异，随着距离的增加而增加。
在空间统计学中，半方差函数通常是半变异函数的两倍，其中半变异函数定义为半方差平均值。
半方差函数的拟合可以通过实际数据的半方差估计得到。
接下来，我们需要确定权重。
在克里金插值中，权重是根据距离和相似性来计算的。
通常，距离越近的点具有更高的权重，相似性越高的点具有更高的权重。
权重计算使用反距离插值法或克里金公式，其中反距离插值法假设权重与距离的倒数成正比，而克里金公式综合考虑了距离和相似性。
最后，我们可以根据克里金插值方法生成预测地图。
为了插值未知位置的值，我们可以将权重乘以所在位置的值，并将其相加。
克里金插值法原理
克里金插值法原理克里金插值法是一种用于插值运算的重要数学方法，它可以根据已知的数据点来求出某函数在某一特定点的值，受到许多工程师和科学家的广泛应用。
本文旨在介绍克里金插值法的原理、它的优点和应用，以及一些计算机实际应用中的解决方案。
（正文）一、里金插值法的原理克里金插值法是拟合多个已知的数据点，以获取其中某一点的未知函数值的有效方法。
它的核心思想是采用差商的形式来求出拟合的函数的系数，从而求出拟合函数的值。
可以这样来理解：在一组给定的数据点中，求出它们之间的差商，再根据差商来求出拟合数据点的函数值。
克里金插值法的标准公式可以这样表示：P(x) = P0 +(x-x0)[ (P1-P0)/(x1-x0) ] +(x-x0)(x-x1)[ (P2-P1)/(x2-x1)/(x2-x0) ] ++ (x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)[ (Pn-Pn-1)/(xn-xn-1)/(xn-xn-2)…(xn-x0) ] 这个公式是基于差商求出数据点的函数值的，其中P0, P1, P2,…, Pn代表的是已知的数据点，x0, x1, x2,…, xn代表的是已知的数据点的坐标。
二、里金插值法的优点克里金插值法具有如下优点：1、算简单：克里金插值法只需要用简单的算法计算即可求出拟合函数的函数值，而且结果对应的误差比较小。
2、合精度高：克里金插值法的拟合精度比较高，能够很好的拟合多个数据点。
3、泛应用：克里金插值法受到了广泛的应用，在计算机科学、工程计算、统计分析以及数据拟合等领域都有重要的应用。
三、里金插值法的应用1、合数据：克里金插值法可以用来拟合有限的数据，从而得到比较精确的拟合函数。
2、解方程：克里金插值法还可以用来求解某个函数的零点，这对于求解一些复杂的方程也可以有效的应用。
3、算机实际应用：克里金插值法在计算机科学中有重要的应用，如图像处理、信号处理等。
在图像处理中，克里金插值法可以用来进行图像放大、缩小等操作，从而获得更加精细的图像。
克里金插值
克里金(Kriging)插值克里金(Kriging)插值法又称空间自协方差最佳插值法，它是以南非矿业工程师D．G．Krige的名字命名的一种最优内插法。
克里金法广泛地应用于地下水模拟、土壤制图等领域，是一种很有用的地质统计格网化方法它首先考虑的是空间属性在空间位置上的变异分布．确定对一个待插点值有影响的距离范围，然后用此范围内的采样点来估计待插点的属性值。
该方法在数学上可对所研究的对象提供一种最佳线性无偏估计(某点处的确定值)的方法。
它是考虑了信息样品的形状、大小及与待估计块段相互间的空间位置等几何特征以及品位的空间结构之后，为达到线性、无偏和最小估计方差的估计，而对每一个样品赋与一定的系数，最后进行加权平均来估计块段品位的方法。
但它仍是一种光滑的内插方法在数据点多时，其内插的结果可信度较高。
克里金法类型分常规克里金插值(常规克里金模型／克里金点模型)和块克里金插值。
常规克里金插值其内插值与原始样本的容量有关，当样本数量较少的情况下，采用简单的常规克里金模型内插的结果图会出现明显的凹凸现象；块克里金插值是通过修改克里金方程以估计子块B内的平均值来克服克里金点模型的缺点，对估算给定面积实验小区的平均值或对给定格网大小的规则格网进行插值比较适用。
块克里金插值估算的方差结果常小于常规克里金插值，所以，生成的平滑插值表面不会发生常规克里金模型的凹凸现象。
按照空间场是否存在漂移(drift)可将克里金插值分为普通克里金和泛克里金，其中普通克里金(Ordinary Kriging简称OK法)常称作局部最优线性无偏估计．所谓线性是指估计值是样本值的线性组合，即加权线性平均，无偏是指理论上估计值的平均值等于实际样本值的平均值，即估计的平均误差为0，最优是指估计的误差方差最小。
在科学计算领域中，空间插值是一类常用的重要算法，很多相关软件都内置该算法，其中GodenSoftware 公司的Surfer软件具有很强的代表性，内置有比较全面的空间插值算法，主要包括：Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）Kriging（克里金插值法）Minimum Curvature（最小曲率）Modified Shepard's Method（改进谢别德法）Natural Neighbor（自然邻点插值法）Nearest Neighbor（最近邻点插值法）Polynomial Regression（多元回归法）Radial Basis Function（径向基函数法）Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）Moving Average（移动平均法）Local Polynomial（局部多项式法）下面简单说明不同算法的特点。
常用的克里金插值及其变体
常用的克里金插值及其变体
常用的克里金插值及其变体包括以下几种：
1.普通克里金插值(OrdinaryKriging)：这是克里金插值的最基本形式，它基于一系列测量数据，通过最小化预测误差的平方和，对未测量位置的值进行估计。
这种方法假设观测点之间的空间相关性可以用一个随机过程来描述。
2.简单克里金插值(SinlPleKriging)：与普通克里金插值类似，但假设空间相关性可以忽略不计，因此每个观测点都被视为独立的。
这种方法适用于观测点之间几乎没有空间相关性，或者已经对观测点进行了充分的空间混合的情况。
3.泛克里金插值(UniVerSalKriging)：这是在普通克里金插值的基础上，考虑了非线性趋势的克里金插值。
它适用于那些除了空间相关性之外，还包含非线性趋势的地质数据。
4.协同克里金插值(Co-Kriging)：这种插值方法用于评估两个不同但相关的测量数据集之间的空间相关性。
它允许我们同时对两个数据集进行插值，并考虑它们之间的相关性。
5.多变异克里金插值(MUlti-VariateKriging)：这是用于处理多个相关变量的插值方法。
它允许不同变量之间的空间相关性被建模，这有助于更好地理解不同变量之间的相互关系。
这些是常见的克里金插值及其变体，选择哪种方法取决于数据的性质以及分析者的需求。