最新线性代数试卷及答案

考试科目：线性代数

考试类型：闭卷 考试时间：120分钟

一.选择题（每题3分，共15分）

1.设B A ,是任意n 阶方阵，那么下列等式必成立的是（ ） （A ）BA AB =

（B ）2

22)(B A AB = （C ）2

2

2

2)(B AB A B A ++=+

（D ）A B B A +=+

解答：选D

由于矩阵乘法没有交换律，所以A ，B ，C 这些需要交换律成立才能推出的等式不一定成立 2.如果n 元齐次线性方程组0=Ax 有基础解系并且基础解系含有)(n s s <个解向量，那么矩阵A 的秩为（ ） （A ）n （B ）s （C ）s n - （D ）以上答案都不正确 解答:选C

齐次线性方程组中未知数的个数n ，基础解系中向量个数s ，系数矩阵的秩r 之间的关系为r s n +=

3.如果三阶方阵33)(⨯=ij a A 的特征值为5,2,1，那么332211a a a ++及A 分别等于（ ） （A ）10，8 （B ）8，10 （C ）-10，-8

（D ）-8，-10

解答：选B

设方阵的特征值为n λλλ,,,21 ，则n A Tr λλλ+++= 21)(，n A λλλ 21= 所以8521)(332211=++==++A Tr a a a ，10521=⋅⋅=A

4.设实二次型⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2121211422),(),(x x x x x x f 的矩阵为A ，那么（ ）

（A ）⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=1332A

（B ）⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛-=1422A （C ）⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=1212A

（D ）⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=1001A 解答：选A

2

221212162),(x x x x x x f -+=，注意到二次型的矩阵一定是对称矩阵，因此由

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=21212

22121211332),(62),(x x x x x x x x x x f 知，二次型的矩阵为⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=1332A

5.若方阵A 的行列式0=A ，则（ ）

（A ）A 的行向量组和列向量组均线性相关；

（B ）A 的行向量组线性相关，列向量组线性无关； （C ）A 的行向量组和列向量组均线性无关；

（D ）A 的列向量组线性相关，行向量组线性无关 解答：选A

方阵的行列式为零，说明方阵为降秩矩阵，即方阵的秩n A R <)(，从而n 个行向量组成的向量组的秩n A R <)(，说明最大无关组中向量个数n A R <)(，即多于)(A R 个向量时一定线性相关，因此n 个行向量))((A R n >线性相关。同理n 个列向量线性相关 这个结论是一个充分必要条件，即

方阵的行列式为零⇔行（列）向量组线性相关； 方阵的行列式不为零⇔行（列）向量组线性无关 二.填空题（每题3分，共30分）

1.如果行列式D 有两列的元对应成比例，那么该行列式等于____ 解答：0

判断行列式等于零常用的几个结论：

（1）若行列式某行（列）全部为零，则行列式等于零； （2）若行列式有两行（列）相等，则行列式等于零； （3）若行列式有两行（列）对应成比例，则行列式等于零

2.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=143012001A ，*

A 是A 的伴随矩阵，则=-1*)(A ____

解答：A -（也可以填具体矩阵⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---143012001

）

关于矩阵，逆矩阵，伴随矩阵的两个基本等式：I A A A AA ==**，I A A AA ==--11

其他结论都是由这两个等式推导出来的，常用的有1

*

-=A A A ，1

1

--=A A

，1

*-=n A

A

对于本题，由于I A AA =*

，因此I A A A =⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛*

1，说明A A A 1)(1*=-

由于A 为下三角阵，行列式1-=A ，因此⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---=-=-143012001

)

(1

*A A

3.设βα,是非齐次线性方程组b Ax =的解，若μβλα+也是它的解，那么=+μλ____ 解答：1

由βα,是b Ax =的解知b A b A ==βα,

由μβλα+是b Ax =的解知b b A A A b μλβμαλμβλα+=+=+=)(

从而0)1(=-+b μλ，由于b Ax =是非齐次方程组，所以b 为非零向量，于是

01=-+μλ，即1=+μλ

4.设向量T

)1,1,1(-=α与向量T

t ),5,2(=β正交，则=t ____

解答：3

两向量正交，则内积为零，所以052)1,1,1(=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-t ，即052=+-t ，从而3=t

5.设A 为正交矩阵，则=A ____ 解答：1或-1（也可以填1±）

根据正交矩阵的定义，I AA T

=，从而1=T AA ，1=T A A ，而A A T =，所以12

=A ，于是1±=A

6.设c b a ,,是互不相同的三个数，则行列式=2

2

2

111

c b a c b a

____ 解答：))()((b c a c a b ---

这是三阶的范德蒙行列式，可以直接用结论，也可以直接计算

2

2222

22

22

2

2

00

1111111

21

23a c a b a

c a b a c a b a c a

b c b a c b a ar r r a r ----=----=--

))()((1

1)

)((b c a c a b a

c a b a c a b ---=++--=

还可以用范德蒙行列式的计算方法计算