【数学】2.1.1《椭圆及其标准方程(一)》课件(人教A版选修1-1)
(新课标人教A版)选修1-1数学同步课件：2-1-1《椭圆及其标准方程》
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为： y2 x2 a2＋b2＝1(a>b>0)． ∵2a＝26,2c＝10，∴a＝13，c＝5. ∴b2＝a2－c2＝144. y2 x2 ∴所求椭圆方程为：169＋144＝1.
[点评]
x2 y2 y2 x2 在椭圆的标准方程a2＋b2＝1 和a2＋b2＝1 中，
＝1上的点，
F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
[解析]
y2 x2 在椭圆 5 ＋ 4 ＝1 中，a＝ 5，b＝2，∴c＝
a2－b2＝1， 又∵点 P 在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5① 由 余 弦 定 理 知 |PF1|2 ＋ |PF2|2 － 2|PF1|· |PF2|· cos30° ＝ |F1F2|2＝(2c)2＝4② ①式两边平方得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝16， ∴|PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴S△PF1F2＝2|PF1|· |PF2|· sin30° ＝8－4 3.
式时，需将它们放在方程的两侧，并使其中一侧只有一个
根式．
1．对椭圆的定义要正确理解、熟练运用，解决过焦点
的问题时，要结合图形看能否运用定义． 2．用待定系数法来求椭圆的标准方程时，要“先定型， 再定量”，不能确定焦点的位置，可进行分类讨论或设为 mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)的形式．
1 ．平面内与两个定点 F1 、 F2 的距离之和等于定长 ( 大
2．在理解椭圆的定义时，要注意到对“常数”的限定，
即常数要大于|F1F2|.这样就能避免忽略两种特殊情况，即： 当常数等于|F1F2|时轨迹是一条线段；当常数小于|F1F2|时点 不存在．
2.1 2.1.1 椭圆及其标准方程
2
2
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由余弦定理知： |PF1|2＋ |PF2|2－2|PF1|· |PF2|· cos 30° ＝ |F1F2|2＝ (2c)2＝ 4，② ①式两边平方，得 |PF1|2＋ |PF2|2＋2|PF1|· |PF2|＝20③ ③－②，得(2＋ 3)|PF1|· |PF2|＝ 16， ∴ |PF1|· |PF2|＝16(2－ 3)， 1 ∴ S△ PF1F2＝ |PF1 |· |PF2|· sin 30° ＝ 8－4 3. 2
a2＝ 15， 解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1. 15 5
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y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)． a b
2 2 － 2 3 ＋ 2 ＝ 1， a2 b 依题意有 2 － 2 3 1 a2＋ b2 ＝ 1，
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7 解得 2<k<5 且 k≠ . 2 7 7 即当 2<k< 或 <k<5 时， 2 2 x2 y2 方程 ＋ ＝1 表示椭圆． k－2 5－k
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x y 1.如图所示，点 P 是椭圆 ＋ ＝1 上的一点，F1 和 F2 是焦点， 5 4 且∠F1PF2＝30° ，求△F1PF2 的面积．
x2 y2 解析：在椭圆 ＋ ＝1 中，a＝ 5，b＝2， 5 4 ∴c＝ a2－b2＝1. 又∵P 在椭圆上， ∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5，①
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椭圆标准方程课件-高二上学期数学人教A版选修2-1
思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样 的呢
椭圆的标准方程
y2 a2
x2 b2
1
(a b 0)
它表示:
① 椭圆的焦点在y轴
② 焦点是F1（0，-c）、 F2（0，c） ③ c2= a2 - b2
y
F2
P
ox
F1
填表
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0 y2 + x2 = 1a > b > 0
因此, 所求椭圆的标准方程为x2 y2 1 .
10 6
求椭圆标准方程的方法： （1）定义法； （2）待定系数法； 注意先判断焦点的位置. 探究8、本节课你都学到了哪些知识？
1、椭圆的标准方程
标准方程
x2 + y2 = 1a > b > 0 y2 + x2 = 1a > b > 0
a2 b2
a2 b2
a2 b2
a2 b2
y
不
图形
同
点
y P
F1 O F2
x
F2 P
O
x
F1
焦点坐标
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c，F2 0,c
相
定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
同 点
a、b、c 的关系
a2 = b2 + c2
焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
并且经过点
, 求它的标准方程.
解： 由椭圆的定义知
2a ( 5 2)2 ( 3)2 ( 5 2)2 ( 3)2 2 10
2.1.1 第一课时 椭圆的定义及标准方程的求法 课件(人教A选修1-1)
凡涉及椭圆上的点与椭圆焦点距离的问题，均可 考虑定义，本例说明过椭圆的焦点的弦的两端点与另 外一焦点所构成的三角形的周长为定值4a.
[例 3] 求经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)的椭圆的标准方程． [自主解答] 法一：若焦点在 x 轴上，设椭圆的标准方程为 xa22＋by22＝1(a>b>0)． 由已知条件得aa4122＋ ＋b4212b4＝2＝1， 1，解得ab1122＝ ＝1814， . 所以所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
2．根据下列条件，求椭圆的标准方程． (1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，椭圆上 任意一点 P 到两焦点的距离之和等于 10； (2)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭 圆经过点(－32，52)；
解：(1)∵椭圆的焦点在 x 轴上， ∴设椭圆的标准方程为xa22＋by22＝1(a>b>0)． ∵2a＝10，2c＝8，∴a＝5，c＝4. ∴b2＝a2－c2＝52－42＝9. 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
3．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时， 把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形 式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；② 不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程．
若焦点在 y 轴上，设椭圆的标准方程为ay22＋xb22＝1(a>b>0)． 由已知条件得bb4122＋＋a4212a4＝2＝1，1，解得ab1122＝＝1418.， 即 a2＝4，b2＝8，则 a2<b2，与题设中 a>b>0 矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
人教版高中数学高二选修1-1 椭圆及其标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义及应用活动与探究1(1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．10(2)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．迁移与应用 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝______．椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1||PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1||PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．二、椭圆的标准方程及应用活动与探究2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142．迁移与应用1．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________．2．两焦点坐标分别为(3,0)和(－3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为__________．(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：①由焦点坐标确定方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，还是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)；②运用定义、平方关系等求出a ，b ． (2)当焦点不确定时，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，这样可以避免讨论．三、焦点三角形问题活动与探究3如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．迁移与应用已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．四、与椭圆有关的轨迹问题活动与探究4(1)已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹．(2)已知在△ABC 中，|BC |＝6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动？迁移与应用如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法： (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．用相关点法求轨迹方程的步骤：①设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；②找出P ，Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1x ，y ，y ′＝φ2x ，y ；③将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0, 即得所求轨迹方程． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】1．距离之和 常数 两个定点 两焦点间的距离 |MF 1|＋|MF 2|＝2a预习交流1 (1)提示：当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．(2)提示：B2．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )a2＝b2＋c2预习交流2(1)提示：相同点：它们都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a．方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等．不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)．当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大．(2)提示：534(4,0)，(－4,0)课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：求出a→|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|→求出P到另一个焦点的距离A解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5．(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边．6解析：由已知a2＝16，a＝4．从而由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，∴△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．又知三角形有两边之和为10，∴第三边的长度为6．迁移与应用43解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43．活动与探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程．(2)利用两点间的距离公式求出2a ，再写方程；也可用待定系数法．(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0， A ≠B )直接求A ，B 得方程．解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10， 所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3．所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6． 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝42． 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(方法二)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(3)(方法一)若椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(方法二)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．迁移与应用1．(3,4) 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >k －3，k －3>0，解得3＜k ＜4．2．x 225＋y 216＝1 解析：易知c ＝3，a ＝5，则b 2＝a 2－c 2＝16． 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1．活动与探究3 思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF 1|，|PF 2|的方程，求出|PF 1|，|PF 2|后，再求△PF 1F 2的面积．解：由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|，② 将②代入①解得|PF 1|＝65．∴12PF F S ∆＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是353．迁移与应用解：在椭圆x225＋y29＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，则|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝64．②①2－②得|PF1||PF2|＝12．∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12×12×32＝33．活动与探究4(1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y．因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x20＋y20＝9．将x0＝x，y0＝3y代入圆方程，得x2＋9y2＝9．即x29＋y2＝1．又y≠0，所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(－3,0)两点．(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验．解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC 直线与椭圆的两个交点．迁移与应用解：由题意知M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |． 又M 在AQ 的垂直平分线上，连接AM ，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2．∴M 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5， ∴a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝214．∴M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1．当堂检测1．设P 是椭圆22=12516x y +上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案：D 解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． ∵a 2＝25，∴2a ＝10． ∴|PF 1|＋|PF 2|＝10．2．椭圆22=1167x y +的焦点坐标为( ) A ．(－4,0)和(4,0) B ．(0，)和(0) C ．(－3,0)和(3,0) D ．(0，－9)和(0,9)答案：C 解析：由已知椭圆的焦点在x 轴上，且a 2＝16，b 2＝7， ∴c 2＝9，c ＝3．∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．3．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．无法确定答案：A解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a．∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．4．已知P是椭圆22=12516x y+上一点，F1，F2为焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积是______．答案：16解析：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，①又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝36．②①2－②得|PF1|·|PF2|＝32．∴S＝12|PF1|·|PF2|＝16．5．已知椭圆22=1259x y+上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝______．答案：2解析：设右焦点为F2，连接F2M，∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝12|MF2|．又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2．。
【数学】2.1.1 椭圆及其标准方程 课件1(人教A版选修1-1)
即 : ( x c ) 2 y 2 ( x c ) 2 y 2 2a
所以 ( x c) 2 y 2 2a ( x c) 2 y 2
两边平方得 : ( x c) 2 y 2 4a 2 4a ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 即 : a 2 cx a ( x c) 2 y 2
2 0
2
2 0
2
把x = x,y = 2y代入方程①,得 点M的运动.我们可以由M为线段PD的中点得到点M
0 0
x + 4y = 4, 与点P坐标之间的关系式,并由点P的坐标满足圆的方
2 2
即
程得到点M的坐标所满足的方程.
2 2
x 1、建系 2、设标 3、列 + y = 1. 4 式 4、化简 5、检验 所以点Ｍ的轨迹是一个椭圆. （可省略不写）
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a
F1 0,- c ，F2 0,c
相 a、b、c 的关系 同 点 焦点位置的判断
a2-c2=b2 分母哪个大，焦点就在哪个轴上
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，
右边是1 （2）椭圆的标准方程中三个参数 a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）椭圆的标准方程中：x2与y2的分母哪一个大，则 焦点在哪一条轴上，大分母为a2 ，小分母为b2.
3、椭圆的标准方程小结
定 义
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0)
第二章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆及其标准方程
生活中 的椭圆
一、引入
结论：平面内到两定点F1，F2的距离之和等于常 数的点的轨迹为椭圆。 常数必须大于两定点的距离
2.1.1 第二课时 椭圆的定义及标准方程的应用 课件(人教A选修1-1)
二 章
2.1.
1
第二 课时
2.
圆1 锥
椭 圆 及
椭圆 的定 义及
曲椭
其
标准
线圆
标
方程
与 方
准
的
方
应用
程
程
名师课堂 ·一点通
考点一 考点二 考点三
解题高手
创新演练 ·大冲关
课堂强化 课下检测
[例1] 如图，圆C：(x＋1)2＋ y2＝16及点A(1，0)，Q为圆上一点， AQ的垂直平分线交CQ于M，求点 M的轨迹方程．
2．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行 于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ＝ OM＋ON，求动点Q的轨迹方程． 解：设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0) (y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)． 因为OQ＝OM＋ON， 即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0，2y0)，
在解焦点三角形的有关问题时，一般地利用两个关系 式：
(1)由椭圆的定义可得|PF1|，|PF2|的关系式； (2)利用正余弦定理或勾股定理可得|PF1|，|PF2|的关系 式，然后求解得|PF1|，|PF2|，有时也根据需要，把|PF1|＋ |PF2|，|PF1|－|PF2|，|PF1|·|PF2|等看成一个整体来处理．
3．设 F1、F2 为椭圆x92＋y42＝1 的两个焦点，P 为椭圆上一点，
已知△PF1F2 为直角三角形，且|PF1|>|PF2|，求||PPFF12||的值． 解：由已知|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2 5. 根据直角位置不同，分两种情况： ①若∠PF2F1＝90°，则||PPFF11||2＋＝|P|PFF22|＝|2＋6，20 ∴有||PPFF21||＝＝4313，4，∴||PPFF21||＝72.
人教版A版高中数学选修1-1：椭圆及其标准方程_图文
y2 a2
x2 b2
1
焦点为(0,-c)，(0,c)焦距为2c。
练一练：（口答）
知
1、如果椭圆 x 2 y 2 1 上一点P到焦点F1的 距离等于
识 应
100 36
用
6，则点P到另一个焦点F2的距离是 。
技
2、动点P（x,y)，若满足 (x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10 则P点的轨迹方程是 。
y2 a2
x2 b2
1
解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂 直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图). y
设M(x, y)是椭圆上任意一
M
点，椭圆的焦距2c(c>0)，M
与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a>2c) ，则F1、F2的 坐标分别是(c,0)、(c,0) .
a2 cx a (x c)2 y2 两边再平方，得 a4 2a2cx c2 x2 a2 x2 2a2cx a2c2 a2 y2
整理得 (a2 c2 )x2 a2 y2 a2 (a2 c2 )
由椭圆定义可知 2a 2c,即a c, 所以
a2 c2 0,设a2 c2 b2 (b 0),
所得方程： x2 y2 1 25 9
2、（1）若│F1F2│=7，且│MF1│+│MF2│=9。依照
上面结论不计算过程直接说出M的轨迹方程。
（2）若│F1F2│=10，且│MF1│+│MF2│=26。
3、用符号语言表达出椭圆的定义，猜想椭圆的 标准方程。
观
察 定义：已知平面内两个定点F1，F2，│F1F2│＝2C，
2013-2014学年 高中数学 人教A版选修1-1 第二章 2.1.1(一)椭圆及其标准方程(一)
即|PF2|2＝|PF1|2＋4.
又由椭圆定义知|PF1|＋|PF2|＝2×2＝4，
所以|PF2|＝4－|PF1|.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.1（一）
本 讲 栏 目 开 关
3 从而有(4－|PF1|) ＝|PF1| ＋4.解得|PF1|＝ . 2
标准方程 焦点 a、b、c 的关 系
y2 x2 ＋ ＝1 (a>b>0) a2 b2
(0，－c)(0，c)
(－c,0)(c,0) c2＝a2－b2
c2＝a2－b2
研一研·问题探究、课堂更高效
2.1.1（一）
引言
本 讲 栏 目 开 关
在生活中， 我们对椭圆并不陌生.油罐汽车的贮油罐横
截面的外轮廓线、天体中一些行星和卫星运行的轨道都是 椭圆；灯光斜照在圆形桌面上，地面上形成的影子也是椭 圆形的.在学习中，椭圆其实比圆更加让我们熟知，无论是 数学中的 0，还是字母中的 O，我们都能看到椭圆的踪影. 那么椭圆是怎样定义的呢？
k－4>0， 点在 x 轴上的椭圆，则10－k>0， k－4>10－k，
小结
(1)利用椭圆方程解题时，一般首先要化成标准形式.
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2.1.1（一）
m>0， x y (2) ＋ ＝1 表示椭圆的条件是n>0， m n m≠n；
2 2
表示焦点在 x 轴
本 讲 栏 目 开 关
m>0， 上的椭圆的条件是n>0， m>n； m>0， 件是n>0， n>m .
表示焦点在 y 轴上的椭圆的条
2.2.1 椭圆及其标准方程 (共29张PPT)
• 这两个定点叫做椭圆的焦点，
M
• 两焦点的距离叫做焦距．
F1
F2
2019/11/1
8
问：能否由此得到：到两个定点的距离之和 等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢？
说明：在平面上到两个定点F1， F2的距 离之和等于定值2a的点的轨迹为：
当2a＞∣F1F2∣=2c ，轨迹为：椭圆 当2a＝ ∣F1F2∣=2c，轨迹为：线段 当2a＜ ∣F1F2∣=2c，轨迹为：不存在
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6
反思：
结合实验以及“圆的定义”,思考讨论一下应该 如何定义椭圆？它应该包含几个要素？
（1）在平面内
（2）到两定点F1，F2的距离之和等于定长2a
（3）定长2a﹥ |F1F2|
M
F1
F2
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7
1.椭圆的定义
• 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于 常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
y2 b2
1(a b 0)
这就是所求椭圆的轨迹方程，它表示的椭圆的
焦点在x轴上，焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)．这
2里019c/121/=1 a2-b2．
13
4．椭圆标准方程分析
我们把方程
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)
叫做椭圆的标准方程，它表示
y M (x,y)
答 案：(1) x2 y2 1 16
② a 4, c 15，焦点在Y轴上； (2) y2 x2 1
16
③a+b=10，c 2 5 。
(3) x2 y2 1或 y2 x2 1
36 16
36 16
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复习引入
动手实践： 取一条一定长的细绳，把它的两端 固定在画图板上的F1和F2两点，当绳长 大于F1和F2的距离时，用笔尖把绳子拉 紧，使笔尖在图板上慢慢移动，看看你 会得到什么图形? M F1
F2
讲授新课
1. 椭圆的定义：
讲授新课
1. 椭圆的定义： 把平面内与两个定点F1、F2的距离 的和等于常数(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫 作椭圆．
课堂小结
1．椭圆的定义．
课堂小结
1．椭圆的定义． 2．椭圆的标准方程：
课堂小结
1．椭圆的定义． 2．椭圆的标准方程： (1)若焦点在x轴上，
课堂小结
1．椭圆的定义． 2．椭圆的标准方程：
2 2
x y (1)若焦点在x轴上， 2 2 1 (a＞b＞0)． a b
课堂小结
1．椭圆的定义． 2．椭圆的标准方程：
y 如图，建立直角坐标系xOy， M 使x轴经过点F1、F2，并且 c c F1 O F2 点O与线段F1F2的中点重合. x 设点M(x, y)是椭圆上任一点， 椭圆的焦距为2c(c＞0). 焦点F1、F2的坐标分别是 (－c, 0)、(c, 0)． 又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a．
讲授新课
2 2
y轴上的椭圆，求实数m的取值范围.
讲授新课
例2 已知椭圆mx2＋3y2－6m＝0的一个 焦点为(0, 2)，求m的值.
讲授新课
例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(－4,0)、(4,0)，椭
圆上一点P到两焦点的距离的和等于10；
(2)两个焦点的坐标分别是(0, －2)和(0, 2)， 3 5 并且椭圆经过点 (－ , ). 2 2
2 2
x y (1)若焦点在x轴上， 2 2 1 (a＞b＞0)． a b
(2)若焦点在y轴上，
课堂小结
1．椭圆的定义． 2．椭圆的标准方程：
2 2
x y (1)若焦点在x轴上， 2 2 1 (a＞b＞0)． a b y x (2)若焦点在y轴上， 2 2 1 (a＞b＞0)． a b
|MF1|＋|MF2|＝2a
讲授新课
y
M
F1
O
c F2
x
|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)
讲授新课
y M
F1
O
c F2
x
|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)
讲授新课
y M
F1
O
c F2
x
|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)
讲授新课
y M
F1
O
c F2
x
|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)
2 2
课外作业
1. 阅读教科书； 2. 《习案九》第1、2题.
2 2
2 2
(2) 25 x 16 y 400
x y ( 3) 1( m n 0) m n
讲授新课
练习
2. 设F1(－3, 0)、F2(3, 0)，
且|MF1|＋|MF2|＝6， 则点M的轨迹是 .
讲授新课
x y 例1 方程 2 1 表示焦点在 2 m ( m 1)
讲授新课
y M
b
F1 O
a c F2 x
|MF1|＋|MF2|＝2a(a>c)
讲授新课
椭圆的标准方程：
x y 2 1 (a＞b＞0). 2 a b
它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点
是F1(c, 0)、F2(－c, 0)，且c2＝a2－b2.
2
2
讲授新课
如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2 的坐标是F1(0,－c)、F2(0, c)， 则椭圆方程为： y
讲授新课
2. 椭圆标准方程的推导：
y 如图，建立直角坐标系xOy， M 使x轴经过点F1、F2，并且 c c F1 O F2 点O与线段F1F2的中点重合. x 设点M(x, y)是椭圆上任一点， 椭圆的焦距为2c(c＞0). 焦点F1、F2的坐标分别是 (－c, 0)、(c, 0)．
讲授新课
2. 椭圆标准方程的推导：
2. 椭圆标准方程的推导：
y 如图，建立直角坐标系xOy， M 使x轴经过点F1、F2，并且 c c F1 O F2 点O与线段F1F2的中点重合. x 设点M(x, y)是椭圆上任一点， 椭圆的焦距为2c(c＞0). 焦点F1、F2的坐标分别是 (－c, 0)、(c, 0)． 又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a．
讲授新课
1. 椭圆的定义： 把平面内与两个定点F1、F2的距离 的和等于常数(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫 作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，
讲授新课
1. 椭圆的定义： 把平面内与两个定点F1、F2的距离 的和等于常数(大于|F1 F2|)的点的轨迹叫 作椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
y x 2 1 2 a b
(a＞b＞0).
2
2
F2
O F1 x
讲授新课
y y
F2
F1 O F2 x O x
F1
x y 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
2
2
y x 2 1 (a＞b＞0) 2 a b
2
2
讲授新课
练习
x2 y2 1 16 9
1. 判断下列椭圆的焦点位置，指出焦点 的坐标： 2 2 x y (1) 1 16 9
F2
x
讲授新课
2. 椭圆标准方程的推导：
y 如图，建立直角坐标系xOy， 使x轴经过点F1、F2，并且 F1 O 点O与线段F1F2的中点重合. 设点M(x, y)是椭圆上任一点， 椭圆的焦距为2c(c＞0).
F2
x
讲授新课
2. 椭圆标准方程的推导：
y 如图，建立直角坐标系xOy， M 使x轴经过点F1、F2，并且 c c F1 O F2 点O与线段F1F2的中点重合. x 设点M(x, y)是椭圆上任一点， 椭圆的焦距为2c(c＞0).
讲授新课
2. 椭圆标准方程的推导：
F1
F2
讲授新课
2. 椭圆标准方程的推导：
如图，建立直角坐标系xOy， 使x轴经过点F1、F2，并且 F1 点O与线段F1F2的中点重合.
F2
讲授新课
2. 椭圆标准方程的推导：
y 如图，建立直角坐标系xOy， 使x轴经过点F1、F2，并且 F1 O 点O与线段F1F2的中点重合.