2018-2019学年人教B版选修2-12.4.1 抛物线的标准方程课件(张)
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高中数学人教B版选修2-1配套课件：2.4.1抛物线的标准方程
(1)由于点 M(－6,6)在第二象限，
∴过 M 的抛物线开口向左或开口向上． 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上， 设其方程为 y2＝－2px(p>0)， 将点 M(－6,6)代入，可得 36＝－2p×(－6)， ∴p＝3. ∴抛物线的方程为 y2＝－6x. 若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x2 ＝ 2py(p>0)，
p y＝ 2
p x ＝－2py(p>0) (0，－2)
2
求抛物线的标准方程
求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)过点 M(－6,6)； (2)焦点 F 在直线 l：3x－2y－6＝0 上．
【思路探究】 (1)过点 M(－6,6)的抛物线有几种情况？ (2)所求抛物线的焦点是什么？有几种情况？
【自主解答】
2.4
抛物线
2．4.1 抛物线的标准方程
●三维目标 1.知识与技能
(教师用书独具)
掌握抛物线的定义， 掌握抛物线的四种标准方程形式及其对 应的焦点、准线． 2．过程与方法 通过对抛物线标准方程的推导， 进一步理解求曲线方程的方 法——坐标法．通过本节课的学习，提高学生观察、类比、分析 和概括的能力．
将点 M(－6,6)代入可得，36＝2p×6，∴p＝3， ∴抛物线的方程为 x2＝6y. 综上所述，抛物线的标准方程为 y2＝－6x 或 x2＝6y.
(2)①∵直线 l 与 x 轴的交点为(2,0)， ∴抛物线的焦点是 F(2,0)， p ∴2＝2，∴p＝4， ∴抛物线的标准方程是 y2＝8x.
②∵直线 l 与 y 轴的交点为(0，－3)， 即抛物线的焦点是 F(0，－3)， p ∴2＝3，∴p＝6， ∴抛物线的标准方程是 x2＝－12y. 综上所述，所求抛物线的标准方程是 y2＝8x 或 x2＝－12y.
人教版高中数学选修2-1：2.4.1抛物线及标准方程 (共20张PPT)
焦 点 焦点坐标
F( p ,0) 2
F ( p ,0) 2
F(0, p ) 2
F(0, p ) 2
正 负
准线方程
x p 2
x p 2
y p 2
y p 2
二、新知探究——二次函数图像与抛物线
二次函数y ax2(a 0) 的图象为什么是抛物线？
抛物线y ax2(a 0)可化为x2 1 y(a 0). a
2.4.1抛物线及其标准方程
一、情境引入——一元二次函数的图像
y=ax2(a>0)
y y=ax2+bx+c(a>0)
O
x
一、情境引入——篮球的运动轨迹
一、情境引入——生活中的抛物线
二、新知探究——抛物线的定义
椭圆和双曲线具有共同的几何特点：可以看成是，
在平面内,动点M与一个定点F的距离MF 和一条定直 线l（l不经过点F）的距离d的比是常数e的点的轨迹.
4
x+4=0的距离相出p，写出方程即可. l
四、归纳小结
知识层面： 抛物线的定义； 抛物线的标准方程.
方法层面： 定义法； 待定系数法.
思想层面： 类比思想；数形结合思想.
五、作业布置
基础题：课本P73 3、4
拔高题：已知抛物线y2=4x的 焦点是F，点P是抛物线上的 动点，又有点A（3，2）， 求|PA|+|PF|的最小值，并求 出取最小值时P点的坐标.
探索题：纸折抛物线
∟
y
. Q P
.
oF
. A(3,2)
x
谢谢！
（1）当a 0时，p = 1 ,抛物线开口向上，焦点坐标 2 4a
为（, 1 ）,准线方程为y 1 .
抛物线及其标准方程(优秀课件)PPT
p 2
,
0
)
x
p 2
二次项，右 边是一次项.
小结：
距 离
y
F x22py l o x (p>0)
( 0,
p 2
)
y
p 2
（1）一次项 定轴，系数正 负定方向；
y l
o F
x
x22py (p>0)
( 0,
p 2
)
y
p 2
（2）焦点与 方程同号，准 线与方程异号.
例1. 已知抛物线的标准方程是 y26x, 求它的 焦点坐标和准线方程;
则定点 F( p, o)，由抛物线定义得：
y
H p
M(x,y)
o
Fx
l
(x p)2 y2 x
化简得：y 2
2
px
p
2
(
p
0)
二、标准方程的推导
方案二：以定点 F 为原点，过点F 垂直于L 的直线为 x 轴
建立直角坐标系，设定点F到直线 l的距离为p，动点 M (x, y)
则定点 F(0, 0) ，直线l的方程 x p，由抛物线的定义
【题后反思】：
求抛物线的焦点坐标或准 线方程，先把抛物线方程 化为标准方程。
例2 .已知抛物线的焦点是 F(0,-2), 求它 的标准方程.
【题后反思】：
求抛物线的标准方程， 一般先定位，再定量。
练习2、根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）焦点F（3，0）
（2）准线方程是 x 1 4
（3）焦点到准线的距离是2
﹒ ﹒ ﹒ ﹒ y
ox
抛物线及其标准方程 课件
(1)y2=-12x;(2)3x2-4y=0;(3)x=32y2;(4)y2=ax(a≠0).
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
思路分析先将所给方程转化为标准方程的形式,确定其开口方向,
求出p的值,再写出焦点坐标和准线方程.பைடு நூலகம்
解(1)由方程 y2=-12x 知,抛物线开口向左,焦点在 x 轴的负半
轴上,2p=12,所以 p=6,2=3,因此焦点坐标为(-3,0),准线方程为
解(1)因为点M(-8,4)在第二象限,所以抛物线焦点在y轴的正半轴
或x轴的负半轴上.
设抛物线方程为x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0).
将点M(-8,4)代入可得(-8)2=2p·4或42=-2p·(-8),
解得2p=16或2p=2,
故所求抛物线方程为x2=16y或y2=-2x.
(2)因为直线 x+4y+6=0 与坐标轴的交点为(-6,0),
轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程的形
式;“计算”就是指根据所给的已知条件求出方程中参数p的值,从而
得到抛物线的标准方程.
2.求抛物线的标准方程时需注意以下三个问题:
(1)注意开口方向与方程间的对应关系;
(2)当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx或x2=my,这样
可以减少讨论情况的个数;
2 2 4
1
- ,0
4
,准线方程为
1
x= .
4
综上可知,当 a≠0 时,抛物线 x=-ay2 的焦点坐标为 1
线方程为 x=4.
1
,0
4
,准
纠错心得在解决抛物线问题时,必须注意抛物线方程的形式,若
不是标准方程,应首先转化为标准方程,其次要注意分类讨论思想
2018学年高中数学人教B版选修2-1课件：2.4.1 抛物线的标准方程 精品
[再练一题] 1．根据下列条件确定抛物线的标准方程． (1)关于y轴对称且过点(－1，－3)； (2)过点(4，－8)； (3)焦点在x－2y－4＝0上．
【解】 (1)法一 设所求抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)，将点(－1，－3)代
入方程，得(－1)2＝－2p·(－3)，解得p＝16，所以所求抛物线方程为x2＝－13y.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线．( ) (2)抛物线的方程都是y关于x的二次函数．( ) (3)方程x2＝2py是表示开口向上的抛物线．( )
【答案】 (1)× (2)× (3)×
教材整理2 抛物线的标准方程
阅读教材P59第4自然段～P60，完成下列问题.
法二 当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点 (4，－8)，所以64＝4n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；
当焦点在y轴上时，设抛物线的方程为x2＝my(m≠0)，又抛物线过点(4，－ 8)，所以16＝－8m，即m＝－2，抛物线的方程为x2＝－2y.
综上，抛物线的标准方程为y2＝16x或x2＝－2y.
[构建·体系]
Байду номын сангаас
1．准线方程为y＝23的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝83y
B．x2＝－83y
C．y2＝－83x
D．y2＝83x
【解析】 由准线方程为y＝23知抛物线焦点在y轴负半轴上，且p2＝23，则p＝43.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－83y. 【答案】 B
2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF
p 2
＝
人教版高中数学课件 选修2-1 2.4.1 抛物线的标准方程 课件
例1（C层）根据下列条件，写出抛物线的 标准方程： （1）焦点是F (3, 0)； 3 （2）准线方程是 x . 2
例2（B层） （1）已知抛物线的焦点在x轴正半轴上， 焦点到准线的距离是3，求抛物线的 标准方程、焦点坐标和准线方程; （2）求焦点在x轴正半轴上，并且过点 M (1, 4) 的抛物线的标准方程.
选修2-1第二章
2.4.1 抛物线的标准方程
1.抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条 定直线l ( F l ) 的距离相等的 点的轨迹叫做抛物线. 定点F叫做抛物线的焦点 定直线l叫做抛物线的准线
H
l
M
ห้องสมุดไป่ตู้
· F ·
评价检测题1
试着完成课本 P64 习题2-4 A 第1 题
思考一： 若定点F在定直线l上，则到定点F和 定直线l 的距离相等的点的轨迹是什 l 么？
2 2
l
x 5
O
F
x
即 ( x 4) 2 y 2 x 4
两边平方，化简得：
y 16 x
2
解：方法二） 由题意知： x 4 y F (4,0) M 点 到点 的距离与到直线 x 4 的距离相等 所以点 M的轨迹是以 F (4,0) 为 l 焦点，x 4 为准线的抛物线 x 5 O p 8 点 M 的轨迹方程为： 2 y 16 x
.
1 （2） y x 2 2 （3） y ax(a 0) 1 2 2 y y 4x （4） x 4
2
1 1 F ( , 0), x 8 8 a a F ( , 0), x 4 4
F (1, 0), x 1
思考二： 1. p的几何意义是什么？ 焦点到准线的距离 2.焦点到y轴的距离是多少？ p 准线到y轴的距离是多少？ 2 3.抛物线的开口方向？ 开口向右 4.抛物线的顶点是什么？原点 5.焦点的位置？位于x轴正半轴 6.抛物线的对称轴是什么？x轴
《抛物线及其标准方程》人教版高中数学选修2-1PPT课件(第2.4.1课时)
x 2 =－8 y （3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程
y 2 =－4 x
（4）求过点A（3，2）的抛物线的标准方程
y
2
=
4 3
x
x2=
9 2
y
课堂练习
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F（3，0）；
（2）准线方程
是x
=
1 4
；
y2 =12x y2 =x
方程. 解: 因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（２，2 2 ）， 坐标轴
所以设方程为： y2 2 px ( p 0)
又因为点M在抛物线上：
所以：(2 2)2 2 p 2 p 2
因此所求抛物线标准方程为： y2 4x
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0) (x2=2my (m≠0)),可避免讨论
d M·
C
H
焦点 ·F
即:若 MF 1 ,则点 M 的轨迹是抛物线.
d
l
那么如何建立坐标系,使抛物线的方
准线
e=1
程更简单,其标准方程形式怎样?
d 为 M 到 l 的距离
新知探究
二、抛物线标准方程的推导
x 解法一：以 L为 y轴，过点 F垂直于 L 的直线为 轴建立直角坐标系（如下图所示）,则定
F (0, p ) 2
y p 2
范围 x≥0 y∈R x≤0 y∈R
y≥0 x∈R
y≤0 x∈R
顶点 (0,0)
对称轴 e x轴 1 y轴
新知探究
特点：
y2=4x
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
数学选修课件第章抛物线的标准方程
05
实际应用举例与拓展延伸
在物理学中应用举例
抛体运动
在物理学中，抛物线方程可以描述物体在重力作用下的抛体运动轨迹。例如，一个物体 被水平抛出后，其运动轨迹就是一个抛物线。通过抛物线方程，我们可以计算物体的射
程、最大高度等参数。
光学
在几何光学中，抛物线是一种重要的曲线，用于描述光线从一个点（焦点）反射或折射 后形成的轨迹。例如，在抛物面镜中，平行于主轴的光线经反射后会汇聚到焦点上。
对称轴
抛物线的对称轴是一条经过焦点且 垂直于准线的直线。对于给定的抛 物线，其对称轴方程也是唯一的。
开口方向和宽度
开口方向
抛物线的开口方向取决于其标准方程中二次项系数的正负。 当二次项系数为正时，抛物线开口向上；当二次项系数为负 时，抛物线开口向下。
宽度
抛物线的宽度可以通过其标准方程中的一次项系数和常数项 来控制。一次项系数决定了抛物线对称轴的位置，而常数项 则影响抛物线与坐标轴的交点位置，从而共同决定了抛物线 的宽度。
几何意义
抛物线在几何上表示一个平面内 到一个定点（焦点）和一条定直 线（准线）距离相等的点的集合 。
焦点、准线与对称轴
焦点
抛物线的焦点是抛物线内的一个 定点，它位于抛物线的对称轴上 ，且到抛物线上任意一点的距离
等于该点到准线的距离。
准线
抛物线的准线是一条与抛物线对称 轴平行且等距的直线。对于给定的 抛物线，其准线方程是唯一的。
交点坐标求解
利用求根公式或韦达定理 等方法，求解得到交点的 坐标。
特殊情况处理
当直线与抛物线对称轴平 行或重合时，需特殊考虑 。
与圆切线问题
切线方程求解
通过联立抛物线与圆的方 程，消元后得到一元二次 方程，由相切条件得到切 线方程。
高中数学人教B版选修2-1第二章 2.4.1 抛物线的标准方程课件(共22张PPT)
点F和一条定直线l H
M
的距离相等的点的
轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的 焦点，直线l叫做抛 物线的准线.
KF
注意:定点F不在直线l上. ( F l )
思考：若定点F在直线l上，则动点M的轨迹 还是抛物线吗？
·F l 温馨提示: 此时退化为过F点且与直线l垂直的 一条直线.
想 1、如何确定抛物线的方程呢？ 一 想 2、求曲线( 椭圆、双曲线)方程的基本步 ？ 骤是怎样的？
设抛物线的标准方程是 y22px(p0)
由已知条件可得，点A的坐标是（0.5，2.4）. O 代入方程得
Fx
2.422p0.5 即p=5.76
所以，所求抛物线的标准方程是
y2 11.52x 焦点坐标是（2.88，0）.
B
当堂检测
1．焦点坐标为（-2，0）的抛物线标准方程是（D ）
A．y 2 4 x B．y 2 8 x C．y2 4x D．y2 8x
2．抛物线 y
1 4
x2
的准线方程（A
）
A．y 1 B．y 2 3．抛物线 2y7x2
C． x1 D．x2 0 的焦点坐标为 ( 0 ,
1 14
)
．
4．若抛物线 y22px(p0) 上有一点M，其横坐标为
-9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和点M的坐
标．
M(9,6)或 M(9,6)
方法归纳
2.4.1抛物线及其标准方程
学习目标：
1.理解抛物线的定义，掌握抛物线标准方 程的推导过程；
2.能根据已知条件写出抛物线的标准方程；
3.加深数形结合思想的理解，体验研究解 析几何的基本思想.
赵州桥：距今1400多年，经历七次 水灾，8次战乱和多次地震.
人B版数学选修2-1课件：第2章 2.4.1 抛物线的标准方程
阅读教材P59第4自然段～P60，完成下列问题.
图形
标准方程 焦点坐标 准线方程
y2＝2px(p>0) ________ ________
y2＝－2px(p>0) ________ ________
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x2＝2py(p>0) ________ ________
x2＝－2py(p>0) ________ ________
法二 当焦点在x轴上时，设抛物线的方程为y2＝nx(n≠0)，又抛物线过点 (4，－8)，所以64＝4n，即n＝16，抛物线的方程为y2＝16x；
即yM－－116＝1， ∴yM＝1156. 【答案】 B
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[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问2：________________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问3：________________________________________________________
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[再练一题] 1．根据下列条件确定抛物线的标准方程． (1)关于y轴对称且过点(－1，－3)； (2)过点(4，－8)； (3)焦点在x－2y－4＝0上．
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．思考辨析 (1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛 物线． (2)抛物线 x2＝－20y 的焦点到准线的距离是 10.( 1 (3)抛物线 y＝－2x 的准线方程是 y＝ .( 8
2
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
)
课 时 分 层 作 业
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
2py(p≠0)．将 P(－2，－4)代入，分别得方程为 y2＝－8x 或 x2＝－y.]
课 时 分 层 作 业
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[合 作 探 究· 攻 重 难]
自 主 预 习 • 探 新 知
求抛物线的标准方程
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为 2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线 x＋3y＋15＝0 上．
D [∵y2＝4x，∴焦点 F(1,0)．]
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(－2，－ 4)，则该抛物线的标准方程为________. 【导学号：33242172】
y2 ＝ － 8x 或 x2 ＝ － y [ 设 抛 物 线 方 程 为 y2 ＝ 2px(p≠0) ， 或 x2 ＝
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
直线 l 的一条直线；l 不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线．
课 时 分 层 作 业
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2．抛物线的标准方程
自 主 预 习 • 探 新 知
图形
标准方程
焦点坐标
p ， 0 2
准线方程 p x＝－ 2
y ＝2px(p＞0)
当 堂 达 标 • 固 双 基源自合 作 探 究 • 攻 重 难
2
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
向？
[提示]
一次项变量为 x(或 y)，则焦点在 x 轴(或 y 轴)上；若系数为正，
则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也 随之确定．
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
[基础自测]
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
[思路探究]
确定抛物线 设出标 → → 确定参数 → 写出方程 的类型 准方程
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
[解] (1)准线方程为 2y＋4＝0，即 y＝－2，故抛物线焦点在 y 轴的正半 p 轴上，设其方程为 x ＝2py(p>0)，又 ＝2，所以 2p＝8，故抛物线方程为 x2＝ 2
自 主 预 习 • 探 新 知
1．抛物线的定义
相等 定点F
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
定直线l
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
思考 1： 平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线 吗？ [提示] 不一定．当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定
第二章
圆锥曲线与方程
2.4 抛物线
2.4.1 抛物线的标准方程
自 主 预 习 • 探 新 知
学习目标：1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)2.掌握 抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点)
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
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[自 主 预 习· 探 新 知]
2
当 堂 达 标 • 固 双 基
合 作 探 究 • 攻 重 难
课 时 分 层 作 业
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自 主 预 习 • 探 新 知
(3)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－20y 或 y2＝－60x.
当 堂 达 标 • 固 双 基
)
[提示] (2)√
(1)× (3)√
不一定．当 F 在 l 上时是过 F 且垂直于 l 的一条直线．
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自 主 预 习 • 探 新 知
2．抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是( A．(0,2) C．(2,0)
) B．(0,1) D．(1,0)
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[规律方法]
求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的
焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出 p 值即可，若抛物线的焦点位 置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程可统一设成 y2＝ax(a≠0)，焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay(a≠0).
2
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y2＝－2px(p＞0)
p － ， 0 2
p x＝ 2
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x2＝2py(p＞0)
p 0 ， 2
p y＝－ 2
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2
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8y.
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(2)∵点(3，－4)在第四象限， ∴设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p＞0)或 x2＝－2p1y(p1＞0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p· 3,32 ＝－2p1· (－4)， 16 9 即 2p＝ ，2p1＝ . 3 4 16 9 2 ∴所求抛物线的标准方程为 y ＝ x 或 x ＝－ y. 3 4
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x ＝－2py(p＞0)
2
p 0 ，－ 2
p y＝ 2
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思考 1：抛物线的标准方程 y ＝2px(p>0)中 p 的几何意义是什么？ [提示] 焦点到准线的距离．
思考 2：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方
2
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)
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2py(p≠0)．将 P(－2，－4)代入，分别得方程为 y2＝－8x 或 x2＝－y.]
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[合 作 探 究· 攻 重 难]
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求抛物线的标准方程
分别求满足下列条件的抛物线的标准方程． (1)准线方程为 2y＋4＝0； (2)过点(3，－4)； (3)焦点在直线 x＋3y＋15＝0 上．
D [∵y2＝4x，∴焦点 F(1,0)．]
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3．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点 P(－2，－ 4)，则该抛物线的标准方程为________. 【导学号：33242172】
y2 ＝ － 8x 或 x2 ＝ － y [ 设 抛 物 线 方 程 为 y2 ＝ 2px(p≠0) ， 或 x2 ＝
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直线 l 的一条直线；l 不经过点 F 时，点的轨迹是抛物线．
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2．抛物线的标准方程
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图形
标准方程
焦点坐标
p ， 0 2
准线方程 p x＝－ 2
y ＝2px(p＞0)
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向？
[提示]
一次项变量为 x(或 y)，则焦点在 x 轴(或 y 轴)上；若系数为正，
则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上．焦点确定，开口方向也 随之确定．
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[基础自测]
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[思路探究]
确定抛物线 设出标 → → 确定参数 → 写出方程 的类型 准方程
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[解] (1)准线方程为 2y＋4＝0，即 y＝－2，故抛物线焦点在 y 轴的正半 p 轴上，设其方程为 x ＝2py(p>0)，又 ＝2，所以 2p＝8，故抛物线方程为 x2＝ 2
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1．抛物线的定义
相等 定点F
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定直线l
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思考 1： 平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线 吗？ [提示] 不一定．当直线 l 经过点 F 时，点的轨迹是过定点 F 且垂直于定
第二章
圆锥曲线与方程
2.4 抛物线
2.4.1 抛物线的标准方程
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学习目标：1.理解抛物线的定义、标准方程及其推导过程．(重点)2.掌握 抛物线的定义及其标准方程的应用．(难点)
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[自 主 预 习· 探 新 知]
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(3)令 x＝0 得 y＝－5；令 y＝0 得 x＝－15. ∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)． ∴所求抛物线的标准方程为 x2＝－20y 或 y2＝－60x.
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)
[提示] (2)√
(1)× (3)√
不一定．当 F 在 l 上时是过 F 且垂直于 l 的一条直线．
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2．抛物线 y2＝4x 的焦点坐标是( A．(0,2) C．(2,0)
) B．(0,1) D．(1,0)
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[规律方法]
求抛物线方程的主要方法是待定系数法，若已知抛物线的
焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出 p 值即可，若抛物线的焦点位 置不确定，则要分情况讨论，另外，焦点在 x 轴上的抛物线方程可统一设成 y2＝ax(a≠0)，焦点在 y 轴上的抛物线方程可统一设成 x2＝ay(a≠0).
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y2＝－2px(p＞0)
p － ， 0 2
p x＝ 2
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x2＝2py(p＞0)
p 0 ， 2
p y＝－ 2
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(2)∵点(3，－4)在第四象限， ∴设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p＞0)或 x2＝－2p1y(p1＞0)． 把点(3，－4)的坐标分别代入 y2＝2px 和 x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p· 3,32 ＝－2p1· (－4)， 16 9 即 2p＝ ，2p1＝ . 3 4 16 9 2 ∴所求抛物线的标准方程为 y ＝ x 或 x ＝－ y. 3 4
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x ＝－2py(p＞0)
2
p 0 ，－ 2
p y＝ 2
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思考 1：抛物线的标准方程 y ＝2px(p>0)中 p 的几何意义是什么？ [提示] 焦点到准线的距离．
思考 2：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方