2021-2022年高考数学大一轮复习 高考大题专项练3 文
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2021年高考数学大一轮复习高考大题专项练3 文1.在等比数列{a n}(n∈N*)中,a1>1,公比q>0,设b n=log2a n,且b1+b3+b5=6,b1b3b5=0.
(1)求证:数列{b n}是等差数列;
(2)求数列{b n}的前n项和S n及数列{a n}的通项a n.
2.(xx福建质检)已知等比数列{a n}的前n项和为S n,a4=2a3,S2=6.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)若数列{b n}满足:b n=a n+log2a n,求数列{b n}的前n项和T n.
3.如图,从点P1(0,0)作x轴的垂线交曲线y=e x于点Q1(0,1),曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2,再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2,依次重复上述过程得到一系列
点:P1,Q1;P2,Q2;…;P n,Q n.记P k点的坐标为(x k,0)(k=1,2,…,n).
(1)试求x k与x k-1的关系(2≤k≤n);
(2)求|P1Q1|+|P2Q2|+…+|P n Q n|.
4.(xx湖北七市模拟)已知数列{a n}是公比为的等比数列,且1-a2是a1与1+a3的等比中项,前n 项和为S n;数列{b n}是等差数列,b1=8,其前n项和T n满足T n=nλ·b n+1(λ为常数,且λ≠1).
(1)求数列{a n}的通项公式及λ的值;
(2)比较+…+S n的大小.
5.(xx福建福州质检)已知数列{log3(a n-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=4,a2=10.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)求证:+…+.
6.已知各项均为正数的两个数列{a n}和{b n}满足:a n+1=,n∈N*.
(1)设b n+1=1+,n∈N*,求证:数列是等差数列;
(2)设b n+1=,n∈N*,且{a n}是等比数列,求a1和b1的值.
答案：1.(1)证明:∵b n=log2a n,
∴b n+1-b n=log2=log2q为常数.
∴数列{b n}为等差数列,且公差d=log2q.
(2)解:设数列{b n}的公差为d,
∵b1+b3+b5=6,∴b3=2.
∵a1>1,∴b1=log2a1>0.
∵b1b3b5=0,∴b5=0.
∴解得
∴S n=4n+×(-1)=.
∵
∴a n=25-n(n∈N*).
2.解:(1)设等比数列{a n}的公比为q,
由解得
所以a n=a1q n-1=2n.
(2)b n=a n+log2a n=2n+log22n=2n+n,
所以T n=(21+1)+(22+2)+…+(2n+n)
=(21+22+…+2n)+(1+2+…+n)
=
=2n+1+-2.
3.解:(1)设P k-1(x k-1,0),由y'=e x得Q k-1(x k-1,)点处的切线方程为y-(x-x k-1).
由y=0得x k=x k-1-1(2≤k≤n).
(2)由x1=0,x k-x k-1=-1,得x k=-(k-1),
所以|P k Q k|==e-(k-1),
于是S n=|P1Q1|+|P2Q2|+…+|P n Q n|=1+e-1+e-2+…+e-(n-1)=.
4.解:(1)由题意得(1-a2)2=a1(a3+1),
即=a1,
解得a1=,∴a n=.
设{b n}的公差为d,又
即
解得(舍),
∴λ=.
(2)由(1)知S n=1-,
∴S n=.①
又T n=4n2+4n,
=,
∴+…+
=
,②
由①②可知+…+S n.
5.(1)解:设等差数列的公差为d,
由a1=4,a2=10,得log3(4-1)=1,log3(10-1)=2,所以d=1,所以log3(a n-1)=1+(n-1)×1=n,即a n=3n+1.
(2)证明:因为,
所以+…+
=
=
=.
6.解:(1)证明:由题设知a n+1=,
所以,从而=1(n∈N*),
所以数列是以1为公差的等差数列.
(2)因为a n>0,b n>0,
所以<(a n+b n)2,