人教版高中数学-对一道高考试题的再研究
高中数学中的逻辑推理素养三
人教版教材选修2-2第70页：推理是人 们思维活动的过程，是根据一个或几个已 知的判断来确定一个新判断的思维过程．
推理是逻辑学名词． 推理是思维的基本形式之一．
逻辑推理是指从一些事实和命题出发， 依据逻辑规则推出其它命题的思维过 程．从推理形式上看，主要包括两类：
故而可得，第 n 行，n 个数，求和为 2n 1，
因此前 n 行，一共有 n n 1 个数，求和为 2n1 n 2
2
根据上面的分析，我们可以类推得到，
前 14 行，有 105 个数，求和为 215 16 ，
当 N 110 时，求和为 215 16 25 1 215 17 2n
1．归纳――猜想之不完全归纳 在概率统计中，我们总是从所研究的对象全体中抽 取一部分进行观测或试验以取得信息，从而对整体作 出推断，这也是归纳推理．
例 6 （2017 年全国卷Ⅰ理科第 19 题）为了监控某种零件的一条生产线 的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单
能力是指空间想象能力、抽象概括能力、
推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力 以及应用意识和创新意识.
推理论证能力：推理是思维的基本形式之
一,它由前提和结论两部分组成；论证是由已有 的正确的前提到被论证的结论的一连串的推理 过程.推理既包括演绎推理,也包括合情推理；论 证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法,也 包括按思考方法划分的直接证法和间接证法.一 般运用合情推理进行猜想,再运用演绎推理进行 证明.
特别地，数学运算是数学活动的基本形式，
也是演绎推理的一种形式，是得到数学结果的 重要手段。
高考数学大一轮复习 热点聚焦与扩展 专题30 小题不小——比较大小-人教版高三全册数学试题
专题30 小题不小----比较大小【热点聚焦与扩展】高考命题中，常常在选择题或填空题中出现一类比较大小的问题，往往将幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等混在一起，进行排序.这类问题的解法往往可以从代数和几何两方面加以探寻，即利用函数的性质及图象解答.本专题以一些典型例题来说明此类问题的方法与技巧. （一）常用技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来： 判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为()0,1和()1,+∞（1）如果底数和真数均在()0,1中，或者均在()1,+∞中，那么对数的值为正数 （2）如果底数和真数一个在()0,1中，一个在()1,+∞中，那么对数的值为负数 例如：30.52log 0.50,log 0.30,log 30<>>等2、要善于利用指对数图象观察指对数与特殊常数（如0,1）的大小关系，一作图，自明了3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况 例如：1113423,4,5，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同()()()11111143634212121233,44,55===，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“-1，0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如2log 3，可知2221log 2log 3log 42=<<=，进而可估计2log 3是一个1点几的数，从而便于比较 4、常用的指对数变换公式：（1）nm mn a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）log log log a a a M N MN += log log log a a aM M N N-=（3）()log log 0,1,0n a a N n N a a N =>≠> （4）换底公式：log log log c a c bb a=进而有两个推论：1log log a b b a =（令c b =） log log m na a n N N m= （二）利用函数单调性比较大小1、函数单调性的作用：()f x 在[],a b 单调递增，则[]()()121212,,,x x a b x x f x f x ∀∈<⇔<(在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数值大小关系的桥梁） 2、导数运算法则： （1）()()()()()()()'''f x g x fx g x f x g x =+（2）()()()()()()()'''2f x f xg x f x g x g x g x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3、常见描述单调性的形式 （1）导数形式：()()'0fx f x >⇒单调递增；()()'0f x f x <⇒单调递减（2）定义形式：()()12120f x f x x x ->-或()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦：表示函数值的差与对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减 4、技巧与方法：（1）此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点.所以处理这类问题要将条件与结论结合着分析.在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么.两者对接通常可以确定入手点（2）在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关系的函数.在构造时多进行试验与项的调整（3）在比较大小时，通常可利用函数性质（对称性，周期性）将自变量放入至同一单调区间中进行比较 （三）数形结合比较大小1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系（1）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调增，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越小（2）若()f x 关于x a =轴对称，且(),a +∞单调减，则图象可能以下三种情况，可发现一个共同点：自变量距离轴越近，其函数值越大2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点.抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图象作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判断出自变量的大小.【经典例题】例1.【2017课标1，理11】设x 、y 、z 为正数，且235x y z ==，则（ ） A ．2x<3y<5zB ．5z<2x<3yC ．3y<5z<2xD ．3y<2x<5z【答案】D【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，在用这个常数表示出对应的,,x y z ，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式和0与1的对数表示.例2.【2017天津，文理】已知奇函数()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） （A ）a b c << （B ）c b a <<（C ）b a c <<（D ）b c a <<【答案】C【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数，所以在0x >时，()0f x >， 从而()()g x xf x =是R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是增函数，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=，0.822<，又4 5.18<<，则22log 5.13<<，所以即0.8202log 5.13<<<，0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<，所以b a c <<，故选C ．【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.例3.已知,,a b c 均为正数，且11222112log ,log ,log 22b caa b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. c a b <<D. b a c << 【答案】A【名师点睛】本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为12log y x =的形式，而第三个等式也可变形为2121log log 2cc c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，从而可以考虑视,,a b c 分别为两个函数的交点.先作出12log y x =图象，再在这个坐标系中作出112,,22xxx y y y ⎛⎫⎛⎫===- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，比较交点的位置即可.例4.【2018届山东、湖北部分重点中学冲刺模拟（三）】已知，,,则的大小关系为（ ） A. B.C.D.【答案】D【解析】分析：借助于中间值1和0，利用各实数的范围可比较大小. 详解：，,，∴，故选D.点睛：比较大小常用的方法有：（1）作差法（作商法）；（2）利用函数单调性比较大小；（3）借助中间变量比较大小.例5.【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】函数，若，，，则有（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：首先分离常数得出，可判断出在上单调递减，且时，，时，，从而判断出，再根据在上减函数，判断出的大小关系，从而最后得出大小关系.且，，在上单调递减，，即，故选D.点睛：本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用例6.【2018届天津市十二校二模】已知定义在上的函数，则三个数，，，则，，之间的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】C由指数函数的性质可得,由可得,所以，根据函数的单调性可得，故选C.例7．【2018届华大新高考联盟4月检测】已知为定义在上的偶函数，且，当时，，记，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据的周期性和单调性进行判断．详解：当时，，则在上是增函数，故选D ．例8.已知函数()2log 1y x =+，且0a b c >>>，则()()(),,f a f b f c a b c的大小关系是（ ） A.()()()f a f b f c ab c >>B.()()()f c f b f a c b a>>C.()()()f b f a f c bac>>D.()()()f a f c f b acb>>【答案】B【解析】思路：本题具备同构特点()()2log 1f x x y xx+==，但导数()()2'2log 11ln 2xx x y x -++=难于分析()f x 单调性，故无法比较()()(),,f a f b f c a b c 的大小.换一个角度，可发现()f x 的图象可作，且()f x x具备几何含义，即()()00f x f x xx -=-，即()(),x f x 与原点连线的斜率.所以作出()f x 的图象，可观察到图象上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由0a b c >>>可得：()()()f c f b f a cba>>答案：B例9.【2018届内蒙古鄂伦春自治旗二模（420模拟）】已知函数，设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴∴∵当时，；当时，∴当时，，；当时；.∴故选D.例10.【2018届安徽省六安市第一中学三模】设是函数的导数，且满足，若、、是锐角三角形的三个内角，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】设则其导数又由满足，则有则函数在上为增函数，若是锐角三角形，则有即即有或故选：D．【点睛】本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，解题的关键是构造函数h（x）并分析其单调性．【精选精练】1.【2018届北京市海淀区二模】已知，则( )A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：取，利用排除法，逐一排除即可的结果.详解：因为时， , , ,所以可排除选项，故选D.点睛：特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.2．【2018届贵阳第一中学月考卷（七）】实数，，满足且，则下列关系式成立的是（）A. B. C. D.【答案】A故选A ．3.【2017年高考山东卷】若a>b>0，且ab=1，则下列不等式成立的是A. ()21log 2a b a a b b +<<+B. ()21log 2a b a b a b <+<+C. ()21log 2a b a a b b +<+<D. ()21log 2a ba b a b +<+<【答案】B【解析】因为0a b >>，且1ab =，所以()221,01,1,log log 21,2a ba b a b ab ><<∴<+>= ()12112log a ba ab a a b b b+>+>+⇒+>+ ，所以选B. 4．【2018届广东省中山市第一中学高三第一次统测】实数()0.2220.2,log ,2a b c ===的大小关系正确的是( )A. a c b <<B. a b c <<C. b a c <<D. b c a << 【答案】D【解析】根据指数函数和对数函数的性质，知2log 0.20<， 200.21＜＜， 0.221>，即01a <<， 0b <，1c >，∴b a c <<，故选C.5．【2018届福建省龙岩市4月检查】已知定义在上的偶函数对于上任意两个不相等实数和，都满足，若，则的大小关系为（ ）A.B.C.D.【答案】D点睛：本题考查了函数值的比较大小，结合函数的奇偶性和函数的单调性进行合理转化是解答的关键，注重考查了学生分析维问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.6．【2018届湖北省4月调研】已知 2.2 2.12.22.1, 2.2,log 2.1a b c ===，则( )A. c b a <<B. c a b <<C. a b c <<D. a c b << 【答案】B【解析】分析：设()ln x f x x =，得()21ln xf x x-'=，利用导数研究其单调性可得,a b 的大小关系，又由1c <，即可得出结论. 详解：设()ln (0)x f x x x =>，则()21ln xf x x -'=， 可得函数()f x 在()0,e 内单调递增，所以()()2.1 2.2f f <，即ln2.1ln2.22.1 2.2<， 可化为 2.2 2.12.1 2.2<，即1a b <<，又 2.2log 2.11c =<， 所以c a b <<，故选B.点睛：本题考查了指数函数与对数函数基本性质的应用，利用导数研究函数的单调性，利用函数单调性比较大小是解答的关键，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题. 7．【2018届浙江省嘉兴市4月模拟】已知 ，，，，那么的大小关系是（ ）A. B.C.D.【答案】A【解析】此题可采用特值法，∵，故可取，此时，，，即成立，故选A.8.【2018年4月8日 每周一测】已知函数()f x 为偶函数，当0x >时， ()4x f x x -=-，设()3log 0.2a f =， ()0.23b f -=， ()1.13c f =-，则( ) A. c a b >> B. a b c >> C. c b a >> D. b a c >> 【答案】A【解析】分析：先判断出()f x 在()0,+∞上为增函数，由奇偶性可得()1.13c f =- ()1.13f =()()33log 0.2log 0.2,a f f ==-根据对数函数与指数函数的性质得到3log 0.2-、0.23-、 1.13的范围，可比较其大小，利用单调性可得结果.由单调性可得()()()1.10.233log 0.23f f b f -->>=，c a b ∴>>，故选A.9．【2018届福建省闽侯第一中学高三上学期开学】记 则A,B,C 的大小关系是（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】，即A>C ，，即B<C ，综合知A>C>B. 本题选择B 选项.10．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知()sin 0,,sin ,4a απαα⎛⎫∈= ⎪⎝⎭()sin cos ,b αα=()cos sin c αα=，则( )A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. c a b << 【答案】D 【解析】令0,4πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 20sin 2α<<， cos sin αα>，令()()sin xf x α=在R 上单调递减，所以()sin sin αα>()cos sin αα,即a>c,又因为()sin g x x α=，在（0,1）上单调递增，所以()()sin sin sin cos αααα<,即a<b,所以c a b <<，选D.11.【2018届天津市9校联考】定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()21xf x =-，设1lna π=， 2ln5b e-=， 0.113c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f b f a f c <<D. ()()()f c f b f a << 【答案】A又1ln πln 2e >=，且()21xf x =-在[]0,1上单调递增， ∴()1ln π2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，即()()f a f b < 故选：A点睛：点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小． 12.【2018届重庆市巴蜀中学月考七】已知3sin(x+ ϕ)cos(x+ ϕ)+2cos (x+ ϕ)-12 (|ϕ|<3π),若f(0)=12,a=f(π),b=f(11-12π），c=f （5324π），则（ ） A. a<c<b B. a<b<c C. c<a<b D. c<b<a 【答案】B 【解析】 ()()()122312222cos x f x x ϕϕ++=++- ()()3122222x cos x ϕϕ=+++ 226sin x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．由题意得()10262f sin πϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭5353262242464b f sin πππ⎛⎫⎛⎫==⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴a b c <<．选B ．。
人教版数学高二-高中数学“数列的综合问题教学研究
专题讲座高中数学“数列的综合问题”教学研究郭洁北京市东城区教师研修中心一、对本专题数学知识的深层次理解（一）数列综合问题的几个重点内容数列的综合问题课标中并没有明确的陈述，但往往是高考考查涉及到的问题，如：数列求和问题；数列与不等式综合问题；关于递推数列的问题等。
这些问题往往涉及数列知识的综合和高考的考查重点，教学中教师要给予关注并较好的把握。
（二）教学内容的重点、难点重点：在解决数列问题中要关注数列的属性、项数，用函数的观点研究数列；掌握数列求和的基本方法及基本的递推数列问题。
难点：数列与不等式综合问题中的放缩问题；解决递推数列问题的策略。
二、“数列综合问题”的教与学的策略（一）解决数列问题的基本思路判断所要求研究的数列是否为特殊数列：等差数列或等比数列，如果是，用公式和性质解决 . 如果不是等差、等比数列，要么转化为等差数列或等比数列，要么寻找其它方法 .因此我们拿到一个数列的问题时，要注意关注数列的属性。
1．关注数列的属性本题的关键是定性，即关注数列的属性。
2．关注数列的项数此题涉及等差、等比数列的综合问题，考查了等比中项，等差数列的通项公式等基本知识，考查了方程思想，关键是利用已知条件找到 K n与 n的关系。
3．用函数的观点认识数列本题的关键是用函数的观点去看待数列问题，此题也涉及到不等式的知识 .以上几个例题从不同角度反映了数列是特殊的函数这一问题，因此解决数列问题，往往可以利用解决函数问题的思考方式。
（二）关注数列求和问题的教学数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法，必须掌握常用的数列求和方法，但数列求和往往和其他知识综合在一起，综合性较强 . 若为等差（比）数列，则直接用公式求和；若非等差（比）数列，则需寻找间接求和的方法 . 常见的有：“倒序相加法”“错位相减法”“裂项相消法”等 .1．用公式求和分析 : 课本上推导等差数列的前项和公式的方法为倒序相加法 , 故设数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法这一点在教学中应该始终坚持。
对一个解三角形问题的探究
2021年第9期中学数学教学参考（下旬）www.zhongshucan com想方法|对一个解三角形问题的探究和旭辉（山东省济南市章丘中学)摘要：解三角形问题一般背景简单，灵活多变，切入点直接，能较好地与其他知识点交汇命题。
它蕴含丰 富的数学思想方法，能有效地提升学生的逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养。
关键词：解三角形；基本不等式；正弦定理；余弦定理；判别式文章编号：1002-2171 (2021)9-0044-02解三角形问题是高中重要的知识点，在高考中频 繁出现，因此在模拟考试中备受关注。
此类问题灵活 多变，内涵丰富，融合性强，能很好地凸显试题的创新 性，考查学生的核心素养。
本文，笔者通过对一道模拟试题的探究，希望对解决此类问题有所帮助。
1问题呈现例 1在A A B C中，已知 3(s i n2A+s i n2B)=s i n C . (s i n C+2V^sin Asin B)，则 s i n(；r+A)+s i n(:c+J3) + s in C r十C)的最大值为________，最小值为________»此题以三角形为背景，给出三角形三个内角正弦值对应的三角关系式，要求解相关的三角关系式的最值。
本题先融人正弦（余弦）定理，建立“边”与“角”的联系；然后借助对应的方法及三角函数的图像与性质，构建“等”与“不等”的关系；再利用三角恒等变换公式及三角函数的图像与性质，最终求得最值。
2解法探究解法1:(基本不等式法）已知3(s i n2A+s i n2B)= sinC(s i n C + 2 v^"s i n Asin B),由正弦定理可得3(a2+62)=c2+2v^a6s i n C。
由余弦定理可得 c：2= a2+62—2a6c〇S C,代人已知式，整理可得a2+62= a6(V5"s i n C— c os C)=2a6s i n ( C —晋），所以a2+f e22ab2、/f X l=1，当且仅当a =6时等号成立。
基于深度学习的高中数学常规测试题的编制研究
214教研与美育美眉 2022.09下观点交流基于深度学习的高中数学常规测试题的编制研究姚本福(贵州省玉屏侗族自治县民族中学，贵州 铜仁 554000)一、“深度学习”研究概述及其特征（一）“深度学习”研究概述深度学习的概念是在1976年提出的。
在文章中，美国研究院（2014）将深度学习定义为“学生对核心课程知识的深度理解，以及在真实的问题和情镜中应用这种理解的能力”。
美国深度学习联盟里的学校基本上采用深度学习策略，如项目学习、基于问题的学习、和基于设计的学习，Linda Darling Hammond&Brigid Barron(2019)将深度学习与教师教育结合在一起研究，探索美国教师教育的深度改革之路。
在我们国内，刘月霞、郭华（2018）将深度学习与核心素养结合研究，指出“深度学习是基于核心素养教学改革的实现机制”；高东辉、于洪波（2019）综述了美国“深度学习”研究40年；迟佳蕙等（2019）概括出国内外深度学习研究的主题与热点：深度学习相关理论概念探究、学习过程及影响因素研究、教学策略及案例研究、评价研究以及信息技术支持的深度学习研究。
（二）“深度学习”的特征研究者们认为深度学习是一种积极的、高投入的认知加工，并且注重知识的迁移、综合、分析和应用。
而对应的浅层学习是低水平的认知加工、关注一般概念和陈述性知识，对所学知识进行机械地简单重复记忆。
深度学习则是强调复杂的思考过程。
学习者需要进行理解性的学习、信息的深层加工、批判性的高阶思维、主动的只是构建和知识转化、有效的知识迁移以及真实问题的解决。
深度学习更关注学生认知结构的完善、关键能力的提升、有效的迁移应用及其实际问题的解决。
二、高中数学教师常规测试题编制的现状（一）学校常规考试现状对于高中数学常规考试而言，大部分试题都是由各学科的备课组长把关并带领教师们编制的。
然而，大多数一线教师在编制测试题时是随意选用一套试题，不注重常规训练的整体规划；或是借用其他学校整套试题，没有考虑到学生的实际情况；或是借用其他省份的试题，没有总结本省高考试题特点；或是好题放在一起组成一套试题，不考虑一套试题的合理分布；或是全校统一训练一套试题，没有考虑学生之间的层次差异。
2012年高考数学研究与对策
并由 C :推导两角和的正弦公式
S : sin( ) sin cos cos sin
(2011年陕西)叙述并证明余弦定理。
中学数学教学参考2011年第10期文章 《为“叙述并证明余弦定理”成为高考 试题叫好”》
一、这道题目实现了陕西高考命题的突破，甚至可以说 是全国数学命题的突破。其导向是非常正确的，那就是 说：“高考数学命题也可能出教材中的原题”。 二、此题能够从不同的角度测试学生的数学素质和能力， 是一道区分度非常好的试题。 三、这道试题为今后高中数学教学以及高三复习工作指 明了方向，有利于改进教学方法，减轻师生不必要的课 业负担和工作负担。
（A）2
7 （B） 3
（C）
（D）3
教材试题原型： 设等比数列
an 的前n项和为S ，问
n
3
Sn , S2 n Sn , S3n S2 n , S4n S3n 是否成等
比数列？ (必修5第51页)
(文）8.已知tan 2 ，则
sin sin cos 2cos 4 4 3 5 （B） （C） （D） （A） 4 5 3 4
的取值范围是_______（答案用区间表示）.
必修五教材P95思考与讨论：已知 f (a, b) ax by, 如果 1 f (1,1) 2, 且 1 f (1,1) 1 求
f (2,1)
的取值范围.
11年试卷中的试题与教材中原型试题分析
(理科第5题)从1，2，3，4，5中任取2各不 同的数，事件A=“取到的2个数之和为偶数”， 事件B=“取到的2个数均为偶数”，则 P（B︱A）=
1.三年高考试卷风格变化分析
从试题的整体命制风格来看，这三年的辽宁高考 数学卷都保持了相对稳定，没有太大的波动。尤其 是09年与10年卷如出一辙，也有人认为10年卷是09 年卷的复版。11年辽宁省理科卷第17题由09、10年 的三角函数转为考查数列，可谓有一定的变化，不 过这种变化，也在意料之中，因为，课改后的高考 中解答题是考数列还是考三角始终是一个焦点问题。 如果我们认真研究07-09年的宁夏、海南卷，不难发 现，07、09年宁夏、海南卷理科17题均考查三角函 数，08年考查数列。另外，11年圆锥曲线问题考查 的方向与往年差别较大，这也算是不小的变化。
高中数学--历年高考真题精选7(附答案)
高中数学--历年高考真题精选题号 一 二 三 总分 得分一 、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.给定两个命题p ，q ，若⌝p 是q 的必要而不充分条件，则p 是⌝q 的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.已知二次函数的图象如图所示，则它与轴所围图形的面积为A ．B ．C ．D ．3.在5(1)x +-6(1)x +的展开式中,含3x 的项的系数是(A) -5(B) 5(C) -10 (D) 104.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，他们闪亮的顺序不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红橙黄绿蓝中的一种颜色，且这5个彩灯商量的颜色各不相同，记得这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5妙。
在每一个闪烁中，那么需要的时间至少是 A ．1205秒B ．1200秒C ．1195秒D ．1190秒 5.由直线12x =，x =2，曲线1y x =及x 轴所围图形的面积为（ ） A ．154B ．174 C ．1ln 22D ．2ln 26. ( 2x －3 )5的展开式中x 2项的系数为（A ）－2160（B ）－1080 （C ）1080（D ）21607.某地政府召集5家企业的负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为【 】A ．14B ．16C ．20D ．488.下列函数中，满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是（ ）（A ）()12f x x = （B ）()3f x x = （C ）()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（D ）()3x f x =9.i 是虚数单位，()=-+113i i i (A) 1- (B) 1 (C) i - (D) i10.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有A.6种B.12种C.24种D.30种二 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11.已知圆C 的圆心是直线1,(1x t y t=⎧⎨=+⎩为参数）与x 轴的交点，且圆C 与直线x+y+3=0相切，则圆C 的方程为12.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一准时响的概率是 . 13.若函数f(x)=a x -x-a(a>0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是 .14.若变量x,y 满足约束条件 ,4,,y x x y y k ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且 2z x y =+的最小值为-6，则k =_______.15.（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 是BC=CD ，过C 作圆O 的切线交AD 于E 。
高考数学压轴专题人教版备战高考《空间向量与立体几何》易错题汇编及解析
【高中数学】数学《空间向量与立体几何》复习知识点一、选择题1．已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列可以推出αβ⊥的是（ ）A ．m l ⊥，m β⊂，l α⊥B ．m l ⊥，l αβ=I ，m α⊂C ．//m l ，m α⊥，l β⊥D ．l α⊥，//m l ，//m β【答案】D 【解析】 【分析】A ，有可能出现α，β平行这种情况.B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况.C ，根据面面平行的性质定理判断.D ，根据面面垂直的判定定理判断. 【详解】对于A ，m l ⊥，m β⊂，l α⊥，则//αβ或α，β相交，故A 错误； 对于B ，会出现平面α，β相交但不垂直的情况，故B 错误；对于C ，因为//m l ，m α⊥，则l α⊥，由因为l βαβ⊥⇒∥，故C 错误； 对于D ，l α⊥，m l m α⇒⊥∥，又由m βαβ⇒⊥∥，故D 正确. 故选：D 【点睛】本题考查空间中的平行、垂直关系的判定，还考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.2．《乌鸦喝水》是《伊索寓言》中一个寓言故事，通过讲述已知乌鸦喝水的故事，告诉人们遇到困难要运用智慧，认真思考才能让问题迎刃而解的道理，如图2所示，乌鸦想喝水，发现有一个锥形瓶，上面部分是圆柱体，下面部分是圆台，瓶口直径为3厘米，瓶底直径为9厘米，瓶口距瓶颈为23厘米，瓶颈到水位线距离和水位线到瓶底距离均为332厘米，现将1颗石子投入瓶中，发现水位线上移3厘米，若只有当水位线到达瓶口时乌鸦才能喝到水，则乌鸦共需要投入的石子数量至少是（ ）A ．2颗B ．3颗C ．4颗D ．5颗【答案】C 【解析】 【分析】利用图形中的数据，分别算出石子的体积和空瓶的体积即可. 【详解】如图，9,3,33AB cm EF GH cm LO cm ====所以60A ∠=︒，原水位线直径6CD cm =，投入石子后，水位线直径5IJ cm = 则由圆台的体积公式可得石子的体积为：()22319133MN CN IM CN IM ππ⋅⋅++⋅= 空瓶的体积为：()22213LN CN EL CN EL EL KL ππ⋅++⋅+⋅⋅633363993888πππ=+=()99329783,491913ππ=∈ 所以至少需要4颗石子 故选：C 【点睛】本题考查的是圆台和圆柱体积的算法，掌握其公式是解题的关键.3．设α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，下列说法正确的是（ ） A ．若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n ⊥β B ．若α⊥β，n ∥α，则n ⊥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥β D ．若m ⊥α，m ⊥β，n ⊥α，则n ⊥β 【答案】D 【解析】【分析】根据直线、平面平行垂直的关系进行判断． 【详解】由α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不同的直线，知：在A 中，若α⊥β，α∩β＝m ，m ⊥n ，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故A 错误； 在B 中，若α⊥β，n ∥α，则n 与β相交、平行或n ⊂β，故B 错误； 在C 中，若m ∥α，m ∥β，则α与β相交或平行，故C 错误； 在D 中，若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β， ∴若n ⊥α，则n ⊥β，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的益关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.4．已知圆锥的母线与底面所成的角等于60°，且该圆锥内接于球O ，则球O 与圆锥的表面积之比等于（ ） A ．4：3 B ．3：4 C ．16：9 D ．9：16【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥的母线与底面所成的角等于60°，可知过高的截面为等边三角形，设底面直径，可以求出其表面积，根据圆锥内接于球O ，在高的截面中可以求出其半径，可求其表面积，可求比值． 【详解】设圆锥底面直径为2r ，圆锥的母线与底面所成的角等于60°，则母线长为2r ， 则圆锥的底面积为：2r π，侧面积为1222r r π⋅， 则圆锥的表面积为2212232r r r r πππ+⋅=， 该圆锥内接于球O ，则球在圆锥过高的截面中的截面为圆，即为边长为2r 的等边三角形的内切圆，则半径为23R r =，表面积为221643r R ππ=， 则球O 与圆锥的表面积之比等于2216:316:93r r ππ=，故选：C ． 【点睛】本题考查圆锥的性质，以及其外接球，表面积，属于中档题．5．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且22cos 3A =，1BC =，3AC =，三棱锥O ABC -的体积为14，则球O 的表面积为( ) A ．36π B ．16πC ．12πD ．163π【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC 是直角三角形，根据棱锥的体积求出O 到平面ABC 的距离，利用勾股定理计算球的半径OA ，得出球的面积． 【详解】由余弦定理得22229122cos 263AB AC BC AB A AB AC AB +-+-===g ，解得22AB =， 222AB BC AC ∴+=，即AB BC ⊥．AC ∴为平面ABC 所在球截面的直径．作OD ⊥平面ABC ，则D 为AC 的中点， 11114221332O ABC ABC V S OD OD -∆==⨯⨯⨯⨯=Q g ， 7OD ∴=． 222OA OD AD ∴=+=． 2416O S OA ππ∴=⋅=球．故选：B ．【点睛】本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断ABC ∆的形状是关键．6．如图，在正方体1111ABCD A B C D -，点P 在线段1BC 上运动，则下列判断正确的是（ ）①平面1PB D ⊥平面1ACD ②1//A P 平面1ACD③异面直线1A P 与1AD 所成角的取值范围是0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦④三棱锥1D APC -的体积不变 A ．①② B ．①②④C ．③④D ．①④【答案】B 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理判断①，由面面平行的性质定理判断②，求出P 在特殊位置处时异面直线所成的角，判断③，由换底求体积法判断④． 【详解】正方体中易证直线AC ⊥平面11BDD B ，从而有1AC B D ⊥，同理有11B D AD ^，证得1B D ⊥平面1ACD ，由面面垂直判定定理得平面1PB D ⊥平面1ACD ，①正确；正方体中11//A B CD ，11//BC AD ，从而可得线面平行，然后可得面面平行，即平面11A BC //平面1ACD ，而1A P ⊂平面11A BC ，从而得1//A P 平面1ACD ，②正确；当P 是1BC 中点时，1A P 在平面11A B CD 内，正方体中仿照上面可证1AD ⊥平面11A B CD ，从而11AD A P ⊥，1A P 与1AD 所成角为90︒．③错；∵11D APC P AD C V V --=，由1//BC 平面1ACD ，知P 在线段1BC 上移动时，P 到平面1ACD 距离相等，因此1P AD C V -不变，④正确． 故选：B ． 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理、面面平行的性质定理、异面直线所成的角、棱锥的体积等知识，考查学生的空间想象能力，属于中档题．7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．273B ．276C ．274D ．272【答案】D 【解析】 【分析】先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果. 【详解】几何体为一个三棱锥，高为33333，，所以体积为1127=33333=322V ⨯⨯⨯，选D. 【点睛】(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．8．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥； ②若//αβ，m α⊥，则m β⊥； ③若//m α，//n α，则//m n ； ④若m α⊥，αβ⊥，则//m β. 其中真命题的序号为（ ） A ．①和② B ．②和③C ．③和④D ．①和④【答案】A 【解析】 【分析】逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项. 【详解】对于命题①，若//n α，过直线n 作平面β，使得a αβ⋂=，则//a n ，m α⊥Q ，a α⊂，m a ∴⊥，m n ∴⊥，命题①正确；对于命题②，对于命题②，若//αβ，m α⊥，则m β⊥，命题②正确； 对于命题③，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，命题③错误； 对于命题④，若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或//m β，命题④错误. 故选：A. 【点睛】本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.9．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是AD 的中点，动点P 在底面ABCD 内（不包括边界），若1B P P 平面1A BM ，则1C P 的最小值是（ ）A ．305B ．230C ．27D ．47【答案】B 【解析】 【分析】在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD ，根据面面平行的判定定理可知平面1//B QDN 平面1A BM ，从而可得P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）；由垂直关系可知当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值；利用面积桥和勾股定理可求得最小值. 【详解】如图，在11A D 上取中点Q ，在BC 上取中点N ，连接11,,,DN NB B Q QD//DN BM Q ，1//DQ A M 且DN DQ D =I ，1BM A M M =I∴平面1//B QDN 平面1A BM ，则动点P 的轨迹是DN （不含,D N 两点）又1CC ⊥平面ABCD ，则当CP DN ⊥时，1C P 取得最小值此时，22512CP ==+ 221223025C P ⎛⎫∴≥+= ⎪⎝⎭本题正确选项：B 【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹及最值的求解问题，关键是能够通过面面平行关系得到动点的轨迹，从而找到最值取得的点.10．设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m βP ”是“αβP ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.11．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．A ．22B 25C 26D 26【答案】B 【解析】 【分析】连接EF ，可证平行四边形EFGH 为截面，由题意可找到1A M 与平面1111D C B A 所成的角，进而得到sinα的最大值. 【详解】连接EF ，因为EF//面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH//BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH//EF,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH-FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N ∠=α，因为sinα=1MNA M,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H =25, 故选B【点睛】本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题.12．设，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列命题中，正确的是（ ） A ．若，与所成的角相等，则B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则【答案】C 【解析】试题分析：若，与所成的角相等，则或，相交或，异面；A 错. 若，，则或，B 错. 若，，则正确. D ．若，，则，相交或，异面，D 错考点：直线与平面，平面与平面的位置关系13．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 是11A B 的中点，则AD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ）A ．55B ．255C ．1010D ．1510【答案】D 【解析】 【分析】先找出直线AD 与平面11BCC B 所成角，然后在1B EF V 中，求出1sin EB F ∠，即可得到本题答案. 【详解】如图，取AB 中点E ，作EF BC ⊥于F ，连接11,B E B F ，则1EB F ∠即为AD 与平面11BCC B 所成角. 不妨设棱长为4，则1,2BF BE ==，13,25EF B E ∴==1315sin 25EB F ∴∠==. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键.14．某四面体的三视图如图所示，正视图，俯视图都是腰长为2的等腰直角三角形，侧视图是边长为2的正方形，则此四面体的四个面中面积最大的为（ ）A ．22B ．23C ．4D ．26【答案】B【解析】 解：如图所示，该几何体是棱长为2的正方体中的三棱锥P ABC - ，其中面积最大的面为：1232232PAC S V =⨯⨯= . 本题选择B 选项.点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．15．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 上一点且12CE EC =，则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为（ ）A ．1144B 11C ．1144D ．1111【答案】B【解析】【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值．【详解】解：以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设3AB =，则()3,0,0A ，()0,3,2E ，()13,0,3A ，()3,3,0B，()3,3,2AE =-u u u r ，()10,3,3A B =-u u u r ， 设异面直线AE 与1A B 所成角为θ，则异面直线AE 与1A B 所成角的余弦值为： 11311cos 222218AE A B AE A Bθ⋅===⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ． 故选：B ．【点睛】本题考查利用向量法求解异面直线所成角的余弦值，难度一般.已知1l 的方向向量为a r ，2l 的方向向量为b r ，则异面直线12,l l 所成角的余弦值为a b a b⋅⋅r r r r .16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ， N 分别为棱111,C D CC 的中点，以下四个结论：①直线DM 与1CC 是相交直线；②直线AM 与NB 是平行直线；③直线BN 与1MB 是异面直线；④直线AM 与1DD 是异面直线．其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据正方体的几何特征，可通过判断每个选项中的两条直线字母表示的点是否共面；如果共面，则可能是相交或者平行；若不共面，则是异面.【详解】①：1CC 与DM 是共面的，且不平行，所以必定相交，故正确；②：若AM BN 、平行，又AD BC 、平行且,AM AD A BN BC B ⋂=⋂=，所以平面BNC P 平面ADM ，明显不正确，故错误；③：1BN MB 、不共面，所以是异面直线，故正确；④：1AM DD 、不共面，所以是异面直线，故正确；故选C.【点睛】异面直线的判断方法：一条直线上两点与另外一条直线上两点不共面，那么两条直线异面；反之则为共面直线，可能是平行也可能是相交.17．已知直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，且两直角边长分别为1三棱柱的高为A ．323πB ．163πC ．83πD ．643π 【答案】A【解析】【分析】求得该直三棱柱的底面外接圆直径为22r ==，再根据球的性质，求得外接球的直径2R =，利用球的体积公式，即可求解.【详解】由题意可得该直三棱柱的底面外接圆直径为221r r ==⇒=，根据球的性质，可得外接球的直径为24R ===，解得2R =， 所以该三棱柱的外接球的体积为343233V R ππ==，故选A. 【点睛】本题主要考查了球的体积的计算，以及组合体的性质的应用，其中解答中找出合适的模型，合理利用球的性质求得外接球的半径是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.18．某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的体积为A ．152πB ．12πC ．112πD ．212π 【答案】A【解析】【分析】 由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成，结合三视图中的数据，利用球和圆锥的体积公式求解即可.【详解】 由三视图可知，该几何体为由18的球体和14的圆锥体组成， 所以所求几何体的体积为11+84V V V =球圆锥， 因为31149=3=8832V ππ⨯⨯球， 221111=34344312V r h πππ⨯⨯=⨯⨯⨯=圆锥， 所以915322V πππ=+=，即所求几何体的体积为152π. 故选：A【点睛】本题考查三视图还原几何体及球和圆锥的体积公式；考查学生的空间想象能力和运算求解能力；三视图正确还原几何体是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.19．设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则（ ） A ．若//αβ，则//l mB ．若//m a ，则//αβC ．若m α⊥，则αβ⊥D ．若αβ⊥，则//l m【答案】C【解析】【分析】根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案.【详解】A. 若//αβ，则l 与m 可能平行，可能异面，所以A 不正确.B. 若//m a ，则α与β可能平行，可能相交，所以B 不正确.C. 若m α⊥，由m β⊂，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以C 正确. D 若αβ⊥，且l α⊂，m β⊂，则l 与m 可能平行，可能异面，可能相交, 所以D 不正确.【点睛】本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.20．已知直三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 为11A C 的中点，则AM 与1BC 所成角的余弦值为( )A ．15B ．5C ．6D ．10 【答案】D【解析】【分析】取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，在1BNC ∆中，利用余弦定理，即可求解．【详解】由题意，取AC 的中点N ，连接1C N ，则1//AM C N ,所以异面直线AM 与1BC 所成角就是直线AM 与1C N 所成角，设正三棱柱的各棱长为2,则115,22,3C N BC BN ===，设直线AM 与1C N 所成角为θ，在1BNC ∆中，由余弦定理可得222(5)(22)(3)10cos 42522θ+-==⨯⨯， 即异面直线AM 与1BC 所成角的余弦值为10，故选D ．【点睛】本题主要考查了异面直线所成角的求解，其中解答中把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．。
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对一道高考试题的再探究
2005年全国高考试卷（I卷）中曾经出现了这样的一道题目：ABC的外接圆为O，
两条边上高的交点H，)(OCOBOAmOH，则实数m .
初次接触到此题时，首先想到的是将问题特殊化，当ABC为C为直角的直角三角
形时，则O为AB的中点，不难得到H与点C重合，OBOA，从而
OCmOCOBOAmOHOC)(
，所以m的值为1.
时隔两年，再度回首，仔细把玩，总有意犹未尽的感觉.经再三思考，得如下解法五种，
现一一列出，敬请各位同仁斧正.
【解法一】由已知,有向量等式0BCAH,将其中的向量分解,向已知等式形式靠拢,有:
0)()(OBOCOAOH
○
1
将已知)(OCOBOAmOH代入○1式,得
0)(])([OBOCOAOCOBOAm
即0)1()(22BCOAmOBOCm
由于O是ABC的外心,得0)1(BCOAm,且ABC是任意的三角形,则
BCOA
不恒为0,故只有.1m
【解法二】 若△ABC的垂心为H，外心为O，如图.
连BO并延长交外接圆于D，连结AD，CD.
∴ABAD，BCCD.又垂心为H，BCAH，ABCH，
∴AH∥CD，CH∥AD，
∴四边形AHCD为平行四边形，∴OCDODCAH，
故OCOBOAAHOAOH.从而.1m
【解法三】过点O作BCOM于M,则M是BC的中点,有)(21OCOBOM;H是垂心,
则BCAH,故AH与OM共线,可设AH=OMk,则
OAAHOAOH
2
k
)(OCOB
又)(OCOBOAmOH,
故可得)2()1(kmOAm)(OCOB=0
即0)2()1(OMkmOAm
而OA与OM不恒共线,
A
O
H
B
C
M
高中数学-打印版
精校版
A B(x1,0) C(x2,y2) y x H O G D
E
F
故有022kmm,得.1m
其实本题的结论是关于三角形的欧拉定理,即:设O、G、H是ABC的外心、重心和垂
心，则O、G、H三点共线，且OG：GH=1：2.为此只需要证明三角形的欧拉定理即可.
【解法四】如图所示，设G为ABC的重心，由题意可知O、H分别为ABC的外心和垂
心.设BC边上的高为1AH，AB边上的高为2CH，过点O作
BCOO1于1O，ABOO2于2O，连接21OO
，则有
ACOO21//
21
，从而21121AGGOACOO，所以.//11AHOO
HACOOOAHOOACOO21121,
OOO21
～ACH，于是可得：
,1221HHHAHCOOO
且由H为垂心可得：
211GAGOGH
OG
.利用向量表示就是.3OGOH而OG31)(OCOBOA，从而即可
得.1m（本题中Ｏ、Ｇ、Ｈ三点共线，即为欧拉线）.
本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量
的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从
而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证
【解法五】以A为原点，AB所在的直线为x轴，
建立如图所示的直角坐标系.设A(0,0)、B（x1,0）、
C(x2,y2)，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：
112222
,0)(,)(,)22222xxxyxyEFD（、、
由题设可设),(),,2(4231yxHyxO,122(,)33xxyG
212
243
(,)(,)222xxyAHxyOFy，
212
(,)BCxxy
221
221244
2
()()0xxxAHBCAHBCxxxyyyy
•
2122212
2233
2
()()()022222xxyxxxyOFACOFACxyyyy
•
A
O
H
B
C
1
O
1
H
G
2
H
2
O
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精校版
1212212
243
23()(,),)22xxxxxxyOHxyy
2（
22y
21122122212
3
212212212212
2()(,),)3233223()23()1 (,)(,)6321 =3xxxyxxyxxxyOGyxxxxxyxxxxxyOH
222（
62y
66y22y
即=3OHOG，故从而即可得.1m
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系：
（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”；
（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外——垂连线的第一个三分点，即重心到垂心
的距离是重心到外心距离的2倍。
“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.
设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心.则OHOG31
证明 按重心定理 G是△ABC的重心)(31OCOBOAOG
按垂心定理 OCOBOAOH
由此可得 OHOG31.
由以上五种解法，边想边写，杂乱无章，让各位同仁见笑了！另外，各位老师如有别
的好的解法，敬请不吝赐教，谢谢！