特殊的三角代换法证明不等式

特殊的三角代换法证明不等式

换元法是数学中的基本方法，在数学中随处可见，三角代换是换 元法的一种，有其一定的规律性。常见的三角代换法有：

① 若 x 2 y 2

1，可设 x cos , y sin ② x 2 y 2 1，可设 x r cos , y rsin ,( 1 r 1,0 2 ) ③ 若| x | 1,可设x sin

在教学过程中，笔者也研究过其它形式的三角代换的题型。下面 举几例予以说明：

例1 :已知a 0,b 0,求证：丄(a b)

2 分析：此题看上去不适合用三角代换法，实际上如果令 a rcos ,b r sin ,解起来确实不便，然而如果考虑到

a r 2 cos 2 ,

b r 2sin 2 ，则问题迎刃而解。 ，原不等式等价于

则原不等式得证。

例 2：求证 ac bd . a 2 b 2 . c 2 d 2

a r 1 cos ,

b r 1 sin ,

c r 2 cos ,

d r 2 sin

2 - (a b) a b b. a 4

a 0,

b 0,令

证明：令 a r 2 cos 2 , b r 2 sin 2

，(r °,…b Q 2)

1 4

-r 2 即叩 2 1 2 -r 4 1

4 3 ・ r cos sin r cos sin (cos sin (cos sin 而cos sin (cos sin

,2 r 2

r cos sin (cos sin )

证明:令 r i 、a 2 b 2,「2 c 2 d 2

贝卩 ac bd r 1 r 2 cos( )r 1r 2 a 2 b 2 c 2 d 2

.

证明完毕

证明：原式可化为

证明完毕。

例4:对于任意正数x,y ,若不等式x 2 2xy a(x y)恒成立，求 a 的取值范围。

解：x 0,y 0,原不等式可化为 a x 2 2xy

x y

即求x 2 2xy 的最大值，

x 2 2xy 的最大值为2，即a 的取值范围为 (2 , + 乂)

x y

从上面的例子可以看出，如能灵活运用三角代换法，则在证明很 多类型的不等式时利用三角函数的有界性可大大简化论证过程， 从而 节省解题时间。 例3:已知：3x 2 2xy 求证：|x y | .. 6 令 x cos ,x y sin ，则x ..2 sin

| x y | | 2x (x y) | | 2 cos .2 sin | 22 . 2 2 2 2 令 x r cos ,y 2 ・2 r

sin (0,-) x 2 2xy x y 1 cos2

2 2 2 2 2 ・ 2

2*2r cos r sin 2

r

1 3 .

2 sin2 sin(2 r 2 cos cos 2 2 sin 2