浅谈用换元法证明不等式
例谈数学解题中的换元法
例谈数学解题中的换元法如果用新的未知量或变量替换原来的未知量或变量，求出新的未知量或变量后，再利用替换关系式求出原来的未知量或变量的方法，叫做辅助元素法，简称换元法。
其中，新的未知量叫做辅助元素，简称辅助元。
某些数学问题通过这种“换元”，往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题途径。
1、若(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x, y, z成等差数列。
（1979年）分析：作变换a=x-y, b=y-z，问题化为(a+b)2-4ab=0a=b。
问题已变得十分简单明了。
2、设对所有实数x，不等式x2log2＞0恒成立，求a的取值范围。
（1987年）分析：作变换m=log2，则原式变为(3+m)x2-2mx+2m＞0。
其对一切x∈R恒成立的充要条件完全暴露为：。
由此解出0＜a＜1。
3、设复数z1和z2满足关系式=0，其中A为不等于0的复数，证明：（1）|z1+A|·|z2+A|=|A|2；（2）。
（1987年）分析：作变换α=z1+A，β=z2+A，则z1=α-A，z2=β-A，代入条件式，并化简得α=|A|2。
（1）|z1+A||z2+A|=|α||β|=|α|||=|α|=|A|2；（2），∴。
4、求同时满足下列条件的所有复数z：（1）z+∈R且1＜z+≤6；（2）z的实部与虚部均为整数。
（1992年）分析：设t=z+，则t∈R，且1＜t≤6，∴z2-tz+10=0。
由条件知Δ=t2-40＜0。
再由求根公式知z=±。
∵是整数，∴t=2,4, 6。
当t=2时，z=1±3i；当t=4时，z的虚部不为整数，舍去；当t=6时，z=3±i。
故所求的复数是z=1±3i或3±i。
换元法不仅是一个重要的数学解题方法，而且也是解高考题的热点方法之一，掌握它的关键在于通过观察、联想发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。
活用换元法 巧证不等式
１ ３ ＋ ５
等）１ ＋ ＋ 等＋ ＿ ＋ Ｚ等） 古（ ）
证 明：将条件等式变形为 （ ） ：２ 一 ， ＋ ） ，
≥ ４ ６ ×一 ＝ ． ｝×＋ ＋ 一 × ２
【 评析】 对于一些分母 较为复杂、变元较多的问题，我们往
往可 以引入一些新 的变量进行代换 ，以简化其结构 ，优化形 式， 使原来较 复杂的 问题化 繁为简 ，变成我们 熟悉的基本 问题 ，体
＋
＿
１
１
、
三 角换元 。纵横联 系
１ ６ｙ一百 ，
于 是
＝
例 １ 实数 ，Ｙ满足等式 一 ｘ ＋Ｚ２ ２ ２ｙ ｙ＝ ，求证 ：一 ／ ≤ 、 而一
＋Ｙ ≤ ．
＋
分 析 ：本题 关键 是 由条件 等式寻找 实数 ，Ｙ之 间的联 系 ，
三 角换 元是 不 错 的 选择 ．
【 评析】三角函数蕴含 着丰富的公 式和 性质 ，巧妙地运 用这 些性质可以顺利地解决许多综合 问题．如三角函数中有 以下三个
这 （ ｃⅡ ） ｃｎ６ ｚ｝ Ⅱ６ｃ 里 ： ６ 一）， ＋一） ＝ （ 一） 十 ，＝ （ ， ＋
待证不等式等价于（ ＋ ） ｚ ） ， ） （ ＋ ） ＋， ｚ ｙ 。。 ＋ （ 一 ＋ ： ， （— （ ， （ ）
现 了化 归 的 思想 ．
即 （
设
Ｖ ２
嘉 ，
＝ｃｓ ， ｏｎ ０ ）
解得 ＝、 ｃｓ ＋、 ｓ ０ Ｙ ／ ｉ０ ／ ｏ０ ／ ｉ ， ＝、 ｓ ， ｎ ｎ
所以 ＋Ｙ ＝
ｓ ＝＿ ３ ｉ ｎ Ｖ －
一
三、参数换元 。改头换面 例 ３ 设 口 ，ｃ为—个三角形三边的边长 ，证明 （ ｂ ＋ ，ｂ ａ— ） ６ｃ６一ｃ ＋ｃ （ ２（ ） ２ ｃ—ａ ａ ）≥０ ．并指出等号成立 的条件． 分析 ：待证 不等式对三 角形的 边 ａ ，ｃ不仅是 正数 ，而 ，ｂ 且还 满足 Ⅱ ＜ｂ＋Ｃ ，ｂ＜Ｃ ，ｃ ＋ａ ＜ａ＋ ，如何利 用这些条件 ，通 ｂ
运用换元法 巧证不等式
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运用换元法巧证不等式
作者：陶兴模
来源：《数学教学通讯(高考数学)》2008年第04期
对于分式不等式问题，我们希望分母尽可能简单，然而，在一般情况之下，所给的分式不等式的分母都较为复杂，为了使分式中各个分母变得简单一些，我们可以将分式中的每一个分母作为一个整体来看待，分别用一个字母去替换它，这样，就可以将分母简单化，将整个问题化繁为简，化难为易，这种证明方法我们把它称为分母整体换元法，下面，我们利用整体换元法来证明某些分式不等式问题。
换元法证明不等式课件
题目2
利用换元法证明 $frac{x}{1 + x} leq ln(1 + x) leq x$。
题目3
利用换元法证明 $frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{1}{k} < ln n < frac{1}{n} sum_{k=1}^{n} frac{1}{k^2}$。
详细描述
在证明不等式时，我们可以引入三角函数，将问题转化为与三角函数性 质相关的问题。例如，利用三角函数的单调性、有界性等性质，可以简 化不等式的证明过程。
示例
证明$a^2 + b^2 geq 2ab$，可以通过引入三角函数$sin^2 x + cos^2 x = 1$，将原不等式转化为$sin^2 x + cos^2 x geq 2sin x cos x$，再利用三角函数的性质进行证明。
在完成证明后，应再次检查整个证明过程，确保其逻辑严密、无错误。
05
总结与展望
换元法证明不等式的优势与局限性
优势
换元法是一种灵活的方法，能够将复杂的不等式问题转化为更易于处理的形式 ，从而简化证明过程。通过引入适当的变量替换，可以消除某些项或简化表达 式，使得不等式的结构更加清晰，易于推导。
局限性
ห้องสมุดไป่ตู้
VS
可能的改进
在理论方面，可以深入研究换元法的理论 基础和原理，以更好地理解和掌握这一方 法。在实践方面，可以总结和归纳更多有 效的换元技巧和策略，以提高解决不等式 问题的效率。同时，也可以借助计算机科 学和数学软件的发展，开发更高效的算法 和工具来支持换元法的应用。
不等式的几种证明方法及其应用
不等式的几种证明方法及其应用不等式的证明方法多种多样，常用的证法有初等数学中的综合法、分析法、比较法和数学归纳法等，高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、凹凸性等方法．本文将对其中一些典型证法给出系统的归纳与总结，并以例题的形式展示这些方法的应用．1 利用构造法证明不等式“所谓构造思想方法就是指在解决数学问题的过程中，为完成从条件向结论的转化，利用数学问题的特殊性设计一个新的关系结构系统，找到解决原问题的具体方法．利用构造思想方法不是直接解决原问题，而是构造与原问题相关或等价的新问题．”)52](1[P 在证明不等式的问题中，构造思想方法常有以下几种形式：1.1 构造函数证明不等式构造函数指根据所给不等式的特征，巧妙地构造适当的函数，然后利用一元二次函数的判别式或函数的有界性、单调性、奇偶性等来证明不等式．1.1.1 利用判别式在含有两个或两个以上字母的不等式中，若根据题中所给的条件，能与一元二次函数有关或能通过等价形式转化为一元二次函数的，都可考虑使用判别式法．例1 设R z y x ∈,,，证明0)(322≥+++++z y x z y xy x 成立． 解 令22233)3()(z yz y x z y x x f +++++=为x 的二次函数． 由2222)(3)33(4)3(z y z yz y z y +-=++-+=∆知0≤∆，所以0)(≥x f ． 故0)(322≥+++++z y x z y xy x 恒成立．对于某些不等式，若能根据题设条件和结论，结合判别式的结构特征，通过构造二项平方和函数)(x f =(11b x a -)2＋(x a 2－22)b ＋…＋2)(n n b x a -，由0)(≥x f 得出0≤∆，从而即可得出所需证的不等式．例2 设+∈R d c b a ,,,，且1=+++d c b a ，求证614141414<+++++++d c b a )18](2[P ．证明 令)(x f =(x a 14+－1)2＋(114-+x b )2＋)114(-+x c 2＋)114(-+x d 2=4)14141414(282++++++++-x d c b a x (因为1=+++d c b a )．由0)(≥x f 得0≤∆ 即0128)14141414(42≤-+++++++d c b a ．所以62414141414<≤+++++++d c b a ．1.1.2 利用函数有界性若题设中给出了所证不等式中各个变量的变化范围，可考虑利用函数的有界性来证明，具体做法是将所证不等式视为某个变量的函数．例3 设,1,1,1<<<c b a 求证1->++ca bc ab )18](2[P ． 证明 令1)()(+++=ac x c a x f 为x 的一次函数． 因为,1,1<<c a 所以0)1)(1(1)1(>++=+++=c a ac c a f ，0)1)(1(1)()1(>--=+++-=-c a ac c a f ．即∀)1,1(-∈x ，恒有0)(>x f ．又因为)1,1(-∈b ，所以0)(>b f ， 即01>+++ca bc ab ． 1.1.3 利用函数单调性在某些问题中，若各种式子出现统一的结构，这时可根据这种结构构造函数，把各种式子看作同一函数在不同点的函数值，再由函数的单调性使问题得到解决．例４ 求证121212121111n n n na a a a aa a a a a a a +++≤++++++++++)53](1[P ．分析 通过观察可发现式中各项的结构均相似于式子M M +1，于是构造函数xxx f +=1)()0(≥x ．证明 构造函数xxx f +=1)( )0(≥x ． 因为0)1(1)(2'>+=x x f ， 所以)(x f 在),0[+∞上严格递增．令n a a a x +++= 211，n a a a x +++= 212． 因为21x x ≤，所以)()(21x f x f ≤． 所以≤+++++++nn a a a a a a 21211nn a a a a a a +++++++ 21211=+++++na a a a 2111++++++ n a a a a 2121nna a a a ++++ 211nna a a a a a ++++++≤1112211 ．1.1.4 利用函数奇偶性 例５ 求证221xx x <-)0(≠x ．证明 设)(x f 221x x x --=，对)(x f 进行整理得)(x f )21(2)21(xx x -+=， )(x f -＝)21(2)21(xx x ---+-＝)12(2)12(-+-x x x ＝)21(2)21(x x x -+＝)(x f ， 所以)(x f 是偶函数．当0>x 时，12>x ，所以021<-x，所以0)(<x f ． 由偶函数的图象关于y 轴对称知，当0<x 时，0)(<x f ． 即 当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221xx x <- )0(≠x ． 注意 由以上几种情况可以看出，如何构造适当的函数并利用函数的性质来证明不等式是解题的关键．1.2 构造几何图形证明不等式构造几何图形，就是把题中的元素用一些点或线来取代，使题中的各种数量关系得以在图中表现出来，然后借助几何图形的直观性或几何知识来寻求问题的解答．一般是在问题的条件中数量关系有明显的几何意义，或可以通过某种方式与几何形（体）建立联系时宜采用此方法.)52](1[P 这种方法十分巧妙且有效，它体现了数形结合的优越性．下面将具体介绍用几何法证明不等式的几种途径：1.2.1 构造三角形)1](3[P例６ 已知z y x ,,为正数，求证22y xy x ++＋22z xz x ++＞22z yz y ++．分析 注意到︒-+=++120cos 22222xy y x y xy x ，于是22y xy x ++可看作是以y x ,为两边，夹角为︒120的三角形的第三边，由此，易得出下面的证明:证 如图1 ，在BC A ∆内取一点O ，分别连接OC OB OA ,,，使图1B︒=∠=∠=∠120COA BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,则22y xy x AB ++=，22z xz x AC ++=，22z yz y BC ++=．由BC AC AB >+， 即得所要证明的不等式．注 该题可做如下推广:已知z y x ,,为正数，πα<<0，πβ<<0，πγ<<0，且πγβα2=++，求证++-22cos 2y xy x α>+-22cos 2z xz x β22cos 2z yz y +-γ，令γβα,,为满足条件的特殊角可设计出一系列的不等式．例7 已知正数k n m c b a ,,,,,满足p k c n b m a =+=+=+,求证2p cm bk an <++． 证明 如图2，构造边长为p 的正三角形ABC ，在边BC AB ,,上依次截取 n FA b CF k EC c BE m DB a AD ======,,,,,．因为ABC FEC DBE ADF S S S S ∆∆∆∆<++所以243434343p bk cm an <++， 即2p cm bk an <++． 1.2.2 构造正方形)1](3[P例8 已知+∈R x ,d c b a ,,,均是小于x 的正数，求证+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c x a x d 4)(22<-+．分析 观察不等式的左边各式，易联想到用勾股定理，每个式子代表一直角三角形的一斜边，且)()()()(d x d c x c b x b a x a -+=-+=-+=-+，所以可构造边长为x 的正方形．证明 如图3，构造边长为x 的正方形ABCD ，在边DA CD BC AB ,,,上 依次截取,a AE =,a x EB -=,d BF =c CG d x FC =-=,，b DHc x GD =-=,，b x HA -=．则四边形EFGH 的周长为+-+22)(b x a +-+22)(c x b +-+22)(d x c 22)(a x d -+．由三角形两边之和大于第三边知，四边形EFGH 的周长小于正方形ABCD 的周长， 从而命题得证．1.2.3 构造矩形图2x-c 图3例9 已知z y x ,,为正数，证明))((z y y x yz xy ++≤+．分析 两个数的乘积，可看作以这两个数为边长的矩形的面积，也可以看成以这两个数为直角边长的三角形面积的两倍．证明 如图4 ，造矩形ABCD ，使,y CD AB ==,x BE =,z EC =设α=∠AED ．由AED ECD ABE ABCD S S S S ∆∆∆++=矩形知 =+)(z x y ++yz xy 2121αsin ))((21z y y x ++． 化简得αsin ))((z y y x yz xy ++=+．因为1sin 0≤<α，所以))((z y y x yz xy ++≤+(当且仅当︒=90α时，等号成立)．1.2.4 构造三棱锥例10 设,0,0,0>>>z y x 求证22y xy x +->+-+22z yz y 22x zx z +-)129](4[P ．分析 注意到22y xy x +-︒-+=60cos 222xy y x ，可以表示以y x ,为边， 夹角为︒60的三角形的第三边，同理22z yz y +-，22x zx z +-也有类似意义．证明 如图5，构造顶点为O 的四面体ABC O -，使︒=∠=∠=∠60AOC BOC AOB ，z OC y OB x OA ===,,，则有22y xy x AB +-=，22z yz y BC +-=，22x xz z AC +-=．在ABC ∆中AC BC AB >+，即得原不等式成立．注 该题还可做如下推广:已知z y x ,,为正数，,0πα<<,0πβ<<πγ<<0时πγβα20<++<且,βαγβα+<<-求证22cos 2y xy x +-α+22cos 2z xz x +-β>22cos 2z yz y +-γ.例10便是当︒===60γβα时的特殊情况．1.3 构造对偶式证明不等式对偶思想是根据矛盾双方既对立又统一的二重性，巧妙地构造对偶数列，从而将问题解决的一种思想．⌒ADCBE y x +图4图5OAC例11 求证1212124321+<-⨯⨯⨯n nn ．分析 令=P nn 2124321-⨯⨯⨯ ，由于P 中分子为奇数、分母为偶数，则由奇数的对偶数为偶数可构造出关于P 的一个对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．证明 设=P n n 2124321-⨯⨯⨯ ，构造P 的对偶式Q ，1225432+⨯⨯⨯=n nQ ．因为Q P <<0，所以=<PQ P 2)2124321(n n -⨯⨯⨯ 121)1225432(+=+⨯⨯⨯n n n ．所以121+<n P ，即原不等式成立．注 构造对偶式的途径很多，本题是利用奇偶性来构造对偶式，此外，还可利用倒数关系、相反关系、对称性关系等来构造对偶式．1.4 构造数列证明不等式这种方法一般用于与自然数有关的不等式证明，当问题无法从正面入手时，可考虑将它转化为数列，然后利用数列的单调性来证明．例12 求证:不等式!21n n ≤-，对任何正整数n 都成立)55](1[P ．分析 不等式可变形为,1!21≤-n n n 是正整数，所以可构造数列{},n a 其中1,!211==-a n a n n ，则只需证1a a n ≤即可．对于任意正整数n ，=-+=--+!2)!1(211n n a a n n n n 0)!1(2)1()!1()1(2211≤+-=++---n n n n n n n ， 所以{}n a 是递减数列．所以1a a n ≤，即原命题成立．1.5 构造向量证明不等式向量由于其自身的形与数兼备的特性，使得它成了数形结合的桥梁，也是解决一些问题的有利工具．对于某些不等式的证明，若能借助向量模的意义、数量积的性质等，可使不等式得到较易的证明．1.5.1 利用向量模的性质 例13 已知,,,,R d c b a ∈求证++++2222c b b a 2222a d d c +++)(2d c b a +++≥．证明 在原点为O 的直角坐标系内取四个点：()(),,,,c b b a B b a A ++(),,d c b c b a C ++++(),,a d c b d c b a D ++++++则原问题可转化为+，该不等式显然成立．1.5.2 利用向量的几何特征例14 设{}n a 是由正数组成的等比数列，n S 是前n 项和，求证)31](5[12.022.02.0log 2log log P n n n S S S ++>+． 分析 可将上述不等式转化为,212++<⋅n n n S S S 构造向量，用平行四边形的几何特征来证明．证明 设该等比数列的公比为q ，如图6，构造向量(),,11a a OA =(),,1n n qS qS OB +=()()12111,,+++=++=n n n n S S qS a qS a OC ，则OB OA OC +=，故B C A O ,,,构成平行四边形．由于OB OA ,在对角线OC 的两侧，所以斜率OB OA k k ,中必有一个大于OC k ，另一个小于OC k ．因为{}n a 是由正数组成的等比数列，所以OA n n OC k S S k =<=++121， 所以OC OB k k <， 即<+1n n S S 21++n n S S ． 所以212++<⋅n n n S S S ． 此外，还可以利用向量的数量积证明不等式，一般是根据向量的数量积公式θb a =⋅找出不等关系，如b a ≤⋅≤等，然后利用不等关系证明不等式，在此对这种方法不再举例说明．综上所述，利用构造思想证明不等式时，需对题目进行全面分析，抓住可构造的因素，并借助于与之相关的知识，构造出所求问题的具体形式或是与之等价的新问题，通过解决所构造的问题使原问题获得解决．就构造的对象来说它的表现形式是多样的，这就需要我们牢固的掌握基础知识和解题技巧，综合运用所学知识将问题解决．2 利用换元法证明不等式换元法是数学解题中的一种重要方法，换元的目的是通过换元达到减元，或通过换元得到熟悉的问题形式．换元法主要有以下几种形式：图6O xyABC2.1 三角换元法例15 已知,122≤+y x 求证2222≤-+y xy x ．证明 设θθsin ,cos r y r x ==()10≤≤r ，则=-+222y xy x θθθθ22222sin sin cos 2cos r r r -+θθθ222sin 2sin cos -+=r224sin 22sin 2cos 222≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=r r r πθθθ．注 这种方法一般是已知条件在结构上与三角公式相似时宜采用．若题设为,12=+y x 可设;sin 2,cos θθ==y x 题设为,122=-y x 可设θθtan ,sec ==y x 等．2.2 均值换元法例16 设,1,,,=++∈z y x R z y x 求证31222≥++z y x )12](2[P ．证明 设,31α+=x ,31β+=y ,31γ+=z 其中0=++γβα 则 =++222z y x ++2)31(α++2)31(β=+2)31(γ31)(231222≥++++++γβαγβα(当且仅当γβα==时取等号)．2.3 增量换元法这种方法一般用于对称式(任意互换两个字母顺序，代数式不变)和给定字母顺序的不等式的证明．例17 已知,0>>y x 求证 yx y x -<-)55](6[P ．证明 由,0>>y x 可令t y x += )0(>t ． 因为2)(2t y yt t y t y +=++<+， 所以t y t y +<+， 即y x y x -<-．总之，证明不等式时适当的引进换元，可以比较容易的找到解题思路，但具体使用何种代换，则因题而异，总的目的是化繁为简．3 利用概率方法证明不等式)51](7[P利用概率方法证明不等式，主要是根据实际问题，构造适当的概率模型，然后利用有关结论解决实际问题．3.1利用概率的性质：对任意事件A ，1)(0≤≤A P ，证明不等式例18 证明若,10,10≤≤≤≤b a 则1+≤+≤ab b a ab ．分析 由,10,10≤≤≤≤b a 可把a 看做事件A 发生的概率，b 看做事件B 发生的概率． 证明 设事件A 与B 相互独立，且,)(,)(b B P a A P ==则ab b a B A P B P A P B A P -+=-+=)()()()( ．因为,1)(0≤≤B A P 所以10≤-+≤ab b a ，所以1+≤+≤ab b a ab ．3.2 利用Cauchy-Schwarz 不等式：2))((ξηE ≤22ηξE E 例19 设0>i a ，0>i b ，,2,1=i …n ,， 则 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．证明 设随机变量ξηηξ,,满足下列要求ξ概率分布:P (ξ=i a )=n 1(n i ,,2,1 =)，η概率分布:P (η=i b )=n1(n i ,,2,1 =)，ξη概率分布:⎪⎩⎪⎨⎧≠=== )(0)(1)(j i j i nb a P j i ξη， 则 2ξE ＝∑=n i i a n 121，2ηE ＝∑=n i i b n 121，)(ξηE ＝∑=n i i i b a n 11．由2))((ξηE ≤22ηξE E 得 212)(1∑=n i i i b a n ≤)1)(1(1212∑∑==n i i n i i b n a n ．即 21)(∑=ni i i b a ≤))((1212∑∑==ni in i i ba ．用概率证明不等式比较新颖，开辟了证明不等式的又一途径．但该法用起来不太容易，因为读者必须对概率这部分知识熟悉掌握，才能选择适当的结论加以利用，因此对这种方法只做简单了解即可．4 用微分方法证明不等式在高等数学中我们接触了微分, 用微分方法讨论不等式,为不等式证明方法开辟了新的视野． 4.1利用微分中值定理微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，下面仅给出拉格朗日中值定理、泰勒定理的应用：拉格朗日中值定理)120](8[P 若函数)(x f 在[]b a ,上连续，()b a ,内可导，则在()b a ,内至少存在一点ξ，使得)('ξf ＝ab a f b f --)()(．例20 已知0>b ,求证b b bb<<+arctan 12． 证明 函数x arctan 在[]b ,0上满足拉格朗日中值定理的条件，所以有b arctan －0arctan ＝)0()(arctan '-=b x x ξ＝21ξ+b，),0(b ∈ξ． 而b bx b <+<+2211ξ， 故原不等式成立．泰勒定理)138](8[P 若函数)(x f 在[]b a , 上有直至n 阶的连续导数，在()b a ,内存在()1+n 阶导函数，则对任意给定的0,x x ()b a ,∈，使得10)1(00)(200''00'0)()!1()()(!)()(!2)())(()()(++-++-++-+-+=n n nn x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ 该式又称为带有拉格朗日余项的泰勒公式．例21 设函数)(x f 在[]b a ,上二阶可导，且M x f ≤)(''，,1,0)2(=-=+a b ba f 试证 4)()(M b f a f ≤+)69](9[P ．证明 将函数)(x f 在点20ba x +=展成二阶泰勒公式 ++-+++=)2)(2()2()('b a x b a f b a f x f 2'')2)((21b a x f +-ξ＝)2)(2('ba xb a f +-+＋2'')2)((21b a x f +-ξ． 将b a x ,=代入上式得)21)(2()('b a f a f +-=＋)(811''ξf ，)(81)21)(2(')(2''ξf b a f b f ++=． 相加得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +=+． 取绝对值得))()((81)()(2''1''ξξf f b f a f +≤+≤4M ．4.2 利用极值例22 设12ln ->a 为任一常数，求证xeax x <+-122()0>x )188](10[P ．证明 原问题可转化为求证012)(2>-+-=ax x e x f x)0(>x ．因为0)0(=f ,所以只需证022)('>+-=a x e x f x．由02)(''=-=xe xf 得)('x f 的稳定点2ln =x ．当2ln <x 时，0)(''<x f ． 当2ln >x 时，0)(''>x f ． 所以 02)2ln 1(222ln 22)2(ln )(min ''>+-=+-==>a a f x f x ．所以原不等式成立．4.3 利用函数的凹凸性定义)193](10[P )(x f 在区间I 上有定义，)(x f 称为I 上的凸（凹）函数，当且仅当：21,x x ∀∈I ，有)2(21x x f +≤2)()(21x f x f + （)2(21x x f +≥2)()(21x f x f +）． 推论)201](10[P 若)(x f 在区间I 上有二阶导数，则)(x f 在I 上为凸（凹）函数的充要条件是：0)(''≥x f （0)(''≤x f ）．例23 证明na a a n +++ 21≥n n a a a 21 ),,2,1,0(n i a i =>)125](11[P ．证明 令,ln )(x x f =则01)(,1)(2'''<-==xx f x x f ，所以 x x f ln )(=在()+∞,0上是凹函数，对),0(,,,21+∞∈n a a a 有)ln ln (ln 1ln 2121n n a a a nn a a a +++≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++ ，所以na a a n +++ 21≥nn a a a 21．例24 对任意实数,,b a 有)(212b ab a e e e+≤+)80](12[P ．证明 设xe xf =)(，则),(,0)(''+∞-∞∈>=x e x f x，所以)(x f 为),(+∞-∞上凸函数．从而对b x a x ==21,有2)()()2(b f a f b a f +≤+． 即)(212b ab a e e e+≤+． 5 利用几个著名的不等式来证明不等式5.1 均值不等式)133](4[P定理 1 设n a a a ,,,21 是n 个正数，则)()()()(n Q n A n G n H ≤≤≤称为均值不等式，其中,111)(21na a a nn H +++=,)(21n n a a a n G =,)(21na a a n A n+++=na a a n Q n22221)(+++=分别称为n a a a ,,,21 的调和平均值，几何平均值，算术平均值，均方根平均值．例25 已知,10<<a ,02=+y x 求证812log )(log +≤+a yx a a a ． 证明 由,10<<a ,0,0>>yxa a 有y x y x y x a a a a a +=⋅≥+22，从而得22log )2(log )(log yx a a a a y x a y x a ++=≤++， 故现在只需证812≤+y x 或 41≤+y x 即可． 而4141)21(22≤+--=-=+x x x y x (当21=x 时取等号)，所以812log )(log +≤+a yx a a a ．5.2 Cauchy 不等式 定理2)135](4[P 设),,2,1(,n i R b a i i =∈，则∑∑∑===≥⋅n i ni i i ni ii b a ba 121122,)(当且仅当nn a b a b a b === 2211时等号成立. 例26 证明三角不等式 2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ≤2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i a ＋2112⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=ni i b )33](12[P ．证明 因为∑=+ni i ib a12)(＝∑=+ni i i i a b a 1)(＋∑=+ni i i i b b a 1)(根据Cauchy 不等式，可得∑=+ni i i ia b a1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i n i i i a b a ． （1）∑=+ni i i i b b a 1)(≤211212)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∑==ni i ni i ib b a ． （2） 把（1）（2）两个式子相加，再除以2112)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑=ni i i b a ，即得原式成立．5.3 Schwarz 不等式Cauchy 不等式的积分形式称为Schwarz 不等式． 定理3)271](10[P )(),(x g x f 在[]b a ,上可积，则⎰⎰⎰≤b ababadx x g dx x f dx x g x f .)()())()((222若)(),(x g x f 在[]b a ,上连续，其中等号当且仅当存在常数βα,，使得)()(x g x f βα≡时成立(βα,不同时为零)．例27 已知)(x f 在[]b a ,上连续，,1)(=⎰badx x f k 为任意实数，求证2)cos )((⎰bakxdx x f 1)sin )((2≤+⎰b akxdx x f )272](10[P ．证明 上式左端应用Schwarz 不等式得2)cos )((⎰bakxdx x f 2)cos )(()(⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰badx kx x f x f⎰⎰⋅≤babakxdx x f dx x f 2cos )()(⎰=bakxdx x f 2cos )(． (1)同理2)sin )((⎰bakxdx x f ⎰≤bakxdx x f 2sin )(． (2)由(1)+(2)即得原不等式成立． 5.4 利用W.H.Young 不等式 定理4)288](10[P 设)(x f 单调递增，在),0[+∞上连续，,0)0(=f )(,0,1x fb a ->表示)(x f 的反函数，则⎰⎰-+≤bady y f dx x f ab 010,)()(其中等号当且仅当b a f =)(时成立．例28 设,0,>b a ,1>p ,111=+qp 试证q b p a ab q p +≤)290](10[P ．证明 因为,1>p 所以1)(-=p xx f 单调递增且连续 (当0≥x 时)，1111)(---==q p y yy f )111(-=-q p ． 应用W.H.Young 不等式有 qb p a dy y f dx x f ab qp ba+=+≤⎰⎰-01)()(．。
浅谈不等式的证明方法
1作差比较法2作商比较法3换元法换元法：换元法是指结构较为复杂、量与量之间关系不很明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式。
用换元法证明不等式时一定要注意新元的约束条件及整体置换策略。
三角代换是4放缩法放缩法：即缩小或放宽不等式的范围的方法，常用在多项式中"舍掉一些正（负）项"，使不等式之和变小（大），或"在分式中放大（缩小）分式的分子或分母"，"在乘积中用较大（较小）的因式"等效法，来证明不等式.放缩法：欲证A>B ，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得B<B 1，B 1≤B 2，…B i ≤A ，再利用传递性，达到欲证的目的，这种方法叫做放缩法。
浅谈不等式的证明方法■文/郭东旭吉林省扶余县第一中学数学组摘要：不等式，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。
因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。
在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。
而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，它既是中学数学教学中的难点，也是数学竞赛培训的难点，近年也演变为竞赛命题的热点，因其证明不仅蕴涵了丰富的逻辑推理、非常讲究的恒等和不等变形技巧，而且证明过程千姿百态，极易出错，因此，有必要对不等式的证明方法和技巧进行总结归纳并与大家一起分享交流。
关键词：不等式；证明方法；证明技巧；换元法作差比较法：比较两个实数大小的关键是，判断差的正负，常采用配方法、因式分解法、有理化等方法。
常用的结论有2200x x ³-£³£，，|x|0，-|x|0等。
“作差法”的一般步骤是：①作差；②变形；③判断符号；④得出结论.例1.若10<<x ，证明)1(log )1(log x x a a +>-（0>a 且1¹a ）。
解不等式的几种常见思路
解不等式的几种常见思路一、证明不等式常用思路：不等式的证明思路和方法有：比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法；换元法、常数代换法、几何法、数学归纳法、构造函数法等。
（换元法是一个需要专门讨论的方法，这里暂不举例）1、比较法：比较法证明不等式的一般步骤：作差（作商）—变形—判断—结论．作差法：差与“0”比较。
为了判断作差后的符号，经常需要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，判断其正负．作商法：商与“1”相比较。
作商时，需要满足两者均为正数。
2、综合法（顺推）：综合法是指从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后得到结论，其特点是“执因索果”，即由“已知”，利用已经证明过的不等式或不等式的性质逐步推向“未知”。
综合法证明不等式的逻辑关系是：A B1B2…Bn B，及从已知条件A 出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B.3、分析法（逆推）：从求证的结论出发，分析使这个结论成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”．即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”。
4、放缩法：要证明不等式A<B 成立，借助一个或多个中间变量通过适当的放大或缩小达到证明不等式的方法．放缩法证明不等式的理论依据主要有：①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较．常用的放缩技巧有：①应用均值不等式进行放缩；②舍掉(或加进)一些项；③在分式中放大或缩小分子或分母。
5、反证法：即从正难则反的角度去思考，要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定A>B. 凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不可能”、“不存在”等词语时，可以考虑用反证法．6、常数代换法常数代换是指利用某些带有常数项的恒等式，把常量化为变量代入到所求证的式子中，以到达化繁为简的目的。
不等式证明中的换元法
数学竞赛辅导资料 不等式证明中的换元法不等式的证明因其方法灵活多变，综合性强而成为高中数学的一个难点，在各类数学竞赛中，不等式的证明问题是一个热点。
所谓换元法，就是将所要证明的不等式中的字母作适当的代换，变换数学式的形式，以显化其内在结构的本质，从而达到简化证题的过程。
一、 均值换元法若题中有X a a a n =+++ 21的条件时，常可考虑作如下换元，设),,2,1(n i t n X a i i =+=，此时021=++n t t t ，由于nX 是n a a a ,,,21 的平均值，故称之为均值换元法。
例 1 已知e d c b a ,,,,是满足16,822222=++++=++++e d c b a e d c b a 是实数，求证：5160≤≤e二、 三角换元法三角换元是指将不等式中的字母换成角的三角函数形式,再运用三角知识解题。
例2 实数y x ,满足55422=+-y xy x ，求证：310131022≤+≤y x 。
三、 增量换元法若b a ≥，可设t b a +=，其中t 为增量，故这种换元叫做增量换元法。
例3 已知c b a >>，求证：ca cb b a -≥-+-411。
四、 整体换元法有些不等式的证明，若从局部入手困难，不妨把整体看作一个元来处理，这就是整体换元。
例4 求证：3tan sec tan sec 312222≤+-≤xx x x五、 分式换元法对于含有约束条件121=+++n a a a 的某些不等式，可考虑换元：),,,2,1(21n i a ni i =++=αααα由于把不等式中的字母换成了分式，故称之为分式换元法。
例5 已知+∈R x x x x 4321,,,，且1111111114321=+++++++x x x x ，求证：814321≥x x x x 。
六、 分母换元法一些分母复杂的分式不等式的证明，可考虑将分母换元，以使分母变得简洁些，进而把问题解决，故称此法为分母换元法。
怎样用换元法证明不等式
怎样用换元法证明不等式陆世永我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。
人们在证明不等式时创造了许多方法,其中有换元法。
下面我们探索怎样用换元法证明不等式。
所谓“换元法”就是根据不等式的结构特征,选择适当的变量代换,从而化繁为简,或实现某种转化,以便证题。
其换元的实质是转化,关键是构造和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。
一、利用对称性换元,化繁为简例1 设,,,+∈R c b a 求证:()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥. 分析:经过观察,我们发现,把c b a ,,中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令=-+=y a c b x ,,b a c -+,c b a z -+=则原不等式可化为:()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+.这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。
证明:令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,,则()z y a +=21,(),21z x b +=()y x c +=21. ,,,+∈R c b a 0<∴xyz 当时,有()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+；当0>xyz 时,有+∈R z y x ,,(否则z y x ,,中必有两个不为正值,不妨设0≤x ,0≤y ,则0≤c ,这与0>c 矛盾), 因此02>≥+xy y x ,,02>≥+yz z y ,02>≥+zx x z()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+,综上所述,恒有()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+,把z y x ,,代入上式得:()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥.例2 设R c b a ∈,,,求证:()()()[]22222222ca bc ab c b a c b a++-++++≥()()[]22222ca bc ab c b a c b a ++-++++ .分析:类似于例1,我们不难发现,这也是一个对称不等式,因此可考虑令,c b a x ++=,222c b a y ++=,ca bc ab z ++=则原不等式可化为2()02≥-z z y .这是一个简单的不等式,由已知条件可证该不等式,因此我们可按上述换元证明原不等式。
用换元法突破基本不等式问题的几种策略
用换元法突破基本不等式问题的几种策略基本不等式是高中数学的重点内容之一，是现行高考的重点和热点，是我们解决许多数学问题的重要工具．对运用基本不等式求较复杂的最值问题，很多学习者掌握起来有一定的难度．本文介绍运用换元法来处理此类问题的几种策略，希望对读者有所帮助．一、运用换元法，将问题化归为两种基本模型来解现行苏教版必修 5 教科书给出了两种重要的模型(P 110 例题 3；习题 10．9练习 16)． 模型1 已知正数x ，y 满足1ax by +=，求m n x y+的最小值．（其中a 、b 、m 、n 为正常数） 模型2 已知a ，b 为正的常数，正数x ，y 满足1a b x y+=，求mx ny +的最小值． 为什么教材的编写者给出这两种基本模型?笔者认为主要是这两种情况下，分式的分母相对简单，便于学习者掌控(合理地进行系数配凑)．例1 若0,0a b >>，且11121a b b +=++，则2a b +的最小值是________． 解法 1 令2,1a b x b y +=+=，则问题转化为已知正数x ，y 满足111x y +=，求1332222a b x y +=+-的最小值．运用模型2，()(1113133132344222222y x a b x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++-=++-≥+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当x =，即12a b ==． 解法2 设2211sin ,cos .0,212x x x a b b π⎛⎫==∈ ⎪++⎝⎭， 则22211tan ,1tan 2tan b x a x x⎛⎫==+- ⎪⎝⎭，从而22111123tan 222tan a b x x ⎛⎫+=++≥ ⎪⎝⎭当2tan x． 变式1 已知a ，b 为正数，且1a b +=，则22231a b p a b ++=++的最小值是______． 解 令1b x +=，则2a x +=，即122ax +=．所以()22(1)312122()2233x x a p a a x x a a x a x a x a x -+⎛⎫⎛⎫=++=+++-=++=++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当x =，即2,3a b ==-时等号成立．所以，p 的最小值是3+．二、通过换元，将陌生的问题转化为熟悉的问题例2 已知x ，y 为正实数，则44x y x y x y+++的最大值为_______． 分析 这个问题最大的难点在于分母都是多项式，不利于掌控，可以想到通过换元把分母转化为一个字母(单项式)．解 设4,x y a x y b +=+=，则40,0,,33a b b a a b x y -->>==．于是48148443333x y b a x y x y a b ⎛⎫+=-+≤ ⎪++⎝⎭， 当2a b =，即2x y =时等号成立． 故所求的最大值是43． 变式2 是否存在常数c ，使得不等式2222x y x y c x y x y x y x y +≤≤+++++对任意正数x ，y 恒成立？试证明你的结论．解 令2,2x y a x y b +=+=，则22,33b a a b x y --==． 一方面，22222333x y b a x y x y a b ⎛⎫+=+-≥ ⎪++⎝⎭， 当a b =，即x y =时等号成立，所以23c ≥； 令一方面，41422=2233333x y a b x y x y b a ⎛⎫+-+≤-= ⎪++⎝⎭， 当a b =，即x y =时等号成立，所以23c ≤． 综上，存在23c =，使得命题成立． 变式3 已知正实数a ，b 满足21a b +=，则2214a b ab++的最小值为_______． 分析 这个问题貌似与两种模型相似，但仔细分析发现又大相径庭．如果按照2a b +进行整理，再通过换元可以转化为利用函数的单调性求简单函数的最值问题．解 由21a b +=≥108ab <≤．令ab t =，则()22211114241414a b a b ab ab t ab ab ab t++=++-=--=+-． 易知1()14h t t t =+-在1(0,]8上是减函数，故18t =时，()h t 取得最小值172． 变式4 已知实数x ，y 满足1xy =，且20x y >>，则2242x y x y+-的最小值为_______． 解 设20x y a -=>，则224(2)44422x y x y xy t x y x y t+-+==+≥--， 当2t =时，即12,2x y ==时等号成立． 所以，所求表达式的最小值为4．变式5 设34a b c >>，493344m a b b c a c+≥---恒成立，求实数m 的最小值． 解 令3,34a b x b c y -=-=，则0,0x y >>，4a c x y -=+， 原不等式等价于49m x y x y+≥+, 从而()494913y x m x y x y x y ⎛⎫≤++=++ ⎪⎝⎭． 又4912y x x y+≥，当32y x =时等号成立． 所以，m 的最小值是25．变式6 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1113,,a a a 成等比数列．若11a =，数列{}n a 的前n 项和是n S ，则2163n n S a ++的最小值是_______． 解 由23113a a a =，得2(12)112d d +=+，解得2d =． 故221,n n a n S n =-=． 所以2221621683221n n S n n a n n +++==+++． 令1t n =+，则2169243n n S t a t+=+-≥+， 当3t =，即2n =时等号成立．故所求的最小值是4．例3 已知正实数x ，y 满足24310x y x y+++=，求xy 的取值范围． 分析 问题给出的表达式中既有整式，又有分式，而求的是xy 的取值范围．如果将分母去掉，就会出现,,x y xy 及22,x y xy 五个量，如果令0xy t =>作为变量的话，可以消去一个变量，得到相应解法．解 设0xy t =>，则t y x =，条件变为23410t x x x x t +++=．故423101t x t x +⎛⎫=++≥ ⎪⎝⎭81,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． 即xy 的取值范围是81,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 变式7 已知0,0x y >>，且满足18102y x x y +++=，则2x y +的最大值为______． 解 设2t x y =+，则18102t x y ++=，即有18102t x y +=-．结合柯西不等式，可得()218210182t x y t x y ⎛⎫⎛⎫++=-≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()18(2)0t t --≤，得到218t ≤≤，当且仅当3,12x y ==时等号成立．故所求的最大值为18．变式8 设实数11,2x y >>，不等式224211x y p y x ≤+--恒成立，求实数p 的最大值． 解 令21y a -=，1x b -=，则0a >，0b >，且22224(1)(1)211x y b a y x a b+++=+--228⎛≥=≥= ⎝， 当a b =，即2x y =时等号成立．所以，p 的最大值是8．三、换元转化为非基本不等式问题例4 若实数a ，b 满足a =a 的最大值是_________．解 0x ≥0y =≥，则22,4b y a b x =-=．故2224x y a x y +==+， 即22480x y x y +--=，亦即22(2)(2)20x y -+-=．令2,4,0,2x t y t t π⎡⎤-=-=∈⎢⎥⎣⎦，则2281010sin()20a x y t t t ϕ=+=+++=++≤， 当2t πϕ+=时等号成立．所以，a 的最大值是20．变式9 设,,a b c 为直角ABC ∆的三边长，其中c 为斜边长，求使得333a b c k abc++≥成立的最大k 的值．分析 因为ABC ∆为直角三角形，且c 为斜边，考虑三角换元将多元最值问题转化为一元最值问题．解 不妨设sin ,cos ,0,2a c x b c x x π⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭，则 33333sin cos 1(sin cos )(1sin cos )1sin cos sin cos a b c x x x x x x u abc x x x x +++++-+===．令sin cos )4t x x x π=+=+∈，则21sin cos 2t x x -=，可得2()1u f t t t ==--．由函数()f t 在单调递减，得min ()2f t f ==于是，k 的最大值是2变式10 已知正实数a ，b 满足221a b +=，3321(1)a b m a b ++=++，求实数m 的最小值． 分析 问题中含有三个未知数a 、b 、m ，而且次数比较高，正面直接处理比较棘手．由221a b +=，可以考虑用三角换元来处理．解 设cos a x =，sin b x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则333sin cos 1(sin cos 1)x x m x x ++=++，再令sin cos )4t x x x π=+=+∈， 于是23111(1)2t t t m ⎛⎫--+=+ ⎪⎝⎭，整理得 21312(1)21t m t t -⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭．注意到31t +在[]1,2t ∈时为减函数，所以1122m ⎛≥-= ⎝，即m 的最小值是2． 基本不等式问题的解题方法很多，其中换元法是将复杂的基本不等式问题转化为简单问题或者熟悉问题的重要策略．笔者相信，只要学习者能认真总结提炼，就一定能从根本上把握基本不等式问题的解题技巧，做到游刃有余．。
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浅谈用换元法证明不等式刘景（茂名学院高州师范分院数学与计算机系 307数学1班）[摘要]换元法是数学中的一个基本方法。
在不等式的证明过程中，按照所证不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗，从而使不等式变得容易证明，这种方法称为换元法。
换元的目的是把合命题化简、化熟，把复杂的、不熟悉的命题化为简单的、熟悉的命题。
换元法在许多实际问题的解决中可以起到化难为易、化繁为简的作用，有些问题直接证明较为困难，但若通过换元的思想与方法来解就很方便，换元法多用于条件不等式的证明中。
[关键词]换元；不等式；化繁为简不等式的概念：作为表达同类量之间的大小关系的一种数学形式，不等式必须在定义了大小关系的有序集合上研究．由于复数域没有定义大小，所以不等式中的数或字母表示的数都是实数．用符号＞或＜联结两个解析式所成的式子，称为不等式．不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。
要处理好不等式的证明，必须注意：1、熟练地掌握不等式的基本性质、重要不等式。
2、扎实的掌握不等式证明的常规方法。
3、注意和其他知识联系和综合运用。
4、不断地总结证明不等式的规律和技巧，不断地从正反两方面汲取解题经验。
我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。
人们在证明不等式时创造了许多方法（比较法、综合法、分析法、辨别式法、构造函数法、反证法、放缩法等等）,其中有换元法。
解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
不等式的证明有三难：证明入口难，条件使用难，变形方向难．如果用换元法，引进恰当的新元素，可将题目中分散的条件联系起来，或把隐含的条件显示出来，或把条件与结论联系起来，或变形为熟悉的问题．因此，换元法常常可以攻破三道难关。
下面我们探索怎样用换元法证明不等式的几种方法。
一、几何换元法例1、在△ABC 中，b CA a BC c AB ===,,,内切圆交AB 、BC 、CA 分别于D 、E 、F ，如图1，则可设x z c z y b y x a +=+=+=,,,其中0,0,0>>>z y x 。
几何换元法能达到利用等式反映出三角形任意两边之和大于第三边的不等关系的功效。
设c b a ,,为三角形三边，求证：3≥-++-++-+cb ac b c a b a c b a图1证明：设,,,x z c z y b y x a +=+=+=，其中0,,>z y x 则c b a c b c a b a c b a -++-++-+=yx z x z y z y x 222+++++ =⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x x y y z x y x z z x 21322221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅≥y x x y y z z y x z z x 原不等式得证。
在证明不等式时，我们可以根据题意结合几何图形进行分析、换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式。
二、利用对称性换元,化繁为简例2、 设,,,+∈R c b a 求证:()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥.分析:经过观察,我们发现,把c b a ,,中的两个互换,不等式不变,说明这是一个对称不等式,如果我们令=-+=y a c b x ,,b a c -+,c b a z -+=则原不等式可化为:()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+.这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。
证明:令c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,,则()z y a +=21,(),21z x b +=()y x c +=21. ,,,+∈R c b a 0<∴xyz 当时,有()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+；当0>xyz 时,有+∈R z y x ,,(否则z y x ,,中必有两个不为正值,不妨设0≤x ,0≤y ,则0≤c ,这与0>c 矛盾), 因此02>≥+xy y x ,,02>≥+yz z y ,02>≥+zx x z()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+,综上所述,恒有，()()()xyz x z z y y x 8≥+⋅+⋅+把z y x ,,代入上式得: ()()()c b a b a c a c b abc -+⋅-+⋅-+≥三、增量换元法若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一个变量。
从不等式的结构整体把握，适度进行变量代换，可使问题简单明了。
例3、 已知2,2>>b a ，求证：ab b a <+证明：设n b m a +=+=2,2显然0,0>>n m则()()n m n m ab b a ++-+++=-+2222mn n m n m ----++=2244故ab b a <+四、三角换元法三角换元法是高等数学中的一种重要方法,在初等数学中也有着较广泛的应用。
有的问题应用三角换元法去解,不仅可化难为易,使得解题简便,而且能让学生养成“一题多解”的习惯,开扩视野,发展思维,加深对函数概念和等价变换更加探入的理解。
应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
把问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x 、y 适合条件x ＋y ＝r （r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。
例4、（1） 若,122≤+y x 求证:2222≤-+y xy x .分析:由,122≤+y x 知点()y x ,在圆122=+y x 的内部或边界上,因此可以考虑变换:,sin θr x =θcos r y = ()πθ20,10<≤≤≤r .证明:设,sin θr x =θcos r y = ()πθ20,10<≤≤≤r , 则 222y xy x -+θθ2sin 2cos 2+=r ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤42cos 22πθr 22r ≤2≤. （2）如果,2111,1,,=++>zy x z y x 且 证明：.111-+-+-≥++z y x z y x 分析：证此题不但根式不好处理，而且条件”且、、“21111=++>zy x z y x 也难以派上用场。
看来这里的换元既要把不等式的根式化掉，又要把条件式中的分母去掉，因此，这里的换元要有“一石二鸟”的功效。
证明：设γβα、、都是锐角，则1cos 1cos 1cos 11cos cos cos 0222222>>><<γβαγβα且、、作三角换元：γβα222cos 1,cos 1,cos 1===z y x 则条件式简化为：2cos cos cos 111222=++=++γβαz y x ： 即 1sin sin sin 222=++γβα ①待证的不等式变形为1cos 11cos 11cos 1cos 1cos 1cos 1222222-+-+-≥++γβαγβα 即 γγββααγβαcos sin cos sin cos sin cos 1cos 1cos 1222++≥++ ② 注意到式①对式②用柯西不等式有γγββααcos sin cos sin cos sin ++γβαγβα222222cos 1cos 1cos 1sin sin sin ++⋅++≤ γβα222cos 1cos 1cos 1++= ③ 当且仅当 γγββααcos sin cos sin cos sin ⋅=⋅=⋅即 γβα==时，式③等号成立。
故式②成立。
所以，等式得证。
从例4（1），（2）可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质来证明不等式。
根据具体问题，实施的代换方法还有：1、若122=+b a ，可设.sin ,cos a b a a ==2、若122≤+b a ，可设().10sin ,cos ≤≤==r a r b a r a3、对于21x -，1≤x ，由.sin ,cos 1sin ,1cos θθθθ==≤≤x x 或知，可设或4、对于21x +，.cot ,tan ,θθ==∈x x R x 或可设5、对于12-x ，.csc ,sec 1csc ,1sec ,1θθθθ==≥≥≥x x x 或知，可设或由6、若().tan ,tan ,tan ,π=++====++C B A Cz B y A x xyz z y x 可设五、均值换元法当题目中出现x+y=2k 的条件时，可设x=k+t ，y=k-t(k 、t 均为实数)来解题，这种方法称为均值换元法。
使用均值换元法能达到减元的目的，往往能使问题由难变易，证明更加简捷直观有效。
在遇到已知条件给出一个等式，如a+b=1，且a ≠b ，a>0，b>0时，可以肯定其中必有一个大于它们的平均数 ，另一个小于它们的平均数 ，不妨令a= +m ，b= -m ，从而将两个未知数a 、b 通过换元转化成关于m 这一个未知数的不等式，从而使证明简单化。
例5、 已知R b a ∈,且1=+b a ，求证：()()2252222≥+++b a 证明：因为R b a ∈,且1=+b a 所以设()R t t b t a ∈-=+=21,21 则：()()222222122122⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++t t b a 222525⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=t t 22522252≥+=t 即()()225222≥+++b b a 原不等式得证。
六、向量换元法例6、已知1,,=+∈+b a R b a ，求证：221212≤+++b a 分析：将不等式变形为12122121121+++⨯≤+⨯++⨯b a b a ，观察其结构我们可联想到在学习两个向量的内积时有这样一个性质：||||b a b a ⋅≤⋅及2211b a b a b a ⋅+⋅=⋅ 。