高考理科数学第一轮复习试题-课时提升作业(七十四) 选修4-4 2
高考数学课时提能演练(七十四) 选修4-2.1
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课时提能演练(七十四)1. 设6p q xy 1M ,N p q 51x y --⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，若M=N ，求x,y,p,q. 2.曲线C 1:x 2+2y 2=1在矩阵12M 01⎛⎫= ⎪⎝⎭的作用下变换为曲线C 2，求C 2的方程. 3.(易错题)已知△ABC 的三个顶点A(0，0)，B(4，0)，C(0，3).△ABC 在矩阵10M 02⎛⎫= ⎪⎝⎭对应的变换作用下变为△A ′B ′C ′,求△A ′B ′C ′的面积. 4.若一个变换所对应的矩阵是1002-⎛⎫ ⎪⎝⎭，求抛物线y 2=-4x 在这个变换下所得到的曲线的方程.5.(2012·南通模拟)将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程.6.已知a,b 为实数，如果a 1A 0b ⎛⎫= ⎪⎝⎭所对应的变换T 把直线x-y=1变换为自身，试求a,b 的值.7.(2012· 福州模拟)O(0,0),A(0,-4),B(2),设△AOB 在矩阵4334-⎛⎫⎪⎝⎭所对应的变换作用下得到△A ′OB ′,求∠OA ′B ′和△A ′OB ′的面积.8.已知曲线C:x 2+y 2=1在矩阵M 对应的变换作用下得到曲线C ′:22x y 1,4+=求矩阵M.9.(预测题)二阶矩阵M 对应变换将点(1,2)和(2,1)分别变换成(5,1)和(4,-1).(1)求矩阵M;(2)求矩阵M 将圆x 2+y 2=1变换后的方程.10.试求曲线y=sinx 在矩阵1022⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭变换下的曲线方程.答案解析1.【解析】∵M=N ，∴xy 6x y 5p q 1p q 1=⎧⎪+=⎪⎨-=-⎪⎪+=⎩，解得x 2y 3p 0q 1=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩或x 3y 2.p 0q 1=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩ 2.【解题指南】利用变换公式表示出变换前的点坐标，代入曲线C 1的方程即可. 【解析】设P(x,y)为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′,y ′)为曲线C 1上与P 对应的点， 则12x x ,01y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭即x x 2y x x 2y .y y y y='+''=-⎧⎧⇒⎨⎨=''=⎩⎩ ∵P ′是曲线C 1上的点，∴C=的方程为(x-2y)2+2y 2=1. 3.【解析】由题意1000 0200⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1044 02001000 0236⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，∴A ′(0,0),B ′(4,0),C ′(0,6)，∴A B C 1S 4612.2'''=⨯⨯=V4.【解析】设P(x,y)为y 2=-4x 上任意一点，P ′(x ′，y ′)为变换后所得曲线上对应P 的点，由题意x x,y 2y '=-⎧⎨'=⎩∴x x y y 2=-'⎧⎪⎨'=⎪⎩，∴2y ()4(x ),2'=--'即2y 16x.'=' ∴抛物线y 2=-4x 经变换后的曲线方程为y 2=16x.5.【解析】由题意,得旋转变换矩阵cos45sin4522M .sin45cos45⎛-︒-︒⎛⎫⎪== ⎪︒︒⎪⎝⎭⎪⎭设xy=1上的任意点P ′(x ′,y ′)在变换矩阵M 作用下为P(x,y),x x 22,y y 22⎛-'⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪' ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∴x y 22x y x y 22'-'⎪⎪=⎨⎪='+'⎪⎩， 得22y x 122-=，故将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°,所得曲线的方程为22y x 1.22-= 6.【解题指南】解答本题可先利用变换公式求出变换后的直线方程，再利用系数关系求a,b.【解析】设点(x,y)是直线x-y=1上任意一点.在变换T 作用下的对应点为 (x ′,y ′)，则a 1x x 0b y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴x ax yy by'=+⎧⎨'=⎩， 由题意x ′-y ′=1，∴ax+y-by=1,即ax+(1-b)y=1， ∴a 1,1b 1=⎧⎨-=-⎩∴a 1.b 2=⎧⎨=⎩7.【解析】∵43435543505555 ,34340534555555⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪-⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭gg g g 又∵矩阵5005⎛⎫ ⎪⎝⎭和43553455⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭所对应的变换分别是位似变换和旋转变换, ∴△A ′OB ′∽△AOB,且OA ′=5OA,∵O(0,0),A(0,-4),B(2),∴∠OA ′B ′=∠OAB=30°,S △A ′OB ′=25S △AOB= 8.【解析】在曲线C 上任取一点P(x,y),点P 在矩阵M 作用下得点P ′(x ′,y ′), 设M=a b ,c d ⎛⎫ ⎪⎝⎭则a b x x ,c d y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ∴x ax by ,y cx dy'=+⎧⎨'=+⎩由题意1x x 2y y ⎧='⎪⎨⎪='⎩，即x 2x,y y '=⎧⎨'=⎩ ∴a=2，b=0，c=0，d=1,∴M=20.01⎛⎫⎪⎝⎭9.【解析】(1)设矩阵M=a b ,c d ⎛⎫⎪⎝⎭则由M 15521⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和M 2411⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，得a 2b 5c 2d 1,2a b 42c d 1+=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=-⎩解得a 1b 2c 1d 1=⎧⎪=⎪⎨=-⎪⎪=⎩，所以M=12.11⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (2)设点P(x,y)是圆x 2+y 2=1上的任意一点，变换后的点为P ′(x ′,y ′)， 则M x x ,y y '⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭所以x x 2y y x y '=+⎧⎨'=-+⎩，从而1x (x 2y )3,1y (x y )3⎧='-'⎪⎪⎨⎪='+'⎪⎩代入x 2+y 2=1并化简得(x ′-2y ′)2+(x ′+y ′)2=9，即(x-2y)2+(x+y)2=9.10.【解析】设(x,y)是曲线y=sinx 上任意一点,在矩阵1022⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭的变换下对应的点为(x ′,y ′)则1x x 0 ,2y y 02⎛⎫'⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴1x x 2y 2y⎧'=⎪⎨⎪'=⎩， ∴x 2x 1y y 2='⎧⎪⎨='⎪⎩代入y=sinx 得12y ′=sin2x ′即y ′=2sin2x ′ 即曲线y=sinx 在矩阵1022⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭变换下的曲线方程为y=2sin2x.。
2021年高考数学(理)一轮复习讲义 选修4-4 第2讲 高效演练分层突破
[基础题组练]1．(2020·四川广元模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin(θ＋π3)． (1)求曲线C 的直角坐标方程．(2)设点M 的直角坐标为(0，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |＋|MB |的值． 解：(1)把ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3，展开得ρ＝2sin θ＋2 3 cos θ，两边同乘ρ得ρ2＝2ρsin θ＋23ρcos θ ①.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入①，即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x －2y ＝0 ②.(2)将⎩⎨⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t代入②式，得t 2＋33t ＋3＝0，点M 的直角坐标为(0，3)．设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－33，t 1·t 2＝3， 所以t 1<0，t 2<0.则由参数t 的几何意义即得|MA |＋|MB |＝|t 1＋t 2|＝3 3.2．(2020·太原模拟)在直角坐标系中，圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝t sin φ(t 为参数)被圆C 截得的弦长为23，求直线l 的倾斜角．解：(1)圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos α，y ＝3＋2sin α，消去参数α得(x －1)2＋(y －3)2＝4，即x 2＋y 2－2x －23y ＝0，因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.所以ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0，ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3. (2)因为直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝t sin φ的极坐标方程为θ＝φ，当θ＝φ时ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝2 3. 即cos ⎝⎛⎭⎫φ－π3＝32， 所以φ－π3＝π6或φ－π3＝－π6.所以φ＝π2或φ＝π6，所以直线l 的倾斜角为π6或π2.3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值． 解：(1)因为ρ＝21－cos θ，所以ρ－ρcos θ＝2， 即ρ＝ρcos θ＋2.因为x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0. 所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0.(2)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，所以2x ＋y ＋4＝0.所以曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0.因为M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，所以|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值． 不妨设M 2(r 2－1，2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫r ＋122＋345≥325＝3510， 当且仅当r ＝－12时取等号．所以|M 1M 2|的最小值为3510.4．在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6. (1)写出曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝⎛⎭⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值．解：(1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6， 所以ρ2＝4ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎫32sin θ－12cos θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1；曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2x－23y ＝0.(2)点A ⎝⎛⎭⎫22，π4，则⎩⎨⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2，2)．因为直线l 过点A (2，2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sinπ3(t 为参数)，代入x 29＋y 24＝1中可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[综合题组练]1．(2020·广州模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋7cos α，y ＝7sin α(α为参数)．以O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(1)求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 1，C 2在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为曲线C 2上的动点，求△P AB 面积的最大值．解：(1)依题意得，曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝7，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－3＝0.直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .(2)曲线C 2的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝16， 设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π3，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3， 则ρ21－4ρ1cos π3－3＝0，即ρ21－2ρ1－3＝0， 得ρ1＝3或ρ1＝－1(舍)，又ρ2＝8cos π3＝4，则|AB |＝|ρ2－ρ1|＝1.C 2(4，0)到l 的距离d ＝|43|4＝23，以AB 为底边的△P AB 的高的最大值为4＋23，则△P AB 的面积的最大值为12×1×(4＋23)＝2＋ 3.2．(2020·南昌模拟)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝2，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2P cos θ(P >0)．(1)求直线l 过点(－2，－4)的参数方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于N ，Q 两点，M (－2，－4)，且|NQ |2＝|MN |·|MQ |，求实数P 的值．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的极坐标方程，得直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.所以直线l 过点(－2，－4)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)．(2)由ρsin 2θ＝2P cos θ(P >0)， 得(ρsin θ)2＝2Pρcos θ(P >0)，将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入，得y 2＝2Px (P >0)．将直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，得t 2－22(4＋P )t ＋8(4＋P )＝0，(*)Δ＝8P (4＋P )>0.设点N ，Q 分别对应参数t 1，t 2，恰好为上述方程的根， 则|MN |＝t 1，|MQ |＝t 2，|NQ |＝|t 1－t 2|.由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|. 由(*)得t 1＋t 2＝22(4＋P )，t 1t 2＝8(4＋P )>0， 则有(4＋P )2－5(4＋P )＝0，得P ＝1或P ＝－4.因为P >0，所以P ＝1.3．(2020·栖霞模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，a >0)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－4 2. (1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝23时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，求实数a 的取值范围．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝－42，得到ρ(cos θ－sin θ)＝－8， 因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以直线l 的普通方程为x －y ＋8＝0.设P (23cos t ，2sin t )，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos t －2sin t ＋8|2＝|4sin ⎝⎛⎭⎫t －π3－8|2＝22|sin ⎝⎛⎭⎫t －π3－2|， 当sin ⎝⎛⎭⎫t －π3＝1时，d min ＝22， 所以点P 到直线l 的距离的最小值为2 2.(2)设曲线C 上任意点P (a cos t ，2sin t )，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方， 所以a cos t －2sin t ＋8>0对任意t ∈R 恒成立． a 2＋4sin(t －φ)<8，其中cos φ＝2a 2＋4，sin φ＝a a 2＋4.从而a 2＋4<8.由于a >0，解得0<a <215. 即a ∈(0，215)．4．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△P AB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t ，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2. 由ρcos (θ＋π4)＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2，0)，B (0，2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝⎛⎭⎫2，π2， 设点P 的坐标为(－5＋2cos t ，3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝|－6＋2cos ⎝⎛⎭⎫t ＋π4|2.所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2. 所以△P AB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4.。
北师大版理科高考数学一轮复习学案练习课时分层训练74不等式的证明
课时分层训练(七十四) 不等式的证明1．设a ，b 是非负实数，求证：a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．[证明] 因为a 2＋b 2－ab (a ＋b )＝(a 2－a ab )＋(b 2－b ab )＝a a (a －b )＋b b (b －a )＝(a －b )(a a －b b )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 12－b 12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 32－b 32. 因为a ≥0，b ≥0，所以不论a ≥b ≥0，还是0≤a ≤b ，都有a 12－b 12与a 32－b 32同号，所以(a 12－b 12) (a 32－b 32)≥0，所以a 2＋b 2≥ab (a ＋b )．2．设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小.【导学号：79140400】[解] (1)由|2x －1|<1得－1<2x －1<1，解得0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0<a <1,0<b <1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.故ab ＋1>a ＋b .3．(2017·石家庄模拟)已知函数f (x )＝|x |＋|x －1|.(1)若f (x )≥|m －1|恒成立，求实数m 的最大值M ；(2)在(1)成立的条件下，正实数a ，b 满足a 2＋b 2＝M ，证明：a ＋b ≥2ab .[解] (1)∵f (x )＝|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，当且仅当0≤x ≤1时取等号，∴f (x )＝|x |＋|x －1|的最小值为1.要使f (x )≥|m －1|恒成立，只需|m －1|≤1，∴0≤m ≤2，则m 的最大值M ＝2.(2)证明：由(1)知，a 2＋b 2＝2，由a 2＋b 2≥2ab ，知ab ≤1.①又a ＋b ≥2ab ，则(a ＋b )ab ≥2ab . 由①知，ab ≤1.故a ＋b ≥2ab .4．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，求(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值．[解] 由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2， ∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2.∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499， 当且仅当a －12＝b ＋22＝c －3时等号成立，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499. 5．已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1]．(1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc＝1. 求证：a ＋2b ＋3c ≥9.[解] (1)因为f (x )＝k －|x －3|，所以f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k ，由|x |≤k 有解，得k ≥0，且解集为[－k ，k ]．因为f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1]．因此k ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，因为a ，b ，c 为正实数． 所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b ＋2b a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3c ＋3c a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3c ＋3c 2b ≥3＋2a 2b ·2b a ＋2a 3c ·3c a ＋22b 3c ·3c 2b＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立．因此a ＋2b ＋3c ≥9.6．(2018·福州质检)已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ；(2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b ).【导学号：79140401】最新高考数学一轮复习 学案练习[解] (1)①当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＜－2x －2，解得x ＜－1；②当－1＜x ＜－12时，原不等式可化为x ＋1＜－2x －2，解得x ＜－1，此时原不等式无解；③当x ≥－12时，原不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}．(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以，要证f (ab )＞f (a )－f (－b )，只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |，即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2，即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0，即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立．。
高考数学一轮复习课时检测 选修44 第一节 坐标系 理
选修4-4 第一节 坐标系1．已知伸缩变换表达式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝2x ，y ′＝13y ，曲线C 在此变换下变为椭圆x ′24＋y ′2＝1，求曲线C 的方程． 解：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝13y ，∴将其代入方程x ′24＋y ′2＝1， 得2x 24＋(13y )2＝1， 即x 2＋y 29＝1， 故曲线C 的方程为x 2＋y 29＝1. 2．已知圆M 的极坐标方程为ρ2－42ρcos(θ－π4)＋6＝0，求ρ的最大值． 解：原方程化为ρ2－42ρ(22cos θ＋22sin θ)＋6＝0， 即ρ2－4(ρcos θ＋ρsin θ)＋6＝0.∴圆的直角坐标方程为 x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.圆心为M (2,2)，半径为 2.∴ρmax ＝|OM |＋2＝22＋2＝3 2.3．已知两点A ，B 的极坐标分别为(4，π2)，(4，π6)． (1)求A ，B 两点间的距离；(2)求直线AB 的极坐标方程．解：(1)∠AOB ＝π2－π6＝π3， ∴△OAB 为正三角形，故AB ＝4.(2)设O 在直线AB 上的射影为H ，则H 的坐标为(23，π3)． 设P (ρ，θ)为直线AB 上任一点，则由△OPH 为直角三角形得ρcos(θ－π3)＝23， 即为所求的直线AB 的极坐标方程． 4．已知P (5，2π3)，O 为极点，求使△POP ′为正三角形的P ′点的坐标． 解：设P ′(ρ1，θ1)，∵△POP ′为正三角形，如图∴∠POP ′＝60°.∴θ1＝2π3－π3＝π3或θ1＝2π3＋π3＝π，ρ1＝5. ∴P ′(5，π3)或P ′(5，π)． 5．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2. (1)把圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4所以x 2＋y 2＝4；因为ρ2－22ρcos(θ－π4)＝2， 所以ρ2－22ρ(cos θcosπ4＋sin θsin π4)＝2. 所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，即ρsin(θ＋π4)＝22. 6．在极坐标方程中，曲线C 的方程为ρ＝4sin θ，过点M (4，π6)作曲线C 的切线，求切线长．解：∵ρ＝4sin θ化为普通方程为x 2＋(y －2)2＝4.而点M (4，π6)化为直角坐标为M (23，2)， ∴由勾股定理，得切线长为232＋2－22－22＝2 2.即切线长为2 2.7．在极坐标系中，圆C 的圆心C (6，π6)，半径r ＝6. (1)写出圆C 的极坐标方程；(2)若Q 点在圆C 上运动，P 在OQ 的延长线上，且OQ ∶QP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．解：(1)圆C 的极坐标方程ρ＝12cos(θ－π6)． (2)设P 的坐标为(ρ，θ)，因为P 在OQ 的延长线上，又OQ ∶QP ＝3∶2.所以点Q 的坐标为(35ρ，θ)， 若Q 点在圆C 上运动，则35ρ＝12cos(θ－π6)， 即ρ＝20cos(θ－π6)． 故点P 的轨迹方程为ρ＝20cos(θ－π6)． 8．从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使OM ·OP ＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上的任意一点，试求|RP |的最小值．解：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，M 的极坐标为(ρ0，θ)，则ρρ0＝12. ∵ρ0cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ即为所求的轨迹方程．(2)将ρ＝3cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2＝3x ，即(x －32)2＋y 2＝(32)2， 知P 的轨迹是以(32，0)为圆心，半径为32的圆．直线l 的直角坐标方程是x ＝4.结合图形易得|RP |的最小值为1。
2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课时跟踪检测：(七十四) 变量间的相关关系、统计案例 Word版含解析
课时跟踪检测（七十四） 变量间的相关关系、统计案例一、题点全面练1.根据如下样本数据：得到的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则( ) A.a ^＞0，b ^＞0 B.a ^＞0，b ^＜0 C.a ^＜0，b ^＞0D.a ^＜0，b ^＜0解析：选B 根据给出的数据可发现：整体上y 与x 呈现负相关，所以b ^＜0，由样本点(3,4.0)及(4,2.5)可知a ^＞0，故选B.2.随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表.由K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，得K 2＝100×(45×22－20×13)265×35×58×42≈9.616.参照下表，正确的结论是( A.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别有关” B.在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“生育意愿与城市级别无关” C.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关” D.有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别无关”解析：选C ∵K 2≈9.616＞6.635，∴有99%以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”，故选C.3.(2018·哈尔滨一模)千年潮未落，风起再扬帆，为实现“两个一百年”奋斗目标、实现中华民族伟大复兴的中国梦奠定坚实基础，某校积极响应国家号召，不断加大拔尖人才的培养力度，据不完全统计：根据上表可得回归方程y ＝b x ＋a 中的b 为1.35，该校2018届同学在学科竞赛中获省级一等奖及以上的学生人数为63，据此模型预测该校今年被清华、北大等世界名校录取的学生人数为( )A.111B.117C.118D.123解析：选B 因为x ＝53，y ＝103.5，所以a ^＝y －b ^x ＝103.5－1.35×53＝31.95，所以回归直线方程为y ^＝1.35x ＋31.95.当x ＝63时，代入解得y ^＝117，故选B.4.某考察团对10个城市的职工人均工资x (千元)与居民人均消费y (千元)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且线性回归方程为y ^＝0.6x ＋1.2.若某城市职工人均工资为5千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为( )A.66%B.67%C.79%D.84%解析：选D ∵y 与x 具有线性相关关系，且满足回归方程y ^＝0.6x ＋1.2，该城市居民人均工资为x ＝5，∴可以估计该城市的职工人均消费水平y ＝0.6×5＋1.2＝4.2，∴可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为4.25＝84%.5.某炼钢厂废品率x (%)与成本y (元/吨)的线性回归直线方程为y ^＝105.492＋42.569x .当成本控制在176.5元/吨时，可以预计生产的1 000吨钢中，约有________吨钢是废品(结果保留两位小数).解析：因为176.5＝105.492＋42.569x ，解得x ≈1.668，即当成本控制在176.5元/吨时，废品率约为1.668%，所以生产的1 000吨钢中，约有1 000×1.668%＝16.68吨是废品.答案：16.686.在一次考试中，5名学生的数学和物理成绩如下表：(已知学生的数学和物理成绩具有线性相关关系)现已知其线性回归方程为y ^＝0.36x ＋a ^，则根据此线性回归方程估计数学得90分的同学的物理成绩为________.(四舍五入到整数)解析：x ＝60＋65＋70＋75＋805＝70，y ＝62＋64＋66＋68＋705＝66，所以66＝0.36×70＋a ^，即a ^＝40.8， 即线性回归方程为y ^＝0.36x ＋40.8.当x ＝90时，y ^＝0.36×90＋40.8＝73.2≈73. 答案：737.经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的线性回归直线方程：y ^＝0.245x ＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元.解析：x 变为x ＋1，y ^＝0.245(x ＋1)＋0.321＝0.245x ＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元.答案：0.2458.已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：根据以上信息，判断下列结论：①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系； ②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.其中正确的个数为________.解析：由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩可能比乙同学的物理成绩高，故③错误.综上，正确的个数为1.答案：19.(2019·泉州一模)某测试团队为了研究“饮酒”对“驾车安全”的影响，随机选取100名驾驶员先后在无酒状态、酒后状态下进行“停车距离”测试，测试的方案：电脑模拟驾驶，以某速度匀速行驶，记录下驾驶员的“停车距离”(驾驶员从看到意外情况到车子停下所需要的距离)，无酒状态与酒后状态下的试验数据分别列于下表.表1(1)求a ，b 的值，并估计驾驶员无酒状态下停车距离的平均数； (2)根据最小二乘法，由表2的数据计算y 关于x 的回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(3)该测试团队认为：若驾驶员酒后驾车的平均“停车距离”y 大于(1)中无酒状态下的停车距离平均数的3倍，则认定驾驶员是“醉驾”.请根据(2)中的回归方程，预测当每毫升血液酒精含量大于多少毫克时为“醉驾”？附：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x .解：(1)依题意，得610a ＝50－26，解得a ＝40.又a ＋b ＋36＝100，解得b ＝24，故停车距离的平均数为 15×26100＋25×40100＋35×24100＋45×8100＋55×2100＝27.(2)依题意，可知x ＝50，y ＝60，∑i ＝15x i y i ＝10×30＋30×50＋50×60＋70×70＋90×90＝17 800，∑i ＝15x 2i ＝102＋302＋502＋702＋902＝16 500，所以b ^＝17 800－5×50×6016 500－5×502＝0.7，a ^＝60－0.7×50＝25， 所以回归直线方程为y ^＝0.7x ＋25.(3)由(1)知当y ＞81时，认定驾驶员是“醉驾”. 令y ^＞81，得0.7x ＋25＞81，解得x ＞80，则当每毫升血液酒精含量大于80毫克时认定为“醉驾”.10.(2018·豫南九校联考)下表为2015年至2018年某百货零售企业的线下销售额(单位：万元)，其中年份代码x ＝年份—2014.(1)已知y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测2019年该百货零售企业的线下销售额；(2)随着网络购物的飞速发展，有不少顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长表示怀疑，某调查平台为了解顾客对该百货零售企业的线下销售额持续增长的看法，随机调查了55位男顾客、50位女顾客(每位顾客从“持乐观态度”和“持不乐观态度”中任选一种)，其中对该百货零售企业的线下销售额持续增长持乐观态度的男顾客有10人、女顾客有20人，能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关？参考公式及数据：b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解：(1)由题意得x ＝2.5，y＝200，∑i ＝14x 2i ＝30，∑i ＝14x i y i ＝2 355，所以b ^＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x2＝2 355－4×2.5×20030－4×2.52＝71，所以a ^＝y －b ^x ＝200－71×2.5＝22.5， 所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝71x ＋22.5.由于2 019－2 014＝5，所以当x ＝5时，y ^＝71×5＋22.5＝377.5，所以预测2019年该百货零售企业的线下销售额为377.5万元.(2)由题可得2×2列联表如下：故K 2＝105×(10×30－45×20)255×50×30×75≈6.109.由于6.109＞5.024，所以可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为对该百货零售企业的线下销售额持续增长所持的态度与性别有关.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1.(2019·济南诊断)某中学学生会为了调查爱好游泳运动与性别是否有关，通过随机询问110名性别不同的高中生是否爱好游泳运动，得到如下的列联表.由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )并参照附表，得到的正确结论是()附表：A.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”B.在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别无关”C.有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”D.有99.9%的把握认为“爱好游泳运动与性别无关”解析：选A 因为K 2＝110×(40×30－20×20)260×50×60×50≈7.822＞6.635，所以有99%的把握认为“爱好游泳运动与性别有关”，所以在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好游泳运动与性别有关”.2.已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^＞b ′，a ^＞a ′ B.b ^＞b ′，a ^＜a ′ C.b ^＜ b ′，a ^＞a ′D.b ^＜b ′，a ^＜a ′解析：选C 由两组数据(1,0)和(2,2)可求得直线方程为y ＝2x －2，b ′＝2，a ′＝－2.而利用线性回归方程的公式与已知表格中的数据，可求得b ^＝∑i ＝16x i y i －6x ·y ∑i ＝16x 2i －6x2＝58－6×72×13691－6×⎝⎛⎭⎫722＝57，a ^＝y －b ^x ＝136－57×72＝－13，所以b ^＜b ′，a ^＞a ′. 3.为了研究某班学生的脚长x (单位：cm)和身高y (单位：cm)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其线性回归方程为y^＝b ^x ＋a ^.已知∑i ＝110x i ＝225，∑i ＝110y i ＝1 600，b ^＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )A.160B.163C.166D.170解析：选C ∵∑i ＝110x i ＝225，∴x ＝110∑i ＝110x i ＝22.5.∵∑i ＝110y i ＝1 600，∴y ＝110∑i ＝110y i ＝160.又b ^＝4，∴a ^＝y －b ^x ＝160－4×22.5＝70. ∴线性回归方程为y ^＝4x ＋70.将x ＝24代入上式，得y ^＝4×24＋70＝166. (二)素养专练——学会更学通4.[数学运算]某高中学校对全体学生进行体育达标测试，每人测试A ，B 两个项目，每个项目满分均为60分.从全体学生中随机抽取了100人，分别统计他们A ，B 两个项目的测试成绩，得到A 项目测试成绩的频率分布直方图和B 项目测试成绩的频数分布表如下：B 项目测试成绩频数分布表(1)在抽取的100人中，求A 项目等级为优秀的人数；(2)已知A 项目等级为优秀的学生中女生有14人，A 项目等级为一般或良好的学生中女生有34人，试完成下列2×2列联表，并分析是否有95%以上的把握认为“A 项目等级为优秀”与性别有关？(3)将样本的概率作为总体的概率，并假设A项目和B项目测试成绩互不影响，现从该校学生中随机抽取1人进行调查，试估计其A项目等级比B项目等级高的概率.参考数据：参考公式K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解：(1)由A项目测试成绩频率分布直方图，得A项目等级为优秀的频率为0.04×10＝0.4，所以A项目等级为优秀的人数为0.4×100＝40.(2)由(1)知A项目等级为优秀的学生中，女生数为14人，男生数为26人.A项目等级为一般或良好的学生中，女生数为34人，男生数为26人.作出如下2×2列联表：则K2＝100×(26×34－26×14)240×60×48×52≈4.514.由于4.514＞3.841，所以有95%以上的把握认为“A项目等级为优秀”与性别有关.(3)设“A项目等级比B项目等级高”为事件C.记“A项目等级为良好”为事件A1，“A项目等级为优秀”为事件A2，“B项目等级为一般”为事件B0，“B项目等级为良好”为事件B1.于是P(A1)＝(0.02＋0.02)×10＝0.4，P(A2)＝0.4.由频率估计概率得P(B0)＝2＋3＋5100＝0.1，P(B1)＝15＋40100＝0.55.因为事件A i与B j相互独立，其中i＝1,2，j＝0,1，所以P(C)＝P(A1B0＋A2B0＋A2B1)＝0.4×0.1＋0.4×0.1＋0.4×0.55＝0.3.所以随机抽取一名学生，其A项目等级比B项目等级高的概率为0.3.5.[数据分析]下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位：亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.解：(1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元).利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元).(2)利用模型②得到的预测值更可靠. 理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^＝99＋17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.(以上给出了2种理由，学生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)。
2020版高考数学人教版理科一轮复习 选修4 选4-4-2 (8)
1 3
y′＝
sin2x′，即y′＝3sin2x′，所以y＝sinx的方程变为y＝3sin2x.
知识点二
极坐标系
1．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O，叫做__极___点___，从
O点引一条射线Ox，叫做_极___轴___，再选定一个长度单位、一个角度单
位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就确定了一个极
已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－ 2 2ρcosθ－π4＝2. (1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．
解：(1)由 ρ＝2 知 ρ2＝4，所以圆 O1 的直角坐标方程为 x2＋y2 ＝4.
因为 ρ2－2 2ρcosθ－π4＝2，所以 ρ2－2 2 ρcosθcosπ4＋sinθsinπ4＝2，所以圆 O2 的直角坐标方程为 x2＋y2－ 2x－2y－2＝0.
得ρ2＝3＋4 3，
∴B(3＋4 3，π3)．
∴S△AOB＝12ρ1ρ2sin∠AOB
＝12(4＋3 3)(3＋4 3)sin(π3－π6)
＝12＋254
3 .
极坐标方程的应用主要有以下两种方法： 1转化为直角坐标方程，利用解析几何的方法解决； 2利用极坐标方程中ρ，θ的几何意义解决与长度、角度有关的问题.
＝2，故k＝0或k＝
4 3
.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公
共点；当k＝43时，l2与C2没有公共点．
综上，所求C1的方程为y＝－43|x|＋2.
方向2 利用极坐标的几何意义解题 【例4】 (2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy中，曲线C的参
数方程是
x＝3＋5cosα， y＝4＋5sinα
高考理科第一轮复习练习(选修4-1第1节全等与相似)
课时提升作业(七十四)一、选择题1.在△ABC中,MN∥BC,MC,NB交于O,则图中相似三角形的对数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)42.如图所示,给出下列条件:①∠B=∠ACD;②∠ADC=∠ACB;③=;④AC2=AD·AB,其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)43.如图,在平行四边形ABCD中,已知AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为6,则△CDF的面积为( )(A)12 (B)24 (C)18 (D)54二、填空题4.如图,已知D为△ABC中AC边的中点,AE∥BC,ED交AB于G,交BC延长线于F,若BG∶GA=3∶1,BC=8,则AE= .5.(2013·西安模拟)如图所示,已知在△ABC中,∠C=90°,正方形DEFC内接于△ABC,DE∥AC,EF∥BC,AC=1,BC=2,则AF∶FC等于.6.(2013·永州模拟)如图,△ABC中,BC=4,∠BAC=120°,AD⊥BC,过B作CA的垂线,交CA的延长线于E,交DA的延长线于F,则AF= .三、解答题7.已知如图,在△ABC中,AB=AC,BD⊥AC,点D是垂足,求证:BC2=2CD·AC.8.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BD与AC相交于点O,过点O的直线分别交AB,CD于点E,F,且EF∥BC,若AD=12,BC=20,求EF.9.(2013·宿州模拟)如图,在正△AB C中,点D,E分别在边AC,AB上,且AD=AC,AE=AB,BD,CE相交于点F.(1)求证:A,E,F,D四点共圆.(2)若正△ABC的边长为2,求A,E,F,D所在圆的半径.10.如图,在▱ABCD中,AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,交CD于点E,F,AE,BF相交于点M.(1)试说明:AE⊥BF.(2)判断线段DF与CE的大小关系,并予以证明.11.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,E,F是BC边上的两点,∠EAF=45°.求证:EF2=BE2+CF2.12.如图,▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=CD.(1)求证:△ABF∽△CEB.(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.答案解析1.【解析】选B.根据条件知,△MNO∽△CBO,△AMN∽△ABC.2.【解析】选C.①②利用有两角分别对应相等的两个三角形相似;③两边对应成比例不能判断两个三角形相似;④利用有一角相等且此角的两边对应成比例的两个三角形相似.3.【解析】选D.由题设,AE∶EB=1∶2,∴AE∶AB=1∶3,∴AE∶CD=1∶3.又AE∥CD,∴△AEF∽△CDF,∴==.又∵△AEF的面积为6,∴S△CDF=9S△AEF=54,故选D.4.【解析】∵AE∥BC,D为AC的中点,∴AE=CF,==.设AE=x,又BC=8,∴=,∴x=4,∴AE=4.答案:45.【解析】设正方形边长为x,则由△AFE∽△ACB,可得=,即=,所以x=,于是AF∶FC=1∶2.答案:1∶26.【解析】设AE=x,∵∠BAC=120°,∴∠EAB=60°.又AE⊥EB,∴AB=2x,BE=x,∴==.在Rt△AEF与Rt△BEC中,∠F=90°-∠EAF=90°-∠DAC=∠C,∴△AEF∽△BEC,∴=,∴AF=4×=.答案:7.【证明】过点A作AE⊥BC,垂足为E,∴CE=BE=BC.由BD⊥AC,AE⊥BC,又∵∠C=∠C,∴△AEC∽△BDC,∴=,∴=,即BC2=2CD·AC.8.【解析】∵AD∥BC,∴===.∴=.∵OE∥AD,∴==,∴OE=AD=×12=,同理可得OF=BC=×20=,∴EF=OE+OF=15.9.【解析】(1)∵AE=AB,∴BE=AB.∵在正△ABC中,A D=AC,∴AD=BE.又∵AB=BC,∠BAD=∠CBE,∴△BAD≌△CBE, ∴∠ADB=∠BEC,即∠ADF+∠AEF=π,∴A,E,F,D四点共圆.(2)取AE中点G,连结GD,则AG=GE=AE.∵AE=AB,∴AG=GE=AB=,AD=AC=,∠DAE=60°.∴△AGD为正三角形,∴GD=GA=AD=,即GA=GE=GD=,∴G是△AED外接圆圆心. 且圆G的半径为,∵A,E,F,D四点共圆,即A,E,F,D四点共圆G,其半径为.10.【解析】(1)∵在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠DAB+∠ABC=180°.∵AE,BF分别平分∠DAB和∠ABC,∴∠DAB=2∠BAE,∠ABC=2∠ABF,∴2∠BAE+2∠ABF=180°,即∠BAE+∠ABF=90°,∴∠AMB=90°,∴AE⊥BF.(2)线段DF与CE是相等关系,即DF=CE.∵在▱ABCD中,CD∥AB,∴∠DEA=∠EAB.又∵AE平分∠DAB,∴∠DAE=∠EAB,∴∠DEA=∠DAE,∴DE=AD.同理CF=BC.又∵在▱ABCD中,AD=BC,∴DE=CF,∴DE-EF=CF-EF,即DF=CE.11.【证明】如图,以AE为边作△AEG≌△AEB,连接FG.∵△AEG≌△AEB,∴∠1=∠2,∠5=∠B=45°,AG=AB=AC.∵∠1+∠3=∠EAF=45°,∠BAC=90°,∴∠2+∠4=45°,∴∠3=∠4.又∵AF=AF,∴△AFG≌△AFC,∴∠6=∠C=45°.∴∠EGF=∠5+∠6=45°+45°=90°,∴△EFG是直角三角形,∴GE2+GF2=EF2,∴EF2=BE2+CF2.12.【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB,∴△ABF∽△CEB.(2)∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AB∥CD,∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF.∵DE=CD,∴=()2=,=()2=.∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8,∴S四边形BCDF=S△BCE-S△DEF=16,∴S四边形ABCD=S四边形B CDF+S△ABF=16+8=24.。
课时提升作业(七十四)-4-5-1
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课时提升作业(七十四)绝对值不等式(45分钟100分)一、选择题(每小题6分,共18分)1.对于实数x,y若|x-1|≤1,|y-2|≤1,则|x-2y+1|的最大值为( )A.5B.4C.8D.72.若关于x的不等式|x-1|+|x+m|>3的解集为R,则实数m的取值范围是( )A.(-∞,-4)∪(2,+∞)B.(-∞,-4)∪(1,+∞)C.(-4,2)D.[-4,1]3.若不等式>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是( ) A.2<a<3 B.1<a<2C.1<a<3D.1<a<4二、填空题(每小题6分,共18分)4.(2014·潍坊模拟)不等式|x+3|-|x-2|≥3的解集为.5.若不等式|x+1|+|x-3|>a的解集为R,则a的取值范围为.6.若存在实数x满足不等式|x-4|+|x-3|<a,则实数a的取值范围是.三、解答题(每小题16分,共64分)7.(2013·辽宁高考)已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4-|x-4|的解集.(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值.8.(2014·沈阳模拟)设函数f(x)=|x+1|+|x-5|,x∈R.(1)求不等式f(x)≤x+10的解集.(2)如果关于x的不等式f(x)≥a-(x-2)2在R上恒成立,求实数a的取值范围.9.(2014·郑州模拟)设函数f(x)=|2x-1|,x∈R.(1)不等式f(x)≤a的解集为{x|0≤x≤1},求a的值.(2)若g(x)=的定义域为R,求实数m的取值范围.10.(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集.(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.答案解析1.【解析】选A.由题易得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.2.【解析】选A.由题意知,不等式|x-1|+|x+m|>3恒成立,即函数f(x)=|x-1|+|x+m|的最小值大于3,根据不等式的性质可得|x-1|+|x+m|≥|(x-1)-(x+m)|=|m+1|,故只要满足|m+1|>3即可,所以m+1>3或m+1<-3,解得m的取值范围是(-∞,-4)∪(2,+∞).3.【解析】选C.因为≥2,要使对一切非零实数x,>|a-2|+1恒成立,则|a-2|+1<2,即1<a<3,选C.4.【解析】方法一:由绝对值的几何意义可知,数轴上到-3的距离与到2的距离的差为3的点为1,因此满足|x+3|-|x-2|≥3的解集为{x|x≥1}.方法二:设f(x)=|x+3|-|x-2|=在平面直角坐标系内作出f(x)的图象如图.可知f(x)≥3的解集为{x|x≥1}.答案:{x|x≥1}(或[1,+∞))5.【思路点拨】求出|x+1|+|x-3|的取值范围,只要a小于|x+1|+|x-3|的最小值即可.【解析】因为|x+1|+|x-3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(-1),B(3)距离的和,即|x+1|+|x-3|=|PA|+|PB|.由绝对值的几何意义知,|PA|+|PB|的最小值为|AB|=4,无最大值,因为不等式|x+1|+|x-3|>a的解集为R,所以a的取值范围为a<4.答案:a<46.【解析】方法一:令y=|x-4|+|x-3|,则有y=可得y min=1,又因为原不等式有实数解,所以a的取值范围是(1,+∞).方法二:|x-4|+|x-3|的几何意义是x在数轴上对应点P到3,4对应的点A,B的距离之和|PA|+|PB|,通过讨论x>4,3<x≤4,x≤3三种情况的点P位置,可得|PA|+|PB|的最小值为1,又因为原不等式有实数解,所以a的取值范围是(1,+∞).方法三:因为|x-4|+|x-3|≥|(x-4)-(x-3)|=1,所以y=|x-4|+|x-3|的最小值为1,又因为原不等式有实数解,所以a的取值范围是(1,+∞).答案:(1,+∞)7.【解析】(1)当a=2时,f(x)+|x-4|=当x≤2时,由f(x)≥4-|x-4|⇒-2x+6≥4⇒x≤1;当2<x<4时,由f(x)≥4-|x-4|⇒2≥4,不成立;当x≥4时,由f(x)≥4-|x-4|⇒2x-6≥4⇒x≥5.综上,x≤1或x≥5.所以当a=2时,不等式f(x)≥4-|x-4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)=f(2x+a)-2f(x)=|2x|-2|x-a|,则h(x)=由|f(2x+a)-2f(x)|≤2得|h(x)|≤2,即|4x-2a|≤2⇒-2≤4x-2a≤2⇒≤x≤,由已知不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},即|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},所以解得a=3.【方法技巧】1.解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义,通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(2)当不等式两端均为正时,可通过两边平方的方法,转化为解不含绝对值符号的普通不等式.(3)利用绝对值的几何意义,数形结合求解.2.几种绝对值不等式的等价形式解绝对值不等式的思路是转化为等价的不含绝对值符号的不等式(组),根据式子的特点可用下列公式进行转化.(1)|f(x)|>a(a>0)⇔f(x)>a或f(x)<-a.(2)|f(x)|<a(a>0)⇔-a<f(x)<a.(3)|f(x)|>g(x)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x),g(x)>0.(4)|f(x)|<g(x)⇔-g(x)<f(x)<g(x),g(x)>0.(5)|f(x)|>|g(x)|⇔[f(x)]2>[g(x)]2.8.【解析】(1)f(x)=当x<-1时,-2x+4≤x+10,x≥-2,则-2≤x<-1;当-1≤x≤5时,6≤x+10,x≥-4,则-1≤x≤5;当x>5时,2x-4≤x+10,x≤14,则5<x≤14.综上可得,不等式f(x)≤x+10的解集为[-2,14].(2)设g(x)=a-(x-2)2,由函数f(x)的图象与g(x)的图象可知:f(x)的最小值为6,g(x)在x=2时取最大值为a,若f(x)≥g(x)恒成立,则a≤6.9.【解析】(1)由已知得|2x-1|≤a,即-a≤2x-1≤a,所以≤x≤,因为不等式f(x)≤a 的解集为{x|0≤x≤1},所以解得a=1.(2)由g(x)=的定义域为R知:对任意实数x,有|2x-1|+|2x+1|+m≠0恒成立,因为|2x-1|+|2x+1|≥|(2x-1)-(2x+1)|=2,所以m>-2,即实数m的取值范围为(-2,+∞).【加固训练】设函数f(x)=.(1)当a=-5时,求函数f(x)的定义域.(2)若函数f(x)的定义域为R,求a的取值范围.【解析】(1)当a=-5时,要使函数f(x)=有意义,则|x+1|+|x-2|-5≥0.①当x≤-1时,原不等式可化为-x-1-x+2-5≥0,即x≤-2;②当-1<x≤2时,原不等式可化为x+1-x+2≥5,即3≥5,显然不成立;③当x>2时,原不等式可化为x+1+x-2≥5,即x≥3.综上所求函数的定义域为(-∞,-2]∪[3,+∞).(2)函数f(x)的定义域为R,则|x+1|+|x-2|+a≥0恒成立,即|x+1|+|x-2|≥-a恒成立,构造h(x)=|x+1|+|x-2|=求得函数的最小值为3,所以a≥-3.10.【解析】(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=其大致图象如图所示,从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈时,f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈都成立,故-≥a-2,即a≤.从而a的取值范围为.【方法技巧】含有参数的不等式的解法若不等式中有两个或两个以上含有未知数的绝对值的项,一般采用数形结合法(包括几何法、图象法)和区间讨论法,①数形结合法是根据绝对值意义在数轴上找出满足题意的数,直接写出解集,或构造函数画出图象,由图象直接写出未知数的取值范围得出解集.②区间讨论法是先求出每个含绝对值符号的代数值等于零时未知数的值.将这些值依次标在数轴上,这样数轴被分成若干个区间,这些区间内的不等式的解集的并集即为不等式的解集.分段讨论时,注意不要遗漏区间的端点.关闭Word文档返回原板块。
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课时提升作业(七十四)
参数方程
(45分钟100分)
一、选择题(每小题6分,共18分)
1.参数方程(t为参数)与极坐标方程ρ=sinθ所表示的图形分别是
( ) A.直线、直线 B.直线、圆
C.圆、圆
D.圆、直线
【解析】选B.将参数方程消去参数t得
2x-y-5=0,所以对应图形为直线.
由ρ=sinθ得ρ2=ρsinθ,即x2+y2=y,
即x2+=,对应图形为圆.
2.(2014·安徽高考)以平面直角坐标系的原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位,已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ,则直线l被圆C截得的弦长为( )
A. B.2 C. D.2
【解析】选D.由题意可得直线和圆的方程分别为x-y-4=0,x2+y2=4x,
所以圆心C(2,0),半径r=2,
圆心(2,0)到直线l的距离d=,由半径,圆心距,
半弦长构成直角三角形,解得弦长为2.
3.已知动直线l平分圆C:(x-2)2+(y-1)2=1,则直线l与圆O:(θ为参数)的位置关系是( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.过圆心
【解析】选A.动直线l平分圆C:(x-2)2+(y-1)2=1,即圆心(2,1)在直线l上,又圆O:的普通方程为x2+y2=9,且22+12<9,故点(2,1)在圆O内,则直线l与圆O的位置关系是相交.
二、填空题(每小题6分,共18分)
4.(2014·湖南高考)在平面直角坐标系中,倾斜角为的直线l与曲线C:(α为参数)交于A,B两点,且|AB|=2.以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,则直线l的极坐标方程是 .
【解题提示】先确定直线l与曲线C的位置关系,再求直线l的极坐标方程. 【解析】曲线C是圆心为(2,1),半径为1的圆,而|AB|=2,所以直线经过圆心,所以直线l的方程为y=x-1,所以直线l的极坐标方程是ρsinθ=ρcosθ-1.
答案:ρsinθ=ρcosθ-1,或写成ρ=,
ρsin=-
5.(2015·合肥模拟)已知直线y=kx与曲线(θ为参数)有且仅有一个公共点,则k= .
【解析】曲线(θ为参数)的普通方程为(x-4)2+y2=4,依题意,得圆心到直线的距离为d==r=2,即k2=,解得k=±.
答案:±
6.(2015·咸阳模拟)已知直线l的参数方程为(其中t为参数),以坐
标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=2cos,则过直线上的点向圆所引切线长的最小值是. 【解析】直线l:(其中t为参数)的普通方程为y=x+2,圆C:ρ=2cos即ρ2=2ρcosθ-2ρsinθ,直角坐标方程为x2+y2=2x-2y,即(x-1)2+(y+1)2=2,圆心C(1,-1)到直线的距离为d==2,则过直线上的点向圆所引切线长的最小值是==.
答案:
三、解答题(每小题16分,共64分)
7.在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),若以
直角坐标系xOy的原点为极点,Ox为极轴,且长度单位相同,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin=0,求与直线l垂直且与曲线C相切的直线m的极坐标方程.
【解题提示】将直线和圆的方程化为直角坐标系下的方程,设直线m:y=x+b,利用直线和圆相切求出直线m,再将方程化为极坐标方程.
【解析】直线l:y=-x,C:(x-)2+y2=4,
设直线m:y=x+b,
因为直线m与圆C相切,可得=2,
所以b=或b=-3,
所以直线m的极坐标方程为ρcosθ-ρsinθ+=0或ρcosθ-ρsinθ-3=0.
8.(2015·大连模拟)曲线C1的参数方程为(θ为参数),将曲线C1上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标伸长为原来的倍,得到曲线C2.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6.
(1)求曲线C2和直线l的普通方程.
(2)P为曲线C2上任意一点,求点P到直线l的距离的最值.
【解析】(1)由题意可得C2的参数方程为(θ为参数),即曲线C2的直角坐标方程为+=1,
直线l:ρ(cosθ-2sinθ)=6化为直角坐标方程为x-2y-6=0.
(2)设点P(2cosθ,sinθ),由点到直线的距离公式得点P到直线l的距离为
d=
==
=.
所以≤d≤2,故点P到直线l的距离的最大值为2,最小值为.
9.(2015·沈阳模拟)已知曲线C的极坐标方程是ρ=2sinθ,直线l的参数方程是
(t为参数).
(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)设直线l与x轴的交点是M,N是曲线C上一动点,求|MN|的最大值.
【解析】(1)曲线C的极坐标方程可化为ρ2=2ρsinθ,
又x2+y2=ρ2,x=ρcosθ,y=ρsinθ,所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0.
(2)将直线l的参数方程化为普通方程,得y=-(x-2),令y=0得x=2,
即M点的坐标为(2,0).
又曲线C为圆,且圆心坐标为(0,1),半径r=1,
则|MC|=.
所以|MN|≤|MC|+r=+1.
即|MN|的最大值为+1.
10.(2015·抚顺模拟)平面直角坐标系中,直线l的参数方程是(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsinθ-3=0.
(1)求直线l的极坐标方程.
(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,求|AB|.
【解析】(1)由直线l的参数方程(t为参数),消去参数,得y=x,
由代入,得ρsinθ=ρcosθ⇒θ=(ρ∈R).
(2)方法一:曲线ρ2cos2θ+ρ2sin2θ-2ρsinθ-3=0即x2+y2-2y-3=0,标准方程为x2+(y-1)2=4.
圆心C(0,1)到直线y=x的距离为d=,
所以|AB|=2=2=.
方法二:由
得ρ2-ρ-3=0,
设A,B,
则|AB|=|ρ1-ρ2|==.
【加固训练】1.(2014·福州模拟)已知点P在曲线C:(参数α∈[0,π])上,点Q在直线l:ρ=上,
(1)将曲线C的参数方程和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程.
(2)求|PQ|的最小值.
【解析】(1)曲线C:(参数α∈[0,π])的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1),即上半圆,直线l:ρ=,即ρcos=10,直角坐标方程为x-y-10=0.
(2)令x-y+c=0,当直线x-y+c=0经过点(2,0)时,c=-2,所以平行线间的距离为d==4.
所以|PQ|min=4.
2.(2015·开封模拟)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P,其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的单位长度,建立极坐标系,设曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+5=0.
(1)若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围.
(2)设M为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.
【解析】(1)将曲线C的极坐标方程ρ2-6ρcosθ+5=0化为直角坐标方程为x2+y2-6x+5=0,直线l的参数方程为,将其代入x2+y2-6x+5=0,整理,得t2-8tcosα+12=0.
因为直线l与曲线C有公共点,
所以Δ=64cos2α-48≥0,
所以cosα≥或cosα≤-,
因为α∈[0,π],
所以α的取值范围是∪.
(2)曲线C的方程x2+y2-6x+5=0可化为+y2=4,其参数方程为
.
因为M为曲线C上任意一点,
所以x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin,
所以x+y的取值范围是.
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