2000年上海高考数学(理)

2000上海高考数学试卷

考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分

一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知向量OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m= 。 2．函数，x

x y --=31

2log 2的定义域为 。 3．圆锥曲线⎩⎨

⎧=+=θ

θtg y x 31

sec 4的焦点坐标是 。

4．计算：n

n n )2

(

lim += 。 5．已知b x f x +=2)(的反函数为)(),(11

x f y x f --=若的图象经过点)2,5(Q ，则

b = 。

6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制

在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300）

7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱

锥，命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。

8．设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f = 。

9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为 ，（结果用数值表示） 10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 。

11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线

B A ,cos 4于θρ=两点，则

=AB 。

12．在等差数列{}n a 中，若0=z a ，则有等式)

,19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++ 成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列{}n b 中，若10=b ，则有等式 成立。

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

13．复数的三角形式是是虚数单位))(5

sin 5(cos

3i i z π

π

--= ).

5

6sin 56(cos 3)( ),54sin 54(cos 3)().

5

sin 5(cos 3)( )],5sin()5[cos(3)(π

ππππ

πππi D i C i B i A -++-+-

[答]（ ）

14．设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题： （1）若a a //，a b //，则b a //。 （2）若a a //，β//a ，则β//a 。 （3）若γ⊥a ,γβ⊥，则β//a 。

其中正确的个数是

（A ）0． （B ）1． （C ）2． （D ）3． [答]（ ）

15．若集合{}{}

T s R x x y y T R x y y S x 则.,1| ..3|2∈-==∈==是：

(D) (C) T. (B) S. )(有限集φA .

[答]（ ） 16．下列命题中正确的命题是

（A ）若点)0)(2,(≠a a a P 为角a 终边上一点，则5

5

2sin =

a 。 （B ）同时满足2

3

cos ,21sin =

=

a a 的角a 有且只有一个。 （C ）当{}1 a 时，)(arcsin a tg 的值恒正。 （D ）三角方程3)3

(=+

π

x tg 的解集为{}Z k k x x ∈=,|π。

[答]（ ）

三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．（本题满分12分）

已知椭圆C 的焦点分别为)0,22()0,22(21F F 和-，长轴长为6，设直2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

[解] 18．（本题满分12分）

如图所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB=BC=2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为10

10

arccos

，求四面体ABCD 的体积。

[解] 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。已知函数

],1[,2)(2+∞∈++=x x

a x x x f 。

（1）当2

1

=

a 时，求函数)(x f 的最小值： （2）若对任意0)(],,1[ x f x +∞∈恒成立，试求实数a 的取值范围。

[解]（1）

[解]（2） 20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。

根据指令),(θr )180180,0( ≤-≥θr ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转－θ），再朝其面对的方向沿直线行走距离r 。

（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。

（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐

标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。

[解]（1）

[解]（2） 21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

在XOY 平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111 n n n b a P b a P b a P 对每个自然数n ，点P ，位于函数

)100( )10

(

20002

a a y =的图象上，且点n P ，点)0.1()0,(+n n 与点构成一个以n P 为顶点的等腰三角形。

（1）求点n P 的纵坐标n b 的表达式。

（2）若对每个自然数n ，以n b ，21,++n n b b 为边长能构成一个三角形，求a 取值范围。

（3）设(). 21N n b b b B n n ∈= ，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{}n B 的最大项的项数。

[解]（1）

[解]（2）