95年天津大学竞赛试题及答案
第二次校内选拔错题比较多的试题答案
2I
2
x sin xdx =2 x sin xdx 2 x cos x
2 0
2 0
2sin x
2 0
2
n x 4 x5 n 1 x f ( x) x 1 o( x n ) ， I 1+ 2 3 n2 2 f (0) 2 f ( n ) (0) n n 另一方面， f ( x ) f (0) f (0) x x x o( x ) 。 七、 （8 分） 计算 y x 2 dxdy 2! n! x 1 0 y 2 1 f ( n ) (0) n 1 n 1 n ! (n) 所以有 1 f (0) 1 n2 n! n2 2 1 x2
n
5 设函数 f ( x) 连续，则 答案 xf ( x ) 二、选择题
2
d x tf ( x 2 t 2 )dt ___________ 0 dx
A sin A, A 0
sin xn x2 (2)原式= lim( ) n , 为"1"型 n xn
1
0, 1.设 f ( x ) 2 x ,
e e
e
t 0
lim
t cos t sin t 2t3
e
t2 t3 t 1 0( t 2 ) t 0( t 3 ) 2 6 lim 3 t 0 2t
e
1 6
三、 设数列 xn 满足0 x1 , xn 1 sin xn ( n 1, 2,)
1 Cn ln(1 x)
(2 x) Cn2 ln(1 x)
天津市大学物理竞赛试题答案及评分标准
20XX 年“拓普杯”天津市大学生物理竞赛参考答案及评分标准一、请写出国际单位制中七个基本物理量单位的名称和量纲。
答：长度（m ）2分 质量（kg ）2分 时间（s ）2分 电流（A ）1分 热力学温度（K ）1分 发光强度（cd ）1分 物质的量（mol ）1分二、一列静止长度为600米的超快速火车通过一个封闭式的火车站，据站长讲车站全长为450米，火车通过时正好装进车站，即站长观察到火车后端刚好在进口处的同时其前端刚好在出口处。
求: （1）火车的速率是多少？ (2) 对火车上的乘务员来说，他观测到的车站长度是多少？解：（1）2021V L L C=- 4分220714L V C L =-=2分（2）221V L L C'=- 2分337.5m = 2分三、航天英雄乘坐的神州六号舱容积为9.0立方米，在标准状态下，求：（1）舱内空气的质量是多少？（2）舱内氮气的分压是多少？（3）在正常照度下，人眼瞳孔直径为 3.0mm ，在可见光中眼最敏感的波长λ=550nm 。
若晴好白天飞船位于长城正上方350公里处，设长城宽度5.0米，航天英雄能直接看清长城吗？（按质量百分比计，氮气76﹪，氧气23﹪，氩气1﹪，其它气体可略，它们的分子量分别为28， 32， 40）解：标准状态，气化P 0=1atm,气温为0 0c ，空气平均mol 质量3109.28-⨯=μ千克/摩尔。
1. 内质量： 330V 910M 28.91011.6V 22.4μ-⨯=∙=⨯⨯=（千克） 3分2. 由气体状态方程可得：RT MV μ=0P 2分RT M V P 222NN N μ=1分0.78442828.90.76MM P P 222N N 0N =⨯=∙=∴μμ()atm 0.78440.7844P P 0N 2==∴ 1分 3. 依瑞利判据知人眼的最小分辨角为51.222.210radDϕλδ-==⨯ 2分可分辨最小间距：77102.23500005y =⨯⨯=∙=-ϕδδL (米) 1分 看不到长城！四、将质量相同、温度分别为T 1、T 2 的两杯水在等压下绝热地混合，试问：（1）此系统达到最后状态，计算此过程的熵变。
天津市大学生物理竞赛(B类)培训习题-力学部分
质量，其质量的增长率正比于它的瞬时质量和瞬
时速度的乘积： dm kmv
dt
式中为常量。试证明雨滴的速率实际上最后成为
常量，并给出终极速率的表达式。忽略空气的阻
力。
解：由变质量的运动方程：
(m dm)(v dv) mv mgdt
dm dv v m mg dt dt dm km v dt dv 2 km v m m g dt dv g kv2 dt
• (4)列方程，求解。
16
• 第三类是功能关系式的应用具体的解题步骤为：
• (1)选择所研究的质点系。 • (2)确定所研究的过程以及过程的始末状态。
• (3) 根据过程中外力的功和非保守内力的功代数和所服从的 条件确定所用的功能关系式。
• (4)列方程，求解。
• 第四类是角动量分量守恒定律的应用具体的求解方法是： (1) 、（2）同上。
6、刚体的转动惯量 7、刚体的角动量
J mk rk2
J r 2 dm
10
L r p r mv Lz J
8、力矩的功 9、功率
dW Md
W Md
1
2
dW d p M M dt dt
11
二、基本规律 basic law
8
9、质心（质量中心）：在研究质点系统问题中，与质点系统
质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表着 质量分布中心。 xC mi xi / M mr M r
dri mi m v drC dt i i vC 质心的速度： dt M M dvi m i mi ai dvC dt 质心的加速度： aC dt M M
2011年天津市大学生物理竞赛真题(含答案)
2011年第二届拓普杯天津市普通高等院校《大学物理》竞赛试题一、如图是长为L 质量为m 的均质细杆处于水平静止状态。
它的一端在光滑的轴上，细杆可绕轴自由转动，另一端用轻绳（不计质量）悬挂于天花板，轻绳垂直于水平面。
问：（1）在剪断轻绳这一瞬间，细杆质心加速度a 、细杆绕其质心转动角加速度β、轴的支撑力N 各是多少？（2）当细杆转动到竖直位置转动角速度ω、质心速度v ？ 解法：（1）设轴的支撑力为N ，则： 平动方程：ma N mg =- （1） 1分转动方程：βI Lmg =2（2） 1分由231mL I=， β2La = 代入（2）得 1分 g a43= 1分代入（1）式得： mg ma mg N41=-=细杆绕轴转动的角加速度：L g L a 232==β 1分 刚体的运动可看作：质心的平动和绕质心的转动的复合运动。
如图所示，故绕质心的转动角加速度 L g 23=='ββ1分(2) 竖直位角速度为ω，由机械守恒2223121212ωω⎪⎭⎫ ⎝⎛==mL I L mgL g 3=ω 3分 质心速度： gL L v c3212==ω 1分细杆转动平动解法2L g dt d 23==ωβ θωωθθωωβd d dt d d d dt d L g =⋅===23 2分 ⎰⎰=ωπωωθ02023d d L g L g 3=ω 1分 质心速度： gL L vc3212==ω 1分 二、如图所示，高为a 、底半径为b 的非绝热正圆锥容器，内装一种化学纯气体。
容器置于气压为P 0温度为T 0的大气中。
开始时，锥顶开口与大气相通，内部气体压强为P 0，但温度分布为T = T 0 + x ，此时将开口闭合，最终达到平衡时容器内气压P 是多少？ 解：利用初始条件求容器内气体总分子数N 由理想气体压强公式：0P nkT =（2分） （若写成PV C T=或00PV PV T T =也给2分） 分子数密度：000()()P P n x kT k T x ==+ （2分） x —x+dx 内的分子数为：2200()()P b dN n x y dx x dx k T x a ππ⎛⎫== ⎪+⎝⎭（2分）积分求总分子数：2000()aP b N x dx k T x a π⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰22000200aP b T x T dx ka T x π⎛⎫=-+ ⎪+⎝⎭⎰ 222000020ln2P b T a a aT T ka T π⎛⎫+=-+⎪⎝⎭（2分） 将开口闭合，最终达到平衡时，温度与大气相同为T 0，压强为P ，而分子数密度均匀。
天津市历届大学生数学竞赛试题
2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横杠上面。
）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01e )(22x x x a x xx f x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。
2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e=-+xy yx 所确定，则==0d x y x d - 。
3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =1237。
4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Ex x x d sin cos 38 。
5．设L 是顺时针方向的椭圆1422=+y x ，其周长为l ，则()=++⎰L s y x xy d 422 4l 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 若0)(lim 0u x x x =→ϕ且A u f =→)(lim 0u u ，则（ D ）（A ） )]([lim 0x f x x ϕ→存在； （B ） A x f x x =→)]([lim 0ϕ（C ） )]([lim 0x f x x ϕ→不存在； （D ） A 、B 、C 均不正确。
2. 设⎰=xx x x f sin 02d )sin()(，43)(x x x g +=，则当0→x 时，（ A ）（A ）)(x f 与)(x g 为同阶但非等价无穷小； （B ）)(x f 与)(x g 为等价无穷小；（C ）)(x f 是比)(x g 更高阶的无穷小； （D ）)(x f 是比)(x g 更低阶的无穷小。
3. 设函数)(x f 对任意x 都满足)()1(x af x f =+，且b f =)0('，其中a 、b 均为非零常数，则)(x f 在x = 1处（ D ）（A ）不可导； （B ）可导，且a f =')1(； （C ）可导，且b f =')1(； （D ）可导，且ab f =')1(。
年天津市大学生物理竞赛试题
年天津市大学生物理竞赛试卷注意： 类考生需做至题，类考生做至题及、题。
各题都需写出具体过程和结果。
请将所有答案写在答题纸上，答在此页上无效!交卷时此试卷和答题纸草稿纸一并上交。
注意：以下至题全体考生必答（要求写出具体计算过程与结果）。
．有一质点从开始作半径为的圆周运动，其弧长公式()十一 ()。
求:{)质点从到第秒末的位移？()质点从开始到第秒末的平均速率？()质点运动加速度何时有极值？. 有一长为内壁光滑的水平管道，其一端绕竖直轴以匀角速ω转动，管中有一小球（视为质点）从另一端沿管道以初速度 ω向管道中心滑来。
求:（）小球滑到距中心为时的速度；（）小球滑到距离中心为所用的时间？如图所示，光滑水平桌面上有一静止、质量为的半径为的四分之一圆弧面三角状物块，圆弧面也是光滑的。
今有质量也是、初始速度为的小物体（看成质点），从圆弧面底端沿圆弧面向上滑动，脱离顶端后继续上升，上升最大高度离桌面为。
试问小物体初始速度为是多少？.有一容积为升的容器在标准状态下将其密封，之后注入克纯净水。
若对系统加热至℃(水全部汽化)，问此时容器内的压力多大？设气体为理想气体，已知水的摩尔质量为。
. 求某种理想气体分子速率的倒数，从到最概然速率的算术平均值（用表示），理想气体满足麦克斯韦速率分布律。
．有一半径为、带电量为零的导体球，球外有一正点电荷，它到球心距离为。
求：（）导体球的电势是多少？（）若把导体球接地，导体球感应电荷’ 是多少？（）对上述两种情况,导体球上的感应电荷在球心的电场强度为多少？.如图所示，有一长度为的均勻带电细棒，带电量为，以速度向前运动，速度方向垂直于棒，求棒的延长线上距棒近端的距离为处的磁感强度的大小为多少?题图.一平行板电容器，两极板都是半径为厘的圆形导体板，在充电时，其电场强度的变化率为 伏(·秒)， 求 ()两极板间位移电流；()求极板板内边缘处的磁感应强度？注意：、题为类考生必答题，类考生作答无分。
天津大学2006～2007学年第一学期期末考试试卷答案
6．(×)由于BF3为非极性分子，所以BF3分子中无极性键。
7．(√)由于Hg2＋与S2－之间的相互极化作用比Zn2＋比S2－间的极化作用强，所以HgS比ZnS的溶解度小。
8．(√)中心原子的几个原子轨道杂化时，形成数目相同的杂化轨道。
(C)分子间力和氢键能同时存在于分子之间；
(D)大多数分子的分子间力以色散力为主;
三．填空题（本题共22分）
1．50号元素的电子排布式为[Kr]4d105s25p2，该元素属五周期，IVA族，P区元素.
2．在乙醇的水溶液中，分子间存在的分子间力的种类有色散力、诱导力、
取向力和氢键。
3．KCN, NH4F, NH4OAc, NH4NO3, Na2CO3，各溶液浓度均为0.1 mol·L-1，按pH值从小到大顺序排列NH4NO3, NH4F, NH4OAc, KCN, Na2CO3。(已知Kθ(NH3·H2O)=1.8×10-5,Kθ(HF)=6.6×10-4,Kθ(HCN)=6.2×10-10,Kθ(HOAc)=1.8×10-5, (H2CO3)=4.4×10-7, (H2CO3)=4.8×10-11)
15．( )既能衡量元素金属性强弱，又能衡量其非金属性强弱的物理量是________。
(A)电子亲合能(B)电离能(C)电负性(D)原子半径
16．( )下列各组离子化合物的晶格能变化顺序中，正确的是________。
(A) MgO＞CaO＞Al2O3(B) LiF＞NaCl＞KI
(C) RbBr＜CsI＜KCl (D) BaS＞BaO＞BaCl2
Kө(298.15K)=1.3×1048
(2) (500K)=-248.5kJ·mol-1
1995年天津高考文科数学真题及答案
1995年天津高考文科数学真题及答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共65分)一、选择题(本大题共15小题；第1－10题每小题4分，第11－15题每小题5分，共65分，在每小题给出的四个选项中，只有一项有符合题目要求的)1．已知集合I ={0，－1，－2，－3，－4}，集合M ={0，－1，－2，}，N ={0，－3，－4}，则=⋂N M _( )(A) {0} (B) {－3，－4}(C) {－1，－2}(D) φ2．函数y =11+x 的图像是( )3．函数y =4sin(3x +4π)+3cos(3x +4π)的最小正周期是( ) (A) 6π(B) 2π(C) 32π (D)3π 4．正方体的全面积是a 2，它的顶点都在球面上，这个球的表面积是( ) (A)32a π (B)22a π(C) 2πa2(D) 3πa 25．若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )(A) k 1< k 2< k 3 (B) k 3< k 1< k 2 (C) k 3< k 2< k 1(D) k 1< k 3< k 26．双曲线3x 2－y 2=3的渐近线方程是( ) (A) y =±3x(B) 3x ±(C) y =x 3± (D) y =x 33±7．使sin x ≤cos x 成立的x 的一个变化区间是( ) (A) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-443ππ，(B) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22ππ， (C) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-434ππ， (D) [0，π]8．x 2+y 2－2x =0和x 2+y 2+4y =0的位置关系是( ) (A) 相离(B) 外切(C) 相交 (D) 内切9．已知θ是第三象限角，且sin 4θ+cos 4θ=95，那么sin2θ等于( ) (A)322 (B) －322 (C)32 (D) －32 10．如图ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1=D 1F 1=411B A ，则BE 1与DF 1所成的角的余弦值是( )(A)1715 (B)21 (C)178 (D)23 11．已知y =log a (2－x )是x 的增函数，则a 的取值范围是( ) (A) (0，2)(B) (0，1)(C) (1，2) (D) (2，+∞)12．在(1－x 3)(1+x )10的展开式中，x 5的系数是( ) (A) －297(B) －252(C) 297(D) 20713．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下面四个命题，①α∥β⇒l ⊥m ②α⊥β⇒l ∥m ③l ∥m ⇒α⊥β ④l ⊥m ⇒α∥β 其中正确的两个命题是( ) (A) ①与②(B) ③与④(C) ②与④(D) ①与③14．等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别是S n 与T n ，若132+=n nT S n n ，则nn n b a ∞→lim 等于( )(A) 1(B)36 (C)32 (D)94 15．用1，2，3，4，5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有( ) (A) 24个(B) 30个(C) 40个 (D) 60个第Ⅱ卷(非选择题共85分)二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中的横线上)16．方程log 2(x +1)2+log 4(x +1)=5的解是_____________17．已知圆台上、下底面圆周都在球面上，且下底面过球心，母线与底面所成角为3π，则圆台的体积与球体积之比为____________18．函数y =cos x +cos(x +3π)的最大值是___________ 19．若直线l 过抛物线y 2=4(x +1)的焦点，并且与x 轴垂直，则l 被抛物线截得的线段长为______________20．四个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有____________种(用数字作答)三、解答题(本大题共6小题，共65分：解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)21．(本小题满分7分)解方程3x +2－32－x=80．22．(本小题满分12分)设复数z =cos θ+i sin θ，θ∈(π，2π)，求复数z 2+z 的模和辐角23．(本小题满分10分)设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和，证明：15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S ．24．(本小题满分12分)如图，ABCD 是圆柱的轴截面，点E 在底面的圆周上，AF ⊥DE ，F 是垂足．(1)求证：AF ⊥DB(2)如果AB =a ，圆柱与三棱锥D －ABE 的体积比等于3π，求点E 到截面ABCD 的距离．25．(本小题满分12分)某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养值提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为千克元x ，政府补贴为千克元t ，根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量p 千克与市场日需求量Q 近似地满足关系：P =1000(x +t －8) (x ≥8，t ≥0)， Q =500()2840--x (8≤x ≤14)，当P =Q 时的市场价格为市场平衡价格，(1)将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域： (2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少每千克多少元？26．(本小题满分12分)已知椭圆1162422=+y x ，直线l ：x =12，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP上，且满足|OQ |·|OP |=|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．参考答案一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1．B 2．D 3．C 4．B 5．D 6．C 7．A 8．C 9．A 10．A 11．B 12．D 13．D 14．C 15．A二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)16．3 17．3237 18．3 19．4 20．144 三、解答题21．本小题主要考查指数方程的解法及运算能力， 解：设y =3x，则原方程可化为9y 2－80y －9=0， 解得：y 1=9，y 2=91- 方程3x=91-无解， 由3x=9得x =2，所以原方程的解为x =2．22．本小题主要考查复数的有关概念，三角公式及运算能力，解：z 2+z =(cos θ+i sin θ)2+(cos θ+i sin θ) =cos2θ+i sin2θ+cos θ+i sin θ=2cos 23θcos 2θ+i (2sin 23θcos 2θ) =2 cos 2θ(cos 23θ+i sin 23θ)=－2 cos 2θ[cos(－π+23θ)+i sin(－π+23θ)]∵ θ∈(π，2π)∴2θ∈(2π，π) ∴ －2cos (2θ)>0所以复数z 2+z 的模为－2cos2θ，辐角(2k －1)π+23θ(k ∈z )．23．本小题主要考查等比数列、对数、不等式等基础知识以及逻辑推理能力， 证法一：设{a n }的公比为q ，由题设知a 1>0，q >0， (1)当q =1时，S n =na 1，从而S n ·S n+2－21+n S =na 1(n +2)a 1－(n +1)221a =－21a <0．(2)当q ≠1时，()qq a S nn --=111，从而S n ·S n+2－21+n S =()()()()()22121222111111q q a q q q a n n n ------++=－21a q n<0．由(1)和(2)得S n ·S n+2<21+n S ．根据对数函数的单调性，得log 0.5(S n ·S n+2)>log 0.521+n S ，即15.025.05.0log 2log log ++>+n n n S S S ．证法二：设{a n }的公比为q ，由题设知a 1>0，q >0， ∵ S n+1= a 1+qS n ，S n+2=a 1+ qS n +1，∴ S n ·S n+2－21+n S =S n (a 1+ qS n +1)－(a 1+qS n )S n +1= a 1(S n －S n +1)=－a 1 a n+1<0． 即S n ·S n+2<21+n S ． (以下同证法一)24．本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力． (1)证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ， ∵ EB ⊂平面ABE ， ∴ DA ⊥EB ，∵ AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上， ∴ AE ⊥EB ，又AE ∩AD =A ，故得EB ⊥平面DAE ， ∵ AF ⊂平面DAE ， ∴ EB ⊥AF ，又AF ⊥DE ，且EB ∩DE =E ，故得AF ⊥平面DEB ， ∵ DB ⊂平面DEB ， ∴ AF ⊥DB ．(2)解：设点E 到平面ABCD 的距离为d ，记AD =h ，因圆柱轴截面ABCD 是矩形，所以AD ⊥AB ．S △ABD =21AB ·AD =2ah∴ V D －ABE =V E －ABD =3d S △ABD =61dah又V 圆柱=422ππ=⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛AD AB a 2h 由题设知dah ha 6142π=3π，即d =2a ． 25．本小题主要考查运用所学数学知识和方法解决实际问题的能力，以及函数的概念、方程和不等式的解法等基础知识和方法．解：(1)依题设有1000(x +t －8)=500()2840--x化简得5x 2+(8t －80)x +(4t 2－64t +280)=0， 当判别式△=800－16t 2≥0时，可得：X =8－54t ±52250t -．由△≥0，t ≥0，8≤x ≤14，得不等式组：①⎪⎩⎪⎨⎧≤-+-≤≤≤14505254885002t t t②⎪⎩⎪⎨⎧≤---≤≤≤14505254885002t t t 解不等式组①，得0≤t ≤10，不等式组②无解，故所求的函数关系式为x =8－54t +25052t - 函数的定义域为[0，10] (2)为使x ≤10，应有8－54t +25052t -≤10， 化简得：t 2+4t －5≥0，解得t ≥1或t ≤－5，由于t ≥0知t ≥1，从而政府补贴至少为每千克1元． 26．本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法等解析几何的基本思想综合运用知识的能力．解：设点P 、Q 、R 的坐标分别为(12，y p )，(x ，y )，(x R ，y R 由题设知x R >0，x >0，由点R 在椭圆上及点O 、Q 、R 共线，得方程组1162422=+R R y x 解得 22223248yx x x R += ① x y x y R R = 22223248y x y y R += ② 由点O 、Q 、P 共线，得x y y p =12，即y p =xy12． ③ 由题设|OQ |·|OP |=|OR |2得()222222212RR pyx y y x +=+⋅+将①、②、③式代入上式，整理得点Q 的轨迹方程(x －1)2+322y =1 (x >0)所以点Q 的轨迹是以(1，0)为中心，长、短半轴长分别为1和36，且长轴在x 轴上的椭圆、去掉坐标圆点．。
2001-2013天津市大学数学竞赛试题解(经管类)
2001-2013年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (1)2002年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (7)2003年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (13)2004年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (20)2005年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (28)2006年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (33)2007年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (42)2008年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (48)2009年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (55)2010年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (61)2011年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类） (66)2001年天津市大学数学竞赛试题参考答案（经济管理类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横杠上面。
）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<-=，，；，0cos 01)(22x x x a x xe xf x 在（-∞，+∞）上连续，则a = 2 。
2. 设函数y = y (x ) 由方程0)cos(e =-+xy y x 所确定，则==0d x y x d - 。
3. 由曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =1237。
4. 设E 为闭区间[0，4π]上使被积函数有定义的所有点的集合，则⎰=Edx x x sin cos 38。
5．已知()yxy z +=1，则=∂∂y z ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++xy xy xy xy y 11ln 1 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
2007年天津大学生数学竞赛(免费)
2007年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空：（本题15分，每空3分。
请将最终结果填在相应的横线上面。
） 1. 设函数()()⎰⋅=xt at x f sin 02d sin ，()43x x x g +=，且当x →0时，()x f 与()x g 为等价无穷小，则a = 3 。
2. 设函数x x y 2=在0x x =点处取得极小值，则=0x ln21-。
3.()=+⎰+∞121d x x xln21-。
4. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+022401223:L 22222z y--z y x z--y x 在点（1，1，2）处的切线方程为524111--=--=-z y x 。
5.=+⎰⎰1132d 1d xy yxy x ()1231-。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。
每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。
选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。
）1. 设函数()x f 连续，则下列函数中必为偶函数的是（ A ） （A ）()()[]⎰⋅-+xt t f t f t 0d ； （B ）()()[]⎰⋅--xt t f t f t 0d ；（C ）()⎰x t tf 02d ； （D ）()[]⎰xt t f 02d 。
2. 设函数()x f 具有一阶导数，下述结论中正确的是（ D ） （A ）若()x f 只有一个零点，则()x f '必至少有两个零点； （B ）若()x f '至少有一个零点，则()x f 必至少有两个零点； （C ）若()x f 没有零点，则()x f '至少有一个零点； （D ）若()x f '没有零点，则()x f 至多有一个零点。
3. 设函数()x f 在区间()+∞,0内具有二阶导数，满足()00=f ，()0<''x f ，又b a <<0，则当b x a <<时恒有（ B ）（A ）()()a xf x af >； （B ）()()b xf x bf >；（C ）()()b bf x xf >； （D ）()()a af x xf >。