必修五第二章数列章末检测 (A)

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人教A版高中数学必修五高二第2章《数列》单元测试题.docx

高中数学学习材料唐玲出品一、选择题（每小题5分，共40分）1. 在等差数列{}n a 中,已知1234520a a a a a ++++=,则3a 等于 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 72. 在等比数列{}n a 中,已知378,2a a ==,则5a 的值为 ( ) A. 4± B. 4- C. 4 D. 56.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,12n n S a +=,则n S = （）A ．12n -B ．132n -⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．112n - 7.数列{}n a 的通项公式cos2n n a n π=,其前n 项和为n S ,则2013S 等于（） A ．1006B ．2012C ．503D ．08.定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}{},()n n a f a 仍是等比数列,则称()f x 为“保等比数列函数”.现有定义在(,0)(0,)-∞⋃+∞上的如下函数:①2()f x x =;②()2x f x =;③()||f x x =;④()ln ||f x x =.则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（）A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③二、填空题(每小题5分,共35分)9.已知等差数列{}n a 中, 110,a a 是方程23610x x ++=的两根,则47a a + 的值是_____________.10. 若等比数列{}n a 满足2412a a =,则2135a a a =______________.11. 设数列{}{},n n a b 都是等差数列,若11337,21a b a b +=+=, 则55a b +=______________.14.已知方程()()22220x x m x x n -+-+=的四个根组成一个首项为14的等差数列,则m n -的值为_____________.15.传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数.他们研究过如图所示的三角形数:将三角形数1,3, 6,10,记为数列{}n a ,将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{}n b ,可以推测:(1)2012b 是数列{}n a 中的第______项; (2)21k b -=______.(用k 表示)三、解答题(共6小题,共75分)16.(12分) 已知等差数列{}n a 的前n 项和2225n S n n =-, (1)求123,,a a a 的值;(2)该数列所有负数项的和是多少?17.(12分)设()f x 是一次函数,已知()815f =,且()()()2,5,4f f f 成等比数列, (1)求()f x 的解析式;(2)求()()()()2462f f f f n +++⋅⋅⋅+.第15题图·18.(12分)已知{}n a 为等差数列,且13248,12,a a a a +=+= (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记{}n a 的前n 项和为n S ,若12,,k k a a S +成等比数列,求正整数k 的值.19.(13分)已知数列{a n }的前n 项和为n S ,且2*2,n S n n n N =+∈,数列{}n b 满足*24log 3,n b n a n N =+∈(1)求,n n a b ;(2)求数列{}n n a b ⋅的前n 项和T n .21.(13分) 某企业进行技术改造,有两种方案.甲方案:一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比上一年增加30%的利润;乙方案:每年贷款1万元,第一年可获利1万元,以后每年比上一年增加5千元.两种方案的使用期都是10年,到期一次性归还本息.若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算,试比较两种方案中,哪种使该企业获利更多?用数据说明理由.(注：计算过程中可取665.575.1,786.133.1,629.105.1101010===)高二第二章数列单元测试卷参考答案一、选择题：1—4 ACCB 5—8 ABAD二、填空题：9. 2- 10. 14 11. 35 12. 8 13. 2-14.1215. (1) 5030 (2) ()5512k k -三、解答题:16.解:(1) 12323,19,15a a a =-=-=-; (2)等差数列 {}n a 的通项公式为: 427n a n =-由100n n a a +≤⎧⎨≥⎩即42704(1)270n n -≤⎧⎨+-≥⎩得232744n ≤≤.又*n N ∈∴6n =.所以数列 {}n a 的前6项均为负数，从第7项开始为正数. 所以该数列的所有负数项的和为:6652364782S ⨯=-⨯+⨯=-.17.解:(1)设()()0f x ax b a =+≠,则由已知得()()()()2815245f f f f =⎧⎪⎨⋅=⎪⎩, 所以()()()2815245a b a b f a b a b +=⎧⎪⎨+⋅+=+⎪⎩.解得417a b =⎧⎨=-⎩. 所以()f x 的解析式为()417f x x =-.(2) ()()()()()()()2462917817f f f f n n +++⋅⋅⋅+=-+-++⋅⋅⋅+-()298174132n n n n -+-==-.18.解: (1)设数列{}n a 的公差为d,由题意知112282412a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得12,2a d ==所以1(1)22(1)2n a a n d n n =+-=+-= (2)由(1)可得1()(22)(1)22n n a a n n nS n n ++===+ 因12,,k k a a S + 成等比数列,所以212k k a a S += 从而2(2)2(2)(3)k k k =++ ,即 2560k k --= 解得6k = 或1k =-(舍去),因此6k = .19．解：(1)由S n =22n n +,得当n=1时,113a S ==;当n ≥2时,1n n n a S S -=-=2222(1)(1)41n n n n n ⎡⎤+--+-=-⎣⎦, *n N ∈. 由a n =4log 2b n +3,得21n b n =-,*n N ∈.(2)由(1)知1(41)2n n n a b n -=-⋅, *n N ∈ 所以()21372112...412n n T n -=+⨯+⨯++-⋅,()2323272112...412n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅, ()212412[34(22...2)]n n n n T T n --=-⋅-++++(45)25n n =-+(45)25n n T n =-+, *n N ∈.。

2019_2020学年高中数学第二章数列能力测试新人教A版必修5

第二章数列能力检测满分150分．考试时间120分钟．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019年山西太原期末)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( ) A ．a n ＝n n ＋12B ．a n ＝n n －12C ．a n ＝n 2－(n －1) D ．a n ＝n 2－1【答案】A【解析】观察数列1,3,6,10，…，可以发现1＝1,3＝1＋2,6＝1＋2＋3,10＝1＋2＋3＋4，…，第n 项为1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n n ＋12.∴a n ＝n n ＋12.故选A ．2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足S 33－S 22＝1，则数列{a n }的公差d 是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2【答案】D【解析】由S 33－S 22＝1得a 1＋a 2＋a 33－a 1＋a 22＝a 1＋d －2a 1＋d 2＝d2＝1，∴d ＝2.3．已知3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，则等差数列的公差为( ) A ．4或－2 B ．－4或2 C ．4 D ．－4【答案】C【解析】∵3，a ＋2，b ＋4成等比数列，1，a ＋1，b ＋1成等差数列，∴(a ＋2)2＝3(b ＋4)，2(a ＋1)＝1＋b ＋1，联立解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝8.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4时，a ＋2＝0，与3，a ＋2，b ＋4成等比数列矛盾，应舍去；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝8时，等差数列的公差为(a ＋1)－1＝a ＝4.故选C ．4．已知等差数列{a n }的公差d ＜0，若a 4·a 6＝24，a 2＋a 8＝10，则该数列的前n 项和S n的最大值为( )A ．50B ．40C ．45D ．35【答案】C【解析】∵a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝10，a 4·a 6＝24，d ＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝6，a 6＝4.∴d ＝a 6－a 46－4＝－1，∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝10－n .∴当n ＝9或10时S n 取到最大值，S 9＝S 10＝45.5．公差不为0的等差数列{a n }，其前23项和等于其前10项和，a 8＋a k ＝0，则正整数k ＝( )A ．24B ．25C ．26D ．27【答案】C【解析】由题意设等差数列{a n }的公差为d ，d ≠0，∵其前23项和等于其前10项和，∴23a 1＋23×222d ＝10a 1＋10×92d ，变形可得13(a 1＋16d )＝0.∴a 17＝a 1＋16d ＝0.由等差数列的性质可得a 8＋a 26＝2a 17＝0，∴k ＝26.故选C ．6．已知各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则a 7a 9a 11＝( ) A ．16 B ．16 2 C ．32 D ．32 2【答案】B【解析】∵各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，∴a 4a 14＝(22)2＝8.∴a 7a 11＝a 29＝8.∴a 7a 9a 11＝16 2.故选B ．7．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于( )A ．129B ．1210 C ．110 D ．15【答案】D 【解析】∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若2a 8＝6＋a 11，则S 9的值等于( ) A ．54 B ．45 C ．36 D ．27【答案】A【解析】∵2a 8＝a 5＋a 11,2a 8＝6＋a 11，∴a 5＝6.∴S 9＝9a 5＝54.9．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n ＋2＞19的最大正整数n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】B【解析】∵a 2a 4＝4，a n ＞0，∴a 3＝2.∴a 1＋a 2＝12.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝12，a 1q 2＝2，消去a 1，得1＋qq2＝6.∵q ＞0，∴q ＝12.∴a 1＝8，∴a n ＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝24－n .∴不等式a n a n ＋1a n ＋2＞19化为29－3n＞19，当n＝4时，29－3×4＝18＞19，当n ＝5时，29－3×5＝164＜19.故选B ． 10．(2019年内蒙古包头模拟)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，则S 1＋S 2＋…＋S 2019＝( )A ．12 019 B ．12 020 C ．2 0182 019 D ．2 0192 020【答案】D【解析】∵n (n ＋1)S 2n ＋(n 2＋n －1)S n －1＝0(n ∈N *)，∴(S n ＋1)[n (n ＋1)S n －1]＝0.又S n＞0，∴n (n ＋1)S n －1＝0，∴S n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1.∴S 1＋S 2＋…＋S 2 019＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12 019－12 020＝2 0192 020.11．已知数列3,7,11，…，139与2,9,16，…，142，则它们所有公共项的个数为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】B【解析】由题意可知数列3,7,11，…，139的通项公式为a n ＝4n －1,139是数列第35项．数列2,9,16，…，142的通项公式为b m ＝7m －5,142是数列第21项．设数列3,7,11，…，139的第n 项与数列2,9,16，…，142的第m 项相同，则4n －1＝7m －5，n ＝7m －44＝7m 4－1，∴m为4的倍数且m 不大于21，n 不大于35.由此可知，m 只能为4,8,12,16,20.此时n 的对应值为6,13,20,27,34.∴公共项的个数为5.故选B ．12．(2019年福建厦门模拟)已知等差数列{a n }的公差d ≠0，{a n }的部分项ak 1，ak 2，…，ak n 构成等比数列，若k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，则k n ＝( )A ．2×3n －1－1 B ．2×3n －1＋1C ．2×3n－1 D ．2×3n＋1【答案】A【解析】设等比数列ak 1，ak 2，…，ak n 的公比为q .因为k 1＝1，k 2＝5，k 3＝17，所以a 1·a 17＝a 25，即a 1(a 1＋16d )＝(a 1＋4d )2，化简得a 1d ＝2d 2.又d ≠0，得a 1＝2d ，所以q ＝a 5a 1＝a 1＋4da 1＝2d ＋4d2d＝3.一方面，ak n 作为等差数列{a n }的第k n 项，有ak n ＝a 1＋(k n －1)d ＝2d ＋(k n －1)d ＝(k n ＋1)d ；另一方面，ak n 作为等比数列的第n 项，又有ak n ＝ak 1·q n －1＝a 1·3n －1＝2d ·3n －1，所以(k n ＋1)d ＝2d ·3n －1.又d ≠0，所以k n ＝2×3n －1－1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2017年新课标Ⅲ)设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________. 【答案】－8【解析】设{a n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＝a 11＋q ＝－1，a 1－a 3＝a 11－q2＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝－2，∴a 4＝a 1q 3＝－8.14．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．【答案】13【解析】∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3.a n ＝a 1qn －1，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，解得q ＝13.15．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n 且a 1＝12，则该数列的前 2 017项的和等于________．【答案】3 0252【解析】∵a 1＝12，a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，∴a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1k ∈N ＋，1，n ＝2k k ∈N ＋，故数列的前2 017项的和S 2 017＝1 008×1＋1 009×12＝3 0252.16．(2018年江苏)已知集合A ＝{x |x ＝2n －1，n ∈N *}，B ＝{x |x ＝2n ，n ∈N *}．将A ∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n }．记S n 为数列{a n }的前n 项和，则使得S n >12a n ＋1成立的n 的最小值为________．【答案】27【解析】B ＝{2,4,8,16,32,64,128…}，与A 相比，元素间隔大，所以从S n 中加了几个B 中元素考虑.1个：n ＝1＋1＝2，S 2＝3,12a 3＝36；2个：n ＝2＋2＝4，S 4＝10,12a 5＝60；3个：n ＝4＋3＝7，S 7＝30,12a 8＝108；4个：n ＝8＋4＝12，S 12＝94,12a 13＝204；5个：n ＝16＋5＝21，S 21＝318,12a 22＝396；6个：n ＝32＋6＝38，S 38＝1 150,12a 39＝780.发现21≤n ≤38时S n －12a n ＋1与0的大小关系发生变化，以下采用二分法查找：S 30＝687,12a 31＝612，所以所求n 应在22～29之间，S 25＝462,12a 26＝492，所以所求n 应在25～29之间，S 27＝546,12a 28＝540，所以所求n 应在25～27之间，S 26＝503,12a 27＝516.因为S 27>12a 28，而S 26<12a 27，所以使得S n >12a n＋1成立的n 的最小值为27.三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分10分)(2017年北京)已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式； (2)求和：b 1＋b 3＋b 5＋…＋b 2n －1. 【解析】(1)设等差数列{a n }的公差为d . 因为a 2＋a 4＝10，∴2a 1＋4d ＝10. 解得d ＝2. 所以a n ＝2n －1.(2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2b 4＝a 5，所以b 21q 4＝9. 解得q 2＝3. 所以b 2n －1＝b 1q2n －2＝3n －1.从而b 1＋b 3＋b 5＋…b 2n －1＝1＋3＋32＋…＋3n －1＝3n－12.18．(本小题满分12分)已知{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，S 5＝S 6且a 3＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 2＝6,6b 1＋b 3＝－5a 3，求{b n }的前n 项和T n .【解析】(1)由已知可得a 6＝0，设等差数列的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得d ＝2，a 1＝－10，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －12. (2)设{b n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧b 1q ＝6，6b 1＋b 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，q ＝3.1－2当b 1＝2，q ＝3时，T n ＝21－3n1－3＝3n－1.19．(本小题满分12分)等差数列{a n }满足：a 2＋a 4＝6，a 6＝S 3，其中S n 为数列{a n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若k ∈N *且a k ，a 3k ，S 2k 成等比数列，求k 值．【解析】(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 2＋a 4＝6，a 6＝S 3，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋4d ＝6，a 1＋5d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1.∴a n ＝1＋1×(n －1)＝n . (2)S 2k ＝2k ＋2k2k －12＝2k 2＋k ，由a k ，a 3k ，S 2k 成等比数列，得 9k 2＝k (2k 2＋k )，解得k ＝4.20．(本小题满分12分)已知数列{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝2且a 2，a 4，a 8成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若{b n －(－1)na n }是等比数列且b 2＝7，b 5＝71，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解析】(1)设数列{a n }的公差为d (d ≠0)， ∵a 1＝2且a 2，a 4，a 8成等比数列， ∴a 24＝a 2a 8，即(2＋3d )2＝(2＋d )(2＋7d )，解得d ＝2或d ＝0(舍去)．∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋2(n －1)＝2n .(2)令c n ＝b n －(－1)na n ，设数列{c n }的公比为q ， ∵b 2＝7，b 5＝71，a n ＝2n ，∴c 2＝b 2－a 2＝7－2×2＝3，c 5＝b 5＋a 5＝71＋2×5＝81.∴q 3＝c 5c 2＝813＝27，故q ＝3.∴c n ＝c 2·q n －2＝3×3n －2＝3n －1，即b n －(－1)n a n ＝3n －1，∴b n ＝3n －1＋(－1)n·2n .则T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(30＋31＋…＋3n －1)＋[－2＋4－6＋…＋(－1)n·2n ]，1－322当n 为奇数时，T n ＝1－3n1－3＋2×n －12－2n ＝3n－2n －32.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋2n －12，n 为偶数，3n－2n －32，n 为奇数.21．(本小题满分12分)(2019年山东莱芜模拟)已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和为S n . 【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q . ∵a n ＋1＋a n ＝9·2n －1，∴a 2＋a 1＝9，a 3＋a 2＝18.∴q ＝a 3＋a 2a 2＋a 1＝189＝2. 又2a 1＋a 1＝9，∴a 1＝3. ∴a n ＝3·2n －1，n ∈N *.(2)b n ＝na n ＝3n ·2n －1，∴13S n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1.① ∴23S n ＝1×21＋2×22＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n.② ①－②，得－13S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ×2n ＝1－2n1－2－n ×2n ＝(1－n )2n－1.∴S n ＝3(n －1)2n＋3.22．(本小题满分12分)数列{a n }是公比为12的等比数列且1－a 2是a 1与1＋a 3的等比中项，前n 项和为S n ；数列{b n }是等差数列，b 1＝8，其前n 项和T n 满足T n ＝nλ·b n ＋1(λ为常数且λ≠1)．(1)求数列{a n }的通项公式及λ的值； (2)比较1T 1＋1T 2＋1T 3＋…＋1T n 与12S n 的大小．【解析】(1)由题意得，(1－a 2)2＝a 1(1＋a 3)， ∴(1－a 1q )2＝a 1(1＋a 1q 2)． ∵q ＝12，∴a 1＝12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.∵⎩⎪⎨⎪⎧T 1＝λb 2，T 2＝2λb 3，∴⎩⎪⎨⎪⎧8＝λ8＋d ，16＋d ＝2λ8＋2d .∴λ＝12，d ＝8.(2)由(1)得b n ＝8n ，∴T n ＝4n (n ＋1)． ∴1T n ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. 令C n ＝1T 1＋1T 2＋…＋1T n＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，∴18≤C n ＜14. ∵S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，∴12S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ，∴14≤12S n ＜12. ∴C n ＜12S n .。

高二数学人教A必修5练习：第二章数列过关检测 Word版含解析.docx

第二章过关检测(时间:90分钟满分:100分)知识点分布表一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分)1.在等差数列{a n}中,S10=120,则a1+a10的值是()A.12B.24C.36D.48答案:B解析:S10==120解得,a1+a10=24.2.等比数列{a n}中,a2,a6是方程x2-34x+64=0的两根,则a4=()A.8B.-8C.±8D.以上都不对答案:A解析:由已知得a2+a6=34,a2·a6=64,所以a2>0,a6>0,则a4>0.又=a2·a6=64,∴a4=8.3.如果f(n+1)=(n=1,2,3,…)且f(1)=2,则f(101)等于()A.49B.50C.51D.52答案:D解析:∵f(n+1)==f(n)+,∴f(n+1)-f(n)=,即数列{f(n)}是首项为2,公差为的等差数列.∴通项公式为f(n)=2+(n-1)×n+.∴f(101)=×101+=52.4.已知各项均为正数的等比数列{a n}中,a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=()A.5B.7C.6D.4答案:A解析:(a1a2a3)·(a7a8a9)=(a1a9)·(a2a8)·(a3a7)==50,∴=5.又a4a5a6=(a4a6)·a5=,故选A.5.若数列{a n}满足a1=15,且3a n+1=3a n-2,则使a k·a k+1<0的k值为()A.22B.21C.24D.23答案:D解析:因为3a n+1=3a n-2,所以a n+1-a n=-,所以数列{a n}是首项为15,公差为-的等差数列,所以a n=15-(n-1)=-n+,由a n=-n+>0,得n<23.5,所以使a k·a k+1<0的k值为23.6.若数列{a n}满足a n+1=1-,且a1=2,则a2 012等于()A.-1B.2C.D.答案:D解析:∵a n+1=1-,a1=2,∴a2=1-,a3=1-2=-1,a4=1-=2.-由此可见,数列{a n}的项是以3为周期重复出现的,∴a2012=a670×3+2=a2=.7.数列{a n}的首项为3,{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n(n∈N*).若b3=-2,b10=12,则a8=()A.0B.3C.8D.11答案:B解析:{b n}为等差数列,公差d=-=2,-∴b n=b3+2(n-3)=2n-8.∴a n+1-a n=2n-8.∴a8=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a8-a7)=3+(-6)+(-4)+…+6=3+-=3.8.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m=()A.3B.4C.5D.6答案:C解析:∵S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,∴a m=S m-S m-1=0-(-2)=2,a m+1=S m+1-S m=3-0=3.∴d=a m+1-a m=3-2=1.∵S m=ma1+-×1=0,∴a1=--.又∵a m+1=a1+m×1=3,∴--+m=3.∴m=5.故选C.9.等差数列{a n}中,已知3a5=7a10,且a1<0,则数列{a n}前n项和S n(n∈N*)中最小的是()A.S7或S8B.S12C.S13D.S14答案:C解析:由3a5=7a10得3(a1+4d)=7(a1+9d),解得d=-a1>0.所以a n=a1+(n-1)d=a1-(n-1)×a1,由a n=a1-(n-1)×a1≤0,即1--≥0,解得n≤=13,即当n≤13时,a n<0.当n>13时,a n>0,所以前13项和最小,所以选C.10.(2015河南南阳高二期中,12)数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1;b n=(-1)n a n(n∈N*);则数列{b n}的前50项和为()A.49B.50C.99D.100答案:A解析:∵数列{a n}的前n项和S n=n2+n+1,∴a1=S1=3,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n+1-[(n-1)2+(n-1)+1]=2n,故a n=∴b n=(-1)n a n=--∴数列{b n}的前50项和为(-3+4)+(-6+8)+(-10+12)+…+(-98+100)=1+24×2=49,故选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)11.已知数列{a n}中,a n=2×3n-1,则由它的偶数项所组成的新数列的前n项和S n=.答案:-解析:∵数列{a n}是等比数列,∴它的偶数项也构成等比数列,且首项为6,公比为9.∴其前n项和S n=---.12.正项数列{a n}满足:a1=1,a2=2,2-(n∈N*,n≥2),则a7=.答案:解析:因为2-(n∈N*,n≥2),所以数列{}是以=1为首项,以d==4-1=3为公差的等差数列.所以=1+3(n-1)=3n-2.所以a n=-,n≥1.所以a7=-.13.(2015江西吉安联考,13)已知数列{a n}满足a n a n+1a n+2a n+3=24,且a1=1,a2=2,a3=3,则a1+a2+a3+…+a2 013+a2 014=.答案:5 033解析:∵数列{a n}满足a n a n+1a n+2a n+3=24,∴a1a2a3a4=24,a4==4,∵a n a n+1a n+2a n+3=24,∴a n+1a n+2a n+3a n+4=24,∴a n+4=a n,∴数列{a n}是以4为周期的周期数列,2014=503×4+2,∴a1+a2+a3+…+a2013+a2014=503×(1+2+3+4)+1+2=5033.14.(2015山东省潍坊四县联考,14)已知数列{a n}满足a1+3·a2+32·a3+…+3n-1·a n=,则a n=.答案:-解析:∵a1+3·a2+32·a3+…+3n-1·a n=,∴当n≥2时,a1+3·a2+32·a3+…+3n-2·a n-1=-,两式相减得3n-1·a n=-,即a n=,n≥2,-,当n=1时,a1=,满足a n=-.故a n=-三、解答题(本大题共4小题,15、16小题每小题10分,17、18小题每小题12分,共44分)15.(2015河南郑州高二期末,17)设等差数列{a n}满足a3=5,a10=-9.(1)求{a n}的通项公式;(2)求{a n}的前n项和S n的最大值.解:(1)由a n=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得,解得-数列{a n}的通项公式为a n=11-2n.(2)由(1)知S n=na1+-d=10n-n2.因为S n=-(n-5)2+25.所以n=5时,S n取得最大值25.16.在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解:(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11.则当1≤n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=-n2+n.当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11=n2-n+110.综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=17.(2015福建省宁德市五校联考,21)已知数列{a n}中,a1=3,a n+1=4a n+3.(1)试写出数列{a n}的前三项;(2)求证:数列{a n+1}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式a n;(3)设b n=log2(a n+1),记数列的前n项和为T n,求T n的取值范围.解:(1)∵a1=3,a n+1=4a n+3,∴a1=3,a2=15,a3=63.(2)∵=4,∴数列{a n+1}是公比为4的等比数列.∴a n+1=(a1+1)·4n-1=4n,∴a n=4n-1.(3)∵b n=log2(a n+1)=log24n=2n,∴-,∴T n=---…=-,∵T n=-是关于n(n∈N*)的单调递增函数,∴n=1时,(T n)min=,n→+∞时,T n→.∴T n的取值范围是.18.(2015山东高考,理18)设数列{a n}的前n项和为S n.已知2S n=3n+3.(1)求{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足a n b n=log3a n,求{b n}的前n项和T n.解:(1)因为2S n=3n+3,所以2a1=3+3,故a1=3,当n>1时,2S n-1=3n-1+3,此时2a n=2S n-2S n-1=3n-3n-1=2×3n-1,即a n=3n-1,所以a n=-(2)因为a n b n=log3a n,所以b1=,当n>1时,b n=31-n log33n-1=(n-1)·31-n.所以T1=b1=;当n>1时,T n=b1+b2+b3+…+b n=+(1×3-1+2×3-2+…+(n-1)×31-n), 所以3T n=1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n),两式相减,得2T n=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=-----(n-1)×31-n =,所以T n=.经检验,n=1时也适合.综上可得T n=.。

必修五第二章数列导学案加章末检测

式中不是数列 1， 1 ，1， 1 ，1， 1 ，…的通项公式的是（． A． an (1)n B． an (1)n1 C． an (1)n1 ） D． an 3n 3 D． an
【自学评价】
1．数列的定义：___________________叫做数列(sequence of number).
【例 3】在数列 {an } 中，a1=2,a17=66，通项公式是项数 n 的一次函数. （1）求数列 {an } 的通项公式；（2）88 是否是数列 {an } 中的项.
叫做这个数列的通项公式（the formula of general term）. 注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式，如数列 1，1.4，1.41， 1.414，…；（2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是 a n 也可以是 a n | cos
第二章
数列的概念及其通项公式【学习导航】
数列也可根据其通项公式画出其对应图象． 6．数列的表示形式：_______________________________________.
【精典范例】
【例1】已知数列的第 n 项 an 为 2n 1 ，写出这个数列的首项、第 2 项和第 3 项．【例 2】根据下面数列 an 的通项公式，写出它的前 5 项，并作出它的图象：
n为奇数 1， 1，n为偶数
）
【注意】⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不
同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 思考:简述数列与数集的区别.______________________________. 2．数列的项：________都叫做这个数列的项(term). 各项依次叫做这个数列的第 1 项（或首项），第 2 项，…，第 n 项，…. 3．数列的分类：按项分类：有穷数列（项数有限）；无穷数列（项数无限）. 4．数列的通项公式：如果数列 an 的第 n 项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就

2018-2019学年人教A版必修五第二章数列章末检测试卷(二)

章末检测试卷(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1.已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1＋1a n －2(n ≥3)，则a 5等于( ) A.5512 B.133C.4D.5 考点数列的递推公式题点由递推公式求项答案 A解析 a 3＝a 2＋1a 1＝3＋1＝4，a 4＝a 3＋1a 2＝4＋13＝133，a 5＝a 4＋1a 3＝133＋14＝5512. 2.等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( )A.1B.2C.3D.4考点等差数列基本量的计算问题题点等差数列公差有关问题答案 B解析 ∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，∴d ＝a 4－a 3＝7－5＝2.3.公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 3·a 11＝16，则a 5等于( )A.1B.2C.4D.8考点等比数列的性质题点利用项数的规律解题答案 A解析 ∵a 3·a 11＝a 27＝16，∴a 7＝4，∴a 5＝a 7q 2＝422＝1. 4.等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数也为定值的是( )A.S 7B.S 8C.S 13D.S 15考点等差数列前n 项和题点等差数列前n 项和有关的基本量计算问题答案 C解析 ∵a 2＋a 8＋a 11＝(a 1＋d )＋(a 1＋7d )＋(a 1＋10d )＝3a 1＋18d ＝3(a 1＋6d )为常数，∴a 1＋6d 为常数.∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )也为常数. 5.在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项的和S 11等于( )A.58B.88C.143D.176考点等差数列前n 项和性质运用题点等差数列前n 项和与中间项的关系答案 B解析 S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88.6.等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( )A.81B.120C.168D.192考点等比数列前n 项和题点等比数列的前n 项和有关的基本量计算问题答案 B解析由a 5＝a 2q 3得q ＝3.∴a 1＝a 2q ＝3，S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝3(1－34)1－3＝120.7.数列{(－1)n ·n }的前2 017项的和S 2 017为( )A.－2 015B.－1 009C.2 015D.1 009考点数列前n 项和的求法题点并项求和法答案 B解析 S 2 017＝－1＋2－3＋4－5＋…＋2 016－2 017＝(－1)＋(2－3)＋(4－5)＋…＋(2 016－2 017)＝(－1)＋(－1)×1 008＝－1 009.8.若{a n }是等比数列，其公比是q ，且－a 5，a 4，a 6成等差数列，则q 等于() A.1或2 B.1或－2C.－1或2D.－1或－2考点等差等比数列综合应用题点等差等比基本量问题综合答案 C解析由题意得2a 4＝a 6－a 5，即2a 4＝a 4q 2－a 4q ，而a 4≠0，∴q 2－q －2＝0，即(q －2)(q ＋1)＝0.∴q ＝－1或q ＝2.9.一个首项为23，公差为整数的等差数列，从第7项开始为负数，则它的公差是( )A.－2B.－3C.－4D.－6考点等差数列基本量的计算问题题点等差数列公差有关问题答案 C解析由题意，知a 6≥0，a 7<0.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝23＋5d ≥0，a 1＋6d ＝23＋6d <0，∴－235≤d <－236.∵d ∈ ，∴d ＝－4.10.设{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是() A.d <0B.a 7＝0C.S 9>S 5D.S 6与S 7均为S n 的最大值考点等差数列前n 项和性质运用题点等差数列前n 项和有关的不等式问题答案 C解析由S 5<S 6，得a 6＝S 6－S 5>0.又S 6＝S 7⇒a 7＝0，所以d <0.由S 7>S 8⇒a 8<0，因此，S 9－S 5＝a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝2(a 7＋a 8)<0，即S 9<S 5.11.在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式为a n 等于( )A.2n －1B.2n －1－1C.2n －1D.2(n －1)考点递推数列通项公式求法题点一阶线性递推数列答案 A 解析等式两边加1，a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，所以数列{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，q ＝2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝2n －1.12.某人为了观看2018年世界杯足球赛，从2014年起，每年的5月1日到银行存入a 元的定期储蓄，若年利率为p 且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2018年的5月1日将所有存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为( )A.a (1＋p )4B.a (1＋p )5C.a p[(1＋p )4－(1＋p )] D.a p[(1＋p )5－(1＋p )] 考点等比数列前n 项和应用题题点等比数列前n 项和的应用题答案 D解析设自2015年起每年到5月1日存款本息合计为a 1，a 2，a 3，a 4.则a 1＝a ＋a ·p ＝a (1＋p )，a 2＝a (1＋p )(1＋p )＋a (1＋p )＝a (1＋p )2＋a (1＋p )，a 3＝a 2(1＋p )＋a (1＋p )＝a (1＋p )3＋a (1＋p )2＋a (1＋p )，a 4＝a 3(1＋p )＋a (1＋p )＝a [(1＋p )4＋(1＋p )3＋(1＋p )2＋(1＋p )]＝a ·(1＋p )[1－(1＋p )4]1－(1＋p ) ＝a p[(1＋p )5－(1＋p )]. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n ＋，则实数＝ . 考点等比数列前n 项和的性质题点等比数列前n 项和性质综合答案－1解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋ )－(3n －1＋ )＝3n －3n －1＝2·3n －1.由题意知{a n}为等比数列，所以a1＝3＋＝2，所以＝－1.14.如果数列{a n}的前n项和S n＝2a n－1，n∈N，则此数列的通项公式a n＝. 考点递推数列通项公式求法题点其他递推数列问题答案2n－1解析当n＝1时，S1＝2a1－1，即a1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝(2a n－1)－(2a n－1－1)，∴a n＝2a n－1，∴{a n}是等比数列，∴a n＝2n－1，n≥2，n∈N，经检验n＝1也符合.15.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是 .考点等比中项题点利用等比中项解题答案 5－12解析设三边为a ，aq ，aq 2(q >1)，则(aq 2)2＝(aq )2＋a 2，∴q 2＝5＋12.较小锐角记为θ，则sin θ＝a aq 2＝5－12. 16.定义：如果一个列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个量，那么这个列叫作等差列，这个量叫作等差列的公差.已知向量列{a n }是以a 1＝(1,3)为首项，公差为d ＝(1,0)的等差向量列，若向量a n 与非零向量b n ＝(x n ，x n ＋1)(n ∈N )垂直，则x 5x 1＝ . 考点数列综合问题题点数列其他综合问题答案 827解析易知a n ＝(1,3)＋(n －1,0)＝(n,3)，因为向量a n 与非零向量b n ＝(x n ，x n ＋1)(n ∈N )垂直，所以x n ＋1x n ＝－n 3，所以x 5x 1＝x 2x 1·x 3x 2·x 4x 3·x 5x 4＝⎝⎛⎭⎫－13×⎝⎛⎭⎫－23×⎝⎛⎭⎫－33×⎝⎛⎭⎫－43＝827. 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列.(1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意 ∈N ，S ＋2，S ，S ＋1成等差数列.考点等差等比数列综合应用题点等差等比数列其他综合问题(1)解设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)，由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4，即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3，由a 1≠0，q ≠0，得q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，所以q ＝－2.(2)证明方法一对任意 ∈N ，S ＋2＋S ＋1－2S＝(S ＋2－S )＋(S ＋1－S )＝a ＋1＋a ＋2＋a ＋1＝2a ＋1＋a ＋1·(－2)＝0，所以对任意 ∈N ，S ＋2，S ，S ＋1成等差数列.方法二对任意 ∈N ,2S ＝2a 1(1－q k )1－q ， S ＋2＋S ＋1＝a 1(1－q k ＋2)1－q ＋a 1(1－q k ＋1)1－q＝a 1(2－q k ＋2－q k ＋1)1－q，则2S －(S ＋2＋S ＋1)＝2a 1(1－q k )1－q －a 1(2－q k ＋2－q k ＋1)1－q＝a 11－q[2(1－q )－(2－q ＋2－q ＋1)] ＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0，因此，对任意 ∈N ，S ＋2，S ，S ＋1成等差数列.18.(12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N ，a 3＝5，S 10＝100.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2n ，求数列{b n }的前n 项和T n .考点数列前n 项和的求法题点分组求和法解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5，10a 1＋10×92d ＝100，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝2a n ＋2n ＝12×4n ＋2n ，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12(4＋42＋…＋4n )＋2(1＋2＋…＋n )＝4n ＋1－46＋n 2＋n ＝23×4n ＋n 2＋n －23. 19.(12分)已知数列{log 2(a n －1)}(n ∈N )为等差数列，且a 1＝3，a 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n<1. 考点数列综合问题题点数列与不等式的综合(1)解设等差数列{log 2(a n －1)}的公差为d .由a 1＝3，a 3＝9，得log 2(9－1)＝log 2(3－1)＋2d ，则d ＝1.所以log 2(a n －1)＝1＋(n －1)×1＝n ，即a n ＝2n ＋1.(2)证明因为1a n ＋1－a n ＝12n ＋1－2n ＝12n ，所以1a 2－a 1＋1a 3－a 2＋…＋1a n ＋1－a n＝121＋122＋123＋…＋12n ＝12－12n ×121－12＝1－12n <1. 20.(12分)某市2016年发放汽车牌照12万张，其中燃油型汽车牌照10万张，电动型汽车牌照2万张.为了节能减排和控制汽车总量，从2016年开始，每年电动型汽车牌照按50 增长，而燃油型汽车牌照每一年比上一年减少0.5万张，同时规定一旦某年发放的牌照超过15万张，以后每一年发放的电动车的牌照的数量维持在这一年的水平不变.(1)记2016年为第一年，每年发放的燃油型汽车牌照数构成数列{a n }，每年发放的电动型汽车牌照数构成数列{b n }，完成下列表格，并写出这两个数列的通项公式.(2)从2016年算起，累计各年发放的牌照数，哪一年开始超过200万张？考点等差数列前n 项和应用题题点等差数列前n 项和的应用题解 (1)当1≤n ≤20且n ∈N 时，a n ＝10＋(n －1)×(－0.5)＝－0.5n ＋10.5；当n ≥21且n ∈N 时，a n ＝0.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5n ＋10.5，1≤n ≤20且n ∈N *，0，n ≥21且n ∈N *. 而a 4＋b 4＝15.25>15，所以b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·⎝⎛⎭⎫32n －1，1≤n ≤4且n ∈N *，6.75，n ≥5且n ∈N *.(2)当n ＝4时，S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝53.25. 当5≤n ≤21时，S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋b 5＋…＋b n ) ＝10n ＋n (n －1)2·⎝⎛⎭⎫－12＋2⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫3241－32＋274(n －4) ＝－14n 2＋17n －434，由S n ≥200得－14n 2＋17n －434≥200，即n 2－68n ＋843≤0，得34－313≤n ≤21.所以结合实际情况，可知到2032年累积发放汽车牌照超过200万张.21.(12分)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n ，n ∈N .(1)设b n ＝a n 2n －1，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .考点递推数列通项公式求法题点 a n ＋1＝pa n ＋f (n )型(1)证明由已知a n ＋1＝2a n ＋2n ，得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. ∴b n ＋1－b n ＝1，又b 1＝a 1＝1， ∴{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解由(1)知，b n ＝n ，即a n 2n －1＝b n ＝n ， ∴a n ＝n ·2n －1. ∴S n ＝1＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，两边同时乘以2得 2S n ＝1·21＋2·22＋…＋(n －1)·2n －1＋n ·2n ，两式相减得－S n ＝1＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ＝2n －1－n ·2n ＝(1－n )2n －1， ∴S n ＝(n －1)·2n ＋1.22.(12分)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由.考点数列综合问题题点数列与不等式的综合解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝53，q ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1，n ∈N . (2)设S m ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a m，若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝35⎝⎛⎭⎫13n －1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为35，公比为13的等比数列. 从而S m ＝35⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m 1－13＝910·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13m <910<1. 若a n ＝－5·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而S m ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1(k ∈N *)，0，m ＝2k (k ∈N *)，故S m <1.综上，对任何正整数m ，总有S m <1.故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1成立.。

(人教版)高中数学必修5检测第2章数列2.5 Word版含答案

第二章一、选择题(每小题分，共分)．在等比数列{}中，公比＝－，＝，则的值为( )．．－．．－解析：＝，∴＝，∴＝，故选.答案：．等比数列{}中，＝＋，＝＋，则公比等于( )．．．．解析：∵＝＋，＝＋，∴－＝(－)＝，即＝，∴＝＝，故选.答案：．设等比数列{}的前项和为，若＝，则＝( )．．．．解析：由题意知＝＝＝＋＝，∴＝.∴＝＝＝＝＝.答案：．已知{}是等比数列，＝，＝，则＋＋…＋＋＝( )．(－－) ．(－－)．(－－) ．(－－)解析：∵＝＝，∴＝，∴·＋＝·－··＝－，故＋＋＋…＋＋＝＋＋－＋－＋…＋－＝＝(－－)．答案：二、填空题(每小题分，共分)．设等比数列{}的前项和为.若＝，＝，则＝.解析：∵＝，∴＝，解得＝.∴＝＝.答案：．数列{}是等比数列，其前项和为，已知＝，＝，则＝.解析：由等比数列前项和的性质，知，－，－成等比数列，即(－)＝(－)，又＝，＝，故＝.答案：三、解答题(每小题分，共分)．在等比数列{}中，＋＝，－＝，＝，求和.解析：由等比数列性质知＝－＝，联立方程组(\\(＋＝，＝，))∴，为方程－＋＝的两根，又由此方程两根分别为，∴或当＝，＝时，又∵＝＝，得＝，又由＝·－，即＝·－＝·－，∴＝；当＝，＝时，又∵＝＝，得＝，又由＝·－，即＝·－，得＝.综上知＝，＝或.．一个等比数列的首项是，项数是偶数，其奇数项的和为，偶数项的和为，求此数列的公比和项数．解析：方法一：设原等比数列的公比为，项数为(∈*)．由已知＝，≠，有(\\((－－)＝，①,((－(－)＝，②))由②÷①，得＝，∴＝＝，∴＝.故公比为，项数为.方法二：设原等比数列的公比为，项数为(∈*)∵偶＝＋＋…＋＝＋＋…＋－＝(＋＋…＋－)＝奇·.∴＝＝＝.又＝＋＝，据＝，得＝，∴＝，∴＝.即公比为，项数为.☆☆☆.(分)等比数列{}的前项和为，已知，，成等差数列．()求{}的公比；()若－＝，求.解析：()∵，，成等差数列，∴＝＋，显然{}的公比≠，于是＝＋，即(＋＋)＝＋，。

高中数学：《数列》章末检测(含答案)

章末检测一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，432a a =，则公差d = A ．0B ．2C ．1-D ．2-2．在等比数列{}n a 中，若12a =，416a =，则数列{}n a 的前5项和5S = A ．30B ．31C ．62D ．643．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若58a =，36S =，则9a = A ．8B ．12C ．16D ．244．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，36S =，则4S = A ．10或8B ．10-或8C ．10-D ．10-或8-5．设等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的n ∈*N ，都有231n n S n T n =+A ．23B ．914 C ．2031D ．11176．已知数列{}n a 是等比数列，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则234a a a ++= A ．7B ．12C ．14D ．647．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，设其前n 项和为n S ，若1a ，24a +，3a 成等差数列，则6S = A ．728B ．729C ．730D ．7318．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若80S >且90S <，则当n S 最大时n = A ．8B ．5C ．4D ．39．在等差数列{}n a 中，已知22383829a a a a ++=，且0n a <，则数列{}n a 的前10项和10S =A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-10．在等差数列{}n a 中，已知3576a a a ++=，118a =n 项和n S =A ．12n n ++ B ．2n n + C ．1nn + D ．21nn + 11．已知数列{}n a 满足11a =-，1|121|n n n a a a +=-++，其前n 项和为n S ，则下列说法正确的个数为①数列{}n a 是等差数列；②数列{}n a 是等比数列；③23n n a -=；④1332n n S --=．A ．0B ．1C ．2D ．312．已知数列{}n a 满足112a =12100k a a a +++<成立的最大正整数k的值为 A ．198B ．199C ．200D ．201二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．在等差数列{}n a 中，已知12a =，3510a a +=，则7a =________________．14．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 的通项公式n a =________________．15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若10m a =，21110m S -=，则正整数m =________________． 16．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-．已知数列{}n a 满足11a =，21n nn a a a +=+，则122018111[]111a a a +++=+++________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．若数列{}n a 满足11a =，21a =，且21n n n a a a ++=+，则称数列{}n a 为M 数列．小明同学在研究该数列时发现许多有趣的性质，如：由21n n n a a a ++=+可得21n n n a a a ++=-，所以12n a a a +++=324321222()()()1n n n n a a a a a a a a a ++++-+-+-==+--，另外小明还发现下面两条性质，请你给出证明．（1）2462211n n a a a a a +++++=-；（2）22221231n n n a a a a a a +++++=．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，且11a =，452S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．设等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，等比数列{}n b 的前n 项和为nT ，已知11a =-，11b =，223a b +=．（1）若337a b +=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若313T =，且0n b >，求n S ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，点(,)n n S 在抛物线23122y x x =+上，各项都为正数的等比数列{}nb4116b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n a a C a b =+，求数列{}n C 的前n 项和n T ．21．已知等比数列{}n a 的前n 项和312n n S -=，等差数列{}n b 的前5项和为30，且714b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．22．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，且34117a a =，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等差数列，且nn S b n c=+，求非零常数c 的值．（3）设11n n n C a a +=，n T 为数列{}n C 的前n 项和，是否存在正整数M ，使得8n M T >对任意的n ∈*N 均成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．【章末检测A 参考答案】1.D2.C3.C4.B5.B6.C7.A8.C9.D10．C 【解析】设数列{}n a 的公差为d ，因为3576a a a ++=，所以536a =，即52a =，又118a =，所以1151115a a d -==-，所以5(5)3n a a n d n =+-=-，因此数列n 11n n++-+C ． 11．B12．C )∈*N ，所以2121a =-=-，3112a =+=5121a =-=-，6112a =+=……故数列{}n a 是周期为3的周期数列，且每个周期内的三个数的和为3，所以当198366k ==⨯时，12319836699100a a a a +++⋅⋅⋅+=⨯=<，故使12100k a a a +++<成立的最大正整数k 的值为200，故选C ． 13．8 14．12n - 15．616．0【解析】因为21n nn a a a +=+，所以21111(1)n n n n n a a a a a +===++111n n a a -+，即11111n n n a a a +=-+；所以23201820192011220189121111111111[][()()()][1]111a a a a a a a a a a +++=-+-++-=-+++；因为11a =，210n n n a a a +=+>，所以数列{}n a 单调递增，所以20191a >，所以2019101a <<，所以20191011a <-<，所以12201820191111[][1]0111a a a a +++=-=+++．17．【解析】（1）由21n n n a a a ++=+，可得12n n n a a a ++=-，所以24623153752121()()()()n n n a a a a a a a a a a a a +-++++=-+-+-++-211n a a +-=211n a +=-．（2）由（1）得12n n n a a a ++=-，所以21121n n n n n a a a a a ++++=-，所以2222212312312342311()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a +-++++=+-+-++-21112n n a a a a a +=+- 21111n n a a +=+-⨯1n n a a +=．18．【答案】（1）n a n =；（2）1)12(nn T n -+=．19．【答案】（1）12n n b -=；（220．【答案】（1）31n a n =-，（2【解析】（1）因为点(,)n n S 在抛物线2y x x =+上，所以2122n S n n =+，当2n ≥，所以131n n n a S S n -=-=-，当1n =时，112a S ==，也符合上式；所以31n a n =-．设等比数列{}n b 的公比为q ，4116b =，所以14q 2=，又数列{}n b 的各项均为正数，所以12q =，112a =（2）由（1）可得3(31)194n a a n n =--=-，311()2n n a b -=，所以31194()n n n n a a C a b n -=+=-+，21．【答案】（1）13n n a -=，2n b n =；（2）11()322n n T n =-⋅+．【解析】（1）当1n =时，1113112a S -===；当2n ≥时，111313()132n n n n n n a S S ------=-==，综上可得13n n a -=．设数列{}n b 的公差为d ，由题意可得1161451030b d b d +=⎧⎨+=⎩，解得12b =，2d =，故2n b n =．（2）由（1）可得123n n n a b n -=⋅，所以01221234363(22)323n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ①，12313234363(22)323n n n T n n -+=⨯+⨯+⨯+-⨯+⨯ ②，①－②得，1212(13)222323232323(12)3113n n nn n n T n n n ---=+⨯+⨯++⨯-⋅=-⨯=-⨯--，所以11()322nn T n =-⋅+． 22．【答案】（1）43n a n =-；（2）12-；（3）存在，M 的最小值为2．强化训练一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知数列{}n a 是等差数列，若12a =，432a a =，则公差d = A ．0B ．2C ．1-D ．2-2．在等比数列{}n a 中，若12a =，416a =，则数列{}n a 的前5项和5S = A ．30B ．31C ．62D ．643．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若58a =，36S =，则9a = A ．8B ．12C ．16D ．244．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，36S =，则4S = A ．10或8B ．10-或8C ．10-D ．10-或8-5．设等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意的n ∈*N ，都有231n n S n T n =+A ．23B ．914 C ．2031D ．11176．已知数列{}n a 是等比数列，11a =，且14a ，22a ，3a 成等差数列，则234a a a ++= A ．7B ．12C ．14D ．647．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，设其前n 项和为n S ，若1a ，24a +，3a 成等差数列，则6S = A ．728B ．729C ．730D ．7318．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若80S >且90S <，则当n S 最大时n = A ．8B ．5C ．4D ．39．在等差数列{}n a 中，已知22383829a a a a ++=，且0n a <，则数列{}n a 的前10项和10S =A ．9-B ．11-C ．13-D ．15-10．在等差数列{}n a 中，已知3576a a a ++=，118a =n 项和n S =A ．12n n ++ B ．2n n + C ．1nn + D ．21nn +11．已知数列{}n a 满足11a =-，1|121|n n n a a a +=-++，其前n 项和为n S ，则下列说法正确的个数为①数列{}n a 是等差数列；②数列{}n a 是等比数列；③23n n a -=；④1332n n S --=．A ．0B ．1C ．2D ．312．已知数列{}n a 满足112a =12100k a a a +++<成立的最大正整数k的值为 A ．198B ．199C ．200D ．201二、填空题：请将答案填在题中横线上．13．在等差数列{}n a 中，已知12a =，3510a a +=，则7a =________________．14．已知数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 的通项公式n a =________________．15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若10m a =，21110m S -=，则正整数m =________________． 16．用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[3]3=，[1.2]1=，[ 1.3]2-=-．已知数列{}n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，则122018111[]111a a a +++=+++________________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．若数列{}n a 满足11a =，21a =，且21n n n a a a ++=+，则称数列{}n a 为M 数列．小明同学在研究该数列时发现许多有趣的性质，如：由21n n n a a a ++=+可得21n n n a a a ++=-，所以12n a a a +++=324321222()()()1n n n n a a a a a a a a a ++++-+-+-==+--，另外小明还发现下面两条性质，请你给出证明．（1）2462211n n a a a a a +++++=-；（2）22221231n n n a a a a a a +++++=．18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，且11a =，452S a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．设等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，等比数列{}n b 的前n 项和为nT ，已知11a =-，11b =，223a b +=．（1）若337a b +=，求数列{}n b 的通项公式；（2）若313T =，且0n b >，求n S ．20．已知数列{}n a 的前n 项和为nS ，点(,)n n S 在抛物线23122y x x =+上，各项都为正数的等比数列{}nb4116b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）记n n n a a C a b =+，求数列{}n C 的前n 项和n T ．21．已知等比数列{}n a 的前n 项和312n n S -=，等差数列{}n b 的前5项和为30，且714b =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n n a b 的前n 项和n T ．22．已知公差大于零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且34117a a =，2522a a +=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等差数列，且n n S b n c =+，求非零常数c 的值．（3）设11n n n C a a +=，n T 为数列{}n C 的前n 项和，是否存在正整数M ，使得8n M T >对任意的n ∈*N 均成立？若存在，求出M 的最小值；若不存在，请说明理由．。

高中数学第二章数列章末综合检测二含解析新人教A版必修50621111

高中数学第二章数列章末综合检测二含解析新人教A 版必修50621111章末综合检测(二)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知数列1，3，5，7，3，11，…2n －1，…，则21是这个数列的( ) A ．第10项 B ．第11项 C ．第12项D ．第21项解析：选B.观察可知该数列的通项公式为a n ＝2n －1(事实上，根号内的数成等差数列，首项为1，公差为2)，令21＝2n －1，解得n ＝11，故选B.2．已知等比数列{a n }的前3项的和等于首项的3倍，则该等比数列的公比为( ) A ．－2 B ．1 C ．－2或1D ．2或－1解析：选C.由题设条件可得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝3a 1，所以q 2＋q －2＝0，所以q ＝1或q ＝－2，故选C.3．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＝6，则a 9＋a 10＝( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：选C.设等差数列{a n }的公差为d ，则有(a 4＋a 5)－(a 2＋a 3)＝4d ＝2，所以d ＝12.又(a 9＋a 10)－(a 4＋a 5)＝10d ＝5，所以a 9＋a 10＝(a 4＋a 5)＋5＝11.4．设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若－a m <a 1<－a m ＋1(m ∈N *，且m ≥2)，则必定有( ) A ．S m >0，且S m ＋1<0 B ．S m <0，且S m ＋1>0 C ．S m >0，且S m ＋1>0 D ．S m <0，且S m ＋1<0解析：选A.因为－a m <a 1<－a m ＋1，所以a 1＋a m >0，a 1＋a m ＋1<0，所以S m >0，且S m ＋1<0. 5．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，下列选项中不可能是{S n }的图象的是( )解析：选D.因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N *)，则其对应函数y ＝ax 2＋bx 的图象是过原点的一条曲线．当a ＝0时，该曲线是过原点的直线，如选项C ；当a ≠0时，该曲线是过原点的抛物线，如选项A ，B ；选项D 中的曲线不过原点，不符合题意．故选D.6．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1＝1且a 1a 2a 3＝－8，则S 5S 2＝( ) A ．－11 B ．－8 C ．5D ．11解析：选A.设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1a 2a 3＝－8，所以a 32＝－8，a 2＝－2，又a 1＝1，所以q ＝－2，S 5S 2＝a 1（1－q 5）1－q ·1－q a 1（1－q 2）＝1－q 51－q 2＝1－（－2）51－（－2）2＝－11，故选A.7．已知公差不为0的等差数列{a n }的前23项的和等于前8项的和．若a 8＋a k ＝0，则k ＝( )A ．22B ．23C ．24D ．25解析：选C.等差数列的前n 项和S n 可看作关于n 的二次函数(图象过原点)．由S 23＝S 8，得S n 的图象关于n ＝312对称，所以S 15＝S 16，即a 16＝0，所以a 8＋a 24＝2a 16＝0，所以k ＝24.8．已知数列{a n }满足a 1＝2，4a 3＝a 6，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，则数列{(－1)na n }的前10项的和S 10＝( )A ．220B ．110C ．99D ．55解析：选B.因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，所以可设a nn＝an ＋b .所以a n ＝an 2＋bn .因为a 1＝2，4a 3＝a 6，所以a ＋b ＝2，且4(9a ＋3b )＝36a ＋6b ，解得a ＝2，b ＝0，所以a n ＝2n 2.所以S 10＝2[(－12＋22)＋(－32＋42)＋…＋(－92＋102)]＝110.故选B.9．数列{a n }满足递推公式a n ＝3a n －1＋3n－1(n ≥2)，又a 1＝5，则使得⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ3n为等差数列的实数λ等于( )A ．2B ．5C ．－12D.12解析：选C.a 1＝5，a 2＝23，a 3＝95，令b n ＝a n ＋λ3n.则b 1＝5＋λ3，b 2＝23＋λ9，b 3＝95＋λ27，因为b 1＋b 3＝2b 2，所以λ＝－12.10．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝3，S 3n ＝39，则S 4n ＝( ) A ．80 B ．90 C ．120D ．130解析：选C.由已知，可得公比q ≠1，q >0，因为S n ＝3，S 3n ＝39，所以a 1（1－q n ）1－q ＝3，a 1（1－q 3n ）1－q ＝39，两式相除化简可得q 2n ＋q n －12＝0，解得q n ＝3或q n＝－4(舍去)，所以a 11－q＝－32.则S 4n ＝a 1（1－q 4n）1－q ＝－32×(1－34)＝120.故选C.11．设b n ＝a n（a n ＋1）（a n ＋1＋1）(其中a n ＝2n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 5＝( ) A.3133 B.3233 C.3166D.1633解析：选 C.b n ＝2n －1（2n －1＋1）（2n＋1）＝12n －1＋1－12n ＋1，所以T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋1－121＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋1－122＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋1－12n ＋1＝12－12n ＋1，所以T 5＝12－133＝3166. 12．对于正项数列{a n }，定义G n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na nn为数列{a n }的“匀称”值．已知数列{a n }的“匀称”值为G n ＝n ＋2，则该数列中的a 10等于( )A ．2 3 B.45 C ．1D.2110解析：选D.因为G n ＝a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na nn，数列{a n }的“匀称”值为G n ＝n ＋2，所以a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n (n ＋2)，①所以n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)，②①－②得na n ＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1n，n ≥2，当n ＝1时，a 1＝G 1＝3满足上式．所以a n ＝2n ＋1n ，a 10＝2110.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝________．解析：S 8＝8×（a 1＋a 8）2＝4(a 3＋a 6)．由于S 8＝4a 3，所以a 6＝0.又a 7＝－2，所以a 8＝－4，a 9＝－6.答案：－614．已知等比数列{a n }中，a 2a 10＝6a 6，等差数列{b n }中，b 4＋b 6＝a 6，则数列{b n }的前9项和为________．解析：因为数列{a n }是等比数列，所以a 2a 10＝a 26，又a 2a 10＝6a 6，所以a 26＝6a 6，解得a 6＝6，所以b 4＋b 6＝6.因为数列{b n }是等差数列，所以数列{b n }的前9项和为（b 1＋b 9）×92＝（b 4＋b 6）×92＝6×92＝27. 答案：2715．数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n·n ·sin n π2＋1，其前n 项和为S n ，则S 100＝________．解析：由数列{a n }的通项公式得a 1＝0，a 2＝1，a 3＝4，a 4＝1，a 5＝－4，a 6＝1，a 7＝8，a 8＝1，…，四项为一组，每组的和都是6，故S 100＝25×6＝150.答案：15016．已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 6＝16，将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a 7 a 8 a 9 a 10… … … … …则此数阵中第20行从左到右的第10个数是________．解析：第1行有1项，第2行有2项，第3行有3项，故前19行共有19×202＝190(项)，第20行第10项为数列{a n }中的第200项．又a 3＝7，a 6＝16，所以公差d ＝a 6－a 36－3＝16－73＝3，所以a n ＝a 3＋(n －3)·d ＝7＋3(n －3)＝3n －2，所以a 200＝3×200－2＝598.答案：598三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知数列{a n }为等差数列，且a 1＋a 5＝－12，a 4＋a 8＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若等比数列{b n }满足b 1＝－8，b 2＝a 1＋a 2＋a 3，求数列{b n }的通项公式．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 1＋a 5＝2a 3＝－12，a 4＋a 8＝2a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－6a 6＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝－6a 1＋5d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10d ＝2，所以a n ＝－10＋2(n －1)＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，所以－8q ＝－24，即q ＝3，因此b n ＝b 1·qn －1＝(－8)×3n －1.18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，且S 3＝9，a 1，a 3，a 7成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)因为a 1，a 3，a 7成等比数列，所以a 23＝a 1a 7，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )．化简得d ＝12a 1，d ＝0(舍去)．所以S 3＝3a 1＋2×32×12a 1＝92a 1＝9，得a 1＝2，d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)＝n ＋1，即a n ＝n ＋1. (2)因为b n ＝2a n ＝2n ＋1，所以b 1＝4，b n ＋1b n＝2. 所以数列{b n }是以4为首项，2为公比的等比数列．所以T n ＝b 1（1－q n ）1－q ＝4（1－2n ）1－2＝2n ＋2－4.19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }满足a 3＋a 4＝12，a 1a 6＝32，前n 项和为S n ，且公比q >1.(1)求证：S n ＝2a n －1； (2)求证：1a 1＋1a 2＋…＋1a n<2.证明：(1)因为数列{a n }为等比数列，所以a 1a 6＝a 3a 4＝32.由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 4＝12a 3a 4＝32，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8a 4＝4，由公比q >1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4a 4＝8，故⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝1－2n1－2＝2n －1＝2a n －1.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝1＋12＋…＋12n －1＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝2－12n －1<2. 20．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＝2S n －1(n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝2S 1－1＝2a 1－1，解得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝2S n －1，a n －1＝2S n －1－1，两式相减得a n －a n －1＝2a n ，化简得a n ＝－a n －1，所以数列{a n }是首项为1，公比为－1的等比数列．(2)由(1)可得a n ＝(－1)n －1，所以b n ＝(2n ＋1)·(－1)n －1，法一(并项求和法)：当n 为偶数时，b n －1＋b n ＝－2，T n ＝n2×(－2)＝－n ；当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝－(n ＋1)－[－(2n ＋3)]＝n ＋2.综上，数列{b n }的前n 项和T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n ，n 为偶数，n ＋2，n 为奇数.法二(错位相减法)：T n ＝3·(－1)0＋5·(－1)1＋7·(－1)2＋…＋(2n ＋1)·(－1)n －1，－T n ＝3·(－1)1＋5·(－1)2＋…＋(2n －1)·(－1)n －1＋(2n ＋1)·(－1)n，两式相减得2T n ＝3＋2·(－1)1＋2·(－1)2＋…＋2·(－1)n －1－(2n ＋1)(－1)n＝3＋2·－[1－（－1）n －1]1－（－1）－(2n ＋1)·(－1)n＝(2n ＋2)·(－1)n －1＋2.所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(n ＋1)·(－1)n －1＋1.21．(本小题满分12分)设{a n }是等差数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)；{b n }是等比数列，公比大于0，其前n 项和为T n (n ∈N *)，已知b 1＝1，b 3＝b 2＋2，b 4＝a 3＋a 5，b 5＝a 4＋2a 6.(1)求S n 和T n ；(2)若S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n ，求正整数n 的值．解：(1)设等比数列{b n }的公比为q (q >0)．由b 1＝1，b 3＝b 2＋2，可得q 2－q －2＝0. 因为q >0，可得q ＝2，故b n ＝2n －1.所以T n ＝1－2n1－2＝2n－1.设等差数列{a n }的公差为d .由b 4＝a 3＋a 5，可得a 1＋3d ＝4. 由b 5＝a 4＋2a 6，可得3a 1＋13d ＝16，从而a 1＝1，d ＝1，故a n ＝n ，所以S n ＝n （n ＋1）2.(2)由(1)有T 1＋T 2＋…＋T n ＝(21＋22＋ (2))－n ＝2×（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.由S n ＋(T 1＋T 2＋…＋T n )＝a n ＋4b n 可得n （n ＋1）2＋2n ＋1－n －2＝n ＋2n ＋1.整理得n 2－3n －4＝0，解得n ＝－1(舍去)或n ＝4. 所以n 的值为4.22．(本小题满分12分)在等差数列{a n }中，a 3＝6，a 8＝26，S n 为等比数列{b n }的前n 项和，且b 1＝1，4S 1，3S 2，2S 3成等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设c n ＝|a n |·b n ，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由题意，得a 8－a 3＝5d ＝26－6＝20，所以d ＝4，所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝4n －6. 因为6S 2＝4S 1＋2S 3，即3(b 1＋b 2)＝2b 1＋b 1＋b 2＋b 3，所以b 3＝2b 2.所以公比q ＝2，所以b n ＝2n －1.(2)由(1)可得，c n ＝|4n －6|·2n －1＝|2n －3|·2n.①当n ＝1时，2n －3<0，所以T 1＝c 1＝2. ②当n ≥2时，2n －3>0，所以c n ＝(2n －3)·2n，T n ＝2＋1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)×2n ，所以2T n ＝4＋1×23＋3×24＋…＋(2n －3)×2n ＋1.所以－T n ＝2＋2×(23＋24＋ (2))－(2n －3)×2n ＋1＝2＋2×23×（1－2n －2）1－2－(2n －3)×2n ＋1＝－14＋(5－2n )×2n ＋1. 所以T n ＝(2n －5)·2n ＋1＋14.当n ＝1时，满足上式．所以T n ＝(2n －5)·2n ＋1＋14.。

2018-2019学年人教A版必修五第二章数列章末检测试卷 (4)

2018-2019学年人教A版必修五第二章数列章末检测试卷 (4) 一、选择题 1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于( )

A.－1n＋12 B．cosnπ2

C.n＋12π D．cosn＋22π

[解析] 令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确． [答案] D 2．．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N )，则a3a5的值是( )

A.1516 B.158 C.34 D.38 解析：由已知得a2＝1＋(－1)2＝2，∴2a3＝2＋(－1)3，a3＝12，∴12a4＝12＋(－1)4，a4＝3，∴3a5＝3＋(－1)5，∴a5＝23，∴a3a5＝12×32＝34. 答案：C

3．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且an－1－anan－1＝an－an＋1an＋1(n≥2)，则这个数列的第10项等于( ) A.1210 B.129 C.15 D.110 解析：∵an－1－anan－1＝an－an＋1an＋1，∴1－anan－1＝anan＋1－1，即anan－1＋anan＋1＝2，∴1an－1＋1an＋1＝2an，故

1

是等差数列．又∵d＝1a2－1a1＝12，∴1a10＝12＋9×12＝5，故a10＝15. 答案：C

4．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N )在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2017＝( )

A.20162017 B.12017 C.20172018 D.12018 [解析] 由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝nn＋1，故x1·x2·x3·x4·…·x2017＝12×23×…×20172018＝12018. [答案] D 5．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是( )

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实用文档必修五第二章数列章末检测（A）一、选择题 1、已知数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，…，则56是数列中的( )

A．第48项 B．第49项 C．第50项 D．第51项

2、已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是( ) A．15 B．30 C．31 D．64

3、等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为( ) A．81 B．120 C．168 D．192

4、等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝－24，a18＋a19＋a20＝78，则此数列前20项和等于( ) A．160 B．180 C．200 D．220

5、数列{an}中，an＝3n－7 (n∈N＋)，数列{bn}满足b1＝13，bn－1＝27bn(n≥2且n∈N＋)，若an

＋logkbn为常数，则满足条件的k值( ) 实用文档

A．唯一存在，且为13 B．唯一存在，且为3 C．存在且不唯一 D．不一定存在

6、等比数列{an}中，a2，a6是方程x2－34x＋64＝0的两根，则a4等于( ) A．8 B．－8 C．±8 D．以上都不对

7、若{an}是等比数列，其公比是q，且－a5，a4，a6成等差数列，则q等于( ) A．1或2 B．1或－2 C．－1或2 D．－1或－2

8、设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于( ) A．3∶4 B．2∶3 C．1∶2 D．1∶3

9、已知等差数列{an}的公差d≠0且a1，a3，a9成等比数列，则a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10等于( ) A.1514 B.1213 C.1316 D.1516

10、{an}是首项为1，公差为3的等差数列，如果an＝2 011，则序号n等于( ) 实用文档

A．667 B．668 C．669 D．671 11、设{an}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是( ) A．X＋Z＝2Y B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) C．Y2＝XZ D．Y(Y－X)＝X(Z－X)

12、已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( ) A．21 B．20 C．19 D．18

二、填空题 13、2－1与2＋1的等比中项是________．

14、已知在等差数列{an}中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项，则公差为______． 15、“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一实用文档

秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是________秒．

16、等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，a99－1

a100－1

<0.给出下列结论：①01成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是________．(填写所有正确的序号)

三、解答题 17、已知数列{an}的各项均为正数，对任意n∈N*，它的前n项和Sn满足Sn＝16(an＋1)(an＋2)，

并且a2，a4，a9成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝(－1)n＋1anan＋1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n.

18、已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0. (1)求{an}的通项公式；实用文档

(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式． 19、已知等差数列{an}中，a3a7＝－16，a4＋a6＝0，求{an}的前n项和Sn. 20、已知数列{log2(an－1)} (n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9. (1)求数列{an}的通项公式；

(2)证明：1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an<1.

21、在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n. (1)设bn＝an2n－1.证明：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}的前n项和．

22、已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝12Sn(n＝1,2,3，…)． (1)求数列{an}的通项公式；实用文档

(2)当bn＝log32(3an＋1)时，求证：数列{1bnbn＋1}的前n项和Tn＝n1＋n. 以下是答案一、选择题 1、 C

解析将数列分为第1组一个，第2组二个，…，第n组n个，

即11，12，21，13，22，31，…，1n，2n－1，…，n1，则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则56为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50. 2、A 解析在等差数列{an}中，a7＋a9＝a4＋a12， ∴a12＝16－1＝15.

3、 B 解析由a5＝a2q3得q＝3. 实用文档

∴a1＝a2q＝3， S4＝a1(1－q4)1－q＝3(1－34)1－3＝120.

4、B 解析 ∵(a1＋a2＋a3)＋(a18＋a19＋a20) ＝(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18) ＝3(a1＋a20)＝－24＋78＝54， ∴a1＋a20＝18.

∴S20＝20(a1＋a20)2＝180.

5、 B 解析依题意，

bn＝b1·127n－1＝13·133n－3＝133n－2，

∴an＋logkbn＝3n－7＋logk





1

33n－2 实用文档

＝3n－7＋(3n－2)logk

＝3＋3logk13n－7－2logk13， ∵an＋logkbn是常数，∴3＋3logk13＝0，即logk3＝1，∴k＝3. 6、A 解析 ∵a2＋a6＝34，a2·a6＝64，∴a24＝64， ∵a2>0，a6>0，∴a4＝a2q2>0，∴a4＝8.

7、C 解析依题意有2a4＝a6－a5，即2a4＝a4q2－a4q，而a4≠0， ∴q2－q－2＝0，(q－2)(q＋1)＝0. ∴q＝－1或q＝2.

8、A 实用文档

解析显然等比数列{an}的公比q≠1，则由S10S5＝1－q101－q5＝1＋q5＝12⇒q5＝－12，故S15S5＝1－q151－q5＝1－(q5)31－q5＝1－－1231－－12＝34. 9、 C 解析因为a23＝a1·a9，所以(a1＋2d)2＝a1·(a1＋8d)．所以a1＝d.

所以a1＋a3＋a9a2＋a4＋a10＝3a1＋10d3a1＋13d＝1316.

10、D 解析由2 011＝1＋3(n－1)解得n＝671.

11、D 解析由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z. 又∵{an}是等比数列， ∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，即X，Y－X，Z－Y为等比数列，实用文档

∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY， ∴Y2－XY＝ZX－X2，即Y(Y－X)＝X(Z－X)．

12、 B 解析 ∵(a2－a1)＋(a4－a3)＋(a6－a5)＝3d， ∴99－105＝3d.∴d＝－2. 又∵a1＋a3＋a5＝3a1＋6d＝105，∴a1＝39.

∴Sn＝na1＋n(n－1)2d＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400. ∴当n＝20时，Sn有最大值．

二、填空题 13、 ±1

14、－4 实用文档

解析由 a6＝23＋5d≥0a7＝23＋6d<0，解得－235≤d<－236， ∵d∈Z，∴d＝－4. 15、15 解析设每一秒钟通过的路程依次为a1，a2，a3，…，an，则数列{an}是首项a1＝2，公差d＝2

的等差数列，由求和公式得na1＋n(n－1)d2＝240，即2n＋n(n－1)＝240，解得n＝15.

16、①②④

解析 ①中，

 (a99－1)(a100－1)<0a99a100>1

a1>1

⇒

 a99>1

⇒q＝a100

a99

∈(0,1)，∴①正确．

②中， a99a101＝a21000

必修五 第二章 数列 章末检测 (A)