二次函数的一般式化为顶点式
二次函数一般式和顶点式的关系
二次函数一般式和顶点式的关系二次函数是一种常见的数学函数，其一般式和顶点式是两种不同的表示形式。
本文将探讨二次函数一般式和顶点式之间的关系。
我们来看一下二次函数的一般式。
一般式表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数，且a不等于0。
这个形式下，二次函数的图像通常是一个开口朝上或开口朝下的抛物线。
而二次函数的顶点式则是通过将一般式进行平移和变形得到的。
顶点式表示为f(x) = a(x - h)^2 + k，其中a、h、k为实数，a不等于0。
顶点式中的(h, k)表示抛物线的顶点坐标。
那么，二次函数的一般式和顶点式之间有什么关系呢？我们来看一下顶点式的形式。
顶点式中的h和k分别表示抛物线的横坐标和纵坐标。
我们可以观察到，当x - h = 0时，即x = h时，抛物线的顶点达到最高或最低点。
这与一般式中的x相对应。
接下来，我们来看一下顶点式中的a。
a表示抛物线的开口方向和抛物线的开口程度。
当a大于0时，抛物线开口朝上；当a小于0时，抛物线开口朝下。
这与一般式中的a的系数相对应。
在一般式中，我们可以通过提取平方项的完全平方形式，转化为顶点式。
具体做法是将一般式中的x^2项和x项的系数提取出来，然后将x项的系数平方后除以4a，再加减一个常数。
这样，就得到了顶点式中的h和k。
举个例子来说明这个转化过程。
假设有一个二次函数f(x) = 2x^2 + 4x + 1的一般式，我们要将其转化为顶点式。
首先，我们将x^2和x的系数提取出来，得到f(x) = 2(x^2 + 2x) + 1。
然后，我们将x项的系数平方后除以4a，即2，得到(2/4*2)^2 = 1。
最后，我们将1加到式子中，得到f(x) = 2(x^2 + 2x + 1) - 1。
这样，就得到了顶点式f(x) = 2(x + 1)^2 - 1。
通过上述例子，我们可以看到一般式和顶点式之间的转化关系。
一般式可以通过提取平方项的完全平方形式转化为顶点式，而顶点式可以通过展开完全平方后的形式转化为一般式。
二次函数一般式用配方法化成顶点式教学案例
二次函数一般式用配方法化成顶点式教学案例教学目标：1.理解二次函数一般式和顶点式的概念及相互之间的转化关系；2.学会使用配方法将二次函数一般式化为顶点式；3.掌握应用配方法化简二次函数的方法。
教学准备：1.教师准备幻灯片或者黑板、彩色粉笔等教具；2.学生准备文具。
教学过程：一、导入新知：（5分钟）教师利用幻灯片或黑板简要复习一下二次函数的定义和一般式的格式。
二、呈现新知：（15分钟）1.教师向学生讲解如何通过配方法将二次函数从一般式化为顶点式的步骤和原理。
2.教师通过幻灯片或黑板上的例题，向学生展示具体的配方法步骤。
3.教师与学生一起解决几个简单的例题，确保学生对配方法的应用有基本的掌握。
三、引导学习：（20分钟）1.教师提出几个较为复杂的例题，引导学生利用配方法化简二次函数，同时解释每一步的原理和理由。
学生跟随教师的步骤进行配方法计算。
2.学生独立完成几个中等难度的例题，教师逐个进行点评和解答。
四、拓展运用：（20分钟）1.教师提出一些实际问题，要求学生通过配方法化简二次函数，并分析函数的意义和特点。
2.学生小组讨论并解答问题，教师进行答疑和指导。
3.学生进行小结和总结，解释配方法化简二次函数的意义和实际应用。
五、巩固练习：（15分钟）1.学生独立解答若干个各种难度的例题，练习运用配方法将二次函数化简为顶点式。
2.教师鼓励学生互相合作，互相解答疑难，提供必要的帮助。
六、作业布置：（5分钟）布置适量的练习题目，要求学生进行预习，并在下节课进行检查。
教学反思：通过配方法将二次函数一般式化为顶点式是高中数学中的重要内容，对于学生理解和应用二次函数具有重要的帮助作用。
通过本节课的教学，学生们基本上能够掌握使用配方法解决二次函数一般式的转化问题。
同时，通过拓展运用和巩固练习环节的训练，使学生们对二次函数的运用水平得到了进一步提高。
针对本节课的教学经验，建议在教学过程中增加一些实际问题的引导和分析，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
一般形式与顶点式之间的转换
一般形式与顶点式之间的转换近年来，高中数学中一类常见的问题是关于二次函数的转化和变换。
其中，一般形式与顶点式的转换是一项基本技能。
本文将介绍一般形式与顶点式之间的转换方法，以及其在解题过程中的应用。
一、一般形式的二次函数在开始讨论转换之前，我们先对一般形式的二次函数进行简要介绍。
一般形式的二次函数公式如下：f(x) = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为实数，并且a不等于0。
通过对这个公式的分析，我们可以得出以下结论：1. 当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
2. 二次函数的图像关于直线x = -b / (2a) 对称。
3. 当二次函数与x轴交点时，令f(x) = 0，我们可以得到二次方程的解。
二、顶点式的二次函数接下来我们来介绍顶点式的二次函数形式。
顶点式的二次函数公式如下：f(x) = a(x - h)^2 + k其中，a、h、k为实数，并且a不等于0。
通过对这个公式的分析，我们可以得出以下结论：1. 若a>0，顶点式二次函数的图像开口向上；若a<0，图像开口向下。
2. 顶点式二次函数的顶点坐标为(h, k)。
三、从一般形式到顶点式的转换现在我们来研究如何从一般形式转换为顶点式。
假设我们有一个一般形式的二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c1. 首先，通过化简将一般形式转换为完成平方的形式。
f(x) = a(x^2 + (b/a)x) + c2. 接下来，为了将二次项转换为一个完全平方的形式，我们需要加上一个适当的数值，并且要保持方程等价。
f(x) = a(x^2 + (b/a)x + (b/2a)^2 - (b/2a)^2) + c3. 继续简化并移项，得到：f(x) = a[(x + b/2a)^2 - (b/2a)^2] + c4. 最后，再次简化并得到转换后的顶点式形式：f(x) = a(x + b/2a)^2 + (c - b^2/4a)四、从顶点式到一般形式的转换现在我们来讨论如何从顶点式转换为一般形式。
二次函数一般式和顶点式的关系
二次函数一般式和顶点式的关系二次函数是高中数学中较为重要的一个概念，它的一般式为y=ax²+bx+c，其中a、b、c均为实数且a≠0。
二次函数的图像呈现出一种特殊的形状——抛物线，而这个抛物线的形状则取决于二次项系数a的正负性。
当a>0时，抛物线开口向上，且顶点位于二次函数的最小值点，反之，当a<0时，抛物线开口向下，且顶点位于二次函数的最大值点。
对于一般式的二次函数，我们可以通过配方法将其化为顶点式的形式。
顶点式的二次函数形式为y=a(x-h)²+k，其中(h,k)为抛物线的顶点坐标。
如何从一般式的形式推导出顶点式呢？我们可以通过以下步骤进行：1. 对于一般式y=ax²+bx+c，我们可以通过求导数的方法来确定其最值点。
求导数得到y'=2ax+b，令y'=0，可得x=-b/2a。
2. 将x=-b/2a带回原式中，可得y=a(b/2a)²+b(b/2a)+c，化简可得y=c-b²/4a。
3. 由于两个平方项的和不小于0，且a≠0，因此当a>0时，y取最小值c-b²/4a，当a<0时，y取最大值c-b²/4a。
4. 将y=c-b²/4a带入y=ax²+bx+c中，可得y=a(x+b/2a)²+c-b²/4a，进一步化简可得y=a(x-h)²+k，其中h=-b/2a，k=c-b²/4a。
通过以上推导，我们可以得到一般式和顶点式二次函数的关系。
在实际运用中，顶点式的形式更为方便，可以直接读出抛物线的顶点坐标，同时也更加直观，有助于对二次函数的图像有更深入的理解。
除此之外，顶点式的二次函数还有其他的特点。
例如，当a>0时，y≥k，当x=h时，y=k；当a<0时，y≤k，当x=h时，y=k。
这些特点可以通过顶点式直接读出，而一般式则需要借助求导等数学方法进行推导。
一般式化为顶点式公式
一般式化为顶点式公式关键信息项：1、一般式的表达式2、顶点式的表达式3、转化的步骤和方法4、公式推导的原理5、应用实例及解析11 一般式与顶点式的定义111 一般式：形如＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（其中＄a ＼neq 0$）的二次函数表达式称为一般式。
112 顶点式：形如＄y ＝ a(x h)＾2 ＋ k$（其中＄a ＼neq 0$，＄（h, k)＄为顶点坐标）的二次函数表达式称为顶点式。
12 一般式化为顶点式的重要性121 顶点式能够直观地反映出二次函数的顶点坐标，有助于分析函数的最值和对称轴等重要性质。
122 在解决实际问题和数学计算中，有时需要将一般式转化为顶点式以更方便地进行分析和计算。
13 一般式化为顶点式的公式推导131 对一般式＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$ 进行配方：＄y ＝ a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x) ＋ c$＄y ＝ a(x^2 ＋＼frac{b}｛a}x ＋＼frac{b^2}｛4a^2} ＼frac{b^2}｛4a^2}）＋ c$＄y ＝ a(（x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＼frac{b^2}｛4a^2}）＋ c$＄y ＝ a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＼frac{b^2}｛4a} ＋ c$132 整理可得顶点式：＄y ＝ a(x ＋＼frac{b}｛2a}）＾2 ＋＼frac{4ac b^2}｛4a}＄14 转化步骤总结141 提出二次项系数＄a$。
142 在括号内对＄x$ 的一次项和二次项进行配方。
143 整理得到顶点式。
15 应用实例151 例 1：将一般式＄y ＝ 2x^2 ＋ 4x 1$ 化为顶点式。
首先，提出二次项系数 2：＄y ＝ 2(x^2 ＋ 2x) 1$然后，配方：＄y ＝ 2(x^2 ＋ 2x ＋ 1 1) 1 ＝ 2(（x ＋ 1)＾2 1) 1$整理得：＄y ＝ 2(x ＋ 1)＾2 3$152 例 2：已知二次函数的一般式为＄y ＝ x^2 ＋ 6x ＋ 5$，求其顶点坐标。
二次函数解析式的方法
二次函数解析式的方法
二次函数是高中数学中的一个重要概念。
它是一种二次方程，通常用y=ax+bx+c的形式表示。
其中，a、b、c是常数，a不等于0。
求解二次函数的解析式可以使用以下方法：
1. 完全平方公式：将二次函数的一般式y=ax+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)+k，其中(h,k)为顶点坐标。
这个转化可以使用完全平方公式完成，即将x+bx部分平方，得到(x+ b/2a)- (b-4ac)/4a，再乘以a后，得到y=a(x+ b/2a)- (b-4ac)/4a。
2. 配方法：当二次函数的a不为1时，可以使用配方法将其转化为一个完全平方的形式。
具体来说，对于y=ax+bx+c，我们可以先将a提出来，得到y=a(x+ bx/a+c/a)，然后将x+ bx/a部分配方，即将它写成(x+b/2a)- (b-4ac)/4a的形式。
这样，原来的二次函数就可以表示为y=a(x+b/2a)- (b-4ac)/4a+c。
3. 公式法：对于已知二次函数的解析式y=ax+bx+c，我们可以使用求根公式来求解它的两个解。
根据二次方程的求根公式，
y=ax+bx+c的解析式可以表示为x=(-b±√(b-4ac))/2a。
以上三种方法都可以求解二次函数的解析式，具体使用哪种方法取决于具体情况。
在解决实际问题时，可以根据需要选择合适的方法，以便更准确地求解问题。
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广东省广州市 人教版 九年级上 数学 二次函数一般式化顶点式题目方法及练习题
二次函数一般式2y ax bx c =++化成()2y a x h k =-+的形式一．基础知识：1.（1）完全平方公式：222a ab b ±+=()2a ±——（2）()226_____x x x ++=+ （3）()223______x x x -+=-（4）()222____x x x ++=+ （5）()224____x x x -+=-二、基础知识练习1.类型一：1,a b ==偶数例1.用配方法将抛物线261y x x =-+-化成顶点式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。
举一反三：用配方法将抛物线281y x x =-+化成()2y a x h k =-+的形式，并写出开口方向、顶点坐标、对称轴。
类型二：1,a b ==奇数例2.求抛物线21y x x =++的顶点坐标。
举一反三：求抛物线232y x x =-+的顶点坐标。
类型三：1a ≠例3.求二次函数221210y x x =-+-的最大值举一反三：求二次函数23123y x x =--的最小值。
例4.求抛物线21232y x x =--+的顶点坐标。
举一反三：求抛物线23+12y x x =-+的顶点坐标。
三、过关练习：1.求抛物线243y x x =--的顶点坐标2.将抛物线22y x x =-化成()2y a x h k =-+的形式为（ ）A.()211y x =-+ B. ()211y x =-- C. ()214y x =++ D.()214y x =--3.已知抛物线228y x x =+。
（1）化成顶点式为_________ (2)顶点坐标为_________ (3)当x ________时，y 的最_______值__________;(4)当x________时，y 随x 的增大而增大。
4.二次函数2112y x x =---的图像可由抛物线212y x =-怎样平移得到？5.抛物线222y x x =-++。
二次函数的一般式化为顶点式
2020年3月26日星期四
5
将抛物线 y 3x2向左平移2个单位
再向下平移5个单位就得到 y 3 x 22 5 的图 象，将 y 3 x 22 5 化为一般式为
y 3x2 12x 7 ，那么如何将抛物线 y 3x2的图 像移动，得到的 y 3x2 12x 7 图像呢？
2020年3月26日星期四
2020年3月26日星期四
13
y=ax2+bx+c =a(x2+ b x)+c
a
=
a[x2+
b
a x+
( b )2]-
2a
( b )2a +c
2a
=a(x+ b )2+ 4ac b2
2a
4a
14
求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴
①y=2x2-5x+3②y=－ 1 x2+4x-9 ③y=(x-3)(x+2)
y 3 x 22 5 的图象？
2020年3月26日星期四
4
3．y 3 x 22 5 的顶点坐标是(－2，－5)，
对称轴是直线 x＝－2 ． 4．在上述移动中图象的开口方向、形状、 顶点坐标、对称轴，哪些有变化？哪些没 有变化？
有变化的：抛物线的顶点坐标、对称轴， 没有变化的：抛物线的开口方向、形状
像的特征吗？
2020年3月26日星期四
7
如何画出 y -2x2 8x-7 的图象呢?
我们知道,像y=a(x+h)2+k这样的函数, 容易确定相应抛物线的顶点为(-h,k), 二次 函数y -2x2 8x-7 也能化成这样的形式 吗?
2020年3月26日星期四
二次函数y=ax^2+bx+c的图像与性质
A.直线y = x上 B.直线y = - x上
C.x轴上
D.y轴上
(2).若二次函数y=ax2 +4x+a-1的最小值是2,则a 的值是_________
抛物线y=x2-4x+3与y轴的交点坐标是(0,3) ， 与x轴的交点坐标是 (1,0)或（3。，0）
抛物线与y轴的交 点有什么特征？
抛物线与x轴的交 点有什么特征？
二次函数y=ax²+bx+c的一般式化 为顶点式
y
o
x
y=ax²（a＞0)
－4 －2
24 -2 -4 -6
y=ax²（a＜0)
根据要求写出一个函数解析式： （1）以（－3，5）为顶点，开口向上 （1）以（－3，5）为顶点，开口向下
你能直接说出二次函数y=-2x2－8x-7图像的 特征吗？
如何画出 y -2x2 8x-7 的图象呢?
②a，b，c这三个系数共同决定抛物线的位置 和形状，反之，也可以根据图像确定a，b，c 的符号和大小.
已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它 们在同一坐标系中的大致图象是图中的（ ）
y
y
o
x
A y
o
x
B
y
o
x
C
o
x
D
例1.已知如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图 象，判断以下各式的值是正值还是负值． (1)a；(2)b；(3)c；(4)2a＋b； (5)a＋b＋c；(6)a－b＋c；
当3＜x≤5时， 求y的取值范围
抛物线y=ax2+bx+c向左平移3个单位，向上平移2个 单位得到抛物线y=x2-4x+3，求a、b、c的值
二次函数顶点公式二次函数顶点公式的求法
⼆次函数顶点公式⼆次函数顶点公式的求法 ⼆次函数顶点公式⼤家知道吗？这个公式⼜是怎么求出来的？想了解的⼩伙伴看过来，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“⼆次函数顶点公式⼆次函数顶点公式的求法”仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的! ⼆次函数顶点公式 ⼆次函数顶点公式 ⼆次函数顶点公式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开⼝⽅向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最⼤(⼩)值=k。
⼆次函数顶点式 ⼆次函数顶点公式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开⼝⽅向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最⼤(⼩)值=k。
具体情况 当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位得到; 当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位得到; 当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象; 当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平⾏移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象; 当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象; 当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平⾏移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
⼆次函数顶点公式的求法 ⼆次函数的顶点式⽅程可以通过配⽅法求出 假设这个⼆次函数的普通表达式是：y=ax²+bx+c，(a≠0)进⾏配⽅，⽅法如下： 1、提出系数a，y=a(x²+bx/a)+c; 2、配⽅，配⼀次项系数的⼀半的平⽅，y=a(x²+bx/a+b²/4a²)+c-b²/4a; 3、化简，y=a[x+b/(2a)]²-(b²-4ac)/(4a);，对称轴是c=-b/(2a)，顶点坐标是：(-b/(2a)，-(b²-4ac)/(4a)); ⼆次函数的基本表⽰形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。
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二次函数的一般式化为顶点式
用配方法化一般式为顶点式：
(1) y=x2-3x+1 (2) y=2x2-4x (3) y=-3x2-5x+2
(4) y= -21x2-x+3 (5) y= -21x2+3x+27 (6) y=5x2-3x-7
y=ax2＋bx+c 总结图像的的性质：
画抛物线的方法：（五点法）
如：y=x2－2x－3画出图像并说出性质：
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练习：配方法化一般式为顶点式：
（1）y = 2x2 + 4x – 7 （2）y = －2x2 + 4x ＋3 （3）y = 21x2 + 2x – 1
（4）y = x2 + x ＋1 （5）y = －0.2x2 + 0.4x – 0.7 （6）y = 31x2 + 61x – 21
（7）y = 2x2 －4x （8）y = 4x2 + 4x – 7 （9）y = －x2 － 4x – 4
（10）画出y=4x2－8x－3图像并说出性质：