多偏差变元的捕食-被捕食Lotka—Volterra模型的周期正解

第１０卷第２期　２０１１年３月　

杭州师范大学学报（自然科学版）　

Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈａｎｇｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕ　ｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．１０　ＮＯ．２　

Ｍａｒ．２０１１　

ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７４　２３２Ｘ．２０ｉｌ．０２．００９　

多偏差变元的捕食一被捕食Ｌｏｔｋａ—Ｖｏｌｔｅｒｒａ　模型的周期正解　

徐燕，鲁世平　（安徽师范大学数学与计算机科学学院，安徽芜湖２４１０００）　

摘要：作者研究了一类多偏差变元３种群捕食被捕食Ｌｏｔｋａ　Ｖｏｌｔｅｒｒａ模型．通过利用重合度拓展定理和　一些分析技巧，得到了该模型的周期正解的存在性．　关键词：周期正解；重合度拓展定理；Ｌｏｔｋａ—Ｖｏｌｔｅｒｒａ捕食一被捕食种群模型　中图分类号：０１７５．１　ＭＳＣ２０１０：３４Ｋ１３；３４Ｋ４０　文献标志码：Ａ　文章编号：１　６７４—２３２Ｘ（２０１］）０２　０１３３－０４　

１　引言及预备　近年来，许多人将泛函微分方程理论应用到生态数学当中，并且提出了各种各样的模型，如在人口力　学、生态学和流行病学等方面，尤其是人口力学Ｌｏｔｋａ—Ｖｏｌｔｅｒｒａ模型，由于在理论和实践方面的重要性，已　被越来越广泛地应用．吕翔用Ｋｒａｓｎｏｓｅｌｓｋｉｉ固定点定理获得了模型［１　ｆ　１　（ｔ）一ｚ１（ｔ）（ｒｌ（￡）一“１１（ｔ）　１（ｔ—ｒ¨（ｔ））一“ｌ　２（ｔ）　２（ｔ　１２（ｔ））一ａｌ３（ｔ）　３（ｔ—ｒｌ　３（ｆ）））　

２　（ｔ）一ｚ２（ｔ）（一ｒ２（ｔ）４－“２１（ｔ）　１（ｔ—　２１（　））一以２２（ｔ）　２（ｔ—　２（ｔ））　ａ　２３（ｔ）　３（ｔ—ｒ２３（ｔ）））　（１）　ｌ　３　（￡）一　３（ｆ）（一　（ｆ）４－ａ　３１（ｔ）ｘ１（ｆ一　】（ｆ））一ａ３２（ｔ）ｘ２（ｔ一　２（　））一日３３（ｔ）ｘ３（ｆ一　３（￡）））　的周期正解的存在性．其中，３７　（￡）表示在时刻ｔ被捕食动物的数量，ｚ。（ｆ）和　（　）表示在时刻ｔ捕食动物的　数量，，一　，ａ　∈Ｃ（Ｒ，Ｅ０，。。））和ｒ　∈ｃ（Ｒ，Ｒ）都是　周期函数且　１　ｒ　１　ｒ　一　Ｉ　（ｓ）ｄｓ＞０；　，一　Ｉ以　（　）＞０，ｉ，　一１，２，３．　

Ｊ　０　Ｊ　０　

近年来，许多作者运用重合度理论解决周期解存在问题，如鲁世平证明了一类多偏差变元的　种群　

Ｌｏｔｋａ—Ｖｏ［ｔｅｒｒａ模型的周期正解　．范猛，王克研究了具有偏差变元的捕食者一食饵系统全局周期解的存　在性　．受此启发，该文利用重合度理论得出模型（１）周期正解的存在性．　

２　主要引理　为了利用重合度理论中拓展定理研究系统的周期正解存在性问题，需引入以下概念．设Ｘ，ｙ为　Ｂａｎａｃｈ空间，Ｌ：ｄｏｍＬ　ｎ　Ｘ—ｙ为线性映射，Ｎ：Ｘ—ｙ为非线性连续映射．如果ｄｉｍＫｅｒＬ：ｃｏｄｉｍＩｍＬ＜　

收稿日期：２Ｏ１Ｏ－０９—０３　作者简介：徐燕（１９８ｊ），女，安徽安庆人，应用数学专业硕士研究生，主要从事泛函微分方程研究．　通信作者：鲁世平（１　９６２），男，安徽无为人，教授，主要从事泛函微分方程研究．Ｅ—ｍａｉｌ：ｌｕｓｈｉｐｉｎｇ２６＠ｓｏｈｕ．ＣＯ１ＸＩ　１３４　杭州师范大学学报（自然科学版）　２Ｏ１１年　一且ＩｍＬ为ｙ中的闭集，则称Ｌ为指标为零的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ算子．如果Ｌ是指标为零的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ算子且存　在连续投影Ｐ：Ｘ—ｘ，Ｑ：ｙ—ｙ使得ＩｍＰ—ＫｅｒＬ，Ｉｍｇ—ＫｅｒＱ—ｌｍ（　—Ｑ），则Ｌ　ｌ　Ｄ（Ｌ）ｎ　ＫｅｒＰ：　（Ｉ—Ｐ）Ｘ—Ｉ７７ｌｇ可逆，设其逆为Ｋ　．如果ＱＮ（Ｑ）有界且Ｋ　（ｊ—Ｑ）Ｎ（Ｑ）在Ｘ中相对紧的，则称Ｎ在　瓦是　紧的，其中Ｑ为ｘ中的任意有界开集．由于ＩｍＱ与ＫｅｒＬ同构，故存在同构映射．，：ＩｍＱ—ＫｅｒＬ．　引理１　Ｅｚ　如果ｒ∈ｃ（　）满足ｆ∈Ｃ　（Ｒ，Ｒ）且ｒ　（ｆ）＜１，Ｖ　ｔ∈［０，∞］，则函数ｔ—ｒ（￡）存在唯一反　函数　（￡）满足　∈Ｃ（Ｒ，Ｒ）且　（“＋ｃｏ）＝　（。）＋∞，Ｖ口∈Ｒ．　注１　如果ｇ∈Ｃ（　），ｒ∈Ｃ（∞）满足ｒ∈Ｃ　（Ｒ，Ｒ）且ｆ　（ｆ）＜１，Ｖ　ｔ∈［０，∞］，由引理１易见ｇ（　（ｆ　＋∞））一ｇ（　（ｆ）＋叫）一ｇ（　（　）），Ｖ　ｔ∈Ｒ，其中　（￡）∈Ｃ（Ｒ，Ｒ）为　一ｒ（ｆ）的反函数，故ｇ（　（￡））∈Ｃ（ｃＤ）．　引理２　Ｅ　设ｘ，ｙ为Ｂａｎａｃｈ空间，Ｌ为指标为零的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ算子，Ｎ：　一ｙ在　上是Ｌ－紧的．如果　（ａ）Ｖ　∈ａｎ　ｎ　Ｄ（Ｌ），　∈（０。１），　≠２Ｎ：ｃ；　（ｂ）Ｖ　∈ａｎ　ｎ　ＫｅｒＥ，ＱＮ３ｃ≠０；　（ｃ）ｄｅ　｛‘，ＱＮ，Ｑ　ｎ　ＫｅｒＬ，０｝≠０满足，则方程上＾ｒ一№在Ｑ中至少存在一个解．　为了利用引理１和引理２，文中设Ｘ—Ｙ—Ｃ（∞）：一｛ｚ　１．７Ｃ∈Ｃ（Ｒ，Ｒ。），－Ｔ（ｔ＋叫）＿二　（￡）｝，　＞０为　常数，其模定义为ｌ　Ｊ　Ｉ　Ｊ—ｍａｘ　‰］『　（　）Ｉ，再设ｒ　＜１，由此得函数ｔ　ｒ（　）存在连续反函数，记为　（ｆ），ｉ，　一１，２，３．　注２　利用引理１，不难发现　，（（Ｕ）一　（Ｏ）＋　，ｉ，　一１，２，３．　

由此得』　ｄｓ一』　ｄ　一』　一ａ　ｃ　ｄ　一瓦　，　，ｚ，ｓ．　

作变换ｚ　（ｆ）一ｅｘｐｙ　（ｆ），（　一１，２，３），则系统（１）可化为　ｆ　ｙｌ　（ｆ）一ｒ１（　）一ａ１１（　）ｅｘｐｙｌ（ｔ—ｒ１１（　））一ａｌ２（￡）ｅｘｐｙ２（　ｒ１２（￡））一ｎ１　３（ｆ）ｅｘｐｙ　３（ｔ—Ｚ＇１　３（ｔ））　ｙ２　（ｆ）－－ｒ２（　）＋Ⅱ２１（ｆ）ｅｘｐｙ１（ｆ—ｒ２ｌ（ｆ））一＆２２（　）ｅｘｐｙ２（　一ｒ２２（ｆ））一（２　２３（ｆ）ｅｘｐｙ３（ｆ—ｒ２３（￡））（２）　ｌ　３　（￡）一　（　）＋以３１（　）ｅｘｐｙｌ（ｔ一　１（￡））一以３２（　）ｅｘｐｙｚ（ｔ—Ｚ＇３２（￡））一１；／３３（　）ｅｘｐｙ３（ｔ　Ｚ＇３　３（　））・　显然系统（１）存在一周期正解当且仅当系统（２）存在　周期解．　

３　主要结果　设　Ｌ：Ｄ（Ｌ）ｎ　Ｘ—ｙ，Ｌｙ一—ｄ　ｙ，　（３）　

其中Ｄ（Ｌ）：｛　｛　∈Ｘ，　（ｆ）∈Ｃ（Ｒ，Ｒ。）｝，Ｎ：Ｘ—ｙ，　ｆｒ１（　）一ａ１１（￡）ｅｘｐｙ１（￡一ｒ１１（　））一ａｌ　２（￡）ｅｘｐｙ２（￡一ｚ．１　２（　））一ａ１　３（ｆ）ｅｘｐｙ３（　ｒ１　３（￡））　Ｎｙ一　一ｒ２（　）＋以２Ｉ（　）ｅｘｐｙ１（ｆ一　（ｆ））一以２２（　）ｅｘｐｙ２（ｆ—ｒ２２（￡））一ｎ２３（￡）ｅｘｐｙ３（￡一ｒ２３（￡））　（４）　ｒ３（　）＋ａ　３１（　）ｅｘｐｙｌ（￡一ｒ３１（　））一ａ　３２（￡）ｅｘｐｙ２（　一Ｚ＇３２（　））　ａ　３３（￡）ｅｘｐｙ３（　—Ｚ－３３（￡））．　显然系统（２）可表示为Ｌｙ一　．易见Ｌ为指标为零的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ算子，Ｎ在　是Ｌ－紧的，其中Ｑ为Ｘ中　的任意有界开集．　定理１　设下面条件满足：　

［Ｉ］　代数方程组　ｆ　Ｉ—Ｆ１１　ｅｘｐｙｌ＋ｒ＇１　２　ｅｘｐｙ２＋Ｉ＇１　３　ｅｘｐｙ３　ｆ——————　２一Ｉ、２１　ｅｘｐｙ１一ｒ２２　ｅｘｐｙ２一ｒ２３　ｅｘｐｙ３　

ｌ　一　３ｌ　ｅｘｐｙ１一　３２　ｅｘｐｙ２一　３３　ｅｘｐｙ３　

存在唯一解（　，　，　：）∈Ｒ。，其中Ｆ　（　）（　，　一１，２，３）由式（７　）所定义；　［ＩＩ］　系数矩阵ｄｅｔＡ＞０且ｄｅｔＡ　＞０，矩阵Ａ和Ａ　（　一１，２，３）由式（１０）（１１）所定义，则系统（１）　

存在　周期解．　证　设　（ｆ）为系统Ｌ　＝；ｔＮ　，　∈（Ｏ，１）的任一　周期解，其中Ｌ，Ｎ分别由式（３）（４）所定义，则　第２期　徐　燕，等：多偏差变元的捕食一被捕食Ｉ　ｏｔｋａ～Ｖｏｌｔｅｒｒａ模型的周期正解　１３５　ｆｙ】　（￡）一　［ｒ１（　）一＆】ｌ（ｆ）ｅｘｐｙ１（ｔ—ｒ１１（ｆ））一ａ１２（　）ｅｘｐｙ２（ｆ—ｒ１　２（ｆ））一。１　３（　）ｅｘｐｙ３（ｆ—ｒ］３（ｆ））］　ｙ２　（ｆ）一　［一ｒ２（ｆ）＋ｎ　２１（ｆ）ｅｘｐｙｌ（ｔ—ｒ２１（￡））一＆２　２（ｆ）ｅｘｐｙ２（　～ｒ２１（ｆ））　“２　３（ｆ）ｅｘｐｙ３（　—ｒ２　３（ｆ））］　ｌＹ３　（　）一　［一ｒ３（ｆ）４－Ⅱ３１（ｆ）ｅｘｐｙｌ（ｔ—ｒ３１（ｆ））一以３２（ｆ）ｅｘｐｙ２（ｔ～　２（ｆ））一ａ３３（ｆ）ｅｘｐｙ３（ｔ—　３（　））］．　（５）　将式（５）两端同在［Ｏ，　］上积分，得　

ｆ　ｌ∞一ｆ　［“１ｌ（　）ｅｘｐｙｌ（ｆ一　（￡））＋以１　２（ｆ）ｅｘｐｙ２（ｆ—ｒ１　２（ｆ））＋ｎｌ　３（　）ｅｘｐｙ３（　—ｒ１　３（　））］ｄｆ　１　√ｕ　｛　ｒ　

２∞一Ｉ　［“２１（　）ｅｘｐｙｌ（ｔ—ｒ２１（　））　以２２（ｆ）ｅｘｐｙ２（￡　ｒ２２（　））～　２３（ｆ）ｅｘｐｙ３（ｆ—ｒ２　３（ｔ））］ｄｔ　（６）　

Ｉ　√Ｕ　

ｊ　７＝３甜一Ｉ　［“３ｊ（ｆ）ｅｘｐｙ】（ｔ—　ｌ（￡））一ｎ３２（￡）ｅｘｐｙ２（　—　２（　））～以。３（　）ｅｘｐｙ３（ｔ—ｒ３。（　））］ｄｔ．　

￣　ａｏ（ｔ）ｅｘｐｙｊ（ｔ－－ｒｏ（ｔ））ｄｔ＝　ｅｘｐｙｌ（ｔ）ｄｔ且由注　知　唧　ｃ（　故　㈩ｅｘｐｙｊ（ｔ－－ｒ０㈩　一　ｅｘｐｙｊ㈩Ｃ１『＇　一１’２　㈩　将式（７）代人（６），同时记　（ｆ）：　ｌ　１（Ｆ１１（ｆ）ｅｘｐｙｌ（￡）十Ｆ１　２（ｆ）ｅｘｐｙ２（ｆ）４－Ｆ１　３（　）ｅｘｐｙ３（￡））ｄｔ一　１叫　得　｛Ｉ（Ｆ２】（ｆ）ｅｘｐｙｌ（　）一Ｆ２。（￡）ｅｘｐｙ２（ｆ）一Ｆ２３（ｆ）ｅｘｐｙ３（￡））ｄｔ一　】Ｉ（Ｆ３ｌ（ｆ）ｅｘｐｙ１（ｆ）～Ｆ３２（ｆ）ｅｘｐｙ２（ｆ）一Ｆ３３（ｆ）ｅｘｐｙ３（ｆ））ｄｔ一　３　．　由广义积分中值定理知，存在　∈［一　（０），　～ｒ＂（ｏ）］，使得　ｅｘｐｙｊ㈩　ｆ２　ｅｘｐｙ，（ｔ）ｄｔ，　ｚ　

其中　＝ｄ　（　）∈［０，叫］．　记　一。．，，则式（８）变为　ｌ～ｆ　Ｌ　７７　，　

今Ａ　。　ｅｘｐｙ１（ｔ　

ｅｘｐｙｌ（ｔ　ｅｘｐｖ１（ｔ　

ｄｆ＋ａ　ｄｔ——ａ　ｄｔ——ａ　

ｒ“　２　Ｉ　ｅｘｐ　

ｒ＂　２　Ｉ　ｅｘｐｙ　

ｒｕ　ｒ　２　Ｊ　ｅｘｐｙ　

（Ａ　，Ａ　，Ａ。）为式（９）的系数矩阵，其中　Ａ】　（＆ｌｌ，ａ２】，ａ。１）　，Ａ２一（“１２，～ａ２２，　

＋“１　“２　ｅｘｐｙ３（ｔ））ｄｔ—　ｊ　

ｅｘｐｙ３（ｔ））ｄｔ一　２（ｕ　‰ｒｅｘ　（ｆ））ｄｔ一　∞　

同时取　一（７＝１，　２，Ｉ｛）　，Ａｌ一（　，Ａ２，Ａ。），Ａ２一（Ａｌ，　，Ａ３），Ａ　３一（Ａ１，Ａ２，　）．　则有　一　１．２＇３．　

（７　）　（８）　

（９）　（１０）　（１１）