最小二乘计算实例
两阶段最小二乘法实例
两阶段最小二乘法实例
两阶段最小二乘法是一种用于解决线性回归问题的统计学方法。
该方法通常用于数据量非常大，不能在一个统计模型上进行处理的情况下。
在两阶段最小二乘法中，首先将样本数据分成两个部分：训练数据和测试数据。
然后在第一阶段，使用训练数据进行线性回归分析，并得到系数。
在第二阶段，使用测试数据和第一阶段得到的系数进行线性回归分析来预测未知数据的结果。
例如，我们要研究一个新的药物对心脏病有没有疗效。
我们有一个包含100名病人的数据集，其中50名患者服用了药物，另外50名患者没有服用药物。
我们要找出药物对心脏病的治疗效果。
首先，我们将数据集分成训练集和测试集。
比如，我们将70%的数据作为训练数据，30%的数据作为测试数据。
然后使用训练数据进行线性回归分析并得到系数，即药物的治疗效果。
使用测试数据集和得到的系数进行线性回归分析，预测药物的疗效。
最后，我们可以评估模型的性能，即评估预测结果的准确性。
如果预测结果非常准确，那么我们就可以得出药物对心脏病的治疗效果。
最小二乘法示例(共7张PPT)
用Excel求解a、b、r
例如：用Excel求解a、b、r
设铜丝电阻随温度变化的实验数据如下，用Excel 求解a、b、r求解步骤
t(℃) 25.1 32.0 40.1 47.0 54.0 60.8 67.1 73.7 Rt(Ω) 21.34 21.91 22.58 23.15 23.73 24.27 24.80 25.32
4. 同样可在C3、D3空白格内分别输入说明'r= , 函数=correl(B1:B8,A1:A8)，回车后，显示
r=0.99998
5. 用Excel作图得：
1. 把t、Rt 数据按列对应输入Excel表格内，如 把t输在第一列〔A1:A8）, Rt输在第二列 〔B1:B8）
2. 在相邻两个空白格〔如C1、D1格〕内，分别输入说明和函
数。如在C1中输入说明‘a= ，回车；在D1中输入函数
=intercept(B1:B8,A1:A8)，其中A1:A8、B1:B8分别给出自
变量、因变量的对应位置，回车，即显示a= 19.28848
同样可在C3、D3空白格内分别输入说明'r= , 函数=correl(B1:B8,A1:A8)，回车后，显示r=0. 把t、Rt 数据按列对应输入Excel表格内，如把t输在第一列〔A1:A8）, Rt输在第二列〔B1:B8） 设铜丝电阻随温度变化的实验数据如下，用Excel求解a、b、r求解步骤 把t、Rt 数据按列对应输入Excel表格内，如把t输在第一列〔A1:A8）, Rt输在第二列〔B1:B8） 同样可在C2、D2空白格内分别输入说明'b=， 函数=slope(B1:B8,A1:A8)，回车后，显示b=0. 设铜丝电阻随温度变化的实验数据如下，用Excel求解a、b、r求解步骤 如在C1中输入说明‘a= ，回车； 例如：用Excel求解a、b、r 设铜丝电阻随温度变化的实验数据如下，用Excel求解a、b、r求解步骤 把t、Rt 数据按列对应输入Excel表格内，如把t输在第一列〔A1:A8）, Rt输在第二列〔B1:B8） 在相邻两个空白格〔如C1、D1格〕内，分别输入说明和函数。 如在C1中输入说明‘a= ，回车； 在相邻两个空白格〔如C1、D1格〕内，分别输入说明和函数。 同样可在C2、D2空白格内分别输入说明'b=， 函数=slope(B1:B8,A1:A8)，回车后，显示b=0. 在D1中输入函数=intercept(B1:B8,A1:A8)，其中A1:A8、B1:B8分别给出自变量、因变量的对应位置，回车，即显示a= 19.
多元最小二乘例子
多元最小二乘例子
**方言小故事：小明和多元最小二乘法**
咱村的小明啊，是个聪明伶俐的孩子。
他不但算术好，还特别喜欢琢磨些新鲜玩意儿。
这不，最近老师讲了多元最小二乘法，小明就琢磨着这玩意儿到底有啥用呢。
有一天，小明去帮爷爷放羊，他数了数，有十只羊。
他想：“如果我能知道每只羊的重量，再知道它们吃的草量，那我是不是就能算出平均每天需要多少草来喂它们呢？”
小明回家后就琢磨开了。
他找爷爷问每只羊的大概重量，又去看了看羊圈里每天剩下的草量。
他发现，羊的重量和吃的草量不是简单的正比关系，因为有的羊吃得多长得慢，有的羊吃得少长得快。
这下可把小明难住了，他想了想，想起了老师说的多元最小二乘法。
他想：“如果把羊的重量和吃的草量都当成变量，然后用最小二乘法来拟合一个曲线，那是不是就能更准确地算出每天需要多少草了呢？”
于是，小明拿出纸笔，开始列方程、算数据。
经过一番努力，他终于得到了一个公式，这个公式能够根据羊的重量和吃的草量来预测每天需要的草量。
小明高兴地把这个结果告诉了爷爷，爷爷听了也直夸他聪明。
小明心里美滋滋的，他觉得多元最小二乘法真是个好东西，能帮他解决这么实际的问题。
从此以后啊，小明就更加喜欢数学了，他觉得数学不仅有趣，还能帮助他解决生活中的问题。
而那个多元最小二乘法的例子，也成了他和朋友们分
享数学乐趣的一个小故事。
最小二乘法的应用实例
最小二乘法的应用实例《最小二乘法的奇妙之旅》嗨，小伙伴们！今天我要给你们讲一讲一个超级有趣又超级有用的东西，那就是最小二乘法。
你们可别一听这名字就觉得头疼，其实呀，它就像一个超级小助手，在很多地方都能大显身手呢！我先给你们讲个故事吧。
我有个邻居叔叔，他是个果农。
他种了好多苹果树。
每次苹果成熟的时候，他都要去估算一下这一年大概能收获多少苹果。
这可不容易呢！他就记录了每棵树的树干粗细、树的高度、树枝的数量这些数据，还记录了每棵树实际收获的苹果个数。
他就想啊，能不能找到一个办法，根据那些树干粗细、树高、树枝数量这些数据，就能比较准确地算出一棵树上会结多少苹果呢？这时候，最小二乘法就像一个智慧小超人一样出现啦。
我们可以把树干粗细、树高、树枝数量这些当作变量，就像是不同的小助手一样。
那收获的苹果个数就是我们想要预测的结果。
最小二乘法就像是一个超级厉害的搭配大师，它能找到这些变量和结果之间的一种最佳组合方式。
就好比我们在搭积木，最小二乘法能找到最稳当、最合理的搭法。
比如说，树干粗细可能对苹果个数影响很大，就像搭房子的地基一样重要；树高和树枝数量呢，也有一定的影响，就像是房子的墙壁和屋顶。
最小二乘法把这些因素按照最合理的方式组合起来，就像搭出了一座完美的小房子。
再给你们说个例子吧。
我和我的小伙伴们在学校做实验。
我们想知道小车在斜面上滑动的距离和斜面的坡度、小车的重量还有摩擦力之间的关系。
我们做了好多好多组实验，得到了一堆的数据。
哎呀，这些数据看起来乱七八糟的，就像一团乱麻一样。
可是我们又想从这些乱麻里找出规律。
这时候，最小二乘法就闪亮登场啦。
我们把斜面的坡度、小车的重量、摩擦力当作那些调皮的小怪兽，而小车滑动的距离就是我们要守护的宝藏。
最小二乘法就像一个超级英雄，它要打败那些小怪兽，找到宝藏的真正秘密。
它会把这些数据按照自己的魔法进行排列组合。
就好像是把小怪兽们排排队，让它们乖乖听话，然后告诉我们：“看呀，这样这样，就能知道宝藏和小怪兽们之间的秘密啦！”通过最小二乘法，我们就能找到一个大概的公式，只要我们知道斜面的坡度、小车的重量和摩擦力，就能算出小车大概会滑动多远。
数值计算中的最小二乘问题
数值计算中的最小二乘问题在数值计算领域中，最小二乘问题是一个广泛研究的问题。
它的应用范围非常之广，不仅出现在自然科学中，也出现在工程、社会科学等领域中。
在本文中，我们将深入探讨最小二乘问题及其应用。
一、最小二乘问题的定义最小二乘问题是指，在给定一组数据点的情况下，要求找到一条曲线，使得这条曲线经过数据点，且各个数据点到曲线的距离的平方和最小。
我们可以用以下公式来表示这个距离的平方和：$S=\sum_{i=1}^{n}(y_i - f(x_i))^2$其中，$y_i$ 和 $x_i$ 分别代表第 $i$ 个数据点的纵坐标和横坐标，$f(x)$ 代表所要求的曲线方程。
我们的目标就是要找到一个$f(x)$，使得 $S$ 值最小。
这个问题也可以称为线性最小二乘问题，因为 $f(x)$ 通常可以表示成一个线性函数的形式。
二、最小二乘问题的解法在解决最小二乘问题时，最常用的方法是通过求导来得到最小值。
我们将 $S$ 对 $f(x)$ 求导，令导数等于零，就可以解出最佳的 $f(x)$。
但是，要求解这个导数并不容易，因为 $f(x)$ 通常可以表示为未知系数的线性组合，如下所示：$f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_mx^m$当数据点的数量较大时，这个方程中就会有很多未知系数，导致求解起来非常麻烦。
所以，为了方便求导，我们需要将$f(x)$ 再次转换为一个更为简单的形式。
为了达到这个目的，我们可以使用特定的基函数来表示$f(x)$，将 $f(x)$ 表示成这些基函数的线性组合的形式。
常见的基函数包括多项式函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等等。
这些基函数通常都具有简单、易于求导的性质，因此可以极大地便利我们的求解过程。
例如，我们可以使用一个三次多项式函数作为基函数：$\phi(x)=[1, x, x^2, x^3]$然后，我们可以将 $f(x)$ 表示为一个 $\phi(x)$ 系数向量的线性组合形式：$f(x)=\phi(x)^T\boldsymbol{a}$其中，$\boldsymbol{a}$ 是一个系数向量，包含了所需函数的所有系数。
最小二乘法计算例题
最小二乘法计算例题最小二乘法是一种广泛应用于统计学、机器学习和数学建模等领域的统计技术。
它通过最小化误差平方和来估算未知系数，以便建立较好的模型，从而更好地描述数据的特征。
本文通过一个具体的计算例题，来讲解最小二乘法的计算过程及其思想。
首先，我们来看一个最小二乘法计算例题：有5个观测点$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3), (x_4, y_4), (x_5, y_5)$，我们假定y与x之间的关系可以拟合出一条直线：$y=ax+b$，求出参数a 和b的值。
要求出参数a和b的值，首先需要定义平方误差函数。
平方误差函数用来衡量模型根据拟合出来的参数对观测数据的拟合程度，它的定义如下：$$Q(a,b)=sum_{i=1}^5(y_i-ax_i-b)^2$$计算最小二乘法，是求解Q(a,b)关于a和b的最小值，即要找到一组a和b，使得Q(a,b)最小。
为了求出最小值，我们需要求出Q(a,b)关于a和b参数的偏导数，也就是对a和b分别求导，其表达式为：$$frac{partial Q(a, b)}{partial a} = -2sum_{i=1}^{5}x_i(y_i-ax_i-b)$$$$frac{partial Q(a, b)}{partial b} = -2sum_{i=1}^{5}(y_i-ax_i-b)$$设两个偏导数等于0，则可以求出a和b的值：$$sum_{i=1}^{5}x_i(y_i-ax_i-b) = 0$$$$sum_{i=1}^{5}(y_i-ax_i-b) = 0$$联立上面两个方程式，可以求解出a和b的值：$$ a=frac{sum_{i=1}^{5}(x_i^2-x_ibar{x})cdot(y_i-bar{y})+su m_{i=1}^{5}(x_i-bar{x})cdot(bar{y}x_i-bar{x}y_i)}{sum_{i=1} ^{5}(x_i^2-x_ibar{x})cdot(x_i^2-x_ibar{x})}$$$$b=bar{y}-abar{x},quad中bar{x}=frac{sum_{i=1}^{5}x_i}{5},bar{y}=frac{sum_{i=1}^{5}y_i}{5}$$从上可见，计算最小二乘法需要先求出误差平方和函数（Q函数），然后求出误差平方和函数关于参数a和b的偏导数，根据偏导数等于0的条件来求出参数a和b的值，即可得到最小二乘法的结果，最后再根据求出的参数a和b的值，拟合出方程，就可以得到拟合出的直线了。
最小二乘计算实例
简单线性模型y = x0 + x1t 的例子随机选定10艘战舰，并分析它们的长度与宽度，寻找它们长度与宽度之间的关系。
由下面的描点图可以直观地看出，一艘战舰的长度（t）与宽度（y）基本呈线性关系。
以下图表列出了各战舰的数据，随后步骤是采用最小二乘法确定两变量间的线性关系。
编号长度 (m) 宽度 (m) t i - t y i - yi t i y i t i* y i* t*y* t*t* y*y*1 208 21.6 40.2 3.19 128.238 1616.04 10.17612 152 15.5 -15.8 -2.91 45.978 249.64 8.46813 113 10.4 -54.8 -8.01 438.948 3003.04 64.16014 227 31.0 59.2 12.59 745.328 3504.64 158.50815 137 13.0 -30.8 -5.41 166.628 948.64 29.26816 238 32.4 70.2 13.99 982.098 4928.04 195.72017 178 19.0 10.2 0.59 6.018 104.04 0.34818 104 10.4 -63.8 -8.01 511.038 4070.44 64.16019 191 19.0 23.2 0.59 13.688 538.24 0.348110 130 11.8 -37.8 -6.61 249.858 1428.84 43.6921总和（Σ）1678 184.1 0.0 0.00 3287.820 20391.60 574.8490仿照上面给出的例子并得到相应的.然后确定x1可以看出，战舰的长度每变化1m，相对应的宽度便要变化16cm。
并由下式得到常数项x0：在这里随机理论不加阐述。
可以看出点的拟合非常好，长度和宽度的相关性大约为92％。
[编辑]一般线性情况若含有更多不相关模型变量t1,...,t q，可如组成线性函数的形式即线性方程组通常人们将t ij记作数据矩阵A，参数x j记做参数矢量x，观测值y i记作b，则线性方程组又可写成：即Ax = b上述方程运用最小二乘法导出为线性平差计算的形式为：。
最小二乘法的例题
最小二乘法的例题
最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。
假设我们有一组数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，我们想要找到一条直线 y = mx + c，使得所有数据点到这条直线的垂直距离之和最小。
最小二乘法的目标是最小化误差平方和：
Σ[(yi - (mx_i + c))^2]
其中，m 是直线的斜率，c 是截距。
现在，我们通过解下面的方程来找到 m 和 c 的值：
Σ[(yi - (mx_i + c))^2] = min
这个方程可以简化为：
Σ[(yi - mx_i + c)^2] = Σ[(yi)^2 - 2yimx_i + (mx_i)^2 - 2cyi + c^2]
通过整理，我们可以得到：
Σ[(yi)^2] - 2mΣ[yix_i] + m^2Σ[(x_i)^2] + 2cΣ[yi] - 2mcΣ[x_i] + nc^2 = min
其中 n 是数据点的数量。
现在，我们要解这个方程组来找到 m 和 c 的值。
首先，我们需要计算
Σ[yi^2], Σ[yix_i], Σ[(x_i)^2], Σ[yi], Σ[x_i] 和 c^2。
然后，我们将这些值代入上面的方程中来找到 m 和 c 的值。
下面是一个使用 Python 实现最小二乘法的例子：
给定数据点 (1, 2), (2, 3), (3, 6)，我们想要找到一条直线 y = mx + c，使得所有数据点到这条直线的垂直距离之和最小。
计算结果为： [{c: , m: 2}]
所以，最佳拟合直线为：y = 2x +。
广义最小二乘法例题
两则广义最小二乘法例题广义最小二乘法是一种用于估计线性回归模型参数的方法。
它适用于当回归模型存在异方差性（即误差方差不恒定）或者误差项之间存在相关性的情况。
下面是一个广义最小二乘法的例题：一、假设你正在研究某个城市的房价，你收集到了以下数据：对于n个房屋，你记录了它们的面积（X）、卧室数量（Z）以及售价（Y）。
你希望建立一个回归模型来预测房屋售价。
首先，我们可以假设回归模型的形式为：Y = β0 + β1X + β2Z + ε其中，Y是售价，X是面积，Z是卧室数量，ε是误差项。
为了使用广义最小二乘法估计模型参数，我们需要对误差项的方差进行建模。
假设误差项的方差为异方差的，即Var(ε) = σ^2 * f(Z)，其中σ^2是常数，f(Z)是卧室数量的某个函数。
我们可以使用最小二乘法来估计模型参数β0、β1和β2。
首先，我们需要构造一个加权最小二乘问题，其中每个样本的残差平方会被一个权重因子所加权。
权重因子可以根据样本的特征值进行计算，以反映异方差性的影响。
在广义最小二乘法中，我们需要估计的参数为β0、β1和β2，以及函数f(Z)的形式和参数。
一种常见的方法是使用加权最小二乘法来求解该问题，其中权重因子可以通过对误差项的方差进行估计得到。
具体的计算过程可以使用迭代的方法进行。
需要注意的是，实际应用中可能存在多种处理异方差性的方法，具体的选择取决于数据的特点和研究目的。
二、假设你是一家电子产品公司的数据分析师，你希望通过回归分析来预测一种新产品的销售量。
你收集到了以下数据：对于n个销售点，你记录了它们的广告费用（X）、竞争对手的广告费用（Z）以及销售量（Y）。
你希望建立一个回归模型来预测销售量。
假设回归模型的形式为：Y = β0 + β1X + β2Z + ε其中，Y是销售量，X是该公司的广告费用，Z是竞争对手的广告费用，ε是误差项。
然而，你发现误差项的方差与广告费用的大小有关，即存在异方差性。
你决定使用广义最小二乘法来估计模型参数。
最小二乘法 应用案例
最小二乘法应用案例咱今儿来聊聊最小二乘法的应用案例哈。
这最小二乘法啊，就像是一个超级聪明的“调解小能手”，能在好多地方发挥大作用呢。
案例一：预测房价。
你想啊，买房可是人生大事，大家都想知道这房子到底值多少钱。
那影响房价的因素可多啦，像房子的面积大小、房龄、周边配套设施啥的。
这时候最小二乘法就闪亮登场啦！比如说，咱们收集了好多房子的信息，有面积是80平的，卖了100万；有100平的，卖了120万；还有120平的，卖了140万等等。
咱们就把面积当成一个变量，房价当成另一个变量。
最小二乘法呢，就会根据这些数据，找一条最合适的线，就像是给这些数据点穿上了一条“最佳拟合线”。
通过这条线，咱们就能根据房子的面积比较准确地预测房价啦。
比如说，有一套95平的房子，咱不用瞎猜它能卖多少钱，把95平这个数据往这条线上一代，大概的房价就出来啦。
这多方便啊，就像有个小助手帮咱们算得明明白白的。
案例二：分析身高和体重的关系。
咱再来说说这身高和体重哈。
一般来说，个子高的人可能体重也会重一些，但又不是绝对的，对吧？那到底身高和体重之间有没有啥规律呢？最小二乘法又能派上用场啦。
比如说，咱们找了一群人，量了量他们的身高和体重，记录下来。
有人身高170cm，体重65公斤；有人身高180cm，体重75公斤等等。
然后呢，用最小二乘法去分析这些数据，找到一个能最好地描述身高和体重关系的方程。
有了这个方程，咱们就能知道，对于一个特定身高的人，他的体重大概应该是多少啦。
比如说，一个人身高175cm，咱把这个身高值往方程里一代，就能算出他比较合理的体重范围。
要是他实际体重超出这个范围太多，那可能就得注意注意，是不是该锻炼锻炼或者调整调整饮食啦。
案例三：优化生产配方。
在工厂里生产东西的时候，也经常会用到最小二乘法哦。
比如说，生产一种饮料，这饮料的口感和很多因素有关，像糖的含量、果汁的比例、添加剂的多少等等。
工厂的工程师们就会做很多次试验，每次试验都改变一下这些成分的比例，然后让大家尝尝口感，给个评分。
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简单线性模型y = x0 + x1t 的例子
随机选定10艘战舰，并分析它们的长度与宽度，寻找它们长度与宽度之间的关系。
由下面的描点图可以直观地看出，一艘战舰的长度（t）与宽度（y）基本呈线性关系。
以下图表列出了各战舰的数据，随后步骤是采用最小二乘法确定两变量间的线性关系。
编号长度 (m) 宽度 (m) t i - t y i - y
i t i y i t i* y i* t*y* t*t* y*y*
1 208 21.6 40.
2 3.19 128.238 1616.04 10.1761
2 152 15.5 -15.8 -2.91 45.978 249.64 8.4681
3 113 10.
4 -54.8 -8.01 438.948 3003.04 64.1601
4 227 31.0 59.2 12.59 745.328 3504.64 158.5081
5 137 13.0 -30.8 -5.41 166.628 948.64 29.2681
6 238 32.4 70.2 13.99 982.098 4928.04 195.7201
7 178 19.0 10.2 0.59 6.018 104.04 0.3481
8 104 10.4 -63.8 -8.01 511.038 4070.44 64.1601
9 191 19.0 23.2 0.59 13.688 538.24 0.3481
10 130 11.8 -37.8 -6.61 249.858 1428.84 43.6921
总和（Σ）1678 184.1 0.0 0.00 3287.820 20391.60 574.8490
仿照上面给出的例子
并得到相应的.
然后确定x1
可以看出，战舰的长度每变化1m，相对应的宽度便要变化16cm。
并由下
式得到常数项x0：
在这里随机理论不加阐述。
可以看出点的拟合非常好，长度和宽度的相关性大约为92％。
[编辑]一般线性情况
若含有更多不相关模型变量t1,...,t q，可如组成线性函数的形式
即线性方程组
通常人们将t ij记作数据矩阵A，参数x j记做参数矢量x，观
测值y i记作b，则线性方程组又可写成：
即Ax = b
上述方程运用最小二乘法导出为线性平差计算的形式
为：。