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工件的加工次序问题
孙瑜
Байду номын сангаас
张成伟 徐兆国
摘要
• 本文探讨的问题是如何安排工件的加工顺序以 使得各工件的完工时间之和最短、机床花费的 总时间最小、加工工件的总补偿费用最少。求 解这一问题主要用到了图论和线性规划的数学 方法。在第一问与第三问中，本文先将题中所 给出的数据、条件转换为图，在此基础上表示 出目标函数及约束条件，利用非线性规划求得 最优解。第二问中，文本利用了图论中哈密顿 链原理，将完成工件加工的问题转化为有向图 中点的遍历，所建立的模型可遍历哈密顿链中 的全部点且得到最短路径。
40
24
36
16
前 期 工 件号i 3,4 8 5,7, 5,9 1 10,1 9 3,8, 4 7 3,5, 4 4,7 6,7, 14 5,12 6 1,2,
1）若给出一个加工工序，则确定了每个工件的完工 时间（包括等待与加工两个阶段）。试设计一个满 足条件的加工顺序，使各工件的完工时间之和最小。 2）若第j号工件紧接着第i号工件完工后开工，机床需 要花费的准备时间是： 3）假定工件的完工时间（包括等待与加工两个阶段） 超过一确定时限u时，则需支付一定的补偿费用，其 数值等于超过时间与费用率之积，各工件的补偿费 用率ωi如下： j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
模型建立与求解
• 1、总完工时间最优模型 • 问题1中要求根据各个工件的加工时间， 以及其前期工件的要求，建立以总的 完工时间最少为目标的目标函数。在 加工时间一定的情况下，对其进行合 理的排序，使目标函数达到最小值。
• (1)模型建立 • 总的完工时间包括各工件的等待时间之和与各工件的加工 时间之和。由于各工件的加工时间之和是一定的，所以完 工时间最优问题等价于各工件等待时间总和的最优化问题。 • 设第 个工件的加工次序为 y i ，总的完工时间为 Z 1 。 • 每个工件都被其后置加工工件所等待，因此，总的工件等 待时间即每个工件被等待的时间总和。 • 第 个工件被等待的时间为(14 − y i )t i ，则所有工件被等待的 时间为 14 (14 − y )t
• (3) 相关图形 • 由题目中的表可作图如下：
9 4 7 11 5 3
10
图1
• (4) 模型求解 • 这是一个最优化问题，由于变量和约束条件都很多，人工求解 有一定困难，因此可以借助lingo软件，求解得到最佳加工顺序 和最少总完工时间。 • 在lingo软件中求解的部分代码： • MIN=5175-20*y1-28*y2-25*y3-16*y4-42*y5-12*y6-32*y7-10*y824*y9-20*y10-40*y11-24*y12-36*y13-16*y14=0;（目标函数的表 示）。 • 由lingo计算得使得总完工时间最短的最佳加工次序为：
3
∑
j =1
j
j
j
• (2) 约束条件分析 • 根据题目给出的表中可以得知各工件之间的关系（1.2）， 由此也可以得到各工件完工时间之间的关系（1.3）。由 分析知道工件3的完工时间为199，工件14的完工时间为 285，工件12的完工时间为309，工件13的完工时间为 345，因此工件3以后完工的工件的完工时间都会超过确 定时限 u，则 m j = 1 为工件3以后完工的工件号，包括 （ 工件3）；而不管安排怎样的加工顺序工件4的完工时间 都不会超过 u，则 m 4 = 0 ；对于工件5，它加工之前工 件4、7、11、10必须完工，因此工件5的完工时间至少 为108，也超过了确定时限 u，则 m 5 = 0 ；对于工件7， 它最多排在工件4、9、10的后面，因此它的完工时间最 多为92，不超过 u，则 m 7 = 0；对于工件9、10、11，它 们可能超过也可能不超过确定时限，这只能根据加工的 顺序来得到 m 9 ,m10 ,m11的值。 • 工件的完工时间 x j 与工件的加工顺序 y i 之间的关系为 （1.5），由问题一可知。
• 最终求解模型，结果如下： • (1) 加工顺序为 4→10→9→7→11→5→3→8→6→1→2→14→12→13时， 各工件的完工时间和最小，为2588。 • (2) 加工顺序为 4→7→11→10→9→5→3→8→6→2→1→14→12→13时， 机床花费的总时间最小，为114。 • (3) 加工顺序为 4→7→11→10→5→9→3→8→6→1→2→14→12→13时， 总补偿费最小，为142.42。 • (4) 对u进行讨论，可分为以下几种情况:u<92、 92=<u<108、108=<u<174、174=<u<199、 199=<u<209、209=<u<219、219=<u<269、 269=<u<309、309=<u<345、u >=345,并进而用lingo 可求出答案 • (5)把一般情况下上述各问题的解法进行的一些讨论。
ωi 12 10 15 16 10 11 10 8 5 4 10 10 8 12
u=100，tij=0，安排一个加工顺序，使总补偿最小。 (4)试对(3)中的u进行讨论。 (5)能否对一般情况下上述各问题的解法进行一些讨 论。
问题分析
• 这五个问题都是要求一种最优加工次序，使得工件 完工时间和、机床花费时间、总补偿费分别达到最小。 由于题中安排了各工件的前期工件，所以解题时可以 先利用图论的知识将加工工件之间的先后关系表示出 来。由于第j号工件完工时间和补偿费与其前置加工工 件完工时间的累加密切相关，所以单纯用图论解决完 工时间和补偿费的最优化是很复杂的，但是可以在有 向图的基础上将目标函数、约束条件巧妙表示出来， 再结合非线性规划解出最优解。在第二问中，求得的 是机床花费总时间的最小值问题，实质就是要解决机 床的总准备时间最短的问题。该问题可转化为最短路 径问题，但是同时要考虑到各加工工件的前期工件。 这就需要构造一个好的有向图，再遍历点并求得最短 路径。
∑
i =1
i
i
• 所有工件的加工时间为 ∑ t i = 345
i =1
14
Z • 因此总的完工时间之和为： 1= ∑ (14 − y i )t i + ∑ t i = ∑ (15 − y i )t i
i =1 i =1 i =1
14
14
14
• (2) 约束条件分析 • 设 是 的前期工件，则第 个工件的加工次序 应早于第 个工件的加工次序，所以 • 由题目当中的表可得约束条件为： • y1− y 3 ≥ 1; y 2 − y 8 ≥ 1; y 3 − y 5 ≥ 1; • y 3 − y 9 ≥ 1; y 5 − y10 ≥ 1; y 5 − y11≥ 1; • y 6 − y 8 ≥ 1; y 7 − y 4 ≥ 1; y 8 − y 3 ≥ 1; • y 9 − y 4 ≥ 1; y11− y 7 ≥ 1; y12 − y14 ≥ 1; • y13 − y12 ≥ 1; y14 − y1≥ 1; y14 − y 2 ≥ 1; y14 − y 6 ≥ 1; ( y10 − y11) 2 ≥ 1; ( y1− y 2 ) 2 ≥ 1; • ( y1− y 6 ) 2 ≥ 1; ( y 2 − y 6 ) 2 ≥ 1; y13 = 14; y 4 = 1; • • y i 均为正整数， i=1,2,3…14。
1 3
2 8 6
图2
14
12
13
• 1 → 10 → 9 → 7 → 11 → 5 → 3 → 8 → 6 → 1 → 2 → 14 → 12 → 13 ， • 此时总完工时间为2588。
• 2、机床花费总时间最优模型 • (1)模型建立 机床花费总时间包括机床的总准备时间和总的工件加工时间。 总的工件加工时间是一定的，因此解决机床花费总时间最短问 题等价于机床准备总时间的最优化问题。本模型将此问题转化 为图论中的遍历哈密顿链问题。构造图如下
∑ x ij = 1( j = 0,1...4) = i141 x = 1( j = 0,1...4) ∑ ij j =1 x ij ∈ {0,1}( j = 0,1...4) 14 14 ∑∑ x ij = 13 i =1 j =1
14 14
•
(2) 模型求解 本模型用求解： 对图一求解 求解结果为：4→7→11→10→9→5→3 所需 45 机床花费总时间为45。 • 对图二求解 • 求解结果为：3→8→6→2→1→14→12→13 所需机床花费总时间为69。 • • • •
问题重述与分析
• 现有14件工件等待在一台机床上加工，某些工件的加工必 须安排在另一些工件加工完工以后才能开始，第j号工件的 加工时间tj及先期必须完工的工件号i由下表给出。
工 件号j 件号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
tj
20
28
25
16
42
12
32
10
24
20
• 现要求求得一种加工顺序，使得机床的总等待时间最短。转换 为图论问题即是寻找一条最短路径，并满足如下要求： • ① 该路径经过所有节点一次且仅一次，且无环，因此路径数目 要比节点数目少1； • ② 该路径经过工件i所代表的节点时，必须已经经过工件i的所 有前置节点。 • 根据图1，与图2，3号工件必定是排在第7个序号上，13号工件 必定排在最后一个加工序号上，同理，12号工件必定是倒数第 二个被加工，14号工件必定是倒数第三个被加工。因此问题简 化为找到图3、图4这两部分的最优加工顺序。建立模型为： • Min z = ∑∑ wij x ij , (i, j = 0,1...4) i =1 j =1 • s.t. 14
模型假设
• (1) 假设相邻工件之间的加工是紧挨着进行的， 即除了准备时间外，不浪费任何时间。 • (2) 假设机床在加工工件的过程中运转正常。 • (3) 假设不会发生意外情况（机器坏掉、加工的 工件不能正常使用等。）