正弦定理练习题(含答案)
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正弦定理 复习
1.在△ABC 中,∠A =45°,∠B =60°,a =2,则b 等于( ) A.6 B.2 C. 3
D .26
解析:选A.应用正弦定理得:a sin A =b sin B ,求得b =a sin B sin A = 6.
2.在△ABC 中,已知a =8,B =60°,C =75°,则b 等于( )
A .4 2
B .4 3
C .4 6 D.323
解析:选C.A =45°,由正弦定理得b =a sin B sin A
=4 6. 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,A =60°,a =43,b =42,则角B 为( )
A .45°或135°
B .135°
C .45°
D .以上答案都不对
解析:选C.由正弦定理a sin A =b sin B 得:sin B =b sin A a =22
,又∵a >b ,∴B <60°,∴B =45°. 4.在△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶5∶6,则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )
A .1∶5∶6
B .6∶5∶1
C .6∶1∶5
D .不确定
解析:选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C =a ∶b ∶c =1∶5∶6.
5.在△ABC 中,a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 所对的边,若A =105°,B =45°,b =2,则c =( )
A .1 B.12 C .2 D.14 解析:选A.C =180°-105°-45°=30°,由b sin
B =c sin
C 得c =2×sin 30°sin45°
=1. 6.在△ABC 中,若cos A cos B =b a
,则△ABC 是( ) A .等腰三角形 B .等边三角形 C .直角三角形 D .等腰三角形或直角三角形
解析:选D.∵b a =sin B sin A ,∴cos A cos B =sin B sin A
, sin A cos A =sin B cos B ,∴sin2A =sin2B
即2A =2B 或2A +2B =π,即A =B ,或A +B =π2. 7.已知△ABC 中,AB =3,AC =1,∠B =30°,则△ABC 的面积为( )
A.32
B.34
C.32或 3
D.34或32
解析:选D.AB sin C =AC sin B ,求出sin C =32
,∵AB >AC , ∴∠C 有两解,即∠C =60°或120°,∴∠A =90°或30°.
再由S △ABC =12
AB ·AC sin A 可求面积. 8.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c =2,b =6,B =120°,则a 等于( )
A. 6 B .2
C. 3
D. 2
解析:选D.由正弦定理得6sin120°=2sin C
,
∴sin C =12
. 又∵C 为锐角,则C =30°,∴A =30°,
△ABC 为等腰三角形,a =c = 2.
9.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若a =1,c =3,C =π3
,则A =________. 解析:由正弦定理得:a sin A =c sin C
, 所以sin A =a ·sin C c =12
. 又∵a <c ,∴A <C =π3,∴A =π6
. 答案:π6
10.在△ABC 中,已知a =433
,b =4,A =30°,则sin B =________. 解析:由正弦定理得a sin A =b sin B
⇒sin B =b sin A a =4×12433=32
. 答案:32
11.在△ABC 中,已知∠A =30°,∠B =120°,b =12,则a +c =________.
解析:C =180°-120°-30°=30°,∴a =c ,
由a sin A =b sin B 得,a =12×sin30°sin120°
=43, ∴a +c =8 3.
答案:8 3
12.在△ABC 中,a =2b cos C ,则△ABC 的形状为________.
解析:由正弦定理,得a =2R ·sin A ,b =2R ·sin B ,
代入式子a =2b cos C ,得
2R sin A =2·2R ·sin B ·cos C ,
所以sin A =2sin B ·cos C ,
即sin B ·cos C +cos B ·sin C =2sin B ·cos C ,
化简,整理,得sin(B -C )=0.
∵0°<B <180°,0°<C <180°,
∴-180°<B -C <180°,
∴B -C =0°,B =C .
答案:等腰三角形
13.在△ABC 中,A =60°,a =63,b =12,S △ABC =183,则a +b +c sin A +sin B +sin C
=________,c =________. 解析:由正弦定理得a +b +c sin A +sin B +sin C =a sin A =63sin60°
=12,又S △ABC =12bc sin A ,∴12×12×sin60°×c =183, ∴c =6.
答案:12 6
14.已知△ABC 中,∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,a =1,则a -2b +c sin A -2sin B +sin C
=________. 解析:由∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3得,∠A =30°,∠B =60°,∠C =90°, ∴2R =a sin A =1sin30°
=2, 又∵a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,