旋转曲面ppt课件
曲面及其方程、二次曲面ppt课件
三、柱面 定义 沿定曲线C 移动的动直线L 所形成的曲面称为柱面。
这条定曲线C 叫柱面的准线，动直线L叫柱面的母线。
观察柱面的 形成过程:
38
柱面举例 抛物柱面
平面
39
一般地，已知准线方程
母线平行于 z 轴的柱面方程为： 注意：方程中缺z，表示z可以任意取值，所以方程 表示母线平行于z轴的柱面。 一般地，在空间直角坐标下
8
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
9
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
10
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
17
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线一 次称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
18
所求方程为
4
解 根据题意有
化简得所求方程
5
例4 方程 解 根据题意有
的图形是怎样的？
图形上不封顶，下封底．
6
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
（讨论旋转曲面） （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状．
（讨论柱面、二次曲面）
7
二、旋转曲面
定义：以一条平面曲 线绕其平面上的一条 直线旋转一周所成的 曲面称为旋转曲面。 这条曲线和定直线分 别称为旋转曲面的母 线和旋转轴。
旋转曲面
解：因为旋转轴是 x 轴，同名坐标就是 x，
长形旋转椭球面
的曲面方程为
x 2 y 2 z2 2 2 1 2 a b b
同样将椭圆绕其短轴旋转的曲面方程为
x2 y 2 z 2 2 2 1 2 a b a
扁形旋转椭球面
z
例 3
将双曲线
y2 z2 2 1 : b2 c x0
P0 x0 , y0 , z0 设点 M1 x1, y1, z1 为Γ上任意一点， 为 l 上任意一点。 x
y l
求旋转曲面的方程
过 M 1 的纬圆方程为
X x x1 Y y y1 Z z z1 0 2 2 2 x x y y z z 0 0 0 2 2 2 x x y y z z 1 0 1 0 1 0
2 2 2 2 2 x y z y z 1 1 根来代替方程中的另一坐标。
且有
F y1 , z1 0
消去参数 y1 , z1 求得旋转曲面方程为 F y, x2 z 2 0 同样，把曲线Γ绕 z 轴旋转所得的旋转曲面的方程 是 F x2 y 2 , z 0
《解析几何》
§4.3 旋转曲面
content
一、旋转曲面的相关概念 二、旋转曲面方程的求法 三、特殊的旋转曲面
旋转曲面的相关概念 定义：在空间，一条曲线 绕着定直线 l 旋转 一周所生成的曲面叫做旋转曲面，或称回转曲面. 曲线 叫做旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋转曲 面的旋转轴，简称为轴.
x1 y1 z1 1 由于M1 x1, y1, z1 在母线上，所以又有 2 1 0
旋转曲面 doc课件
§4.3 旋转曲面1．一般的旋转曲面方程定义4.3.1 在空间，一条曲线Γ 绕一定直线l 旋转一周所产生的曲面S 叫做旋转曲面（或回转曲面）. Γ 叫做S 的母线，l 称为S 的的旋转轴，简称为轴.设1M 为旋转曲面S 的母线Γ上的任一点，在Γ 绕轴l 旋转时，1M 也绕l 旋转而形成一个圆，称其为S 的纬圆、纬线或平行圆. 以l 为边界的半平面与S 的交线称为S 的经线.S 的纬圆实际上是过母线Γ 上的点且垂直于轴l 的平面与S 的交线. S 的所有纬圆构成整个S .S 的所有经线的形状相同，且都可以作为S 的母线，而母线不一定是经线. 这里因为母线不一定为平面曲线，而经线为平面曲线.在直角坐标系下，设旋转曲面S 的母线为Γ：⎩⎨⎧==0),,(0),,(21z y x F z y x F (1)旋转轴为l 000:x x y y z z X Y Z---==(2)这里0000(,,)P x y z 为l 上一点，X ，Y ，Z 为l 的方向数.设M 1 (x 1，y 1，z 1) 为母线Γ 上的任意点，过M 1的纬圆总可看成过1M 且垂直于轴l 的平面与以P 0为中心，01P M 为半径的球面的交线. 故过M 1的纬圆的方程为 ⎩⎨⎧111()()()0X x x Y y y Z z z -+-+-= (3) 222222*********()()()()()()x x y y z z x x y y z z -+-+-=-+-+- (4)当M 1跑遍整个母线时，就得出旋转曲面的所有纬圆，所求的旋转曲面就可以看成是由这些纬圆构成的.由于M 1 (x 1，y 1，z 1) 在母线Γ 上，有⎩⎨⎧==0),,(0),,(22221111z y x F z y x F (5)从（3）、（4）、（5）4个等式消去参数x 1，y 1，z 1得一个方程F (x ，y ，z ) = 0即为S 的方程.例1 求直线Γ ：112-==z y x 绕直线:l x y z ==旋转所得的旋转曲面S 的方程. 解 设M 1 (x 1，y 1，z 1) 为母线Γ 上的任一点，因旋转轴过原点，过M 1的纬圆方程为 ⎩⎨⎧++=++=-+-+-2121212221110)()()(z y x z y x z z y y x x (7)因M 1在母线上，有112111-==z y x (8) 由（8）得1112,,1x t y tz ===(9)将(9)代入(7)得 210x t y t z -+-+-=，1(1)3t x y z =++-且11121(1),(1),133x x y z y x y z z =++-=++-=最后得2222241(1)(1)199x y z x y z x y z ++=++-+++-+即S 的方程是2222()5()5()70x y z xy xz yz x y z ++-+++++-=.2．坐标平面上的曲线绕坐标轴旋转所得旋转曲面的方程任一旋转曲面总可以看作是由其一条经线绕旋转轴旋转而生成的. 故今后为了方便，总是取旋转曲面的一条经线作为母线.更进一步，在直角坐标系下导出旋转曲面的方程时，我们常把母线所在的平面取作坐标平面，从而使旋转曲面的方程具有特殊的形式.设旋转曲面S 的母线为yOz 平面上的曲线(,)0:0F y z x =⎧Γ⎨=⎩旋转轴为y 轴010x y z == 设M 1(0，y 1，z 1)为母线上任一点，则过M 1的纬圆为122222110y yx y z y z -=⎧⎨++=+⎩ 且有111(,)00F y z x =⎧⎨=⎩ 由以上两个方程组消可得1110,,x y y z ===(,0F y =实际上，此旋转曲面的方程也可由前面的图直接得出.设M 1(0，y 1，z 1)为母线上任一点，M (x ，y ，z )为过M 1的纬圆上的任意一点，则由上图中的辅助图可知y 1 = y ， z 1 = ±|O'M 1| =±|O'M | =±22z x +(10)因M 1(0，y 1，z 1)在母线上，F (y 1，z 1) = 0，将(10)的结果代入，就得所求的旋转曲面的方程为(,0F y =.类似地，母线为(,)0:0F x y z =⎧Γ⎨=⎩，旋转轴为z 轴的旋转曲面的方程为：()0F z =.对于其它坐标平面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其方程可类似求出. 于是我们得到如下的规律：当坐标平面上的曲线Γ 绕此坐标平面的一个坐标轴旋转时，所得旋转曲面的方程可根据下面的方法直接写出：保持方程的形式不变，将曲线Γ 在坐标面里的方程中的与旋转轴同名的坐标保持不变，而以其它两个坐标的平方和的平方根来代替方程中的另一坐标.例如，S 为由xoz 面上的(,)0:0F x z y =⎧Γ⎨=⎩绕x 轴所得，则S的方程为(,0F x =.例2 让椭圆)(01:2222b a z b y a x >⎪⎩⎪⎨⎧==+Γ分别绕其长轴（x 轴）和短轴（y 轴）旋转，所得旋转曲面方程分别是：1222222=++b z b y a x 和 1222222=++a z b y a x 图形分别叫做长形旋转椭球面和扁形旋转椭球面，如下图.例5 将圆)0(0)(:222>>⎩⎨⎧==+-a b x a z b y Γ绕z 轴旋转，所得旋转曲面方程是：22222)(a z b y x =+-+±化简整理得)(4)(222222222y x b a b z y x +=-+++此曲面叫环面，如下图所示，其形状象救生圈.作业：P155 1～3。
43旋转曲面定义431在空间一条曲线绕着定直线旋转一
绕它的对称轴旋转的旋转曲面方程为
x2 y2 2 pz
曲面（4.3-5）叫做旋转抛物面（图4-11）。
例5 ：
将圆
( y b)2 z2 a2
:
,(b a 0)
x0
(20)
（图4-12(a))绕 z 轴旋转，求所得旋转曲面的方程。
解：因为绕 z 轴旋转，所以在方程( y b)2 z 2 a2 中保留 z 不变，而 y 用 x2 y2 代，就得将圆（20）绕
z 轴旋转而成的旋转曲面的方程为
( x2 y2 b)2 z2 a2
即
x2 y2 z2 b2 a2 2b x2 y2
或
(x2 y2 z2 b2 a2 )2 4b2 (x2 y2 )
这样的曲面叫做环面（图4-12（b)),它的形状像救生圈。
作业
P158 1，2，3
为
x
2
y y1 ( y1, z1) 0
从（12），（13），（14）三式中消去参数得所求旋转曲面的
方程为 F( y, x2 z2 ) 0
同样，把曲线 绕z轴旋转所得的旋转曲面的方程为
F( x2 y2 , z) 0
对于其他坐标面上的曲线，绕坐标轴旋转所得的旋转曲面，其 方程可类似的求出，这样我们就得出如下的规律：
§4.3 旋转曲面
定义4.3.1 在空间，一条曲线 绕着定直线l 旋转一周所生成的曲面叫做旋 转曲面，或称回转曲面。曲线 叫作旋转曲面的母线，定直线 l 叫做旋
转曲面的旋转轴，简称为轴。
如图就纬交4是圆成-5通或一，过纬条旋点线曲转。线M曲1在，面且通这的垂过些母直旋曲线于转 线轴轴显上l然l的在的的任旋平平意转面面点中上与M都，旋1 能以在转l彼旋曲为此转面界重时的的合形交每，成线个这一，半曲个我平线圆们面叫，把都作这它与旋个叫曲转圆做面
北师大版数学六年级下册_《面的旋转》PPT课件
点动成线
线动成面
面动成体
一个长方形沿一条直线旋转，会形成 什么图形呢？
10厘米
6厘米 以长为轴
10厘米
6厘米 以长为轴 以宽为轴
10厘米
6厘米 以长为轴 以宽为轴
以两条宽中点 的连线为轴
10厘米
6厘米 以长为轴 以宽为轴
以两条宽中点 的连线为轴
10厘米
6厘米 以长为轴 以宽为轴
以两条宽中点 的连线为轴
）
画圆柱体的步骤
第一步： 画上底面 第二步： 画侧面 第三步： 画下底面
底面
底面
底面
底面
底面
底面
底面
55
底面
底面
底面
底面
底面
底面
底面的周长 高
底面
高
深 厚
由于圆柱位置的不同，在日常生 活中，有时把高叫做长、厚、深。
它们都是圆锥体，简称圆锥。
高h
O
r
圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高h。
动手用硬纸做一个底面积 和高都相等的圆柱和锥， 再量出它的底面直径和高
各是多少厘米？
小实践
我的收获
体会点动成线，线动成面，面动成体的过程。 圆柱和圆锥的特征 圆柱有三个面，底面是大小相同的两个圆；侧 面是一个曲面，展开后得到一个长方形，长是 圆柱底面的周长，宽是圆柱的高；两个底面之 间的距离是圆柱的高，圆柱有无数条高。 圆锥有两个面，底面是个圆，侧面是一个曲面， 展开后得到一个扇形；从圆锥的顶点到底面圆 心的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。
顶点
有一个顶点 侧面是一个曲面 圆 锥 高只有一条 有一个底面，是圆形
侧面
高 底面
找一找下面物体中，哪些部 分的形状是圆柱或圆锥？
曲面及其方程-PPT
则F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程 曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的图形. ➢两个基本问题 (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
求曲面方程. (2) 已知方程时,研究它所表示的几何形状
F(x, y, z) 0
z S
oy x
(必要时需作图).
例1 求动点到定点 M 0 (x0 , y0 , z0 ) z
z
➢概念
一条平面曲线绕其平面上
C
一条定直线旋转一周 所形成的曲面.
M (x, y, z)
M1 (0, y1, z1 )
旋转曲线
母线
o y
定直线
轴
x
➢旋转曲面的方程
f ( x2 y2 , z) 0
给定yoz面上曲线C: f ( y, z) 0
在曲线C上任取一点M1(0,y1,z1)
曲线C绕z轴旋转
z2 c2
1
( a,b,c为正数)
z
(1) 范围：
x
y
x a, y b, z c
(2) 在垂直坐标面的平面上的截痕：椭圆
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
z t
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1,
x t
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
y t
(3) 当 a＝b 时为旋转椭球面; 当a＝b＝c 时为球面.
z
1. 椭圆锥
z
面
x2 a2
y2 b2
z2
( a, b 为正数)
在平面 z t 上的截痕为椭圆
x2 (at)2
y2 (bt ) 2
1,
zt
o yy xx
4.3旋转曲面 4.4椭球面
定义4.3.1 在空间，以一条曲线绕着定直线旋 在空间， 定义 转一周所生成的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面 旋转曲面或称回旋曲面. 转一周所生成的曲面称为旋转曲面或称回旋曲面.
这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 这条定直线叫旋转曲面的旋转轴． 旋转轴 这条曲线叫旋转曲面的母线． 这条曲线叫旋转曲面的母线． 母线
y
例 卫星接收装置
.
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴
y
o
r
R
x
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 轴 y
o
x
.
z
5环面 圆（x − R ) 2 + y 2 = r 2 ( R > r > 0)
旋转椭球面与椭球面的区别： 旋转椭球面与椭球面的区别： 与平面 z
= z1 (| z1 |< c)的交线为圆 的交线为圆.
2 a2 2 2 x + y 2 = 2 (c − z1 ) . 截面上圆的方程 c z = z 1
( 2) a = b = c ,
x2 y2 z2 1 球面 2 + 2 + 2 = a a a
2
Φ(x, y) ≡ a11x + 2a12xy + a22 y
a11 a12 a13 A = a12 a22 a23 a a a 13 23 33
在平面上，双曲线有渐进线。 在平面上，双曲线有渐进线。 相仿，单叶双曲面和 相仿，单叶双曲面和双叶双曲面 渐进锥面。 有渐进锥面。 去截它们， 用z=h去截它们，当|h|无限增大 时， 双曲面的截口椭圆与它的 的截口椭圆与它的渐进锥 双曲面的截口椭圆与它的渐进锥 的截口椭圆任意接近， 面 的截口椭圆任意接近，即： x 双曲面和锥面任意接近。 双曲面和锥面任意接近。
7.2柱面与旋转曲面
x
l1
y
zl 2
O
方程 G( y, z ) 0 表示 柱面,
母线 平行于 x 轴; 准线 yOz 面上的曲线 l2.
y
x
z
l3
O
方程 H ( z, x) 0 表示柱面,
母线 平行于 y 轴; 准线 xOz 面上的曲线 l3.
x
y
(二)旋转曲面
定义 . 一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转
2 2 2
椭 球 面
x 2 y 2 2 pz
旋转抛物面
习题7-2
1.
方程 平面 直线 圆 双曲线 抛物线 空间 平面 圆柱面 双曲柱面 抛物柱面
x 2y 1
x y 1
2 2
x2 y 2 1
1 x2 2 y
2.写出旋转曲面的方程
3.
定曲线C叫做柱面的准线; 动直线L叫做柱面的母线
C
l
常见的有：圆柱面;椭圆柱面;抛物柱面;双曲柱面.
解读圆柱面 x y R
2 2
2
z
表示圆C,
M
在 xOy 面上，
在圆C上任取一点 M 1 ( x, y,0) , 过此点作
平行 z 轴的直线 l , 对任意 z , 点 M ( x, y, z ) 的坐标也满足方程 x 2 y 2 R 2
解
yoz 面上直线方程为 z y cot
2 2
圆锥面方程
M1 (0, y1 , z1 )
y
z x y cot
x
o
M ( x, y, z )
两边平方
z 2 a2 ( x2 y2 )