导数与不等式证明(绝对精华)
微专题34 导数与不等式的证明
微专题34导数与不等式的证明高考定位利用导数证明关于极值、最值、零点等的不等式是高考的常见类型，一般为难度较大的压轴题.[高考真题] (2021·全国乙卷改编)设函数f(x)＝ln(1－x)，函数g(x)＝x＋f（x）xf（x），证明：g(x)<1.证明f(x)＝ln(1－x)，g(x)＝x＋f（x）xf（x）＝x＋ln（1－x）x ln（1－x），x<1且x≠0.当x∈(0，1)时，ln(1－x)<0，∴x ln(1－x)<0，当x∈(－∞，0)时，ln(1－x)>0，∴x ln(1－x)<0.故要证g(x)＝x＋ln（1－x）x ln（1－x）<1，即证x＋ln(1－x)>x ln(1－x)，即证x＋(1－x)ln(1－x)>0，令1－x＝t，则x＝1－t，t>0且t≠1，即证1－t＋t ln t>0，令h(t)＝1－t＋t ln t，则h′(t)＝－1＋ln t＋1＝ln t.当t∈(0，1)时，h′(t)<0，h(t)单调递减；当t∈(1，＋∞)时，h ′(t )>0，h (t )单调递增，所以h (t )>h (1)＝0，所以1－t ＋t ln t >0成立，即g (x )<1成立.样题1 (2022·焦作模拟改编)已知函数f (x )＝e x －k (ln x ＋1)，证明：当k ∈(0，e)时，f (x )>0.证明 因为k ∈(0，e)，则1k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞， 所以f （x ）k ＝e x k －ln x －1>e x e －ln x －1.设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x ，易知g ′(x )在(0，＋∞)上是增函数，且g ′(1)＝0，故当x ∈(0，1)时，g ′(x )<0，当x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )>0，所以g (x )≥g (1)＝0，故f （x ）k >0，即f (x )>0.样题2 (2022·合肥调研改编)已知函数f (x )＝x 2－ax ＋ln x (a ∈R ).若函数f (x )有两个极值点x 1，x 2，求证：f (x 1＋x 2)<－2＋ln 2.证明 f ′(x )＝2x －a ＋1x ＝2x 2－ax ＋1x， 由题意得2x 2－ax ＋1＝0的两个不等的实根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－8>0，x 1＋x 2＝a 2>0，x 1·x 2＝12， 解得a >2 2.故f (x 1＋x 2)＝(x 1＋x 2)2－a (x 1＋x 2)＋ln(x 1＋x 2)＝a 24－a 22＋ln a 2＝－a 24＋ln a 2.设g (a )＝－a 24＋ln a 2(a >22)， 则g ′(a )＝－a 2＋1a ＝2－a 22a <0，故g (a )在(22，＋∞)上单调递减，所以g (a )<g (22)＝－2＋ln 2.因此f (x 1＋x 2)<－2＋ln 2.样题3 设函数f (x )＝ln x －kx ＋1.(1)当k ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有f (x )≤0，求k 的取值范围；(2)证明：ln 2222＋ln 3232＋…＋ln n 2n 2＜2n 2－n －12（n ＋1）(n ∈N ，n ≥2). (1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －k ＝1－kx x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k 时，f ′(x )＞0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞时，f ′(x )＜0， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1k 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ，＋∞上单调递减， ∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＝ln 1k ≤0，解得k ≥1， ∴k 的取值范围是[1，＋∞).(2)证明 令k ＝1，由(1)知，ln x －x ＋1≤0，∴ln x ≤x －1，∵n ∈N ，n ≥2，∴ln n 2≤n 2－1，∴ln n 2n 2≤n 2－1n 2＝1－1n 2，∴ln 2222＋ln 3232＋…＋ln n 2n 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n 2＝(n －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋132＋…＋1n 2 ＜(n －1)－⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1n （n ＋1） ＝(n －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝(n －1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＝2n 2－n －12（n ＋1）， ∴结论成立.规律方法 利用导数证明不等式问题的方法(1)直接构造函数法：证明不等式f (x )>g (x )(或f (x )<g (x ))转化为证明f (x )－g (x )>0(或f (x )－g (x )<0)，进而构造辅助函数h (x )＝f (x )－g (x ).(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论.(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数.训练 (2022·佛山模拟改编)已知函数f (x )＝1a e x －1＋x ，证明：当a ＝1或0<a ≤2e时，f (x )≥12ax .证明 ①当a ＝1时，f (x )≥12ax (x ≥－1)⇔e x －12x －1＋x ≥0(x ≥－1).由e x ≥1＋x ，得e x －12x ≥1＋12x ，又1＋12x ＝1＋（1＋x ）2≥1＋x ， 当且仅当x ＝0时取等号， 所以e x －12x ≥1＋x ， 即e x －12x －1＋x ≥0， 即当a ＝1时，f (x )≥12ax (x ≥－1).②当0<a ≤2e 时，f (x )≥12ax (x ≥－1)⇔1a e x －12ax ≥1＋x (x ≥－1).令φ(x )＝1a e x －12ax －⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －12x ，x ≥－1， 即φ(x )＝1－a a e x ＋12(1－a )x ＝(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a e x ＋12x ， 因为0<a ≤2e <1，所以φ′(x )＝(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a e x ＋12>0， φ(x )在[－1，＋∞)上单调递增，又φ(－1)＝(1－a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a e －12≥0， 所以φ(x )≥φ(－1)≥0，故当0<a ≤2e ，1a e x －12ax ≥e x －12x ，由①知，e x －12x ≥1＋x ， 所以1a e x －12ax ≥1＋x ≥0(x ≥－1)，即当0<a ≤2e 时，f (x )≥12ax (x ≥－1). 综上，当a ＝1或0<a ≤2e 时，f (x )≥12ax .一、基本技能练1.已知f(x)＝12ax2＋(a－1)ln x＋32a，若a>0，求证：x>1时，f(x)>1＋(2a－1)x.证明当x>1时，要证f(x)>1＋(2a－1)x，即证12ax2－(2a－1)x＋(a－1)ln x＋32a－1>0，设g(x)＝12ax2－(2a－1)x＋(a－1)ln x＋32a－1，则g(1)＝0，且g′(x)＝ax－(2a－1)＋a－1x＝ax2＋（1－2a）x＋a－1x＝（x－1）（ax＋1－a）x.因为a>0，x>1，所以x－1>0，ax＋1－a>a＋1－a＝1>0，所以g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)是增函数，所以g(x)>g(1)＝0，即f(x)>1＋(2a－1)x.2.(2022·西安调研)已知函数f(x)＝a(x－1)－x ln x(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当0<x≤1时，f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围；(3)设n∈N*，求证：ln 12＋ln 23＋…＋ln nn＋1≤n（n－1）4.(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a－(1＋ln x)＝－ln x＋a－1，令－ln x＋a－1＝0，解得x＝e a－1.所以在区间(0，e a－1)上，f′(x)>0，f(x)单调递增；在区间(e a－1，＋∞)上，f′(x)<0，f(x)单调递减.所以f(x)的单调递增区间为(0，e a－1)，单调递减区间为(e a－1，＋∞).(2)解易知f(1)＝0，由(1)知f(x)在(0，e a－1)上单调递增，在(e a－1，＋∞)上单调递减，所以e a－1≥1，所以a≥1.故实数a 的取值范围是[1，＋∞).(3)证明 当a ＝1，0<x ≤1时，f (x )＝x －1－x ln x ≤0，所以x －x ln x ≤1，令x ＝1n 2(n ∈N *)，则1n 2－1n 2ln 1n 2≤1，1n 2＋2n 2ln n ≤1，2ln n ≤n 2－1，ln n n ＋1≤n －12， 所以ln 12＋ln 23＋…＋ln n n ＋1≤02＋12＋…＋n －12＝1＋2＋…＋n －12＝n （n －1）4. 3.(2022·潍坊段考)已知函数f (x )＝2x e x －a (x ＋ln x )(a ∈R ).(1)若a ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)若x ＝x 0是函数f (x )的极值点，且f (x 0)>0，求证：f (x )>4x 0－4x 30.(1)解 若a ＝1，则f (x )＝2x e x －x －ln x ，∴f ′(x )＝2e x ＋2x e x －1－1x ，f ′(1)＝4e －2，f (1)＝2e －1，∴切线的方程为y －2e ＋1＝(4e －2)(x －1)，即y ＝(4e －2)x －2e ＋1.(2)证明 f ′(x )＝2e x(x ＋1)－a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2e x －a x ， ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴x ＋1>0，令g (x )＝2e x －a x ，x ∈(0，＋∞).①当a ≤0时，g (x )>0，f ′(x )>0，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，无极值，不符合题意.②当a >0时，g ′(x )＝2e x ＋a x 2>0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增，当x→0且x>0时，g(x)→－∞，g(a)＝2e a－1>0，∴存在x0∈(0，a)，使得g(x0)＝0，即a＝2x0e x0.当x∈(0，x0)时，g(x)<0，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，g(x)>0，f′(x)>0，f(x)单调递增.∴函数f(x)的极小值为f(x0)＝2x0e x0－a(x0＋ln x0)＝2x0e x0－2x0e x0(x0＋ln x0)＝2x0e x0(1－x0－ln x0)>0.令h(x)＝1－x－ln x>0，则h′(x)＝－1－1x<0.∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减，又h(1)＝0，∴0<x0<1.令p(x)＝e x－x－1，0≤x<1，则p′(x)＝e x－1≥0，故p(x)在(0，1)上单调递增，p(x)≥p(0)＝0.故当0<x<1时，有e x>x＋1.令q(x)＝x－1－ln x，0<x<1，则q′(x)＝1－1x ＝x－1x<0，故q(x)在(0，1)上单调递减，q(x)>1－1－ln 1＝0，故当0<x<1时，有x－1>ln x. ∴f(x0)＝2x0e x0(1－x0－ln x0)>2x0(x0＋1)(2－2x0)＝－4x30＋4x0，则f(x)≥f(x0)>4x0－4x30.二、创新拓展练4.(2022·江西八校联考)已知函数f(x)＝x＋a ln x，g(x)＝e－x－ln x－2x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若g(x0)＝0，求x0＋ln x0的值；(3)证明：x－x ln x≤e－x＋x2.(1)解由题知f′(x)＝1＋ax＝x＋ax(x>0).当a≥0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(0，－a)上单调递减，在(－a，＋∞)上单调递增.(2)解法一当x0＋ln x0<0时，ln x0<－x0，即x0<e－x0，即－e－x0＋x0<0，所以－e－x0＋x0＋x0＋ln x0<0与－e－x0＋2x0＋ln x0＝0矛盾；当x0＋ln x0>0时，ln x0>－x0，即x0>e－x0，即－e－x0＋x0>0，所以－e－x0＋x0＋x0＋ln x0>0与－e－x0＋2x0＋ln x0＝0矛盾；当x0＋ln x0＝0时，ln x0＝－x0，即x0＝e－x0，即－e－x0＋x0＝0，所以－e－x0＋2x0＋ln x0＝0，故x0＋ln x0＝0成立.法二因为e－x0＝2x0＋ln x0，所以e－x0－x0＝x0＋ln x0，所以e－x0＋ln e－x0＝x0＋ln x0.因为f(x)＝x＋ln x是增函数，f(e－x0)＝f(x0)，所以e－x0＝x0，即e－x0－x0＝x0＋ln x0＝0.(3)证明 要证x －x ln x ≤e －x ＋x 2， 即证e －x ＋x 2－x ＋x ln x ≥0. 设h (x )＝e －x ＋x 2－x ＋x ln x ，x >0， 则h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x . 令φ(x )＝h ′(x )，则φ′(x )＝e －x ＋2＋1x >0，所以函数h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x 在(0，＋∞)上单调递增.又h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－e －1e ＋2e －1<0，h ′(1)＝－1e ＋2>0， 故h ′(x )＝－e －x ＋2x ＋ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1上存在唯一零点x 0， 即－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0， 所以当x ∈(0，x 0)时，h ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，h ′(x )>0， 所以函数h (x )在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，＋∞)上单调递增， 故h (x )≥h (x 0)＝e －x 0＋x 20－x 0＋x 0ln x 0， 由－e －x 0＋2x 0＋ln x 0＝0， 得h (x 0)＝(x 0＋1)(x 0＋ln x 0)＝0， 所以h (x )≥0，即x －x ln x ≤e －x ＋x 2.。
导数的应用不等式的证明
导数与不等式1.利用导数证明不等式利用导数证明不等式，主要是构造函数，通过研究函数的性质达到证明的目的. 1.1 利用单调性证明不等式构造函数，利用函数的单调性证明不等式例1. ()(1)ln(1)f x x a x x =-++。
（Ⅰ）求()f x 的极值点；（Ⅱ）当1a =时，若方程()f x t =在1[,1]2-上有两个实数解，求实数t 的取值范围；(Ⅲ）证明：当0m n >>时，(1)(1)n m m n +<+。
例2、已知函数)()(R x xe x f x∈=-。
（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）已知函数()y g x =的图象与函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，证明当1x >时，()()f x g x >；（3）如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明122x x +>。
1.2通过求函数的最值证明不等式在对不等式的证明过程中，可以依此不等式的特点构造函数，进而求函数的最值，当该函数的最大值或最小值对不等式成立时，则不等式是永远是成立的，从而可将不等式的证明转化到求函数的最值上来 例3.已知2()ln ,() 3.f x x x g x x ax ==-+-（1）求函数()f x 在[,2)(0)t t t +>上的最小值； （2）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex-＞成立.例4、（2009辽宁卷文）设2()(1)xf x e ax x =++，且曲线y ＝f （x ）在x ＝1处的切线与x 轴平行。
(1)求a 的值，并讨论f （x ）的单调性；(2)证明：当[0,]f(cos )f(sin )22πθθθ∈-<时，1.3多元不等式的证明含有多元的不等式，可以通过对不等式的等价变形，通过换元法，转化为一个未知数的不等式，或可选取主元，把其中的一个未知数作为变量，其他未知数作为参数，再证明之. 例5、 已知函数()ln f x x =.若120x x >>,求证:122221212()()2f x f x xx x x x ->-+.例6、 (2013·陕西高考)已知函数f (x )＝e x ，x ∈R .(1)求f (x )的反函数的图像上点(1,0)处的切线方程； (2)证明：曲线y ＝f (x )与曲线y ＝12x 2＋x ＋1有唯一的公共点；(3)设a <b ，比较f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2与f (b )－f (a )b －a 的大小，并说明理由．1.4.与数列有关的不等式证明例8．已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x2－x.(1)若关于x的方程f(x)＝－52x＋b在区间[0，2]上恰有两个不同的实数根，求实数b的取值范围；(2)证明：对任意的正整数n，不等式2＋34＋49＋…＋21nn+>ln(n＋1)都成立．例9．已知函数f(x)＝ln ax－x ax-(a≠0)．(1)求函数f(x)的单调区间及最值；(2)求证：对于任意正整数n，均有1＋111ln23nen n⋯≥＋＋＋！(e为自然对数的底数)；(3)当a＝1时，是否存在过点(1，－1)的直线与函数y＝f(x)的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，请说明理由．例10．已知函数f (x )＝e x －kx 2，x ∈R.(1)若k ＝12，求证：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>1； (2)若f (x )在区间(0，＋∞)上单调递增，试求k 的取值范围； (3)求证：444422221111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭<e 4(n ∈N *)．．2.利用导数求解与不等式有关的恒成立问题或者有解、无解问题不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题是联系函数、方程、不等式的纽带和桥梁，也是高考的重点和热点问题，往往用到的方法是依据不等式的特点，等价变形，构造函数，借助图象观察，或参变分离，转化为求函数的最值问题来处理．()f x a >：min max max ()()()f x af x a f x a⇔>⎧⎪⇔>⎨⎪⇔≤⎩恒成立有解无解例11．设函数()ln f x a x =，21()2g x x =．（1）记'()g x 为()g x 的导函数，若不等式'()2()(3)()f x g x a x g x +<+-在[1,]x e ∈上有解，求实数a 的取值范围；（2）若1a =，对任意的120x x >>，不等式121122[()()]()()m g x g x x f x x f x ->-恒成立．求m （m Z ∈，1m ≤）的值．例12、 (2013·辽宁高考)(1)证明：当x ∈[0,1]时，22x ≤sin x ≤x ；(2)若不等式ax ＋x 2＋x 32＋2(x ＋2)cos x ≤4对x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的取值范围．3.利用导数解不等式通过构造函数，利用函数的单调性得到不等式的解集.例13.若)(x f 的定义域为R ，2)(>'x f 恒成立，2)1(=-f ，则42)(+>x x f 解集（ ）A ．(1,1)-B ．(1)-+∞， C ．(,1)-∞- D ．(,)-∞+∞ 例14．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x·f (x )>e x＋1的解集为( )．A. {}|0x x >B. {}|0x x <C. {}|1,1x x x <->或D. {}|1,1x x x <-<或0<例15．已知定义在R 上的函数)(x f 满足1)2()4(=-=f f ，)(x f '为)(x f 的导函数，且导函数)(x f y '=的图象如右图所示．则不等式1)(<x f 的解集是（ ）A ．)0,2(- B ．)4,2(- C ．)4,0( D ．),4()2,(+∞--∞ 例16．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有2()()0xf x f x x '-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（ ）A. (-2,0) ∪(2,+∞)B. (-2,0) ∪(0,2)C. (-∞,-2)∪(2,+∞)D. (-∞,-2)∪(0,2)例17．已知函数y ＝f (x )(x ∈R)的图象如图所示，则不等式xf ′(x )<0的解集为________． 例18、设函数()x f y =在其图像上任意一点00(,)x y 处的切线方程为()()0020063x x x x y y --=-，且()30f =,则不等式解集导数与不等式1.利用导数证明不等式在初等数学中，我们学习过好多种证明不等式的方法，比如综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法等，有些不等式，用初等方法是很难证明的，但是如果用导数却相对容易些，利用导数证明不等式，主要是构造函数，通过研究函数的性质达到证明的目的.1.2 利用单调性证明不等式构造函数，利用函数的单调性证明不等式 例1. ()(1)ln(1)f x x a x x =-++。
导数证明不等式的方法介绍
导数证明不等式的方法介绍导数证明不等式的方法介绍利用导数是可以证明很多定律的，比如不等式之类的。
下面就是店铺给大家整理的利用导数证明不等式内容，希望大家喜欢。
利用导数证明不等式方法11.当x>1时,证明不等式x>ln(x+1)设函数f(x)=x-ln(x+1)求导，f(x)'=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0所以f(x)在(1，+无穷大)上为增函数f(x)>f(1)=1-ln2>o所以x>ln(x+12..证明：a-a^2>0 其中0F(a)=a-a^2F'(a)=1-2a当00;当1/2因此，F(a)min=F(1/2)=1/4>0即有当003.x>0,证明：不等式x-x^3/6先证明sinx因为当x=0时，sinx-x=0如果当函数sinx-x在x>0是减函数，那么它一定<在0点的值0，求导数有sinx-x的导数是cosx-1因为cosx-1≤0所以sinx-x是减函数，它在0点有最大值0，知sinx再证x-x³/6对于函数x-x³/6-sinx当x=0时，它的值为0对它求导数得1-x²/2-cosx如果它<0那么这个函数就是减函数，它在0点的值是最大值了。
利用导数证明不等式方法2要证x²/2+cosx-1>0 x>0再次用到函数关系，令x=0时，x²/2+cosx-1值为0再次对它求导数得x-sinx根据刚才证明的当x>0 sinxx²/2-cosx-1是减函数，在0点有最大值0x²/2-cosx-1<0 x>0所以x-x³/6-sinx是减函数，在0点有最大值0得x-x³/6利用函数导数单调性证明不等式X-X²>0，X∈(0,1)成立令f(x)=x-x² x∈[0,1]则f'(x)=1-2x当x∈[0,1/2]时,f'(x)>0,f(x)单调递增当x∈[1/2,1]时,f'(x)<0,f(x)单调递减故f(x)的最大值在x=1/2处取得，最小值在x=0或1处取得f(0)=0,f(1)=0故f(x)的最小值为零故当x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。
导数与不等式的证明及函数零点、方程根的问题
05 总结与展望
导数与不等式证明及函数零点、方程根问题的总结
导数与不等式证明
导数是研究函数性质的重要工具，通过导数可以研究函数的单调性、极值和最值等。不等 式证明则是数学中常见的题型，利用导数可以证明不等式，如AM-GM不等式、CauchySchwarz不等式等。
函数零点问题
函数的零点是指满足$f(x)=0$的$x$值。研究函数的零点对于理解函数的性质和解决方程 的根的问题具有重要意义。通过导数可以研究函数的零点个数和位置，以及零点附近的函 数性质。
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• 应用领域的拓展：导数与不等式证明及函数零点、方程根的问题不仅在数学领 域有广泛应用，在其他学科和工程领域也有着重要的应用价值。例如，在经济 学、物理学和社会科学等领域，这些问题都可能成为重要的研究课题。
• 与其他数学分支的交叉融合：随着数学各分支之间的交叉融合，导数与不等式 证明及函数零点、方程根的问题可能会与其他数学分支产生更多的交叉点。例 如，与概率论、统计学和复分析等领域的结合可能会产生新的研究方向和应用 场景。
导数在求解函数零点、方程根中的注意事项
注意定义域
在使用导数研究函数性质 时，需要注意函数的定义 域，确保导数在定义域内 连续。
考虑多解情况
在求解函数零点或方程根 时，需要注意多解情况， 全面考虑所有可能的解。
注意函数的奇偶性
在利用导数研究函数性质 时，需要注意函数的奇偶 性，以便更准确地判断函 数的性质。
不等式
不等式是表示两个数或两个量之 间大小关系的数学表达式。
导数与不等式的性质
01
导数大于零，函数在该区间内单 调递增；导数小于零，函数在该 区间内单调递减。
02
不等式的基本性质包括传递性、 加法性质、乘法性质等。
专题一 第5讲 导数与不等式的证明
可得h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)＝x－1－ln x≥h(1)＝0，即x－1≥ln x.
于是，当a≤1时，ex－a≥x－a＋1≥x＋a－1≥ln(x＋a)， 注意到以上三个不等号的取等条件分别为x＝a，a＝1，x＋a＝1，它 们无法同时取等， 所以当a≤1时，ex－a>ln(x＋a)，即f(x)>0.
12
当a＝e时，f(x)＝ln(e－x)－x＋e，
要证 f(e－x)<ex＋2xe，即证 ln x＋x<ex＋2xe，即证lnxx＋1<exx＋21e.
设
g(x)＝lnx
x＋1(x>0)，则
1－ln g′(x)＝ x2
x ，
所以当0<x<e时，g′(x)>0，当x>e时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
当t∈(0,1)时，g′(t)<0，g(t)单调递减， 假设g(1)能取到， 则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0； 当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增， 假设g(1)能取到，则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0，
x＋ln1－x 综上所述，g(x)＝ xln1－x <1 在 x∈(－∞，0)∪(0,1)上恒成立.
方法二 f(x)＝ln ex＝1－ln x. 欲证 f(x)<1＋1x－x2ex，只需证1－elxn x＋x2－1x<1，
因为x∈(0,1)，所以1－ln x>0，ex>e0＝1，
则只需证 1－ln x＋x2－1x<1， 只需证 ln x－x2＋1x>0， 令 t(x)＝ln x－x2＋1x，x∈(0,1)，
导数与不等式证明
【解答】 原不等式等价于 ex－ex＋1＞elxnx(x＞0)． 令F(x)＝ex－ex＋1(x＞0)，F′(x)＝ex－e．当x∈(0,1)时，F′(x)＜0；当x∈(1，＋ ∞)时，F′(x)＞0，所以F(x)min＝F(1)＝e－e＋1＝1． 令 G(x)＝elxnx(x＞0)，G′(x)＝e1－x2lnx．当 x∈(0，e)时，G′(x)＞0；当 x∈(e，＋∞) 时，G′(x)＜0，所以 G(x)max＝G(e)＝1．又两个等号不同时取得，所以 F(x)＞G(x)， 即 ex－ex＋1＞elxnx，故原不等式成立．
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1
配套精练
配套精练
1．(2023·泰安期末节选)求证：1＋x ln x≥x．
【解答】 要证 1＋x ln x≥x，即证 ln x＋1x－1≥0．令 h(x)＝ln x＋1x－1，所以 h′(x)＝1x －x12＝x－x21，x＞0，令 h′(x)＞0，解得 x＞1；令 h′(x)＜0，解得 0＜x＜1，所以 h(x)在 (0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以 h(x)≥h(1)＝0，所以 ln x＋1x－1≥0， 即 1＋x ln x≥x．
研题型·通法悟道 举题说法
目标 3 参数放缩证明不等式
3 (2024·聊城期中)已知函数f(x)＝ae2x＋(a－2)ex－x． (1)讨论f(x)的单调性；
【解答】 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝2ae2x＋(a－2)ex－1＝(aex－1)(2ex＋1)． ①若a≤0，则f′(x)＜0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减． ②若a＞0，由f′(x)＝0，得x＝－lna．当x∈(－∞，－lna)时，f′(x)＜0；当x∈(－ lna，＋∞)时，f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，－lna)上单调递减，在(－lna，＋∞)上单 调递增． 综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；当a＞0时，f(x)在(－∞，－lna)上 单调递减，在(－lna，＋∞)上单调递增．
导数不等式证明方法总结
导数不等式证明方法总结
导数不等式证明方法是数学中的一个重要概念，它可以用于求解各种函数的最大值、最小值、单调性等问题。
下面就导数不等式证明方法进行一些总结。
首先，我们需要知道导数的概念。
导数是函数在某一点处的变化率，它可以用极限的形式表示。
如果函数f(x)在点x0处可导，则它的导数为f'(x0)，它表示函数在点x0处的斜率。
其次，我们需要掌握导数的性质。
导数的性质包括：连续性、单调性、中值定理等。
其中，连续性表示函数在某一点处可导当且仅当函数在该点处连续。
单调性表示函数单调递增当且仅当导数非负；函数单调递减当且仅当导数非正。
中值定理则表示函数在一段区间内必定存在一个点，使得该点处的导数等于该区间的平均导数。
接着，我们需要学习导数不等式的一般形式。
导数不等式是指一种基于导数性质的数学不等式。
它通常具有以下形式：若函数f(x)在区间[a,b]上具有一阶导数，则对于任意x∈[a,b]，都有f(x)≤f(a)+(x-a)f'(a)，或者f(x)≥f(a)+(x-a)f'(a)。
最后，我们需要掌握导数不等式的具体应用。
导数不等式常用于求解各种复杂函数的最值问题。
例如，我们可以通过导数不等式证明函数在某一区间内的最大值或最小值，并找到达到最值的具体点。
综上所述，导数不等式证明方法是数学中一个非常重要的概念，它可以应用于各种函数的求解问题。
我们需要掌握导数的概念和性质，了解导数不等式的一般形式，并掌握导数不等式的具体应用。
导数与不等式的证明——高三二轮数学复习
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(2)证明：设g(x)＝2xee2x－a(x＋1)－f(x)＝e22·exx－ln x， 则g′(x)＝e22·xexx－2 ex－1x＝2x－e12xe2x－e2x. 令r(x)＝2(x－1)ex－e2x，则r′(x)＝2xex－e2. 易得r′(x)在(0，＋∞)上单调递增，且r′(1)＝2e－e2<0，r′(2)＝3e2>0， ∴存在唯一的实数x0∈(1,2)，使得r′(x0)＝0， ∴r(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增． 又r(0)＝－2<0，r(2)＝0，
∴f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)．
(2)证明：当a＝0，x∈(0,1)时，x2－1x<fexx等价于－elnx x＋x2－1x<0.
∵当x∈(0,1)时，ex∈(1，e)，－ln x>0，
∴－elnx x<－ln x，
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数学(理)
∴只需要证－ln x＋x2－1x<0在(0,1)上恒成立． 令g(x)＝－ln x＋x2－1x，x∈(0,1)， ∴g′(x)＝－1x＋2x＋x12＝2x3－x2x＋1>0， 则函数g(x)在(0,1)上单调递增，于是g(x)<g(1)＝－ln 1＋1－1＝0， ∴当x∈(0,1)时，x2－1x<fexx.
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数学(理)
方法三 分拆转化函数证明不等式 【典例精析】
[例] 已知函数f(x)＝eln x－ax(常数a∈R)． (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
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数学(理)
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝ex－a， ①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a>0，则当0<x<ae时，f′(x)>0， 当x>ae时，f′(x)<0， 故f(x)在0，ae上单调递增，在ae，＋∞上单调递减．
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二轮专题 （十一） 导数与不等式证明
【学习目标】
1. 会利用导数证明不等式.
2. 掌握常用的证明方法.
【知识回顾】
一级排查：应知应会
1.利用导数证明不等式要考虑构造新的函数，利用新函数的单调性或最值解决不等式的证明问题．比如要证明对任意∈x [b a ,]都有)()(x g x f ≤，可设)()()(x g x f x h -=，只要利用导数说明)(x h 在[b a ,]上的最小值为0即可．
二级排查：知识积累
利用导数证明不等式，解题技巧总结如下：
（1）利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.
（2）多用分析法思考.
（3）对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.
（4）常用方法还有隔离函数法，max min )()(x g x f ≥，放缩法（常与数列和基本不等式一起考查），换元法，主元法，消元法，数学归纳法等等，但无论何种方法，问题的精髓还是构造辅助函数，将不等式问题转化为利用导数研究函数的单调性和最值问题.
（5）建议有能力同学可以了解一下罗必塔法则和泰勒展开式，有许多题都是利用泰勒展开式
放缩得来.
三极排查：易错易混
用导数证明数列时注意定义域.
【课堂探究】
一、作差（商）法
例1、证明下列不等式：
①1+≥x e x
②1ln -≤x x ③x x 1-1ln ≥
④1x 1)
-2(x ln +≥x )1(≥x
⑤)2,0(,2sin ππ∈>x x x
二、利用max min )()(x g x f ≥证明不等式
例2、已知函数.2
2)(),,(,ln )1(1)(e x e x g R b a x a b x ax x f +-=∈+-+-= （1）若函数2)(=x x f 在处取得极小值0，求b a ,的值；
（2）在（1）的条件下，求证：对任意的],[,221e e x x ∈，总有)()(21x g x f >.
变式：证明：对一切),0(+∞∈x ，都有ex e
x x 21ln ->
成立.
三、构造辅助函数或利用主元法
例3、已知n m ,为正整数，且,1n m <<求证：m n n m )1()1(+>+.
变式：设函数x x f ln )(=，22)(-=x x g （1≥x ）.
(1)试判断)()()1()(2x g x f x x F -+=在定义域上的单调性；
（2）当b a <<0时，求证22)(2)()(b
a a
b a a f b f +->
-.
四、分析法证明不等式
例4、设1>a ，函数a e x x f x
-+=)1()(2.若曲线()y f x =在点P 处的切线与x 轴平行， 且在点(,)M m n 处的切线与直线OP 平行（O 是坐标原点）,证明：123--≤e
a m .
变式：已知函数x x x f ln )(2
=． （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）证明：对任意的0>t ，存在唯一的s ，使)(s f t =．
（Ⅲ）设（Ⅱ）中所确定的s 关于t 的函数为)(t g s =，证明：当2e t >时，有21ln )(ln 52<<t t g .
五、隔离函数
例5、已知函数)ln()(m x e x f x +-=.
（Ⅰ）设0=x 是)(x f 的极值点，求m 并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）当2≤m 时，证明:)(x f 0>.
变式：已知函数,,)(R x x nx x f n ∈-=其中*∈N n ，且2≥n .
（1）讨论)(x f 的单调性；
（2）设曲线)(x f y =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为)(x g y =，求证：对于任意的正实数x ，都有)()(x g x f ≤；
（3）若关于x 的方程)()(为实数a a x f =有两个正实数根21,x x ，求证：.2112+-<-n a x x
六、与数列结合
例6、已知函数3ln )(--=ax x a x f )(R a ∈.
（1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）求证：
)2(1ln 44ln .33ln .22ln ≥*∈<n N n n
n n ，Λ
变式：（1）已知),0(+∞∈x ，求证：x
x x x 11ln 11<+<+； （2）求证：)2(1
131211ln 1413121≥*∈-++++<<++++n N n n n n ，ΛΛ.
【巩固训练】
1. 已知函数,ln 21)(2x x x f +=求证：在区间),1(+∞上，函数)(x f 的图像在函数332)(x x g =的图像的下方.
2.已知函数()1ln 1x f x x +=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()00f ，处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当()01x ∈，时，()323x f x x ⎛⎫>+ ⎪⎝
⎭； （Ⅲ）设实数k 使得()33x f x k x ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭
对()01x ∈，恒成立，求k 的最大值．
3.已知210x x <<，求证：n
n n x x x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+>+222121.
4. 设函数)0()1ln()(>+=x x
x x f . （1）判断)(x f 的单调性；
（2）证明：e n
n <+)11((e 为自然对数，*N n ∈).
5.已知函数.)(x e x f x -=
（1）求函数)(x f 的最小值；
（2）设不等式ax x f >)(的解集为P ，且P ⊆]2,0[，求实数a 的取值范围；
（3）设*∈N n ，证明：1321-<⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛e e n n n n n n
n n n Λ.
6.已知)0()1ln()(2≤++=a ax x x f .
(1) 讨论)(x f 的单调性；
（2）证明：）（4211+
）（4311+）（411n +Λe <(e 为自然对数，*N n ∈，2≥n ).
7. 已知函数x x x g x x x f ln )(,)1ln()(=-+=
(1) 求函数)(x f 的最大值；
(2) 设b a <<0,证明 ：2ln )()2
(2)()(0a b b a g b g a g -<+-+<.
8.设函数x be x ae x f x x 1ln )(-+=，曲线()y f x =在点（1，(1)f 处的切线为(1)2y e x =-+. (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.
9. 已知函数()ax e x f x -=（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()x f y =在点A 处的切线斜率为-1.
（Ⅰ）求a 的值及函数()x f 的极值； （Ⅱ）证明：当0>x 时，x e x <2；
（Ⅲ）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，
0x x ，恒有x ce x <2.
10.(选作)已知.1)1()(--=x e x x f
（1）证明：当0>x 时，0)(<x f ;
（2）数列}{n x 满足,1,111=-=+x e e x n n x x n 求证：}{n x 递减，且n n x 21>.。