备战中考数学专题复习分类练习 二次函数综合解答题及详细答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），

如图，直线y=1

4

x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=1

4

x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（

28

13

，﹣1）．（3）

定点F的坐标为（2，1）．

【解析】

分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；

（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；

（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标

特征，即可得出（1-1

2

-

1

2

y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关

于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），

设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．

∵该抛物线经过点（4，1），

∴1=4a，解得：a=1

4

，

∴抛物线的解析式为y=1

4（x-2）2=

1

4

x2-x+1．

（2）联立直线AB 与抛物线解析式成方程组，得：

214

11

4y x y x x ⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩

＝＝，解得：11114x y ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝，2241x y ⎧⎨

⎩＝＝， ∴点A 的坐标为（1，

1

4

），点B 的坐标为（4，1）． 作点B 关于直线l 的对称点B′，连接AB′交直线l 于点P ，此时PA+PB 取得最小值（如图1所示）．

∵点B （4，1），直线l 为y=-1， ∴点B′的坐标为（4，-3）．

设直线AB′的解析式为y=kx+b （k≠0）， 将A （1，

1

4

）、B′（4，-3）代入y=kx+b ，得： 1443k b k b ⎧+⎪⎨

⎪+-⎩＝＝，解得：1312

43

k b ⎧

-⎪⎪⎨⎪⎪⎩＝＝， ∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43

， 当y=-1时，有-1312x+4

3

=-1， 解得：x=

28

13

， ∴点P 的坐标为（

28

13

，-1）． （3）∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等， ∴（m-x 0）2+（n-y 0）2=（n+1）2， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1． ∵M （m ，n ）为抛物线上一动点，

∴n=

14

m 2

-m+1， ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0（14m 2-m+1）+y 02=2（1

4

m 2-m+1）+1， 整理得：（1-

12-1

2

y 0）m 2+（2-2x 0+2y 0）m+x 02+y 02-2y 0-3=0． ∵m 为任意值，

∴00022000

11

10222220230

y x y x y y ⎧--⎪⎪

-+⎨⎪+--⎪⎩

＝＝＝， ∴00

2

1x y ⎧⎨

⎩＝＝， ∴定点F 的坐标为（2，1）．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P 的位置；（3）根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x 0、y 0的方程组．

2．函数()2

110,>02

y x mx x m =-

++≥的图象记为1C ，函数()21

10,>02

y x mx x m =---<的图象记为2C ，其中m 为常数，1C 与2C 合起来的图象

记为C .

（Ⅰ）若1C 过点()1,1时，求m 的值； （Ⅱ）若2C 的顶点在直线1y =上，求m 的值； （Ⅲ）设C 在42x -≤≤上最高点的纵坐标为0y ，当03

92

y ≤≤时，求m 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）12m =；（Ⅱ）2m =；（Ⅲ）912

m ≤≤. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）将点C 的坐标代入1C 的解析式即可求出m 的值；

（Ⅱ）先求出抛物线2C 的顶点坐标，再根据顶点在直线y 1=上得出关于m 的方程，解之即可

（Ⅲ）先求出抛物线1C 的顶点坐标，结合（Ⅱ）抛物线2C 的顶点坐标，和x 的取值范