线性二次型最优控制器设计
lqr的离线方法
lqr的离线方法
LQR（线性二次型调节器）是一种最优控制方法，主要用于线性系统的状态反馈控制设计。
这种方法的目标是最小化系统状态和控制输入的二次代价函数，通过求解优化问题来获得最优控制律。
离线方法是指在进行实际控制之前，先通过仿真或理论分析计算出最优控制律，并将其存储在控制器中，然后在实时控制时直接调用该控制律。
对于LQR的离线方法，通常需要先建立被控对象的数学模型，该模型通常为线性系统。
然后根据LQR最优控制原理，选择适当的权矩阵Q和R，并计算出最优状态反馈控制律。
这个控制律可以表示为一个状态矩阵K，该矩阵乘以系统状态向量即可得到最优控制输入。
在离线计算过程中，通常使用Matlab等工具进行仿真和计算，以获得最优控制律。
在实时控制时，控制器会不断地测量系统状态，并根据最优控制律计算出最优控制输入，然后将该输入施加到被控对象上，以实现最优控制。
需要注意的是，离线方法需要提前进行计算和存储，因此在系统参数发生变化或控制器重新配置时，需要重新计算和更新最优控制律。
此外，由于离线方法需要进行大量的计算和存储，因此对于一些资源受限的场景可能不太适用。
基于线性二次型及内部稳定的最优线性控制
２ — ２
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维普资讯
学 术 论 坛
ＳＩＣ ＆ＴＣＮＬ ＹＮＯＭＴ： ＣＮＥ ＥＨ ０ ＦＲＡＩ Ｅ Ｏ ０ ＩＱ Ｏ ： Ｎ
基于线性二次型及内部稳定的最优线性控制
安伟国 （ 南京航 空航天大学 ２ ０ １ ） １ ０ ６
摘 要：线性＿次型内部稳定最优线性控制是＿种内部稳定与最优二次型控制相结合的控制算法，该方法考虑了可能引起系统不稳 － 定的 外部信号 ，主要是 系统参考输入及干扰信号 ，并将其建立为 系统状态 ，排除不可镇 定部分 对系统的影响 ，产生了一个确保系统
式。
线性系统
线性系统理论论文论文题目：线性系统理论综述—连续系统线性二次最优控制学院：年级：专业：姓名：学号：指导教师：目录摘要 (3)前言 (3)第一章线性系统理论概述 (3)1.1线性系统理论的研究对象 (4)1.2 线性系统理论的主要任务 (4)1.3 线性系统的主要学派 (5)1.4 现代线性系统的主要特点 (5)1.5 线性系统的发展 (6)第二章连续系统线性二次最优控制 (6)2.1最优控制问题 (6)2.2最优控制的性能指标 (7)2.3 最优控制问题的求解方法 (8)2.4 线性二次型最优控制 (9)2.5 连续系统线性二次型最优控制实例 (10)2.6 小结 (13)总结 (13)参考文献 (13)摘要线性系统理论是现代控制理论中最基本、最重要也是最成熟的一个分支，是生产过程控制、信息处理、通信系统、网络系统等多方面的基础理论。
本文对线性系统的历史背景、研究现状和发展趋势作了简单的综述。
线性二次最优控制理论内容丰富、应用广泛，引起广泛地关注并取得了丰硕成果。
最优控制问题就是在一切可能的控制方案中寻找一个控制系统的最优控制方案或最优控制规律，使系统能最优地达到预期的目标。
本文基于连续系统线性二次最优控制，提出新的控制算法并结合实例进行了仿真验证。
关键字：线性系统；线性二次最优控制；控制系统；连续系统前言线性系统理主要阐述线性系统时域理论，给出了线性系统状态空间的概念、组成方法和基本性质，进而导出系统的状态空间描述。
以状态空间法为主要工具研究多变量线性系统的理论[1]。
随着计算机技术的发展，以线性系统为对象的计算方法和计算辅助设计问题也受到普遍的重视。
与经典线性控制理论相比，现代线性系统主要特点是：研究对象一般是多变量线性系统，而经典线性理论则以单输入单输出系统为对象；除输入和输出变量外，还描述系统内部状态的变量；在分析和综合方面以时域方法为主而经典理论主要采用频域方法；使用更多数据工具。
随着航海、航天、导航和控制技术不断深入研究，系统的最优化问题已成为一个重要的问题。
11章基于状态空间模型的控制系统设计
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 11.2 极点配置
在状态反馈律 u K x 作 用G 下v 的闭环系统为： yx C AccxxBcvx(t0)x0,tt0 A c A B K ,B c B G ,C c C
状态反馈极点配置：通过状态反馈矩阵K的选取，使闭环系统的极点，即
(AB的K 特)征值
i恰(i好1,处2, 于,所n)希望的一组给定闭环极点的位置上。
i(i1,2, ,n)的选择有较大的任意性。说明了多输入系统极点配置问题中
确定状态反馈阵K的非唯一性。
【调用格式】
K=pitian(A,B,p)
【说明】其参数定义同bass_pp( )函数， 1 2 的选n 取方法是
选取 中每前r列构成r阶单位阵，直至到第n列
11.2 极点配置
➢ 若假定 i 与A的特征值有相同的，或 i 中有重根时， i1,2, ,n
I型伺服系统的设计转化为：对于给定的任意初始条件e(0)，设计一个渐近稳定 的调节系统，使得e(t)趋于零。
如果受控系统是状态完全能控的，则通过指定的所期望的特征值 1,2, ,n
对 (AbK) 阵采用极点配置的方法来确定K 阵。
x(t)和u(t)的稳态值求法:
在稳态时，有 x ( ) 0 ( A b K ) x ( ) b k 1 v
渐近稳定系统，y() 将趋于常值u，() 将趋于零。
在稳态时
x ( ) (A b K )x ( ) b k 1r( )
11.2 极点配置
t0,v( )v(t)v
x ( t ) x ( ) ( A b K ) [ x ( t ) x ( ) ]
e(t)x(t)x( )
e ( t) (A b K )e ( t)
2、状态反馈阵K的求取：
现代控制理论-复习
离散时间状态空间模型：源自掌握基本原理，离散模型的导出，经典例子。
离散时间状态空间模型的分析。
能控、能观性 能控、能观性的定义、实际意义、判别条件、例子。 能控标准型是能控的； 一般的能控系统可以等价变换为能控标准型； 系统的离散化不能保持能控性； 输出能控性、和状态能控性的关系。 能控能观性的对偶原理 基于传递函数的能控、能观性条件：零极点对消 倒立摆的例子
06
分析：运动分析、能控性、能观性、稳定性。
07
设计：稳定化控制器、极点配置、观测器、基于观测器
08
的输出反馈控制器、线性二次型最优控制器。
09
要求：概念、方法、意义
状态空间模型 通过分析其内在变化规律列出相应动态方程； 通过输入输出数据建立传递函数模型，进而给出其状态空间实现； 掌握处理传递函数的状态实现方法，从特殊到一般的方法，掌握一些特殊状态空间实现的形式：能控标准型、能观标准型、对角型，它们的意义。 状态空间模型的状态变量图； 由状态空间模型确定传递函数； 状态空间模型的性质 等价模型的概念（可以简化结构），状态空间实现的不惟一性，等价模型具有相同传递函数、相同极点、相同能控、能观性
稳定性
李雅普诺夫稳定性、渐近稳定性的概念、意义；
具体例子的解释；
李雅普诺夫稳定性理论的实质：能量的变化
存在一个能量函数，沿系统轨线，能量函数衰减。
以上分析数学上的准备：函数的定号性！
重点：线性系统的稳定性分析
李雅普诺夫方程
线性系统李雅普诺夫稳定性定理的描述、举例应用。
李雅普诺夫稳定性定理的几何意义。
系统性能的分析（李雅普诺夫稳定性部分）。
线性二次型最优控制器的描述：
闭环性能指标：
最优闭环系统特性：稳定性。
最 优 控 制 教 案第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题
许多控制问题可以转化为线性二次型问题；其最优解可以写成统一的解析表达式，理论比较成熟第四章 线性二次型性能指标的最优控制问题4.1概述如果所研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优控制问题，称为线性二次型问题。
设线性时变系统的状态方程为()()()()(),()()()xt A t x t B t u t y t c t x t =+=在工程实际中，希望：系统输出y(t)尽量接近某一理想输出y r (t) 定义误差：e(t)= y r (t)- y(t)求最优控制u *(t)，使下列性能指标极小：11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J e t Fe t e t Q t e t u t R t u t dt =++∫F 为对称非负定常阵，Q(t)为对称非负定时变矩阵，R(t)为对称正定时变矩阵，t 0,t f 固定。
上式中系数21是为了简化计算。
指标的物理意义：使系统在控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的系统稳态误差综合最优。
(1) 状态调节器问题若c(t) = I, y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)= - x(t)11()()[()()()()()()]22f t T TT f f t J x t Fx t x t Q t x t u t R t u t dt =++∫此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统状态x(t)保持在零状态附近。
(2) 输出调节器若 y r (t) = 0, 则有e(t)= - y(t)11()()[()()()()()()]22ft T T T f f t J y t Fy t y t Q t y t u t R t u t dt =++∫ 此时系统可归纳为：当系统受扰动偏离平衡零状态时，要求产生一控制向量，使系统输出y(t)保持在零状态附近。
lqr制导律
LQR制导律1.引言制导律是导弹制导系统的核心，用于控制导弹的飞行轨迹，使其能够准确命中目标。
LQR制导律是一种基于线性二次型调节器的制导律，具有简单、稳定、易于实现等优点。
本文将介绍LQR制导律的基本原理、系统模型建立、设计线性二次调节器（LQR）以及LQR制导律的实现。
2.LQR概述LQR是一种基于状态反馈的线性二次型调节器，其目标是使系统的输出轨迹在某种性能指标下达到最优。
LQR具有简单、稳定、易于实现等优点，被广泛应用于控制系统设计和分析中。
3.LQR制导律基本原理LQR制导律的基本原理是将导弹的飞行轨迹表示为状态变量的函数，然后通过设计一个线性二次型调节器来控制导弹的飞行轨迹。
该调节器的作用是根据导弹的状态信息，计算出控制指令，使导弹的飞行轨迹达到最优。
4.系统模型建立在LQR制导律中，首先需要建立导弹系统的数学模型。
该模型通常由状态方程和输出方程组成，描述了导弹的运动状态以及与外界环境的相互作用。
在建立模型时，需要考虑导弹的飞行动力学、控制力、空气阻力等因素。
5.设计线性二次调节器（LQR）在设计线性二次型调节器时，需要选择合适的权重矩阵和反馈增益矩阵，以使系统的输出轨迹在某种性能指标下达到最优。
常用的性能指标包括均方误差、均方根误差等。
通过求解最优控制问题，可以得到权重矩阵和反馈增益矩阵的数值解。
6.LQR制导律实现在实现LQR制导律时，需要将导弹的状态信息实时输入到线性二次型调节器中，计算出控制指令并输出给导弹控制系统。
该指令用于控制导弹的舵面运动，进而控制导弹的飞行轨迹。
在实际应用中，需要将LQR制导律与导弹控制系统进行集成，并进行仿真和实验验证。
7.结论本文介绍了LQR制导律的基本原理、系统模型建立、设计线性二次调节器（LQR）以及LQR制导律的实现。
LQR制导律具有简单、稳定、易于实现等优点，被广泛应用于导弹制导系统中。
通过建立导弹系统的数学模型并设计合适的线性二次型调节器，可以实现导弹的精确制导和命中目标。
最优控制作业
单级倒立摆的LQR 控制一、问题描述倒立摆是一种典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定、非最小相位系统。
由于它的行为与两足机器人行走有极大的相似性，因而对其进行研究具有重要的理论和实践意义。
线性二次型最优控制设计是在状态空间技术的基础上设计一个最优的动态控制器——即LQR 控制器。
线性二次型最优控制问题其目标函数是属于二次型形式的最优控制。
这种控制问题在现代控制理论中占有非常重要的地位，越来越受到控制界的高度重视，这是因为它的最优解具有标准的解析式，它不局限于某种特定物理系统，而且经过人们的多次实验，证明这样可以很容易获得解析解，且可以形成简单的线性状态反馈控制规律，容易构成最优反馈控制，在工程中便于实现，所以广泛应用于实际的工程问题中[1,2]。
本文对单级倒立摆进行LQR 控制，建立其单级倒立摆数学模型，设计LQR 控制器。
二、解决方案1 单级倒立摆系统数学模型的建立单级倒立摆系统的物理模型可以描述为：在光滑水平平面上摆放着滑轨，在滑轨上放置着以左右自由移动的小车，一根视为刚体的摆杆通过其底端的一个不计摩擦的固定端点与小车相连构成一个倒立摆。
单级倒立摆可以在平行于滑轨的范围内随意摆动。
倒立摆控制系统的目的是在系统的初始状态不为零时，由设计的控制器对小车作用一个力(控制量)，使小车停在给定位置且倒立摆的摆杆仍然保持竖直向上状态。
当小车静止的情况下，由于受到重力的作用，导致倒立摆的稳定性发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，所以小车在平行于滑轨的方向上产生加速度。
根据牛顿力学原理，这里的作用力（控制量）与小车位移对时间的二阶导数存在线性关系，所以说单级倒立摆系统是一个非线性系统[2,4]。
在各种摩擦忽略不计之后，可将单级倒立摆系统抽象成小车和均匀质量摆杆组成的系统，单级倒立摆的结构简图如图1所示。
图1 单级倒立摆的结构简化模型设小车质量为M ，摆杆质量为m ，摆杆长为l ，F 为作用于小车上的外力，μ为小车摩擦数，I 为摆杆转动惯量，x 为小车的位移，摆杆角度为θ，重力加速度为g 。
最优控制问题的LQR方法比较分析
最优控制问题的LQR方法比较分析最优控制问题是在给定约束条件下，寻找使性能指标最优化的系统控制策略。
其中，线性二次型调节（Linear Quadratic Regulator，简称LQR）方法是最常用的最优控制方法之一。
本文将对LQR方法进行比较分析，以评估其在不同应用场景下的优势和局限性。
一、LQR方法的基本原理LQR方法是一种基于状态反馈的最优控制方法，其基本原理是通过设计一个状态反馈控制器，使系统的状态能够最优地满足给定的性能指标。
在LQR方法中，系统的动态方程通常采用线性二次型形式，即状态方程和输出方程都是线性的，并且性能指标是使用二次型函数表示的。
二、LQR方法的优点1. 数学求解简单：LQR方法通过使用线性二次型函数，可以将最优控制问题转化为求解代数矩阵方程的问题，这种数学求解方法相对较为简单。
2. 稳定性优良：LQR方法设计的控制器通常能够保持系统的稳定性，即在给定约束条件下，系统能够保持在一个稳定的状态。
3. 对噪声鲁棒性强：LQR方法能够通过状态反馈控制器的设计，有效抑制系统受到噪声的影响，提高系统的鲁棒性。
三、LQR方法的局限性1. 对系统的线性化要求较高：LQR方法基于线性二次型模型，对系统的线性化要求较高，对于非线性系统的控制效果可能不理想。
2. 无法处理部分状态可观测的问题：LQR方法要求系统的所有状态均可观测，而在实际应用中，部分状态可能无法直接测量，这时LQR 方法无法有效处理。
3. 性能指标权重选择困难：LQR方法中，性能指标的权重需要人为选择，对于复杂系统而言，正确选择权重较困难。
四、LQR方法在实际应用中的案例分析1. 机械控制系统：LQR方法在机械控制系统中得到广泛应用，比如飞机、车辆等的姿态控制问题。
通过选择合适的性能指标权重和状态反馈增益，LQR方法可以实现稳定且鲁棒的控制效果。
2. 电力系统稳定控制：LQR方法在电力系统中可以用于实现电压、频率的稳定控制。
最优控制问题的LQR方法比较
最优控制问题的LQR方法比较最优控制问题一直是控制理论与应用领域中的重要课题。
最优控制方法的目标是找到一个控制器，使得系统在满足一定性能指标的同时，能够以最小的代价实现系统的稳定性和可控性。
在最优控制方法中，LQR（线性二次型调节）方法是一种常用的优化工具，用于求解连续时间线性时不变系统的最优控制问题。
LQR方法是基于状态反馈的最优控制方法，其主要思想是通过设计一个反馈控制器，使得系统状态能够按照期望轨迹进行调节，并且使得系统的性能指标最小化。
LQR方法中，通过构造一个二次型性能指标，将最优控制问题转化为一个线性二次型优化问题。
通过求解这个优化问题可以得到最优的反馈控制器。
LQR方法具有简单、直观、计算方便等优点，在工程应用中得到了广泛使用。
与其他最优控制方法相比，LQR方法具有以下几个特点：1. 线性性质：LQR方法适用于线性时不变系统，在实际应用中可以近似处理非线性系统。
这使得LQR方法在许多应用中具有广泛的适用性。
2. 反馈控制：LQR方法采用状态反馈控制策略，根据系统当前状态来实时调整控制器输出。
这使得系统能够对不确定性和扰动做出实时响应，提高了系统的稳定性和鲁棒性。
3. 优化指标：LQR方法通过最小化二次型性能指标来设计控制器，使得系统的性能最佳。
这个性能指标可以根据具体应用的需求进行灵活设定，如最小化能量消耗、最小化误差等。
4. 计算简单：LQR方法的计算过程相对简单，能够通过求解代数Riccati方程来得到最优解。
这使得LQR方法在实际应用中具有较高的计算效率。
虽然LQR方法具有许多优点，但也存在一些限制和局限性。
1. 线性系统假设：LQR方法是针对线性时不变系统设计的，对于非线性系统需要进行线性化处理才能应用。
这在某些非线性系统或高度变化的系统中可能引入不可忽视的误差。
2.系统模型需求：LQR方法需要系统的数学模型，包括状态方程和输出方程。
系统模型的准确性直接影响到LQR方法的性能和适用性。