13.3.1等腰三角形的判定
13.3.1 第2课时 等腰三角形的判定
第十三章 轴对称等腰三角形.1 等腰三角形课时 等腰三角形的判定.. ...B 、C 两处的两艘救生船接到A 处遇险船只的报警，当时测能不能同时赶到出事地点（不考虑B建立数学模型：已知：如图，在△ABC 中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB 和AC 有什么数量关系?做一做：画一个△ABC ，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB 与AC 的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？ AB_______AC.结论：___________________________________________________________________. 证明：要点归纳：如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.应用格式：在△ABC 中，∵∠B=∠C ， ( 已知 )∴ AC=_____. ( )即△ABC 为等腰三角形.例1： 已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC.求证：AB=AD.方法总结:平分角+平行=等腰三角形例2：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，AE 与CD 交于点F ，求证：△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．B例3： 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O.过O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F.探究EF 、BE 、FC 之间的关系.想一想：若AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？方法总结：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.A B O E F 等角对等边结合等腰三角形的性质4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM ＋CN ＝9，则线段MN 的长为_____. 6.如图,上午10 时，一条船从A 处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=40°∠NBC=80°求从B 处到灯塔C 的距A B CD A。
13.3.1等腰三角形的判定教学预案
八年级数学教学预案第8周第1课时总课时第33节主题13.3.1等腰三角形的判定主备人史明杰授课人课型新授课授课时间学习目标知识与技能掌握等腰三角形的判定定理并会应用过程与方法通过性质的逆命题探究判定情感态度价值观培养学生转化思想和解决实际问题的能力及逆向思维能力重点掌握等腰三角形的判定定理，能熟练应用难点教师行为学生行为学前准备：1.等腰三角形有什么性质？2.“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是什么？1、引导学生画图并根据图形写出已知、求证。
2、通过类比等腰三角形性质定理1的得出过程，边演示，边分析。
学生思考证题思路，教师启发证题（板书证题过程，得出辅助线的概念，并指明辅助线。
让学生思考是否有别的证法并证明，说明作中线方法是不可行的）3.等腰三角形的判定定理用数学符号表示：∵∠B=∠C，∴AB=AC（在一个三角形中，等角对等边）自主探究：“两个角相等的三角形是等腰三角形”的题设、结论分别是什么？1.题设：结论：2.作图3.结合上图，写出已知求证并予以证明：已知：求证：证明：归纳：等腰三角形的判定定理是证两线相等的常用方法（在一个三角形中等角对等边）；至此判定等腰三角形的方法有两种。
注意：不能说有两底角相等的三角形是等腰三角形。
综合运用：1、①已知：如图，∠A=36，∠DBC=36,∠C=72。
求∠1和∠2的度数，并说明图中有哪些等腰三角形。
②在△ABC中，AB=AC，∠A=60，∠B、∠C的度数是多少？重点分析以下两点：（l）如何把实际问题翻译成几何命题；2）如何根据题意画出图形，关键在于用角度表示平面内的方向的方法。
拓广探索：例1：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。
已知：求证：证明：例2：已知等腰三角形的底边长为a,底边上的高为h，求作这个等腰三角形a h达标训练：（见下表）基础题：1.如图，已知AD=DB，CD⊥AB，E是BC延长线上一点，∠A=36°，则∠DCE=_________2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC．求证：BC=DC．3.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD 于点E，交CB于点F，求证：CE=CF．提高题：如图，在△ABC中，∠BAC=135°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，那么∠C=_________。
2024年人教版八年级上册数学第13章第3节第1课时等腰三角形
感悟新知
知3－讲
特别提醒 1.等腰三角形的定义也是一种判定方法. 2.“等角对等边”是我们以后证明两条线段相
等的常用方法，在证明过程中，经常通过 计算三角形各角的度数，或利用角的关系 得到角相等，从而得到所对的边相等.
感悟新知
知3－讲
3. 已知底边及底边上的高作等腰三角形已知：一个等腰三 角形底边长为a，底边上的高为h(如图13 .3 -9). 求作：这个等腰三角形.
感悟新知
几何语言：如图13 .3 -3，在△ ABC 中， (1)∵ AB=AC，AD ⊥ BC， ∴ AD 平分∠ BAC(或BD=CD)； (2)∵ AB=AC，BD=DC， ∴ AD ⊥ BC(或AD 平分∠ BAC)； (3)∵ AB=AC，AD 平分∠ BAC， ∴ BD=DC(或AD ⊥ BC)．
感悟新知
知2－练
3-1.[中考·宿迁] 如图，已知AB=AC=AD，且AD ∥ BC，求 证：∠ C=2 ∠ D．
感悟新知
证明：∵AB＝AC＝AD， ∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD. ∵∠ABC＝∠ABD＋∠CBD， ∴∠ABC＝∠CBD＋∠D. ∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D. ∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D. 又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.
知3－讲
感悟新知
知3－练
例6 如图13.3-11， 在△ ABC 中，D 为AC 的中点，DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求 证：△ ABC 是等腰三角形．
解题秘方：利用“等角对等边” 判定等腰三角形，只需证明三 角形两个内角相等即可.
感悟新知
知3－练
证明：∵ DE ⊥ AB，DF ⊥ BC，垂足分别为点E，F， ∴∠ AED= ∠ CFD=9 0 °. ∵ D 为AC 的中点，∴ AD=DC.
人教版八年级数学上册优质课课件《等腰三角形的判定》
复习引入
等腰三角形有哪些特征呢？ 1.等腰三角形的两腰相等； 2.等腰三角形的两个底角相等, （简称“等边对等角”）； 3.等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线和底边上的高互 B 相重合。（简称“三线合一”） 4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴 是底边上的中垂线所在的直线。 A
即△ABC是等腰三角形。
A
C
如图，标杆AB高5m， 为了将它固定，需要由 它的中点C向地面上与点 B距离相等的D，E两点 拉两条绳子，使得点D， B，E在一条直线上。量 得DE=4m，绳子CD和 CE要多长？
E
D
B
1.已知:如图,AD∥BC,BD平分∠ABC,试判断 △ABD的形状,并说明理由? 答:△ABD是等腰三角形. A D 3 理由: ∵BD平分∠ABC ∴∠1=∠2 (角平分线定义) 1 2 ∵AD∥BC B C ∴∠2=∠3 (两直线平行,内错角相等) ∴∠1=∠3 ∴AB=AD (等角对等边) 即△ABD是等腰三角形.
C
等腰三角形有以下的判定方法：
（1）定义法： 有两边相等的三角形是等腰三角形。 （2）判定定理： 如果一个三角形有两个角相等， 那么这个三角形是等腰三角形． 简单地说：在同一个三角形中， 等角对等边．
等腰三角形的性质与判定有区别吗? 性质是:等边 等角
判定是:等角
等边
例1.在△ABC中,已知∠A=40°,∠B=70°, 判断△ABC是什么三角形,为什么? 答: △ABC是等腰三角形。 理由：在△ABC中， ∵∠C=180°－∠A－∠B（三角形内角和 等于180°） =180°－40°－70° =70° ∴∠B=∠C=70° ∴AB=AC （等角对等边） 即△ABC是等腰三角形
03-第十三章13.3.1等腰三角形
例3 如图13-3-1-2,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接 AD.若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形.
图13-3-1-2 证明 ∵AB=AC,∠B=30°, ∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°, ∵∠BAD=45°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°,∠ADC=∠B+ ∠BAD=75°,∴∠ADC=∠CAD,∴AC=CD, 即△ACD为等腰三角形.
∵EF∥BC, ∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCD, ∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO, ∴BE=OE,CF=OF, ∴EF=OE-OF=BE-CF. 点拨 本题运用平行线性质以及角平分线的定义证明角之间的关系,进 而运用等腰三角形的判定定理(等角对等边)得出线段之间的关系,这是 证几何题中常用的方法.
9.(2018广西桂林中考)如图13-3-1-8,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平
分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是
.
答案 3
图13-3-1-8
解析 因为AB=AC,所以△ABC为等腰三角形;因为∠A=36°,所以∠ABC =∠C=72°,因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC=36°,因为∠DBA=∠A =36°,所以△ABD为等腰三角形;又因为∠BDC=∠A+∠ABD=72°,所以 ∠BDC=∠C,所以△BDC为等腰三角形,故答案为3.
题型三 等腰三角形判定与性质的综合应用 例3 如图13-3-1-5所示,已知△ABC中,AB=AC,BD和CE分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线,且相交于O点.
图13-3-1-5 (1)试说明△OBC是等腰三角形; (2)连接OA,试判断直线OA与线段BC的关系,并说明理由.
《等腰三角形》_PPT
12
∠1=∠2
∠B=∠C，
D
AD=AD
∴ △BAD≌△CAD （AAS）
∴AB=AC（全等三角形的对应边相等）
等腰三角形的判定方法 如果一个三角形有两个角相等，那么
这两个角所对的边也相等. 简称：“等角对等边”
几何语言 ∵ △ABC中，∠B=∠C ∴ AB=AC
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探究新知
作法： (1)作线段AB=a. (2)作AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D. (3)在MN上取一点C，使DC=h.
(4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等
腰三角形.
课堂练习
3.求证:如果三角形一条边上的中线等 于这条边的一半,那么这个三角形是直角 三角形.
已知:在△ABC中,D是AB的中点,且CD= AB. 求证: △ABC是直角三角形.
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应用举例
例2 求证：如果三角形一个外角的平 分线平行于三角形的一边，那么这个三角 形是等腰三角形.
先画图，写出 已知、求证
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已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，
∠1=∠2，AD∥BC.
E
求证：AB=AC .
1
A
分析：从求证看：要证AB=AC，
2D
需证∠B=∠C.
从已知看：因为∠1=∠2， B
2022年秋八年级数学上册 第13章 轴对称 13.3 等腰三角形 13.3.1 等腰三角形 第2课
15．如图，在 Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，O 为 BC 的中点． (1)求证：OA＝OB＝OC； (2)若点 M、N 分别是 AB、AC 上的点，且 BM＝AN，试判断△OMN 的形 状，并说明理由．
(1)证明：在 Rt△ABC 中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°， 又∵O 为 BC 的中点，∴AO⊥BC，AO 平分∠BAC(三线合一)，∴∠OAC＝ ∠OAB＝21∠BAC＝45°，∴∠OAB＝∠B＝45°，∴OA＝OB，∴OA＝OB＝ OC； (2)解：△OMN 为等腰直角三角形．理由：∵AB＝AC，BM＝AN，∴AB－ BM ＝ AC － AN ， ∴ AM ＝ CN ， 在 △ AOM 和 △ CON 中 ，
证明：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠ABC＝∠C＝21(180°－∠A)＝12×(180° －36°)＝72°，又∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝21×72° ＝36°，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°， ∴∠C＝∠BDC，∠A＝ ∠ABD，∴AD＝BD＝BC.
的是( B )
A．∠A＝50°，∠B＝60°
B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝40°，∠B＝90°
D．∠A＝80°，∠B＝60°
2．如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高，添加下列条件中的某一个，不能
推出△ABC 为等腰三角形的是( A )
A．∠BAD＝∠ACD
B．∠BAD＝∠CAD
C．BD＝CD
A∠MO＝AMCN＝∠OCN＝45° ，∴△AOM≌△CON，∴OM＝ON，∠AOM＝ OA＝OC
∠CON，又∵∠CON＋∠AON＝90°，∴∠AOM＋∠AON＝90°，即∠MON ＝90°，∴△OMN 为等腰直角三角形．
13.3.1 等腰三角形
D．50°或80°
方法点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角， 则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
巩固练习
13.3 等腰三角形
3.等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为7_5_°__,_3_0_°；
4.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 _7_0_°__,4_0_°__或__5_5_°__,_5_5_°_；
探究新知
13.3 等腰三角形
B
A
AB=AC
等腰三角形
C
探究新知
13.3 等腰三角形
【思考】△ABC 是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
B
A
D
C
等腰三角形是轴对称图形. 折痕所在的直线是它的对称轴.
探究新知
13.3 等腰三角形
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.
重合的线段
探究新知 方法点拨
13.3 等腰三角形
在含多个等腰三角形的图形中求角时， 常常利用方程思想，通过内角、外角之间 的关系进行转化求解.
巩固练习
13.3 等腰三角形
2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和 ∠C的度数.
解：∵AB=AD=DC ∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC. 设 ∠C=x，则 ∠DAC=x， ∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x， 在△ABC中， 根据三角形内角和定理，得
∴BD=CD, ∠1=∠2（等腰三角形三线合一）
探究新知
画出任意一个等腰三角形的底角平 分线、这个底角所对的腰上的中线和高， 看看它们是否重合？
A
【思考】
B
D
C 为什么不一样？
等腰三角形的判定 优质课获奖课件
2．出示教材例3.
让学生自学例3. 例3 已知等腰三角形底边长为a，底边上的高的长为 h，求作这个等腰三角形．
作法：(1)作线段AB＝a. (2)作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D. (3)在MN上取一点C，使DC＝h. (4)连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．
四、课堂小结
难点 理解完全平方公式的结构特征 ， 并能灵活应用公 式进行计算．
一、复习引入 你能列出下列代数式吗？ (1)两数和的平方；(2)两数差的平方． 你能计算出它们的结果吗？ 二、探究新知 你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗？ 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间 互相补充，教师不急于概括； 举例：(1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝________________； (2)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝________________； (3)(m＋2)2＝________________； (4)(m－2)2＝________________．
如图 ， 在△ ABC 中 ， ∠ B ＝∠ C ， 作△ ABC 的角平分线
AD.
∠1＝∠2， 在△BAD 和△CAD 中，∠B＝∠C， AD＝AD， ∴△BAD≌△CAD(AAS)，∴AB＝AC. 归纳等腰三角形的判定方法： 如果一个三角形有两个角相等， 那么这两个角所对的边也 相等，简称：“等角对等边”．
三、举例应用 1．教材例 3：运用完全平方公式计算： 12 (1)(4m＋n) ；(2)(y－ ) . 2 解：(1)(4m＋n)2＝(4m)2＋2· (4m)· n＋n2 ＝16m2＋8mn＋n2； 12 2 1 12 (2)(y－2) ＝y －2· y· 2＋(2) 1 2 ＝y －y＋4.
13.3.1等腰三角形的判定教案
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
其次，我发现通过小组讨论和实验操作，学生们的参与度和积极性得到了很大提高。他们在交流分享中碰撞出思维的火花，有助于加深对等腰三角形知识点的理解。但同时，我也注意到在讨论过程中，部分学生过于依赖小组其他成员，自己思考不足。因此，我需要在接下来的教学中，引导学生独立思考，提高他们的自主学习能力。
此外，对于教学难点的处理，我认为自己在引导学生突破难点方面做得还不够。在今后的教学中，我需要更加耐心地解答学生的问题，用更生动形象的语言和例子来帮助他们理解。同时，加强课堂练习，让学生在实践中不断提高。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与等腰三角形相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作一个等腰三角形的模型，演示其性质和判定定理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
13.3.1等腰三角形的判定教案
一、教学内容
《13.3.1等腰三角形的判定教案》
1.等腰三角形的定义：两边长度相等的三角形。
2.等腰三角形的性质：等腰三角形的两底角相等。
3.等腰三角形的判定定理：
a.两边相等的三角形是等腰三角形。
b.两角相等的三角形是等腰三角形。
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O
A B
探索新知
解：如图 作AB边上的高OC
在△ACO和△ BCO中 ∠ACO= ∠BCO ∠ A= ∠B OC=OC ∴ △ACO≌ △ BCO（AAS） A ∴ OA=OB
O
C
从而肯定两艘救生船以同样的速度同时出发， 大约能同时赶到出事地点。
B
【活动一】如何验证？
你能证明吗？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 边也相等. 已知：△ABC中，∠B = ∠C. A 求证：AB = AC.
等腰三角形的性质定理和判定 定理 互为逆命题
【活动二】应用举例，变式练习
求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的 一边， 那么这个三角形是等腰三角形. E 已知：如图， ∠CAE 是△ABC 的一 个外角，AD平分∠CAE，且AD∥BC.
求证：△ABC是等腰三角形.
B C A D13.3源自1等腰三角形的判 定知识 & 回顾 ☞
轴对称图形
两个底角相等，简称“等边对等角”
顶角平分线、底边上的中线和底边上 的高互相重合，简称“三线合 一”
如图,位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处 的遇险报警，当时测得∠A=∠B。如果这两艘救生船 以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地 点（不考虑风浪因素）？
同学们能够独立完成证明过程吗？
B
C
【活动一】如何验证？
你能证明吗？
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的 边也相等. 已知：△ABC中，∠B = ∠C. A 求证：AB = AC.
同学们能够独立完成证明过程吗？
B
C
已知：△ABC中，∠B = ∠C.
A
求证：AB = AC.
方法1
证明：作AD⊥BC于点D，
则∠ ADB = ∠ ADC = 90°.
B D C
在△ADB和△ADC中 ∠B = ∠C ∠ ADB = ∠ ADC AD = AD
∴ △ADB ≌ △ADC（ASA），
∴AB = AC.
等腰三角形的判定定理
如果一个三角形有两个角相等，那 么这个三角形是等腰三角形。 简写成：等角对等边 等腰三角形的性质与判定的区别 性质是:等边 判定是:等角 等角 等边