常用基本初等函数求导公式积分公式Word版
初等函数基本积分公式
初等函数基本积分公式在微积分中，函数的积分是一个重要的概念。
积分是反导数的运算，它是微分的逆运算。
通过对函数进行积分，我们可以求得函数的原函数，也可以计算函数在一定区间上的面积或曲线的长度等一些几何问题。
初等函数指的是在初等代数和初等解析几何中常见的、能够用有限次加、减、乘、除、乘方及复合运算得到的函数。
初等函数的基本积分公式是多种基本型的积分公式的总结，可以用来求初等函数的不定积分。
以下是常见的初等函数的基本积分公式：一、幂函数的积分公式：1. 若c不等于-1，则∫x^c dx = (x^(c+1))/(c+1) + C2. 若c等于-1，则∫x^-1 dx = ln，x， + C二、指数函数的积分公式：1. ∫e^x dx = e^x + C2. ∫a^x dx = (a^x)/ln(a) + C三、对数函数的积分公式：1. ∫ln，x， dx = x ln，x， - x + C2. ∫log_a，x， dx = (x log_a，x， - x)/(ln(a)) + C四、三角函数的积分公式：1. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C2. ∫cos(x) dx = sin(x) + C3. ∫tan(x) dx = -ln，cos(x)， + C4. ∫cot(x) dx = ln，sin(x)， + C5. ∫sec(x) dx = ln，sec(x) + tan(x)， + C6. ∫csc(x) dx = ln，csc(x) - cot(x)， + C五、反三角函数的积分公式：1. ∫arcsin(x) dx = x arcsin(x) + sqrt(1 - x^2) + C2. ∫arccos(x) dx = x arccos(x) - sqrt(1 - x^2) + C3. ∫arctan(x) dx = x arctan(x) - ln，1 + x^2， + C4. ∫arccot(x) dx = x arccot(x) + ln，1 + x^2， + C5. ∫arcsec(x) dx = x arcsec(x) - ln，sqrt(x^2 - 1) + x， + C6. ∫arccsc(x) dx = x arccsc(x) + ln，sqrt(x^2 - 1) + x， + C六、双曲函数的积分公式：1. ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C2. ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C3. ∫tanh(x) dx = ln，cosh(x)， + C4. ∫coth(x) dx = ln，sinh(x)， + C5. ∫sech(x) dx = arctan(sinh(x)) + C6. ∫csch(x) dx = ln，tanh(x/2)， + C七、反双曲函数的积分公式：1. ∫arcsinh(x) dx = x arcsinh(x) - sqrt(x^2 + 1) + C2. ∫arccosh(x) dx = x arccosh(x) - sqrt(x^2 - 1) + C3. ∫arctanh(x) dx = x arctanh(x) - ln，1 - x^2，/2 + C4. ∫arccoth(x) dx = x arccoth(x) - ln，x^2 - 1，/2 + C5. ∫arcsech(x) dx = x arcsech(x) - ln，sqrt(1 - x^2) + 1/x，+ C6. ∫arccsch(x) dx = x arccsch(x) - ln，sqrt(1 + x^2) + 1/x，+ C上述是常见的初等函数的基本积分公式，它们可以用来求解各种初等函数的不定积分。
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式
几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式常用函数的导数公式及基本初等函数的导数公式是微积分中非常重要的知识点。
在计算导数时，这些公式能帮助我们更加方便地得到结果。
下面是常用函数的导数公式及基本初等函数的导数公式：1.常数函数：若f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2.幂函数：若 f(x) = x^n，其中 n 为常数，则 f'(x) = nx^(n-1)。
3.指数函数：若 f(x) = a^x，其中 a 为常数且 a > 0，a ≠ 1，则 f'(x) =ln(a) * a^x。
4.对数函数：(1) 若 f(x) = ln(x)，则 f'(x) = 1/x。
(2) 对数函数的基本性质：若 f(x) = ln(g(x))，则 f'(x) =g'(x)/g(x)。
5.三角函数：(1) 若 f(x) = sin(x)，则 f'(x) = cos(x)。
(2) 若 f(x) = cos(x)，则 f'(x) = -sin(x)。
(3) 若 f(x) = tan(x)，则 f'(x) = sec^2(x)。
(4) 若 f(x) = cot(x)，则 f'(x) = -cosec^2(x)。
(5) 若 f(x) = sec(x)，则 f'(x) = sec(x) * tan(x)。
(6) 若 f(x) = cosec(x)，则 f'(x) = -cosec(x) * cot(x)。
6.反三角函数：包括反正弦函数（arcsin(x)或sin^(-1)(x)）、反余弦函数（arccos(x)或cos^(-1)(x)）和反正切函数（arctan(x)或tan^(-1)(x)）等。
根据反函数的导数公式，可以得到它们的导数公式：(1) 若 f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)。
【经典】常用的求导和定积分公式(完美)
.基本初等函数求导公式(1)(C) =0(2) （X ，）-七心⑶ (sin x) = cosx(4)(cosx) - -sinx (5)(tan x)二 sec x(6)(cot x)二- csc 2x⑺(secx) = secxtan x (8) (cscx) = - cscx cot x(9)(a xf-a xln a(10)(e x)—函数的和、差、积、商的求导法则= u （x ），v=v （x ）都可导，则反函数求导法则若函数x= Uy ）在某区间Iy 内可导、单调且（y^"0，则它的反函数y = f （x ）在对应区间Ix内也可导，且(11)DU(12)(ln x)二丄x ， (13) (arcsin x)，=( 1-x 2(14)(arccosx)" =1 - x(15)(arctan x)1 +x(arccot x)=(16)1 1 x 2(1)（U 士 V ）= u 士 V(2)（Cu ）'C 「（ C 是常数）(3)(uv) = u v uv(4)v 2少丄 dx 一 dxdy复合函数求导法则设y= f (u)，而U v (x)且f (u)及(x)都可导，则复合函数 y = f ［「(x)］的导数为、基本积分表(1)kdx=kx ・c ( k 是常数)(2)x'dx 二+ C, (u 」1)."1 1(3) dx = I n | x | C • x dx(4)= arl tan x C ‘1 +x 2(6) cosxdx =s in x C (7) sin xdx = -cosx C1(8) 厂dx = ta n x C ' cos x1(9) 厂 dx = - cot x C ' sin x(10)secxtanxdx^secx Cf (X )二 dy dy_du dx du dx 或 y\f (U)L (x)(5)(11) cscxcot xdx = - cscx C (12)e xdx =e xCx(13) a x dx— C , (a 0,且 a 厂1) In a(14) shxdx 二 chx C (15)chxdx = shx C1 x=—arc tan — C a a1 1 x —a(17)二 ------ 2 dx ln || C x -a 2a x+axdx 二 arc sin — C■ a 2-x 2a(19) J , 1 dx = ln(x + Ja 2 +x 2) + C ，Ja 2 +x 2 (20) J —dx = ln | x + J x 2 _a 2 | +C$ !2 2 1 1.x -a(21) tanxdx 二-ln |cosx | C (22) cotxdx=ln |sinx | C (23) secxdx = l n |secx tanx| C (24) cscxdx = l n|cscx-cotx| C注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证 2、以上公式把x 换成u 仍成立，u 是以x 为自变量的函数。
常用求导与定积分公式(完美)培训讲学
常用求导与定积分公式(完美)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2一．基本初等函数求导公式(1) 0)(='C(2) 1)(-='μμμx x (3) x x cos )(sin ='(4) x x sin )(cos -='(5)x x 2sec )(tan ='(6)x x 2csc )(cot -='(7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9)a a a x x ln )(=' (10) (e )e xx '=(11)a x x a ln 1)(log =' (12)x x 1)(ln ='，(13) 211)(arcsin x x -='(14) 211)(arccos x x --=' (15)21(arctan )1x x '=+(16)21(arccot )1x x '=-+ 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')(（4） 2v v u v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛反函数求导法则若函数)(y x ϕ=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ϕ，则它的反函数)(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ϕ'=' 或 dy dx dx dy 1=复合函数求导法则仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3设)(u f y =，而)(x u ϕ=且)(u f 及)(x ϕ都可导，则复合函数)]([x f y ϕ=的导数为dy dy du dx du dx =或()()y f u x ϕ'''=二、基本积分表（1）kdx kx C =+⎰ （k 是常数）（2）1,1x x dx C μμμ+=++⎰ (1)u ≠- （3）1ln ||dx x C x =+⎰（4）2tan 1dxarl x C x =++⎰（5）arcsin x C =+⎰（6）cos sin xdx x C =+⎰ （7）sin cos xdx x C =-+⎰（8）21tan cos dx x C x =+⎰（9）21cot sin dx x C x=-+⎰（10）sec tan sec x xdx x C =+⎰仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢4（11）csc cot csc x xdx x C =-+⎰ （12）x x e dx e C =+⎰（13）ln xxa a dx C a=+⎰，(0,1)a a >≠且 （14）shxdx chx C =+⎰ （15）chxdx shx C =+⎰（16）2211tan xdx arc C a x a a =++⎰（17）2211ln ||2x adx C x a a x a-=+-+⎰（18）sinxarc C a=+⎰ （19）ln(x C =+（20）ln |x C =+⎰（21）tan ln |cos |xdx x C =-+⎰ （22）cot ln |sin |xdx x C =+⎰ （23）sec ln |sec tan |xdx x x C =++⎰ （24）csc ln |csc cot |xdx x x C =-+⎰注：1、从导数基本公式可得前15个积分公式，(16)-(24)式后几节证。
常用导数求导公式
常用导数求导公式导数是微积分中的一个重要概念，它用于描述函数在其中一点的变化率。
求导是求解导数的过程，常用导数求导公式是求导常用的一些规则和技巧的总结。
下面是一些常用导数求导公式的介绍：一、基本初等函数的导数公式：1.常数函数的导数为0：f(x)=c，其中c为常数，f'(x)=0。
2. 幂函数的导数：f(x) = x^n，其中n为任意实数，f'(x) =nx^(n-1)。
3.指数函数的导数：f(x)=e^x，其中e为自然对数的底数，f'(x)=e^x。
4. 对数函数的导数：f(x) = ln(x)，其中ln表示以e为底的对数，f'(x) = 1/x。
5.三角函数的导数：- 正弦函数的导数：f(x) = sin(x)，f'(x) = cos(x)。
- 余弦函数的导数：f(x) = cos(x)，f'(x) = -sin(x)。
- 正切函数的导数：f(x) = tan(x)，f'(x) = sec^2(x)。
- 反正弦函数的导数：f(x) = asin(x)，f'(x) = 1/√(1-x^2)。
- 反余弦函数的导数：f(x) = acos(x)，f'(x) = -1/√(1-x^2)。
- 反正切函数的导数：f(x) = atan(x)，f'(x) = 1/(1+x^2)。
二、基本初等函数的组合求导公式：1.和、差、积的求导：若f(x)和g(x)是可导函数，则有以下运算法则：-(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
-(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
2.商的求导：若f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)≠0，则有以下运算法则：-(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^2三、复合函数求导：若y=f(g(x))是由两个函数f(x)和g(x)复合而成的函数，则求导的链式法则如下：y'=f'(g(x))*g'(x)。
(完整word版)积分公式
2。
基本积分公式表(1)∫0d x=C(2)=ln｜x|+C（3）(m≠-1，x〉0）(4）(a〉0，a≠1）（5）(6)∫cos x d x=sin x+C（7）∫sin x d x=—cos x+C(8)∫sec2x d x=tan x+C（9）∫csc2x d x=-cot x+C（10)∫sec x tan x d x=sec x+C（11）∫csc x cot x d x=—csc x+C(12)=arcsin x+C（13)=arctan x+C注．（1）不是在m=-1的特例．（2）=ln|x|+C ,ln后面真数x要加绝对值，原因是(ln|x｜)’ =1/x．事实上，对x〉0,(ln｜x｜)’ =1/x；若x〈0,则（ln|x｜)' =(ln（—x))’ =。
(3)要特别注意与的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分．下面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四则运算．3.不定积分的四则运算根据微分运算公式d(f(x)±g（x））=d f(x）±d g(x）d(kf(x))=k d f（x)我们得不定积分的线性运算公式（1)∫[f(x）±g（x）]d x=∫f（x）d x±∫g（x）d x(2)∫kf(x)d x=k∫f(x）d x,k是非零常数.现在可利用这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分．例2。
5。
4求∫（x3+3x++5sin x－4cos x）d x解.原式=∫x3d x+∫3x d x+7∫d x+5∫sin x d x－4∫cos x d x=+7ln｜x｜－5cos x－4sin x+C .注。
此例中化为五个积分，应出现五个任意常数，它们的任意性使其可合并成一个任意常数C ,因此在最后写出C即可．例2.5.5求∫（1+）3d x解。
原式=∫（1+3+3x+)d x=∫d x+3∫d x+3∫x d x+∫d x=x+3+C=x+2x++C .注.∫d x与∫1d x是相同的，其中1可省略．例2。
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则导数是微积分中一个重要的概念，表示函数在其中一点上的变化率。
在求解导数时，我们可以利用一些基本初等函数的导函数公式以及导数的运算法则来简化计算。
以下是一些常用的基本初等函数的导数公式及导数的运算法则。
一、基本初等函数的导数公式1.常数函数：若f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
2. 幂函数：若f(x) = x^n，其中n为正整数，则f'(x) = nx^(n-1)。
例如，f(x) = x^2，则f'(x) = 2x。
3. 指数函数：若f(x) = a^x，其中a为正常数且a≠1，则f'(x) = a^x ln(a)。
其中ln(x)表示以e为底的对数函数。
例如，f(x) = 2^x，则f'(x) = 2^x ln(2)。
4. 对数函数：若f(x) = logₐx，其中a为正常数且a≠1，则f'(x)= 1 / (x ln(a))。
例如，f(x) = log₂x，则f'(x) = 1 / (x ln(2))。
5. 三角函数：（1）sin(x) 的导函数为 cos(x)；（2）cos(x) 的导函数为 -sin(x)；（3）tan(x) 的导函数为 sec^2(x)，其中 sec(x) 为secant 函数，其值等于 1 / cos(x)；（4）cot(x) 的导函数为 -csc^2(x)，其中 csc(x) 为 cosecant 函数，其值等于 1 / sin(x)；（5）sec(x) 的导函数为 sec(x)tan(x)；（6）csc(x) 的导函数为 -csc(x)cot(x)。
1.和差法则：若f(x)和g(x)都是可导函数，则(f±g)'(x)=f'(x)±g'(x)。
即和差函数的导数等于各个函数的导数之和或差。
例如，若f(x)=x^2，g(x)=x，则(f+g)'(x)=(x^2)'+x'=2x+12. 数乘法则：若f(x) 是可导函数，c 为常数，则(cf)'(x) =cf'(x)。
导数公式微分公式和积分公式
导数公式微分公式和积分公式一、导数公式1.基本导数公式：(1)常数函数的导数为0：(c)'=0(2) 幂函数的导数：(x^n)'=nx^(n-1)(3) 指数函数的导数：(a^x)'=a^xlna (其中a>0，a≠1)(4) 对数函数的导数：(log_ax)'=1/(xlna) (其中a>0，a≠1)(5) 正弦函数和余弦函数的导数：(sinx)'=cosx，(cosx)'=-sinx(6) 正切函数的导数：(tanx)'=sec^2x(7) 反正弦函数、反余弦函数和反正切函数的导数：(arcsinx)'=1/√(1-x^2)，(arccosx)'=-1/√(1-x^2)，(arctanx)'=1/(1+x^2)2.导数的四则运算：(1)和差的导数：(f+g)'=f'+g'，(f-g)'=f'-g'(2) 函数与常数的乘积的导数：(cf)'=cf'(3) 积的导数：(fg)'=f'g+fg'(4) 商的导数：(f/g)'=(f'g-fg')/g^2 (其中g≠0)(5)复合函数的导数：(f(g(x)))'=f'(g(x))g'(x)二、微分公式微分可以看作函数在其中一点上对自变量的微小变化与函数值的微小变化之间的比率。
微分公式是导数概念的一个应用，常用于近似计算。
1.一阶微分公式：(1) 一个变量的微分：df=f'(x)dx(2) 两个变量的微分：df=f_xdx+f_ydy (其中f_x和f_y分别是函数f关于x和y的偏导数)2.高阶微分公式：(1) 一个变量的n阶微分：d^n f/dx^n(2) 两个变量的混合n阶微分：d^n f/dx^mdy^n-m (其中m+n为n阶)三、积分公式积分是微分的逆运算，可将一个函数的导数还原为原函数，同时也可以用于计算曲线下的面积、体积等。
基本初等函数的导数公式及四则运算
导数是函数曲线在该点上的切线的斜率。
常见导函数的公式及图像
一次数
导数为常数，图像为直线。
二次函数
导数为一次函数，图像为抛物线。
正切函数
导数为幂函数，图像具有周期性。
指数函数
导数为自身，图像为逐渐增长的曲线。
对数函数的导数
对数函数的导数公式是1/x，其中x是对数函数的底数。对数函数的图像是单调 递增的。
反三角函数的导数
反三角函数的导数与对应的三角函数有关。例如，arcsin(x)的导数是1/√(1-x^2)，arccos(x)的导数是-1/√(1-x^2)。
初等函数导数的性质
初等函数的导数具有一些规律和性质，包括链式法则、求导法则和反函数求导法则。
四则运算简单例题及求导步骤
通过一些例题和求导步骤，了解如何对简单的四则运算进行求导。
函数复合法则及求导步骤
函数复合法则是求导一个函数由多个函数复合而成时使用的方法。通过一些 例题，了解如何使用函数复合法则求导。
反函数求导法则及求导步骤
反函数求导法则是求导一个函数的反函数时使用的方法。通过一些例题，了 解如何使用反函数求导法则求导。
基本初等函数的导数公式 及四则运算
了解基本初等函数的导数公式和四则运算是学习微积分的重要基础。本演示 将逐步介绍每个函数的导数公式，以及它们的几何和物理意义。
什么是导数及其定义
导数描述了函数在某一点上的变化率。简单来说，它是函数曲线的切线的斜率。定义为函数的极 限。
1 数学定义
导数是函数f(x)在某个点x处的极限lim(x→0)(f(x+h)-f(x))/h。
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整理为word格式 基本初等函数求导公式
(1) 0)(C (2) 1)(
xx
(3) xxcos)(sin (4) xxsin)(cos
(5) xx2sec)(tan (6) xx2csc)(cot (7) xxxtansec)(sec (8) xxxcotcsc)(csc
(9) aaaxxln)( (10) (e)exx
(11) axxaln1)(log (12) xx1)(ln， (13) 211)(arcsinxx (14) 211)(arccosxx
(15) 21(arctan)1xx (16) 21(arccot)1xx
函数的和、差、积、商的求导法则 设)(xuu，)(xvv都可导，则 （1） vuvu)( （2） uCCu)(（C是常数） （3） vuvuuv)( （4） 2v
vuvuvu
反函数求导法则 若函数)(yx在某区间yI内可导、单调且0)(y，则它的反函数)(xfy在对应区间xI内也可导，且
)(1)(yxf 或 dy
dxdx
dy1
复合函数求导法则 整理为word格式
设)(ufy，而)(xu且)(uf及)(x都可导，则复合函数)]([xfy的导数为 dydydudxdudx
或
２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．
可以推出下表列出的公式：
(sh)chxx (ch)shxx 21(th)chxx
21(arsh)1xx 21(arch)1xx
2
1
(arth)1xx
整理为word格式
常用积分公式表·例题和点评 整理为word格式
⑴dkxkxc (k为常数) ⑵11d(1)1xxxc
特别，211dxcxx, 322d3xxxc, 1d2xxcx
⑶1dln||xxcx
⑷dlnxxaaxca, 特别，edexxxc ⑸sindcosxxxc ⑹cosdsinxxxc
⑺22
1dcscdcotsinxxxxcx
⑻22
1dsecdtancosxxxxcx
⑼221darcsin(0)xxcaaax,特别，2
1darcsin1xxcx
⑽2211darctan(0)xxcaaaax,特别，2
1darctan1xxcx
⑾22
11dln(0)2axxcaaaxax
或22
11dln(0)2xaxcaaxaxa
⑿tandlncosxxxc ⒀cotdlnsinxxxc
⒁lncsccot1cscddlntansin2xxcxxxxcx ⒂lnsectan1secddlntancos24xxcxxxxcx
⒃(0)221daxxa22lnxxac ⒄2(0)2222darcsin22aaxxaxxaxca
⒅22dxax
2(0)2222ln22axaxaxxac
整理为word格式
⒆2222
sincosesindesincosecosdeaxaxaxaxabxbbxbxxcabbbxabxbxxcab
⒇12222212123d()2(1)()2(1)nnnnxnxcaxnaaxna（递推公式） 跟我做练习 (一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式)
例24 含根式2axbxc的积分 ⑴2245d(2)1d(2)xxxxx[套用公式⒅] 2221(2)1ln(2)(2)122xxxx
⑵22145d(24)445d2xxxxxxxx 222145d(45)245d2xxxxxxx
(请你写出答案)
⑶2211dd(2)45(2)1xxxxx2ln(2)(2)1xx [套用公式⒃] ⑷221(24)4dd24545xxxxxxxx2221d(45)12d24545xxxxxxx
(请你写出答案)
⑸22254d3(2)d(2)xxxxx222322arcsin3(2)232xxx [套用公式⒄] ⑹22154d(42)454d2xxxxxxxx
222154d(54)254d2xxxxxxx
(请你写出答案)
⑺222dd(2)543(2)xxxxx[套用公式⑼]2arcsin3x
⑻22(42)4dd125454xxxxxxxx2221d(54)d225454xxxxxxx
整理为word格式
(请你写出答案)
例25 求原函数41d1xx. 解 因为 )21)(21()2()1(2)21(1222222424xxxxxxxxxx 所以令
422
112121AxBCxDxxxxx
为待定常数）DCBA,,,(
2222()(21)()(21)2121AxBxxCxDxxxxxx
从恒等式1)12)(()12)((22xxDxCxxBAx(两端分子相等)，可得方程组
（三次项系数）（二次项系数）（一次项系数）常数项0022022)(1CADCBADCBADB
解这个方程组(在草纸上做)，得21,221,21,221DCBA. 因此， 41d1x
x
22
1111222222
dd2121xxxxxxxx
右端的第一个积分为
2222111(22)21(22)d11222ddd4214221422121xxxxxxxxxxxxxxx
2222
1d(21)11d442212122xxxxxx
(套用积分公式)
211ln(21)arctan(21)4222xxx
类似地，右端的第二个积分为 22
1111222
dln(21)arctan(21)214222xxxxxxx
所以 41d1x
x
2
212111lnarctan(21)arctan(21)42212222xxxxxx