广东天河地区2017高考数学一轮复习试题精选 平面向量01 文
高考数学大一轮专题复习 专题二 三角函数与平面向量配套课件 文
则cos∠MNP＝|NN→→MM|··N|→N→PP|＝
Hale Waihona Puke －6 5×25＝－35.
由∠MNP∈[0，π]，得sin∠MNP＝ 1－cos2∠MNP＝45.
2 值；最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析 式；先由x的范围，求得2x＋ π 的范围，把ωx＋φ看作一个整
6 体，再求得fx的值域.
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【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2012年湖北八校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R图象的一部分如图2-1.
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题型 2 三角变换与三角函数(sānjiǎhánshù)性质的整合 例2：(2012年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)， x∈R 其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的图象与x轴的交点中，相邻两 个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M23π，－2. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈1π2，π2时，求f(x)的值域．
对广东的试题而言，2008 年、2009 年、2010 年、2011 年、 2012 年、2013 年连续六年都是考查三角变换及三角函数求值． 这个数据足以说明广东对该题型的情有独钟，但绝对不能因此
还有两个现象也应该引起(yǐnqǐ)我们备考时注意：①三角函数与 而放松对整章知识系统而全面地复习． 平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题中的一种重要题 型，已成为热点．而广东高考仅在 2007 年、2009 年在三角函
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题型 1 三角变换(biànhuàn)与求值的整合
例1：(2012年广东)已知函数f(x)＝Acos4x＋π6
广东广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 平面向量试题精选09
平面向量091.设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且//,⊥+（A （B （C ）（D ）102.设a ，b 是两个非零向量。
A.若|a+b |=|a |-|b |，则a ⊥bB.若a ⊥b ，则|a +b |=|a |-|b |C.若|a +b |=|a |-|b |，则存在实数λ，使得b =λaD.若存在实数λ，使得b =λa ，则|a +b |=|a |-|b |3.设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使||||a ba b =成立的充分条件是（ ） A 、a b =- B 、//a b C 、2a b = D 、//a b 且||||a b = 【答案】C 【解析】A.=为既不充分也不必要条件；B.可以推得||||a ba b =||||b a =为必要不充分条件；C ．为充分不必要条件；D 同B.4.已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a-b|，则下面结论正确的是(A) a∥b (B) a⊥b(C){0,1,3} (D)a+b=a-b5.在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则222PA PBPC+=A．2 B．4 C．5 D．106.在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC = 1则___BC =.C.【答案】A7.若向量BA =（2,3），CA =（4,7），则BC =A ．（-2,-4）B ． (3,4)C ． (6,10)D ． (-6,-10) 【答案】A【解析】)4,2()7,4()3,2(--=-=-=CA BA BC ．故选A ．8.对任意两个非零的平面向量α和β，定义βββαβα∙∙=．若平面向量a ，b 满足|a|≥|b |＞0，a 与b 的夹角)4,0(πθ∈，且b a 和 都在集合}|2{Z n n∈中，则b a =A ．12 B.1 C. 32 D. 529.在平面直角坐标系中，(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 按逆时针旋转34π后，得向量OQ ，则点Q 的坐标是（ ）()A (- ()B (-()C (2)-- ()D (2)-10.已知ABC ∆为等边三角形，AB=2，设点P ，Q 满足AB AP λ=，)1(λ-=，R ∈λ，若23-=∙，则λ= （A ）21（B ）221±（C ）2101± （D ）2223±-【答案】A【解析】如图，设==, 2,2=∙==c b ，又)1(λ-+-=+=，λ+-=+=，由23-=∙CP BQ 得23)1(1()(])1([2-=∙+-+--=+-∙-+-c b b c c b λλλλλ，即23)1(24)1(42-=+-+--λλλλ，整理01442=+-λλ，即0)12(2=-λ，解得21=λ选A.。
广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 平面向量试题精选08
浙江、福建、安徽、江西、广东、广西 资源投稿 qq ：2355394557平面向量0825.如图5—9所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD 两两互相垂直，且AB =BC =2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为arccos 1010，求四面体ABCD 的体积.图5—9 图5—10 图5—11解：如图5—21建立空间直角坐标系由题意，有A （0，2，0）、C （2，0，0）、E （1，1，0）设D 点的坐标为（0，0，z ）（z >0） 则BE ={1，1，0}，AD ={0，－2，z }， 设BE 与AD 所成角为θ. 则AD ·BE =2·224+cos θ=－2，且AD 与BE 所成的角的大小为arccos 1010.∴co s 2θ=101422=+z ，∴z =4，故|BD |的长度为4. 又V A —BCD =61|AB |×|BC |×|BD |=38，因此，四面体ABCD 的体积为38.浙江、福建、安徽、江西、广东、广西 资源投稿 qq ：2355394557 - 2 -评述：本题考查空间图形的长度、角度、体积的概念和计算.以向量为工具，利用空间向量的坐标表示、空间向量的数量积计算线段的长度、异面直线所成角等问题，思路自然，解法灵活简便.26.如图5—10所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点.（1）求BN 的长；（2）求cos<11,CB BA >的值；（3）求证：A 1B ⊥C 1M .-3 -（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），A 1={－1，1，2}， M C 1={21,21，0}. ∴B A 1·M C 1=－2121 +0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M . 评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.28.如图5—12，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD =90°，AD ∥BC ，AB =BC =a ，AD =2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角.（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）求异面直线AE 与CD 所成角的大小.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚，qq ：2355394557浙江、福建、安徽、江西、广东、广西 资源投稿 qq ：2355394557 - 4 -于是，CD a a AE },23,21,0{=={－a ，a ，0} 设AE 与CD 的夹角为θ，则由cos θ||||CD AE CD AE ⋅420)()23()21(002321)(0222222=++-⋅++⋅+⋅+-⋅a a a a a a a a ∴θ=arccos 42，即AE 与CD 所成角的大小为arccos 42. 评述：第（2）小题中，以向量为工具，利用空间向量坐标及数量积，求两异面直线所成的角是立体几何中的常见问题和处理手段.- 5 -29.如图5—13在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°.（1）求向量的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值.解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt△BDC 中,由∠BDC =90°,∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23. OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121 . ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD TX→]的坐标为{0，－23,21}.欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚，qq ：2355394557浙江、福建、安徽、江西、广东、广西 资源投稿 qq ：2355394557 -6 -。
备战2017广东天河地区高考高三数学(理科)一轮复习试题精选：函数02
函数0215.给出下列命题：①在区间(0,)+∞上，函数1y x -=,12y x =,2(1)y x =-,3y x =中有三个是增函数；②若log 3log 30m n <<，则01n m <<<；③若函数()f x 是奇函数，则(1)f x -的图象关于点(1,0)A 对称；④已知函数233,2,()log (1),2,x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩则方程 1()2f x =有2个实数根，其中正确命题的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4【答案】C【解析】①在区间(0,)+∞上,只有12y x =，3y x =是增函数，所以①错误。
②由log 3log 30m n <<，可得3311log log m n <<，即33log log 0n m <<，所以01n m <<<，所以②正确。
③正确。
④当2x ≤时，231x -≤，由2132x -=，可知此时有一个实根。
当2x >时，由31log (1)2x -=，得13x -=，即13x =+，所以④正确。
所以正确命题的个数为3个。
选C.16.设函数266,0()34,0x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，若互不相等的实数321,,x x x 满足)()()(321x f x f x f ==，则123x x x ++的取值范围是A ． ]6311(， B ．），（326320 C ．2026]33（， D ． ），（6311【答案】D【解析】22=66(3)3y x x x -+=--，所以对称轴为3x =，当343x +=-时，73x =-，所以要使互不相等的实数321,,x x x 满足)()()(321x f x f x f ==，则有1233()()()4f x f x f x -<==<，不妨设123x x x <<，则有1703x -<<，233,2x x +=，236x x +=，所以1237663x x x -+<++<，即1231163x x x <++<，所以123x x x ++的取值范围是11(,6)3，选D,如图。
2017广东天河地区高考高三数学(文科)一轮复习试题精选：导数04 含解析
导数0411.(本小题满分13分）已知函数2()xf x x b=+，其中b ∈R ． （Ⅰ)若1x =-是)(x f 的一个极值点，求b 的值； (Ⅱ)求)(x f 的单调区间． 【答案】(Ⅰ）解：222()()b x f x x b -'=+． ………2分依题意，令(1)0f '-=,得 1b =．………………4分经检验，1b =时符合题意． ………………5分(Ⅱ）解:① 当0b =时，1()f x x=．故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． ………………6分② 当0b >时，222()()b x f x x b -'=+． 令()0f x '=,得1x ，2x =………………8分()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞,)+∞；单调增区间为(．………………11分③ 当0b <时，()f x的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b x f x x b -'=<+在D 上恒成立, 故()f x的单调减区间为(,-∞,(，)+∞;无单调增区间．………………13分12. （本小题满分12分）已知函数1ln )(++=x x b a x f 在点))1(,1(f 处的切线方程为2=+y x ．（I)求a ，b 的值；（II ）若对函数)(x f 定义域内的任一个实数x ，都有m x xf <)(恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】解：（Ⅰ）由2(1)(ln )ln ()()1(1)bx a b x a b x x f x f x x x +-++=⇒'=++ 而点))1(,1(f 在直线2=+y x 上1)1(=⇒f ，又直线2=+y x 的斜率为1(1)1f -⇒'=-故有⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧-==⇒-=-=1214212b a a b a·············· 6' （Ⅱ）由（Ⅰ）得)0(1ln 2)(>+-=x x x x f由m x xf <)(m x x x x <+-⇒1ln 2令22/)1(ln 1)1()ln 2()1)(ln 1()(1ln 2)(+--=+--+-=⇒+-=x xx x x x x x x x g x x x x x g 令1()1ln ()10(0)h x x x h x x x=--⇒'=--<>，故)(x h 在区间),0(+∞上是减函数，故当10<<x 时，0)1()(=>h x h ，当1>x 时，0)1()(=<h x h从而当10<<x 时，()0g x '>，当1>x 时，0)(/<x g )(x g ⇒在)1,0(是增函数,在),1(+∞是减函数，故1)1()(max==g x g要使m x x x x <+-1ln 2成立,只需1>m故m 的取值范围是),1(+∞12'13。
广东省广州市重点学校备战2017高考数学一轮复习 平面向量试题精选06
浙江、福建、安徽、江西、广东、广西 资源投稿 qq ：2355394557平面向量061.ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，则实数m = 12．已知点A （3，1），B （0，0）C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λλ其中,CE BC =等于（ C ）A ．2B ．21 C ．－3 D ．－313．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v =（4，－3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位.设开始时点P 的坐标为（－10，10），则5秒后点P 的坐标为（ C ）A ．（－2，4）B ．（－30，25）C ．（10，－5）D ．（5，－10）4. 已知向量(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-，且A 、B 、C 三点共线，则k=23-5.若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为(C )（A ）30° （B ）60° （C ）120° （D ）150°6.直角坐标平面xoy 中，若定点)2,1(A 与动点),(y x P 满足4=∙，则点P 的轨迹方程是x+2y-4=0 __________。
7.在直角坐标系xOy 中，已知点A(0,1)和点B(-3,4)，若点C 在∠AOB 的平分线上且|OC |=2,则=⎛ ⎝⎭浙江、福建、安徽、江西、广东、广西 资源投稿 qq ：2355394557- 2 -8.在△ABC 中，∠C=90°，),3,2(),1,(==k 则k 的值是（ D ）A ．5B ．－5C ．23D ．23-9.已知向量(2,3)a =，(,6)b x =，且a b ，则x 为____4_________．10.已知向量||).,5(),2,2(b a k b a +=-=若不超过5，则k 的取值范围是 －6，2]11.在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +∙的最小值是_-2_____。
高考数学一轮总复习 专题5.1 平面向量的概念及线性运算练习(含解析)理
专题5.1 平面向量的概念及线性运算真题回放1.【2017年高考新课标Ⅱ卷文4题】设非零向量a ，b 满足+=-b b a a 则 ( ) A.a ⊥b B. =b a C. a ∥b D. >b a 【答案】A2.【2016年高考山东理8题】已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，cos ,m n =13.若n ⊥(t m +n )，则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4（C ）94（D ）–94【答案】B【考点】平面向量的数量积【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、平面向量的坐标运算.解答本题，关键在于能从n ⊥(t m +n )出发，转化成为平面向量的数量积的计算.本题能较好地考查考生转化与化归思想、基本运算能力等.3.【2016年高考北京理4题】设,a b 是向量，则“||||=a b ”是“||||+=-a b a b ”的 （A ） 充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ） 充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D【考点】充要条件,向量运算【名师点睛】由向量数量积的定义||||cos θ⋅=⋅⋅a b a b (θ为a ，b 的夹角)可知，数量积的值、模的乘积、夹角知二可求一，再考虑到数量积还可以用坐标表示，因此又可以借助坐标进行运算.当然，无论怎样变化，其本质都是对数量积定义的考查.求解夹角与模的题目在近几年高考中出现的频率很高，应熟练掌握其解法. 考点分析融会贯通题型一 平面向量的概念典例1 (2016-2017年河北武邑中学高二文周考)点C 在线段AB上，且，则ACuuu r 等于（ ）【答案】D【解析】因为点C 在线段AB 上，所以AC uuu r 等于 D.考点：向量的相等. 解题技巧与方法总结平面向量的概念问题需要牢牢抓住平行向量（共线向量）、相等向量、相反向量的概念及特征，需要注意平行向量可以包含两个向量重合的情况，这点需要与直线平行加以区别【变式训练1】(2016-2017学年河北武邑中学高一上学期月考)下列说法正确的是（ ） A ．零向量没有方向 B ．单位向量都相等 C ．任何向量的模都是正实数 D ．共线向量又叫平行向量 【答案】D考点：向量的概念．【变式训练2】设a r是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )A ．a r 与λa r的方向相反 B ．a r 与2λa r 的方向相同 C ．|-λa r |≥| a r|D ．|-λa r |≥| λ|·a r【答案】B【解析】对于A ，当λ＞0时，a r 与λa r 的方向相同，当λ＜0时，a r 与λa r的方向相反，B 正确；对于C ，|-λa r |＝|-λ|| a r |，由于|-λ|的大小不确定，故|-λa r |与| a r|的大小关系不确定；对于D ，|λ| a r 是向量，而|-λa r|表示长度，两者不能比较大小．【变式训练3】(2015-2016学年江西上饶铅山县一中高一下学期期中)下列关系式正确的是 ( )A. 0AB BA +=uu u r uu r rB. a b ⋅r r是一个向量 C. AB AC BC -=uu u r uuu r uu u r D. 00AB ⋅=uu u r r【答案】D 【解析】试题分析：A 相反向量的和为零向量，所以A 不正确；B 两向量的数量积是一个实数，所以B 不正确；C 根据向量的减法的三角形法则，得CB AC =-AB ，故C 不正确；D 零与任何向量的数量积等等于零向量，故D 正确.考点：平面向量的线性运算；向量的数量积的定义及其性质.1.向量：既有大小又有方向的量叫作向量.向量的大小叫向量的长度(或模).2.几个特殊的向量(1)零向量：长度为零的向量，记作0，其方向是任意的. (2)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.(3)平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线.(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (5)相反向量：长度相等且方向相反的向量.典例2 (青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)设向量,a b rr 不平行，向量a b λ+r r 与2a b +r r平行，则实数λ=___________【答案】12考点：向量平行的条件 解题技巧与方法总结(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量,a b r r共线是指存在不全为零的实数12,λλ，使120a b λλ+=r r r 成立；若120a b λλ+=r r r ，当且仅当12λλ==0时成立，则向量,a b r r不共线．【变式训练1】(青海省平安县第一高级中学2015~2016课后练习)已知向量i r 与j r不共线，且,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线，则实数,m n 满足的条件是（ ）A. 1m n +=B. 1m n +=-C. 1mn =D. 1mn =-【解析】法一：Q ,,1AB i m j AD ni j m =+=+≠u u u r r r u u u r r r，若,,A B D 三点共线且,,A B D 三点共线所以存在非零实数λ，使AB AD λ=uu u r uuu r即()i m j ni j λ+=+r r r rQ i r 与j r不共线所以1n m λλ=⎧⎨=⎩1n m λλ⎧=⎪⇒⎨⎪=⎩∴1mn =法二：由题可得， AB CD uu u r uu u rP∴AB AD λ=uu u r uuu r∴11m n = ∴1mn =考点：向量共线定理【变式训练2】已知(1,0),(2,1)a b ==r r（1） 当k 为何值时，ka b -r r 与2a b +r r共线？（2） 若23AB a b =+uu u r r r ，BC a mb =+uu u r r r，且,,A B C 三点共线，求m 的值【答案】1-232（2）Q ,,A B C 三点共线AB BC ∴u u u r u u u rP故存在实数λ，使得AB BC λ=uu u r uu u r()23a b a mb λ+=+r r r r∴2λ=，32m =考点：向量的运算法则、共线定理 知识链接：平行向量：方向相同或相反的非零向量，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线. 两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =λa . 题型二 向量的线性运算 命题点1 简单的向量线性运算典例 (吉林省吉林大学附属中学2017届高三第五次摸底考试数学（理）)在梯形ABCD 中，3AB DC =uu u r uuu r ，则BC uu u r等于( )【答案】D解题技巧与方法总结(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化．(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧： ①观察各向量的位置； ②寻找相应的三角形或多边形； ③运用法则找关系；④化简结果．【变式训练1】(河南省商丘市九校2016-2017学年高一下学期期中)如图12,e e u r u r为互相垂直的单位向量，向量a b c ++r r r可表示为（ ）A. 1223e e +u r u rB. 1232e e +u r u rC. 1232e e -u r u rD. 1233e e --u r u r【答案】B【解析】 1212122,2,2a e e b e e c e e =+=-=+u r u r u r u r u r u r r r r ，故 1232a b c e e ++=+u r u rr r r .知识链接：平面向量的基本定理如果12,e e u r u r是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数21,λλ使：1122a e e λλ=+r u r u r 其中不共线的向量12,e e u r u r叫做表示这一平面内所有向量的一组基底【变式训练2】(北京市东城区2017届高三5月综合练习（二模）数学理)设,a b rr 是非零向量，则“,a b rr 共线”是“ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B命题点2 向量线性运算运用典例 (山东省淄博市临淄中学2016-2017学年高二上学期期末考试数学（理）试题)如图在空间四边形 OABC 中，点M 在OA 上，且 2OM MA = ， N 为BC 中点，则MN uuu r等于( )A.121232OA OB OC -+uu ruu u r uuu r B.211322OA OB OC -++uu r uuu r uuu r C.111222OA OB OC +-uu ruu u r uuu r D.221332OA OB OC+-uu ruu u r uuu r【答案】B【名师点睛】进行向量的运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一点出发的基本量或首尾相接的向量，运用向量的加减运算及数乘来求解，充分利用相等的向量，相反的向量和线段的比例关系，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来解决 【变式训练1】如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12b B.12a －bC ．a ＋12b D.12a ＋b【答案】D【解析】连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .【变式训练2】如图所示,设P 、Q 为△ABC 内的两点,且=+,=+,则△ABP与△ABQ 的面积之比为 .【答案】知识链接：1.向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法，例AB BC AC +=uu u r uu u r uuu r（1）0+0a a a =+=r r r r r；（2）向量加法满足交换律与结合律；2.向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则. 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD PQ QR AR +++++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rL ，但这时必须“首尾相连”． 3.向量的减法 ：向量a r 加上b r 的相反向量叫做a r 与b r的差，记作：()a b a b -=+-r r r r 求两个向量差的运算，叫做向量的减法4.作图法：a b -r r 可以表示为从b r 的终点指向a r 的终点的向量（a r 、b r有共同起点）命题点3 向量线性运算求参数值或取值范围典例 1(黑龙江省齐齐哈尔市第一中学校2016-2017学年高一3月月考数学（理）试题)已知在ABC ∆中，点在边上，且2,CD DB CD r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则的值为（ ） A. 0 B. D. 3- 【答案】A【解析】分析试题由已知可得：()22223333CD CB AB AC AB AC ==-=-uu u r uu r uu u r uuu r uuu r uuu r ,所以=点睛：向量的线性运算，注意理解加法的三角形法则和平行四边形法则以及减法法则的运用. 【变式训练1】(2013·江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC.若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．【答案】12【变式训练2】在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为 ( )A. 12B. 13C. 14D ．1【答案】A【解析】∵M 为BC 上任意一点，∴可设AM →＝x AB →＋y AC →(x ＋y ＝1)．∵N 为AM 的中点，∴AN →＝12AM →＝12x AB →＋12y AC →＝λ AB →＋μ AC →，∴λ＋μ＝12(x ＋y )＝12.知识链接：三点共线的性质定理：(1)若平面上三点A 、B 、C 共线，则AB →＝λBC →.(2)若平面上三点A 、B 、C 共线，O 为不同于A 、B 、C 的任意一点，则OC →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1.典例2【2014届广东省东莞市高三第二次模拟考试】如图所示，A 、B 、C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与线段AB 交于圆内一点D ，若OC =uuu r xOA yOB +uu r uu u r，则 （ ）A.01x y <+<B.1x y +>C.1x y +<-D.10x y -<+<【答案】C【变式训练】（2014北京东城高三期末）在直角梯形ABCD 中，90,30,2,A B A BB C ∠=︒∠=︒==，点E 在线段CD 上，若AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r，则实数μ的取值范围是 .【答案】102⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】由题意可求得1,AD CD ==2AB DC =uu u r uuu r.因为点E 在线段CD 上，所以DE DC λ=uuu r uuu r(01λ≤≤).因为AE AD DE =+uu u r uuu r uuu r ，又AE AD AB μ=+uu u r uuu r uu u r =2AD DC μ+u u u r u u u r =2AD DE μλ+uuur uuu r ，所以2μλ=1，即μ=2λ.因为0≤λ≤1，所以0≤μ≤12.知识交汇例1 如图，经过△OAB 的重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，则1n ＋1m的值为________．【答案】3【交汇技巧】本题将向量的共线定理与三角形重心的性质进行结合，三角形重心是三条边中线的交点，另外本题还结合了方程思想，通过消去λ得到m ，n 之间的关系例2 已知点O 为△ABC 外接圆的圆心，且0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r，则△ABC 的内角A 等于( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°【答案】A【解析】 由0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r 得OA OB OC +=uu r uu u r uuu r，由O 为△ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知四边形OACB 为菱形，且∠CAO ＝60°，故A ＝30°.【交汇技巧】三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，到三个顶点距离相等，结合0OA OB CO ++=uu r uu u r uu u r r可得四边形OACB 为平行四边形的条件，得出四边形OACB 为菱形，从而求出角A 的大小 练习检测1.【山东省淄博实验中学2015届高三第一学期第一次诊断考试试题，文10】在ABC ∆中，点,M N 分别是,AB AC 上，且32,5AM MB AN AC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，线段CM 与BM 相交于点P ，且,AB a AC b ==u u u r r u u u r r，则AP uu u r 用a r 和b r 表示为( )A ．4193AP a b =+uu u r r rB ．4293AP a b =+uu u r r rC ． 2493AP a b =+uu u r r rD ．4377AP a b =+uu u r r r【答案】A2.(江西省南昌市重点学校2016-2017学年高一4月检测)已知ABC ∆的边BC 上有一点D 满足3BD DC =uu u r uuu r ，则AD uuu r可表示为（ ）A. 23AD AB AC =-+uuu r uu u r uuu rB.【答案】C【解析】如图所示，3.(2015届北京市156中学高三上学期期中考试理科)如图，向量b a -等于（ ）（A ）2124e e -- （B ）2142e e --（C ）213e e - （D ）213e e - 【答案】C点评：12,e e u r u r 是两个单位向量，从图上将,a b r r用单位向量表示出来4.已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP →＝2OA →＋BA →，则 ( )A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上 【答案】B【解析】因为2OP →＝2OA →＋BA →，所以2AP →＝BA →，所以点P 在线段AB 的反向延长线上，故选B. 5.(2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理)如图，在三棱柱111ABC A B C -中，M 为11A C 的中点，若1,,AB a BC b AA c ===uu u r r uu u r r uuu r r，则BM uuu r 可表示为（ ）A. 1122a b c -++r r rB. 1122a b c ++r r rC. 1122a b c --+r r rD. 1122a b c -+r r r【答案】A【解析】()111222BN BA BC a b =+=-+uuu r uu r uu u r r r Q1122BM BN NM a b c ∴=+=-++uuu r uuu r uuur r r r,故本题正确答案为A6.(江西省赣州市十四县（市）2017届高三下学期期中联考（理）)如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O ，点E ， F 分别在边AB ， AD 上，直线EF 交AC 于点K ， AK AO λ=uuu r，则λ等于（ ）【答案】C7.在△ABC 中，E ，F 分别为AC ，AB 的中点，BE 与CF 相交于G 点，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示AG →.8.设点O 在ABC V 内部,且有40OA OB OC ++=uu r uu u r uuu r r,求△ABC 的面积与△OBC 的面积之比.【答案】S △ABC ∶S △OBC =3∶2.【解析】取BC 的中点D,连接OD,则+=2,4++=0,∴4=-(+)=-2,∴=-.∴O 、A 、D 三点共线,且||=2||,∴O 是中线AD 上靠近A 点的一个三等分点, ∴S △ABC ∶S △OBC =3∶2.9.在任意四边形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是BC 中点，求证：()1=+2EF AB DC uu u r uu u r uuu r法二：连接EB EC uu r uu u r ， 则=+EC ED DC uu u r uu u r uuu r()()11==+++=22EF EC EB ED DC EA AB +uu u r uu u r uu r uu u r uuu r uu r uu u r ()1+2AB DC uuu r uuu r。
高考数学一轮复习第五章专题五平面向量中的范围与最值问题课件
答案：D
【题后反思】对于求向量数量积取值范围的题目，可考虑通 过建立平面直角坐标系来求解.若题目的设问与已知直线上的动点 相关，则可求出已知直线的方程后，利用直线方程表示已知直线 上动点的坐标；若题目的设问与已知圆上的动点相关，则可利用 圆的参数方程表示圆上动点的坐标.例如，若点 P 为⊙M：(x－a)2 ＋(y－b)2＝r2 上的动点，则点 P 的坐标可表示为(a＋r cos θ，b＋ r sin θ).
4 t
cosθ＋
4－t2sin θ＝16－8sin (θ＋φ)，其中 cos φ＝
42－t2，
sin φ＝2t ，
又 θ∈0，2π，t∈[0，2]，∴cos φ，sin φ∈[0，1]， ∴φ∈0，2π，∴φ＋θ∈[0，π]， ∴sin (φ＋θ)∈[0，1]， ∴－sin (φ＋θ)∈[－1，0]， ∴P→E·P→F∈[8，16]，∴P→E·P→F的最小值为 8.故选 B.
A.3
B.3 2
C.1
D.3
解析：由题意知，A→P＝A→B＋B→P＝A→B＋B→3C＝A→B＋A→C－3 A→B＝ 2A→3B＋A→3C，又A→M＝xA→B，A→N＝yA→C(x>0，y>0)，∴A→P＝2A3→xM＋A→3Ny ， 由 M，P，N 三点共线，得32x＋31y＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)32x＋31y＝ 53＋23xy＋23yx≥53＋2 23xy·23yx＝3，当且仅当 x＝y 时等号成立.故 2x＋y 的最小值为 3.故选 A.
图 D27
设 E(t，0)(t∈[0，2])，又|EF|＝2，
所以|OF|＝
4－t2，可得
F 0，
4－t2，
∴P→E＝(t－4cos θ，－4sin θ)，P→F＝(－4cos θ， 4－t2－4sin θ).
广东省天河地区2017高考数学一轮复习试题精选复数与归纳推理部分02文
推理与证明部分1.将连续整数1,2,,25 填入如图所示的5行5列的表格中，使每一行的数字从左到右都成递增数列，则第三列各数之和的最小值为 ，最大值为 .【答案】45； 85【解析】因为第3列前面有两列，共有10个数分别小于第3列的数，因此：最小为：3+6+9+12+15=45.因为第3列后面有两列，共有10个数分别大于第3列的数，因此：最大为：23+20+17+14+11=85.2.定义映射:f A B →，其中{(,),}A m n m n =∈R ，B =R ，已知对所有的有序正整数对(,)m n 满足下述条件:①(,1)1f m =，②若n m >，(,)0f m n =；③(1,)[(,)(,1)]f m n n f m n f m n +=+- 则(2,2)f = ；(,2)f n = . 【答案】2 22n-【解析】根据定义得(2,2)(11,2)2[(1,2)(1,1)]2(f f f f f =+=+==⨯=。
3(3,2)(21,2)2[(2,2)(2,1)]2(21)622f f f f =+=+=⨯+==-，4(4,2)(31,2)2[(3,2)(3,1)]2(61)1422f f f f =+=+=⨯+==-，5(5,2)(41,2)2[(4,2)(4,1)]2(141)3022f f f f =+=+=⨯+==-，所以根据归纳推理可知(,2)22nf n =-。
3.右表给出一个“三角形数阵”.已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i 行第j 列的数为ij a （*,,N j i j i ∈≥），则53a 等于 ，____(3)mn a m =≥．【答案】5,16 12n m+ 【解析】由题意可知第一列首项为14，公差111244d =-=，第二列的首项为14，公差311848d =-=，所以511154444a =+⨯=，521153488a =+⨯=，所以第5行的公比为525112a q a ==，所以53525158216a a q ==⨯=。
广州市重点学校备战2017高考高三数学一轮复习试题精选：平面向量11 含解析
平面向量11一、选择题：1.设向量a b c 、、满足｜a ｜=｜b ｜=1， a b ⋅1=2-，，,a c b c <-->=060，则c 的最大值等于 （A)2 （ (D)1【答案】A【解析】如图，构造AB =a ,AD =b ， AC = c ,120,60BAD BCD ∠=∠=，所以,,,A B C D 四点共圆，可知当线段AC 为直径时，c 最大，最大值为2。
2。
设12345,,,,A A A A A 是空间中给定的5个不同的点,则使123450MA MA MA MA MA ++++=成立的点M的个数为 （ ）A ．0B ．1C ．5D ．10【答案】B3.已知向量a ，b 满足0,1,2,a b a b •===，则2a b -= A 。
0 B 。
C. 4D. 8解析:2a b -=22844)2(222==+⋅-=-b b a a b a4。
设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=（A ）8 （B ）4 （C ) 2 （D ）1w_w w 。
k ＃s5_u.c o*m5.定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令ab=mq-np ，下面说法错误的是（）A.若a 与b 共线，则a b=0B 。
ab=baC 。
对任意的R λ∈，有a)b=(λλ（ab)D.2222(ab)+(ab)=|a||b|6、在Rt ABC∆中,C ∠=90°AC=4，则AB AC ⋅等于A 、-16B 、—8C 、8D 、167．已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+。
若存在实数m 使得AB AC AMm --→--→--→+=成立，则m=A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题：1. 若平面向量α，β满足1α=，1β≤，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为12，则α与β的夹角θ的取值范围是 。
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平面向量01
1.AC为平行四边形ABCD的一条对角线，(2,4),(1,3),ABACAD则（ ）
A．(2,4) B．(3,7) C．(1,1) D．(1,1)
【答案】D
【解析】因为
(2,4),ABAC
所以(1,1BCACAB，即
(1,1ADBC
，选D.
2.平面向量a，b共线的充要条件是
A. a，b方向相同 B. a，b两向量中至少有一个为零向量
C. R，使得ba D. 存在不全为零的实数1，2，120ab
【答案】D
【解析】对于选项D.若a，b为零向量，则满足120ab。若b为非零向量，对任意的
向量a有ab，即0ab。符合条件,所以选D.
3.已知两非零向量,,ab则“abab?”是“a与b共线”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】因为cosabababab，?<>=，所以cos1ab，<>=，所以0ab，<>=，此
时a与b共线，若a与b共线，则有0ab，<>=或ab，p<>=，当ab，p<>=时，
cosabababab，?<>=-，所以“abab?
”是“a与b共线”的充分不必要条
件，选A.
4.平面直角坐标系中，已知两点()()3,1,1,3AB-，若点C满足12OCOAOBll=+（O为原
点），其中12,RllÎ，且121ll+=，则点C的轨迹是
A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线
【答案】A
【解析】因为12OCOAOBll=+，所以设(,)Cxy,则有12(,)(3,1)(1,3)xyll=+-，即
12
12
33xy
，解得21310310yxyx，又121ll+=，所以3311010yxyx，即25xy，
所以轨迹为直线，选A.
5.如图，在等腰直角ABO中，设,,1,OAaOBbOAOBC为AB上靠近点A的四等
分点，过C作AB的垂线l，设P为垂线上任一点，,OPp则()pba
A. 21 B. 21 C. 23 D .23
【答案】A
【解析】由题意知14ACAB，OPOAACCP，所以()pbaOPAB，即
()OAACCPABOAABACABCPAB
2
1
cos,4OAABACABOAABOAABAB
2
12111
2cos135(2)2()142222
，所以1()2pba选
A.
6.已知平面向量(1,2),(2,),abkab若与共线，则3ab=
A．5 B．25 C．52 D．5
【答案】A
【解析】因为a与b共线，所以220k，即4k，所以
33(1,2)(2,ab
，所以23125ab，选A.
7.已知||6a，||3b，12ab，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
【答案】A
【解析】122cos,633ababab,向量a在向量b方向上的投影为
2
cos,6()43aab
，选A.
8.已知平面向量a和b，||1a，||2b，且a与b的夹角为120°，则|2|ab等于
A．6 B．25 C．4 D．2
【答案】D
【解析】1cos1202()12abab，所以2222|2|444424abaabb，
所以|2|2ab，选D.
9.已知向量(2,1)ar，(1,)bkr，且ar与br的夹角为锐角，则k的取值范围是（ ）
（A）2, （B）11(2,)(,)22 （C）(,2) （D）(2,2)
【答案】B
【解析】当,ab共线时，210k，12k，此时,ab方向相同夹角为0，所以要使ar与br的
夹角为锐角，则有0ab且,ab不共线。由20abk得2k，且12k，即实数
k
的取值范围是11(2,)(,)22，选B.
10.ABC中，设222ACABAMBC，那么动点M的轨迹必通过ABC的（ ）
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
【答案】C
【解析】假设BC的中点是O.则22()()22ACABACABACABAOBCAMBC,
即()0AOAMBCMOBC，所以MOBC,所以动点M在线段BC的中垂线上，
所以动点M的轨迹必通过ABC的外心，选C.
11.过点(2,0)M作圆221xy的两条切线MA，MB(A，B为切点)，则MAMB（ ）
（A）532（B）52（C）332（D）32
【答案】D
【解析】设切线斜率为k，则切线方程为(2)ykx，即20kxyk，圆心到直线的距
离2211kdk，即213k，所以33k，,60MAMB，
2
1413MAMBOM
,所以
2
13
cos60(3)22MAMBMAMB
，选D
12.已知向量(1,)xa，(1,)xb，若2ab与b垂直，则||a ( )
A．2 B．3 C．2 D．4
【答案】C
【解析】由题意知22(1,)(1,)(3abxxx，因为2ab与b垂直，所以
(2)0abb
，即(3,)(1,)xx，所以230x，解得23x，所以
2
11342ax
，选C.
13.在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0),B(0,1)，点C在第一象限内，6AOC，且
|OC|=2，若OCOAOB，则,的值是
(A) 3，1 (B) 1，3 (C) 33，1 (D) 1，33
【答案】A
【解析】因为6AOC，所以,6OAOC。,263OCOB。则
(,)OCOAOB
。(,)(1,0)cos6OCOAOCOA，即
3
232
。(,)(0,1)cos3OCOBOCOB，即1212，所以
3,1
，选A.