九年级数学上册21.3二次根式的加减法第1课时学案新版华东师大版

21.3二次根式的加减法第一课时课前知识管理（从教材出发，向宝藏纵深）1、同类二次根式：如果几个二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.注意：同类二次根式与同类项是两个相类似的概念，前者是二次根式之间的关系，后者是单项式之间的关系.判断几个二次根式是不是同类二次根式的关键在于化简，化为最简二次根式后再看被开方数是否相同；而判断几个单项式是不是同类项，则只需看所含字母是否相同，再看相同字母的指数是否也相同.2、同类二次根式的合并法则：同类二次根式相加减，被开方数不变，把系数（最简二次根式外的因子叫做二次根式的系数）相加减，用字母表示为：()c b a c b c a +=+.合并时要注意两点：①不是同类二次根式的不能合并.如23+就不能合并；②系数为1或－1的二次根式，如3的系数为1，－3的系数为－1，运算时不要漏掉.3、二次根式的加减法运算法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.4、二次根式的混合运算是指二次根式的加、减、乘、除及乘方这五种运算中含有两种或两种以上的运算，其运算顺序与实数的混合运算顺序、整式的混合运算顺序一样，也是先乘方、再乘除，最后算加减，如果有括号的仍然要先算括号里的（或先去掉括号）.名师导学互动（切磋琢磨，方法是制胜的法宝）典例精析类型一：同类二次根式例1、下列二次根式中与35-是同类二次根式的是（ ） A ．18 B ．3.0 C ．30 D ．300【解题思路】解此题首先应将所给的选择项中的二次根式化简，然后再看化简的最简二次根式中哪个被开方数是3．∵2318=，10303.0=，3103007=，∴300与35-是同类二次根式．【解】选D ． 【方法归纳】同类二次根式的判断方法：先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同．例2、最简根式a b b a -+234与32+a 是同类根式，求a ，b 的值．【解题思路】本题考查同类二次根式的概念，两个最简根式互为同类根式，说明根指数与被开方数的相同.【解】∵a b b a -+234与32+a 为同类根式，∴22=-a b ，3234+=+a b a ，解方程组⎩⎨⎧+=+=-323422a b a a b 得⎩⎨⎧==1b a ，当0=a ，1=b 时，两根式都为3，符合题意．【方法归纳】这种类型的题目，求得字母的值后，要注意检查是否符合题意，这包括是否有意义，是否是最简根式等等．类型二：同类二次根式的合并例2、计算：【解题思路】题中每个二次根式都是最简二次根式，可直接判断同类二次根式再分别合并.【解】原式.【方法归纳】二次根式不管是否为同类二次根式都可以相乘除，但只有同类二次根式才能相加减，即二次根式加减法的前提条件是具备同类二次根式，本题中不是同类二次根式，不能再进行加减运算.类型三：二次根式的加减运算例3、计算：【解题思路】题中每个二次根式都不是最简二次根式，应按“先化简——再判断——最后合并”三步曲进行计算.【解】原式331102212⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3331225-=.【方法归纳】二次根式前面的系数要写成假分数的形式，不能写成带分数。

本题中的系数不能写成，的系数不能写成.例4、计算：【解题思路】二次根式加减运算中如果有括号要先去括号，再按三步曲进行计算.【解】原式a b a a 47+-=a b a b )46()417(+=+-=.【方法归纳】合并同类二次根式时，不可忽视系数为1或的二次根式.本题中的系数不是0，而是，另外，当括号前是“－”，去掉括号时括号内各项要改变符号.例5、计算：【解题思路】二次根式内有分式加减运算，要先将根号内分式计算出最后结果，再按三步曲进行解答.【解】原式22222222b a b a b b a b a b a b b a b a -⎪⎭⎫ ⎝⎛--=----=22232)(b a b a b b ab a ---+=.【方法归纳】根号内有分式加减运算时，如本题中的，不能错误地化简成，正确的做法是在根号内将分式通分求出结果，再进行二次根式的加减.类型四：二次根式的混合运算例6、计算()2228+-【解题思路】先用分配律进行二次根式乘法运算，将括号去掉，这时要注意符号的变化，再进行二次根式的加减运算.【解】()222222222282228-=--=⨯-⨯-=+-.类型四：阅读理解题 例7、化简253+，甲、乙两同学的解法如下：甲：252525253253-=-+-=+))(()(；乙：25252525253-=+-+=+)())((.对于他们的解法,正确的判断是( ).（A ） 甲、乙的解法都正确 （B ） 甲的解法正确，乙的解法不正确（C ） 乙的解法正确，甲的解法不正确 （D ） 甲、乙的解法都不正确【解题思路】化简分母通常有两种方法：一是应用分式的基本性质，分式的分子、分母同时乘以一个恰当的因式（不为零），使这个因式与原分母相乘后得到一个平方差公式，然后再化简；二是把分子进行因式分解，使分子和分母能够约分，把分母中的二次根式约去，然后再化简.本题中甲使用的第一种方法，乙使用的第二种方法，因此计算都正确.【解】A.易错警示1、混淆同类项与同类二次根式例8、2a 与2b 是同类二次根式吗？为什么？【错解】因为2a 含字母a ，2b 而中含字母b ，所以2a 与2b 不是同类二次根式.【错因分析】同类二次根式判断标准是化简后被开方数相同，与根号外的因式无关，造成错解的原因显然是混淆同类项判定标准“看字母”【正解】因为2a 与2b 的被开方数都是2，所以它们是同类二次根式. 2、混淆计算原则 例9、327- 【错解】6224327327==-=-.【错因分析】造成错解的原因是受二次根式乘、除的影响，错误地认为二次根式相加减类似于二次根式的乘除.【正解】32333327=-=- 3、忽视运算过程中分母为0而致错. 例10、化简ba ba +-【错解】()()b a ba ba b a ba b a -=---=+-【错因分析】当b a =时，分子、分母同时乘以()b a -相当于分子、分母同时乘以0.造成这种错误的原因是忽视了隐含的b a ≠.【正解】()()b a ba ba b a ba ba -=+-+=+-课堂练习评测（检验学习效果的时候到了，快试试身手吧）知识点1：同类二次根式 1、如果最简二次根式与是同类根式，那么使有意义的x 取值范围是（ ） A.B.C.D. 10>x2、若()n m +216和17--+n m m 是同类二次根式，则n m ,的值分别为 .3、最简二次根式()y x y x -+221与23)6(21-++y x y 能是同类二次根式吗?若能，求出y x ,的值，若不能，说明理由．知识点2：二次根式的加减运算 4、计算：_________.5、小明的作业本上有以下四题：（1）24416a a =；（2）25105a a a =⋅；（3）a aa a a=⋅=112；（4）a a a =-23.其中错误的是（ ） A 、（1） B 、（2） C 、（3） D 、（4）6、计算下面各题：（1） 913.03122-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 、 （2） ()()223131+--（3）⨯ （4）21)（5） 22125+（67、因实际需要，用钢材焊制三个面积为22232,18,2m m m 的正方形铁框，则需准备的钢材的总长度是多少米？课后作业练习一、选择题： 1、下列根式，不能与合并的是（ ）A.B.C.D.2、2011)15(4)15(2)15199719981999++-+-+的值为( )A ．2010B ．2011C ．2009 D.20083、设,253,253-=+=y x 则5445y xy y x x +++的值为( ) A ．47 B ．135 C ．141 D.1534、若k （x －2）+12=0的解，则k 的值为（ ）．A ．2）B ．22）C ．－2（D ．－2（25、下列各组代数式中，两个式子相乘的积不含根号的是（ ）．A ． bC ．2 2D 6、下列各组根式中是同类二次根式的是（ ）．A B7 ）．A ．│a │=│b │B ．a －b=1C ．a －b=－1D ．a 、b 之中必有一个为0二、填空题：8、要焊接如图所示的钢架，大约需要 米钢材（结果保留根号）.9、化简：=-555 .10、已知1111y x y =+--则=________．11、计算________． 12、已知，则的值为 .三、解答题：13、计算或化简：（1）（48－814）－（313－5.02）；（2）（548＋12－76）÷3；（3）50＋122+－421＋2(2－1)0；（4）（b a 3－b a ＋2a b ＋ab ）÷ab ．14、已知直角三角形斜边长为（26＋3）cm ，一直角边长为（6＋23）cm ，求这个直角三角形的面积．15、已知，求（x 2+21x ）2－4（x 2+21x ）+4的值．16、同学们，我们以前学过完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a ±b ）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=2，5=2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：（）2=（2-2×1×2）2， ∴）2求：（1 （2（3（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．21.3二次根式的加减法课后作业参考答案： 1、解析：由同类二次根式的定义，得，即，即使有意义，需，即，故应选A. 2、2,5==n m3、解：它们不能是同类二次根式．假设它们是同类二次根式，则有⎪⎩⎪⎨⎧-+=+=+=-232)6(21)2(21y x y x y y x 解此方程⎩⎨⎧==+,22,46x y 解得⎩⎨⎧-==,2,1y x 把y x ,代入原式得两根式分别为,11--此二次根式无意义，故它们不能是同类二次根式． 4、提示：原式.5、D6、答案：（1）0.3 （2）－2 （3）16（4）4+（5） 13 （6）7、解：由题意，得：三个正方形边长分别为m m m 32,18,2，故钢材的总长度为：()m 2322162122432418424=++=++.课后作业答案： 1.提示：，又.故应选B. 2.提示：原式2011]4)15(2)15[()15(21997+-+-++=2011)42521525()15(1997+---+++= .20112011)66()15(1997=+-+=故B 正确．3.提示：,1459253253,3253253=-=-⨯+==-++=+ xy y x)()(445445y x y y x x y xy y x x +++=+++∴]2))[(())((2222244y x y x y x y x y x -++=++=})(2]2)){[((222xy xy y x y x --++=,141]12)123[(3222=⨯-⨯-=故C 正确．4.答案：C5.答案：A6.D7.C 的相反数为•再根据互为倒数的两个数的积等于1，可求得a 、b 的关系．8.答案：9.答案：110.答案：－111.12.答案：513.答案：（1）33．（2）【解】原式＝（203＋23－76）×31＝203×31＋23×31－76×31＝20＋2－76×33＝22－221． （3）【解】原式＝52＋2(2－1)－4×22＋2×1＝52＋22－2－22＋2＝52． （4）【解】原式＝（b a 3－b a ＋2a b ＋ab ）·b a ＝b a 3·b a －b a ·ba＋2a b ·b a ＋ab ·ba ＝a －2)(b a ＋2＋2a ＝a 2＋a －b a ＋2．14.答案：在直角三角形中，根据勾股定理，另一条直角边长为：22)326()362(+-+＝3（cm ）．∴ 直角三角形的面积为：S ＝21×3×（326+）＝23336+（cm 2）15.解：（x 2+21x ）2－4（x 2+21x ）+4=（x 2+21x －2）2=（x －1x ）4．当时，原式=4=）4=24=16．16.解：（1；（2（3=；（4）m n amn b+=⎧⎨=⎩理由：两边平方得a±±，所以a m nb mn=+⎧⎨=⎩.第11页共11页。