幂函数高三复习
高三数学复习课件【二次函数与幂函数】
A．3
B．1－ 2
C. 2－1
D．1
解析：设幂函数f(x)＝xα，则f(9)＝9α＝3，即α＝
1 2
，所以f(x)
1
＝x 2 ＝ x，所以f(2)－f(1)＝ 2－1，故选C.
答案：C
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2．当x∈(0，＋∞)时，幂函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3为减函数，
则实数m的值为
()
A．－2
B．1
C．1或－2
D．m≠－12± 5
解析：因为函数y＝(m2＋m－1)x－5m－3既是幂函数又是(0，＋∞)
上的减函数，所以m－25＋mm－－3<10＝，1， 解得m＝1. 答案：B
返回
4
2
1
3．已知a＝3 5 ，b＝4 5 ，c＝12 5 ，则a，b，c的大小关系为( )
A．b<a<c
B．a<b<c
C．c<b<a
当k<0时，
2 k
<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，该函数
y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实
数k的取值范围是[2，＋∞)．答案：A
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[题型技法] 研究二次函数单调性的思路 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研 究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论． (2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调 递增)，则A⊆ －∞，－2ba A⊆－2ba，＋∞ ，即区间A一定 在函数对称轴的左侧(右侧)．
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课 堂 考点突破
练透基点，研通难点，备考不留死角
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考点一 幂函数的图象与性质 [考什么·怎么考]
第03讲 幂函数与二次函数(课件)-2024年高考数学一轮复习
=
−
<
（2）方程有两个不等负根 , ⇔
= >
（3）方程有一正根和一负根，设两根为 , ⇔ = <
常用结论
3、有关二次函数的问题，关键是利用图像.
（1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类
问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个
一般地，函数______叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(0,0)
(1,1)
②当α>0时，幂函数的图象都过点_____和_____，且在(0，＋∞)上单调
递增；
(1,1)
③当α<0时，幂函数的图象都过点_____，且在(0，＋∞)上单调递减；
1
，即
或
(−1) > 0
> −3
(1) > 0
<1
1
D． − , 0 ⋃(1, +∞)
3
>1
−1 < < 1
1
，
> −3
<1
1
解得− 3 < < 0，
故选：C
题型三：二次方程 2 + + = 0 ≠ 0 的实根分布及条件
【对点训练5】（2023·全国·高三专题练习）方程 2 + ( − 2) + 5 − = 0的一根在区间(2,3)内，另一根在区间(3,4)
以2 − 2 − 2 = 1，解得 = 3或 = −1，又因为()
幂函数(复习)
幂函数的图像
y=x y=x y=x y=x y=x y=x
2 3 1 2
y6
4
2
-5
o
-2
5
x
-1 0
-4
幂函数y = xα 在第一象限内，当α < 0, 0 < α < 1, α > 1时的图像
在 1 +∞） ， 越 图 越 （， 上 α 大 像 高
例1.已知函数f ( x) = (m2 − m − 1) x −5m−3 , m为何值时，f ( x) :
C）
B）
C、a < c < b
D、b < a < c
比较a, b的大小，利用幂函数y = x 0.3的单调性；
比较b, c的大小，利用指数函数y = 0.3x的单调性；
当堂检测
1、下列函数①y = x + 1 ②y = x
2 − 1 2
③y = 2 x ④y = x
2
−
2 3
⑤y = x
−
1 3
+1
中，是幂函数的是（ A、①⑤
1 6
（2） ( x + 1)
（3）
> > >
x
3 2
( x > 0)
0.51.3
− 5 4
0.41.3
（4） 3.1
3.7
−
5 4
利用幂函数的单调性来比较大小
3、设a = 0.2 , b = 0.3 , c = 0.3 , 则（ A、a > b > c B、a < b < c
0.3 0.3 0.2
∴ m − 2 m − 3 < 0且 为 偶 数
高考数学一轮复习考点知识专题讲解7---二次函数与幂函数
高考数学一轮复习考点知识专题讲解二次函数与幂函数考点要求1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式 一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)，顶点坐标为(m ，n )． 零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，x 1，x 2为f (x )的零点． (2)二次函数的图象和性质函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0) y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象(抛物线)定义域 R值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a对称轴x ＝－b2a顶点坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝1212x 是幂函数．(×)(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．(×)(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.(√)(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(×) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14等于()A ．－12B.12C ．±12D.22答案B解析设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________． 答案(－∞，40]∪[160，＋∞) 解析依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y＝f(x)为二次函数，若y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，且y＝f(x)的图象经过原点，则函数解析式为________．答案f(x)＝x2－4x解析因为y＝f(x)在x＝2处取得最小值－4，所以可设f(x)＝a(x－2)2－4(a>0)，又图象过原点，所以f(0)＝4a－4＝0，a＝1，所以f(x)＝(x－2)2－4＝x2－4x.题型一幂函数的图象与性质例1(1)若幂函数y＝x－1，y＝x m与y＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为()A．－1<m<0<n<1B．－1<n<0<m<1 2C．－1<m<0<n<1 2D．－1<n<0<m<1答案D解析幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上可知，－1<n<0<m<1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f(x)＝(m2－3m＋3)x m的图象关于y轴对称，则实数m＝________.答案2解析由幂函数定义，知m2－3m＋3＝1，解得m＝1或m＝2，当m＝1时，f(x)＝x的图象不关于y轴对称，舍去，当m＝2时，f(x)＝x2的图象关于y轴对称，因此m＝2.教师备选1．若幂函数f(x)＝(a2－5a－5)12ax-在(0，＋∞)上单调递增，则a等于()A．1B．6 C．2D．－1 答案D解析因为函数f(x)＝(a2－5a－5)12ax-是幂函数，所以a2－5a－5＝1，解得a＝－1或a＝6. 当a＝－1时，f(x)＝12x在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减， 所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是() A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167B ．(0,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，167D ．[2，＋∞)答案A解析因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎨⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1(1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则() A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案A解析由题意得b ＝233<234＝432＝a ，a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ， 所以b <a <c .(2)已知幂函数f (x )＝x m －3(m ∈N *)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则m 等于()A ．1B ．2C ．1或2D ．3 答案B解析因为f (x )＝x m －3在(0，＋∞)上是减函数， 所以m －3<0，所以m <3. 又因为m ∈N *，所以m ＝1或2. 又因为f (x )＝x m －3是奇函数， 所以m ＝2.题型二 二次函数的解析式例2已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解方法一(利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二(利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12， 所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8， 所以f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8. 因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三(利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.教师备选若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(a，b∈R)满足条件f(－x)＝f(x)，定义域为R，值域为(－∞，4]，则函数解析式f(x)＝________.答案－2x2＋4解析f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.∵f(－x)＝f(x)，∴2a＋ab＝0，∴f(x)＝bx2＋2a2.∵f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，∴b<0，且2a2＝4，∴b＝－2，∴f(x)＝－2x2＋4.思维升华求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2(1)已知f(x)为二次函数，且f(x)＝x2＋f′(x)－1，则f(x)等于()A．x2－2x＋1B．x2＋2x＋1C．2x2－2x＋1D．2x2＋2x－1答案B解析设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)，所以⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________． 答案f (x )＝x 2－4x ＋3解析∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3， 设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1二次函数的图象例3设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()答案D解析因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2二次函数的单调性与最值 例4已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )．解f (x )＝x 2－tx －1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －t 22－1－t 24.(1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－1－t 24.③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t 24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ，f (2)－f (－1)＝3－3t ， 当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎨⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是________．(填序号)①当x >3时，y <0；②4a ＋2b ＋c ＝0； ③－1≤a ≤－23；④3a ＋b >0.答案①③解析依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故①正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故②错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0， ∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ， ∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3， ∴－1≤a ≤－23，故③正确，④错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围； (2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )． 解(1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减； 当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0，∴1a≥1，即0<a ≤1；当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0，∴a <0符合题意． 综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.(ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＋1＝－1a ＋1.(ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎨⎧a －1，a ≤1，－1a ＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3(1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4] C ．[－3，－22] D ．[－4，－3] 答案B解析∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， 当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2， 对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·汉中模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________． 答案[1,2]解析由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6， 则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于() A ．3B ．－3C.13D ．－13答案C解析设f (x )＝x α，则4α2α＝2α＝3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝13.2．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为() A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案B解析二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ， 可得⎩⎨⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .3．(2022·延吉检测)若函数y ＝(m 2－3m ＋3)·224m m x +-为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为() A ．0B ．1或2C ．1D ．2 答案C解析由于函数y ＝(m 2－3m ＋3)224mm x +-为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．4．已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为() A ．－2或1B ．－2C ．1D ．1或2 答案A解析因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.5．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是()A ．b 2<4acB ．2a －b ＝1C ．a －b ＋c ＝0D ．5a <b 答案D解析因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎨⎧－b 2a ＝－1，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确； 对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0， 故选项C 不正确； 对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．6．若二次函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k 的取值范围是() A ．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C ．(－∞，0) D ．(－∞，2) 答案A解析二次函数y ＝kx 2－4x ＋2图象的对称轴为直线x ＝2k，当k >0时，要使函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是增函数，只需2k ≤1，解得k ≥2；当k <0时，2k<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y ＝kx 2－4x ＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k 的取值范围是[2，＋∞)．7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n ＋k 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案0解析因为f (x )是幂函数， 所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0.8．已知函数f (x )＝4x 2＋kx －8在[－1,2]上不单调，则实数k 的取值范围是________． 答案(－16,8)解析函数f (x )＝4x 2＋kx －8的对称轴为直线x ＝－k 8，则－1<－k8<2，解得－16<k <8.9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点． (1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3； (2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a ，－1×3＝3a ，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝4，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0， 解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]， 当t ＝－1时，g (t )有最小值0， 当t ＝1时，g (t )有最大值4，故g (t )∈[0,4]．∴g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台莱州一中月考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解(1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1， 所以⎩⎨⎧ c ＝2，a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝2x ＋1，即⎩⎨⎧ c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1，所以⎩⎨⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎨⎧ c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数， 当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增，则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2；当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6；当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎨⎧ t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·安康模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的()A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件答案C解析若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎨⎧ f (1)＝2－4m <0，f (3)＝18－6m <0，解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a ，y ＝x b 的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b 等于()A ．0B ．1C.12D ．2 答案A解析由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a ，y ＝x b ，得a ＝13log 23，b ＝23log 13， ∴a －1b ＝13log 23－2311log 3＝0.13．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________．答案[2,4]解析解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2，解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2，由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]．若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调，则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]，此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案7解析由题意有⎩⎨⎧ α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1， α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14， 且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)·(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________．答案[－16，＋∞)解析因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，所以有⎩⎨⎧ f (－3)＝f (3)＝0，f (1)＝f (－1)＝0，代入得⎩⎨⎧ 9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧ a ＝2，b ＝－3.所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m ，2n ]? 解(1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0，则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根，得b ＝1，从而a ＝－12， 所以f (x )＝－12x 2＋x . (2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则有2n ≤12，即n ≤14. 又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1，则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧ m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。
《幂的运算复习》课件
幂的除法运算：a^m/a^n=a^(m-n)
幂的除法运算：a^m/a^n=a^(m-n)
乘方运算
概念：乘方运算是一种特殊的乘法运算，表示一个数自乘若干次
符号：乘方运算的符号为“^”，如2^3表示2的3次方
运算规则：a^m * a^n = a^(m+n)，如2^3 * 2^2 = 2^5
幂的运算方法：包括加法、减法、乘法、除法、乘方、开方等
《幂的运算复习》PPT课件
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目录
01
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03
幂的运算方法
05
幂的运算注意事项
02
幂的定义与性质
04
幂的运算应用
06
幂的运算易错点分析
07
幂的运算练习题与答案解析
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01
幂的定义与性质
02
幂的定义
幂是指一个数自乘若干次
幂的表示方法：a^n，其中a是底数，n是指数
幂的运算分配律：a^m*(b+c)=a^mb+a^mc
幂的运算结合律：a^m*a^n=a^(m+n)
幂的运算优先级：乘方>乘除>加减
底数与指数的符号问题
底数与指数的符号对幂的运算结果有重要影响
底数为负数时，幂的运算结果也为负数
指数为负数时，幂的运算结果也为负数
底数为正数时，指数为正数或负数，幂的运算结果都为正数
指数方程的解法：利用指数函数的性质和指数方程的性质进行求解
指数方程的性质：指数函数的单调性、奇偶性、周期性等
指数方程的求解步骤：确定指数方程的类型、利用指数函数的性质进行求解、验证解的正确性
幂函数的性质与图像
高中数学幂函数知识点整理
高中数学幂函数知识点整理高中数学幂函数知识点定义域和值域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x 不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域性质：对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
高考数学专题复习：幂函数
高考数学专题复习：幂函数一、单选题1．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(1)(1+)f x f x -=，当[]0,1x ∈时，()f x =则函数()f x 的图象与()3xg x =的图象的交点个数为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．82．幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．1或23．已知函数()f x ()x ∈R 满足()()6f x f x -=-，函数33y x =+的图象与()y f x =的图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()1111,x y ，则()11111i x y =+=∑（ ）A ．40B ．50C ．33D ．704．已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（ ）A ．11,,333⎫⎫⎛⎛-∞⋃ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭5．已知函数131()2021(1)20212x x f x x x --=+--+，则不等式2(4)(23)4f x f x -+-≤的解集为（ ）． A ．[1,4]-B ．[4,1]-C ．(,1][4,)-∞-⋃+∞D ．(,4][1,)-∞-+∞6．幂函数()()22222m f x m m x-=--在()0,∞+为增函数，则m 的值是（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-7．设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，，则使函数y ＝x α 的定义域为R 的所有α的值为（ ） A ．1,3 B ．－1,1 C ．－1,3 D ．－1,1,38．下列结论正确的是（ ） A ．幂函数图象一定过原点B ．当0α<时，幂函数y x α=是减函数C ．当1α>时，幂函数y x α=是增函数D ．函数2yx 既是二次函数，也是幂函数9．不等式12x⎫⎛≤ ⎪⎝⎭） A ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C．⎡⎢⎣⎦D．⎫+∞⎪⎪⎣⎭10．已知幂函数()f x x α=满足()()2216f f =，若()4log 2a f =，()ln 2b f =，()125c f -=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a c b >> B ．a b c >> C ．b a c >>D ．b c a >>11．已知幂函数()f x 的图象经过点122⎛⎫⎪⎝⎭，，则(4)f 的值等于（ ）A ．12B ．2C ．4D ．1412．已知幂函数()221()22m f x m m x+=--的图象不经过原点，则m 的取值集合是（ ） A ．{}13-，B ．{}1-C ．{}3D ．1|2m m ⎧⎫≤-⎨⎬⎩⎭二、填空题13．已知幂函数()y f x =的图象经过点()9,3，则()f x 的解析式是________． 14．幂函数221()mm y x m N +-=∈在区间(0,)+∞上是减函数，则m =________.15．已知函数1()log (3)(0,1)2a f x x a a =-+>≠的图象过定点P ，若点P 在幂函数()g x x α=的图象上，则1()9g 的值为___________.16．若01b a <<<，b p a =，a q b =，b r b =，则________．（用>连接）三、解答题17．已知函数()f x =()2g x x =-.（1）求方程()()f x g x =的解集；（2）定义：{},,,a a bmax a b b a b ≥⎧=⎨<⎩.已知定义在[)0,+∞上的函数{}()(),()h x max f x g x =.求函数()h x 的解析式，在平面直角坐标系中，画出函数()h x 的简图；并写出函数()h x 的单调区间和最小值.18．已知幂函数223()m m f x x --=(m ∈Z )为偶函数，且在区间（0，+∞）上是单调减函数.（1）求函数()f x ；（2）讨论()()bF x xf x =的奇偶性.19．已知幂函数()()2133m f x m m x+=-+为偶函数.一次函数()y g x =满足()11g =，()23g =.（1）求()y f x =和()y g x =的解析式； （2）求函数()()()11f x h x f x -=+在区间[]1,2上的最大值和最小值.20．函数()f x （1）求函数()f x 的定义域； （2）解不等式(1)3f x +≤.21．已知幂函数()y f x =的图象经过点()5,25P . （1）求()f x 的解析式； （2）用定义法证明函数()()4f x g x x+=在区间2,上单调递增22．设指数函数()(2)x f x m =+，幂函数()23()1g x m m x =++.（1）求m ；（2）设0a <，如果存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()12af x g x >，求a 的取值范围.参考答案1．A 【分析】根据题意，分析()f x 的周期性和对称性，结合函数的解析式可得()f x 的图像，在相同坐标系中作出()f x 的图像与()3xg x =的图像，结合图像分析可得答案 【详解】解：因为义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=，(1)(1+)f x f x -=， 所以()f x 的周期为2，且图像关于直线1x =对称，由于当[]0,1x ∈时，()f x =()f x 的图像如图所示，再作出()3xg x =的图像， 则由图像可知，两函数图像的交点个数为5， 故选：A2．A 【分析】由题意利用幂函数的定义和性质，求得m 的值． 【详解】解：幂函数2266()(33)m m f x m m x -+=-+在(0,)+∞上单调递增，2331m m ∴-+=，且2660m m -+>，解2331m m -+=得1m =或2m =，当1m =时26610m m -+=>符合题意； 当2m =时26620m m -+=-<不符合题意； 故选：A ．3．C 【分析】由条件得，两个函数均关于点(0,3)对称，从而求得交点的横坐标和及纵坐标和. 【详解】由()()6f x f x =--可知()y f x =的图象关于点()0,3对称， 又因为33y x =+的图象也关于点()0,3对称， 所以两个函数的图象的交点关于点()0,3对称， 即12110x x x ++⋅⋅⋅+=，121133y y y ++⋅⋅⋅+=， 所以()11133i i i x y =+=∑，故选：C ． 4．D 【分析】由幂函数的性质求参数a 、b ，根据点在直线上得2m n +=，有14111n m m +=-++且02m <<，进而可求11n m ++的取值范围. 【详解】由1a y ax b =-+-是幂函数，知：1,1a b =-=，又(,)a b 在20mx ny -+=上， ∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<， ∴11(,3)13n m +∈+. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：根据幂函数的性质求参数，再由点在线上确定m 、n 的数量关系，进而结合目标式，应用分式型函数的性质求范围. 5．A 【分析】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，判断其单调性与奇偶性；从而得出()f x 单调性与对称性，将所求不等式化为2(4)(3)f x f x -≤，根据函数单调性，即可求出结果.【详解】设函数3()202120212x x g x x x -=+-+，则函数()g x 是定义域为R ，根据指数函数与幂函数的单调性可得，2021x y =是增函数，2021x y -=是减函数，3y x =是增函数，所以3()202120212x x g x x x -=+-+在R 上单调递增；又3()202120212()x x g x x x g x --=-=---，所以()g x 是奇函数，其图象关于原点对称；又()131()2021(1)202121)212x xf x x xg x --=+--+-+=-+（， 即()f x 的图象可由()g x 向右平移一个单位，再向上平移两个单位后得到，所以131()2021(1)202121)2x x f x x x --=+--+-+（是定义域为R 的增函数， 且其图像关于点(1,2)对称，即有()(2)4f x f x +-=，即 (2)4()f x f x -=-． 由2(4)(23)4f x f x -+-≤得 2(4)4(23)f x f x -≤--，即()()242(23)f x f x -≤--，即2(4)(3)f x f x -≤，所以 243x x -≤，解得 14x -≤≤． 故选：A ． 【点睛】 关键点点睛：求解本题的关键在于根据函数的解析式，判断函数()f x 的单调性与对称性，进而即可求解不等式. 6．B 【分析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得1m =-或3m =，分别验证两种情况下()f x 在()0,∞+上的单调性即可得到结果. 【详解】()f x 为幂函数，2221m m ∴--=，解得：1m =-或3m =；当1m =-时，()1f x x -=，则()f x 在()0,∞+上为减函数，不合题意；当3m =时，()7=f x x ，则()f x 在()0,∞+上为增函数，符合题意；综上所述：3m =. 故选：B. 7．A 【分析】利用幂函数的性质逐一验证选项即可． 【详解】当1α=-时，函数y ＝1x -的定义域为{}|0x x ≠，不是R ，所以1α=-不成立； 当12α=时，函数y ＝12x 的定义域为{}|0x x ≥，不是R ，所以12α=不成立； 当1α=或3α=时，满足函数y ＝x α的定义域为R ， 故选：A. 8．D 【分析】由函数1y x -=的性质，可判定A 、B 不正确；根据函数2y x 可判定C 不正确；根据二次函数和幂函数的定义，可判定D 正确. 【详解】由题意，函数1y x -=的图象不过原点，故A 不正确； 函数1y x -=在(,0)-∞及(0,)+∞上是减函数，故B 不正确； 函数2yx 在(,0)-∞上是减函数，在(0,)+∞上是增函数，故C 不正确；根据幂函数的定义，可得函数2y x 是二次函数，也是幂函数，所以D 正确.故选：D. 9．B 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，先求得12x ⎛⎫⎪⎝⎭12x⎫⎛≤ ⎪⎝⎭的解集. 【详解】再同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：当12x⎛⎫⎪⎝⎭12x =，由图象知：12x⎫⎛ ⎪⎝⎭1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭故选：B 10．C 【分析】由()()2216f f =可求得13α=，得出()f x 单调递增，根据单调性即可得出大小. 【详解】由()()2216f f =可得4222αα⋅=，∴14αα+=， ∴13α=，即13f x x .由此可知函数()f x 在R 上单调递增.而由换底公式可得242log 21log 2log 42==，22log 2ln 2log e =，125-=， ∵21log 2e <<，∴2222log 2log 2log 4log e <，于是4log 2ln 2<， 又12<，∴1245log 2-<，故a ，b ，c 的大小关系是b a c >>. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小. 11．D【分析】设幂函数()f x x α=，再将122⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入，求出函数的解析式，即可得答案； 【详解】设幂函数()f x x α=，幂函数()f x 的图象经过点122⎛⎫⎪⎝⎭，所以1(2)22f α==，解得1α=- 所以1()f x x -=，则11(4)44f -==故选：D 12．B 【分析】根据幂函数的定义和性质，求m 的取值集合. 【详解】因为函数是幂函数，所以2221m m --=，解得：1m =-或3m =，当1m =-时，()1f x x -=，函数的图象不经过原点，当3m =时，()7=f x x ，函数的图象经过原点.所以m 的取值集合是{}1-. 故选：B 13．()12f x x = 【分析】先设解析式()f x x α=，再由点()9,3代入求得α，即得结果.【详解】幂函数()y f x =可设为()f x x α=，图象过点()9,3，则()993f α==，则12α=， 所以()12f x x =. 故答案为：()12f x x =. 14．0 【分析】根据题意，得到2210m m +-<，结合m N ∈，即可求解.【详解】由题意，幂函数221()m m y x m N +-=∈在区间(0,)+∞上是减函数，可得2210m m +-<，解得11m -<-因为m N ∈，可得0m =.故答案为：0.15．3【分析】首先求出定点P ，进而求出α，然后带入求值即可.【详解】因为函数log a y x =过定点()1,0，所以令31x -=，即4x =，所以()142=f ，则14,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又因为点P 在幂函数()g x x α=的图象上，所以142α=，即12α=-，则12()g x x -=，所以11222111()3993g --⎡⎤⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故答案为：3.16．p r q >>【分析】利用幂函数和指数函数的单调性比较大小即可【详解】解：因为01b <<，所以函数b y x =在(0,)+∞上为增函数，因为01b a <<<，所以011b b b b a <<<=，即01r p <<<，因为01b <<，所以函数x y b =在R 上为减函数，因为01b a <<<，所以01b a b b b b >>>，即1b q r <<<，所以p r q >>，故答案为：p r q >>17．（1）1或4；（2）图象答案见解析，单调递减区间是[0,1]，单调递增区间是(1,)+∞，其最小值为1.【分析】（1）平方去根号，转化为二次方程求解即得；（2）利用条件将()h x 写成分段函数的形式，根据一次函数和幂函数的图像分段画出图像，得到整体图像，从而得到单调区间和最小值.【详解】解：（1|2|x =-，得2540x x -+=，121,4x x ∴==；（2）由已知得2,012()4222,4x x x h x x x x x x -≤<⎧⎧-⎪⎪==≤≤⎨⎨--⎪⎪⎩->⎩， 函数()h x 的图象如图实线所示：函数()h x 的单调递减区间是[0,1]，单调递增区间是(1,)+∞，其最小值为1.18．（1）4()f x x -=；（2）答案见解析.【分析】（1）由()f x 是偶函数，且在（0，+∞）上是单调减函数，可得m 的值；（2）求出()F x -，分0a ≠且0b ≠，0a ≠且0b =，0a =且0b ≠和0a =且0b =四种情况，分别得出函数的奇偶性．【详解】（1）∵()f x 是偶函数，∴223m m --应为偶数.又∵()f x 在（0，+∞）上是单调减函数，∴223m m --<0，-1<m <3.又m ∈Z ，∴m =0，1，2.当m =0或2时，223m m --=-3不是偶数，舍去；当m =1时，223m m --=-4；∴m =1，即4()f x x -=.（2）32()a F x bx x =-，∴32()a F x bx x-=+ ①当0a ≠且0b ≠时，函数()F x 为非奇非偶函数；②当0a ≠且0b =时，函数()F x 为偶函数；③当0a =且0b ≠时，函数()F x 为奇函数；④当0a =且0b =时，函数()F x 既是奇函数，又是偶函数.19．（1）()2f x x =，()21g x x =-；（2）最小值为0，最大值为35. 【分析】（1）根据幂函数的定义以及幂函数的性质可得1m =，从而求出()y f x =；利用待定系数法求出()y g x =.（2）令21x t +=，且[]2,5t ∈，21y t-=+，利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）因为函数()()2133m f x m m x +=-+为幂函数，所以2331m m -+=， 即2320m m -+=，解得：1m =或2m =.当1m =时，()2f x x =为偶函数，满足题意；当2m =时，()3f x x =为奇函数，不满足题意；所以，()2f x x =.因为()y g x =为一次函数，所以，设()()0g x kx b k =+≠，由()11g =，()23g =，得：123k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：21k b =⎧⎨=-⎩.所以()21g x x =-.. （2）()()()2221121111f x x h x f x x x ---===++++，令21x t +=， 因为[]1,2x ∈，所以[]2,5t ∈， 而21y t -=+在[]3,5t ∈上单调递增， 所以，当2t =，即1x =时，()f x 取得最小值0.当5t =，即2x =时，()f x 取得最大值35. 所以，函数()y f x =在区间[]1,2上的最小值为0，最大值为35. 20．（1）[)2,-+∞；（2）[]3,6-【分析】（1）根据函数有意义的条件求解即可；（2）根据复合函数单调性得()f x [)2,-+∞上单调递增，再结合(7)3f =得1217x x +≥-⎧⎨+≤⎩，进而解不等式即可得答案. 【详解】解：（1）要使函数()f x 20x +≥，解得2x ≥-， 所以函数()f x 的定义域为[)2,-+∞（2）由于函数2t x =+在[)2,-+∞上单调递增，y [)0,+∞上单调递增，所以结合复合函数的单调性得()f x [)2,-+∞上单调递增，由于(7)3f ，所以(1)3f x +≤等价于1217x x +≥-⎧⎨+≤⎩，解得36x -≤≤ 所以不等式(1)3f x +≤的解集为[]3,6-21．（1）2()f x x =，（2）证明见解析【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）由（1）可得4()g x x x=+，然后直接利用单调性的定义证明即可 【详解】（1）解：设()f x x α=，则525α=，得2α=， 所以2()f x x =，（2）证明：由（1）可得4()g x x x =+， 任取12,(2,)x x ∈+∞，且12x x <，则12121244()()g x g x x x x x -=+-- 2112124()()x x x x x x -=-+ 1212124()x x x x x x -=-⋅， 因为122x x <<，所以120x x -<，120x x >，1240x x ->， 所以12()()0g x g x -<，即12()()<g x g x ，所以 函数()()4f xg x x +=在区间2,上单调递增22．（1）0；（2）(32,0)a ∈-.【分析】（1）根据幂函数的系数为1，指数函数的底数0a >且1a ≠求解即可； （2）结合（1）得()2x f x =，3()g x x =，进而问题转化为当12,[2,2]x x ∈-时，()()12max min af x g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，再求函数最值即可得答案.【详解】解：（1）根据题意得：2212011m m m m +≠⎧⎪+>⎨⎪++=⎩，解得0m =.（2）由（1）知()2x f x =，3()g x x =，存在12,[2,2]x x ∈-，使得()()12af x g x >，等价于当12,[2,2]x x ∈-时，()()12max min af x g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，又0a <，所以()1max (2)4a af x af ⎡⎤=-=⎣⎦， ()32min (2)(2)8g x g ⎡⎤=-=-=-⎣⎦， 所以84a >-，解得：32a >-， 所以(32,0)a ∈-【点睛】本题第二问解题的关键在于根据题意将问题转化为当12,[2,2]x x ∈-时，()()12max min af x g x ⎡⎤⎡⎤>⎣⎦⎣⎦，进而求最值求解即可.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.。
新高考数学一轮复习知识点解析8---幂函数
新高考数学一轮复习知识点解析1．了解幂函数的概念，熟悉幂函数的图象与性质，并且能够利用幂函数的图象与性质解决相关问题．1．幂函数的定义一般地，形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．常见的幂函数的图象与性质函数y x =2y x =3y x =12y x =1y x -=图象性质 定义域 R RR {}0x x ≥ {}0x x ≠ 值域 R{}0y y ≥R{}0y y ≥{}0y y ≠奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数单调性在R 上在(],0-∞上在R 上单在[)0,+∞在(),0-∞幂函数【例1】已知幂函数()f x 的图象经过点12,2⎛⎫⎪⎝⎭，则(4)f 的值等于（）A ．12B ．2C ．4D ．14【答案】D【解析】设幂函数()f x x α=，幂函数()f x 的图象经过点12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1(2)22fα==，解得1α=-， 所以1()f x x -=，则11(4)44f -==，故选D ．【变式1．1】已知幂函数()y f x =图象过点(，则该幂函数的解析式是___________． 【答案】12y x =【解析】设()f x x α=，因为(2)2f α==12α=， 所以函数的解析式是12y x =，故答案为12y x =． 【例2】函数2()(1)f x a x =-是幂函数，则a 的值为（） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】D【解析】因为函数2()(1)f x a x =-是幂函数，所以11a -=，解得2a =， 故选D ．【变式2．1】“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”是“函数22()2g x mx m x =-m +值域为[)0,+∞”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”等价于2331m m -+=， 即2320m m -+=，故1m =或2m =， 即取值集合为{}1,2A =；“函数22()2g x mx m x m =-+值域为[)0,+∞”等价于：()2223()2g x mx m x m m x m m m =-+=-+-中，0m >且30m m -=， 即()()110m m m +-=，故1m =， 即取值集合为{}1B =．故B 是A 的真子集，“1m =或2m =”是“1m =”的必要不充分条件，即“函数2()(33)m f x m m x =-+是幂函数”是“函数22()2g x mx m x m =-+值域为[)0，+∞”的必要不充分条件， 故选B ．【例3】已知幂函数()233my m m x =--在()0,∞+上单调递减，则m =______．【答案】1-【解析】由题意2331m m --=，解得1m =-或4m =． 若4m =，则函数为4y x =，在(0,)+∞上递增，不合题意； 若1m =-，则函数为1y x=，满足题意， 故答案为1-．【变式3．1】若函数()222433mm y m m x+-=-+为幂函数，则实数m 的值为________；当此幂函数在()0,∞+单调递减，则实数m 的值为_________． 【答案】1或2，1【解析】由幂函数定义知2331m m -+=，解得1m =或2． 当1m =时，2241m m +-=-，此时幂函数在()0,∞+单调递减； 当2m =时，2244m m +-=，此时幂函数在()0,∞+单调递增，∴当幂函数在()0,∞+单调递减时，1m =．故答案为1或2，1．【例4】已知幂函数2()(1)m f x m m x =--的图象关于y 轴对称，则m 的值为_________． 【答案】2【解析】由于()f x 是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-．当2m =时，()2f x x =，图象关于y 轴对称，符合题意； 当1m =-时，()11x xf x -==，图象关于原点对称，不符合题意， 所以m 的值为2，故答案为2．【变式4．1】已知幂函数223()()m m f x x m Z --=∈的图象关于y 轴对称，并且()f x 在第一象限是单调递减函数，则m =__________．【答案】1【解析】因为幂函数223()()m m f x x m Z --=∈的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 是偶函数，∴223m m --为偶数，∴22m m -为奇数，故1m =．【例5】若幂函数()222=33mm y m xm ---+的图象不经过坐标轴，则实数m 的值为___________． 【答案】1或2【解析】由题意得2233120m m m m ⎧-+=⎨--≤⎩，解得1m =或2，故答案为1或2．【变式5．1】已知幂函数223m m y x --=（m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于原点对称，求m 的值． 【答案】0m =或2m =． 【解析】∵幂函数223mm y x --=（m ∈Z ）的图象与x 轴、y 轴都无交点，∴2230m m -≤-，∴13m -≤≤；∵m ∈Z ，1,0,1,2,3m ∴=-，∴2(23)m m --∈Z ， 又函数图象关于原点对称，∴223m m --是奇数， ∴0m =或2m =．【例6】已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->≠的图象所经过的定点，则b 的值等于（）A ．12±B ．2±C ．2D ．2±【答案】B【解析】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得1a =，则2()g x x =；函数1()(0,1)2x bf x m m m -=->≠，当x b =时，11()22b b f b m -=-=， 故()f x 的图象所经过的定点为1,2b ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1()2g b =，即212b =，解得b =，故选B ．【变式6．1】幂函数()f x 的图象过点(，则函数()()3g x af x =-+()1,0a a ∈≠R 的图象经过定点_________． 【答案】()3,1【解析】因为幂函数()f x x α=过点(，可解得12α=， 所以()12f x x =， 故12()(3)1g x a x =-+， 当3x =时，(3)011g a =⨯+=， 故()g x 恒过定点(3,1)，故答案为()3,1．【例7】已知函数41x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，若点P 在幂函数()f x 的图象上，则幂函数()f x 的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由40x -=，得4x =，2y =，即定点为(4,2)，设()f x x α=，则42α=，12α=，所以12()f x x =，图象为B ，故选B ．【变式7．1】函数()12f x x -=的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意得()12f x x-==，所以函数的定义域为{}0x x >， 因为102-<，根据幂函数的性质，可知函数()12f x x -=在第一象限为单调递减函数，故选A ．【例8】已知幂函数()()2242(1)mm f x m x m -+=-∈R ，在()0,∞+上单调递增．设5log 4a =，15log 3b =，0.20.5c -=，则()f a ，f b ，()f c 的大小关系是（）A ．()()()f b f a c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f a f b f c <<【答案】A【解析】根据幂函数的定义可得2(1)1m -=，解得0m =或2m =． 当0m =时，2()f x x =，此时满足()f x 在()0,∞+上单调递增； 当2m =时，2()f x x -=，此时()f x 在()0,∞+上单调递减，不合题意， 所以2()f x x =．因为5log 4(0,1)a =∈，0.200.50.51c -=>=，155log 3log 3(0,1)b -=-=∈，且a b >-，所以b a c -<<，因为()f x 在()0,∞+上单调递增，所以()()()f b f a f c -<<， 又因为2()f x x =为偶函数，所以()()f b f b -=， 所以()()()f b f a c <<，故选A ．【变式8．1】已知幂函数()()22644mm f x m m x--=-+，()m ∈R ，对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，则()3f -，()1f -，()πf 的大小关系是（） A ．()()()π31f f f <-<- B ．()()()13πf f f -<-< C ．()()()31πf f f -<-< D ．()()()3π1f f f -<<-【答案】A【解析】对任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x --<⎡⎤⎣⎦，即()f x 在0,上单调递减，又()f x 是幂函数，知2244160m m m m ⎧-+=⎪⎨--≠⎪⎩，解得1m =或3m =（舍去），∴6()f x x -=，()f x 是偶函数， ∴(1)(1)f f -=，(3)(3)f f -=，而(1)(3)(π)f f f >>，即(1)(3)(π)f f f ->->，故选A ．【例9】设134a =，252b =，c =a 、b 、c 的大小关系为_______．（用“<”连接） 【答案】b a c <<【解析】122335422a b ==>=，131394c a ==>=，因此b a c <<， 故答案为b a c <<．【变式9．1】设2343a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3443b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3432c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】C【解析】因为函数43xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上是增函数，所以23344433<⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即a b <，又因为函数34y x =在(0,)+∞上是增函数，所以33444332⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b c <，故a b c <<，故选C ．【例10】已知幂函数()f x 的图象经过点127,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式为________；关于a 的不等式()()13222a a f f +-<的解集为________． 【答案】13()f x x -=，2(,)3+∞【解析】（1）设幂函数的解析式为()m f x x =，1273m ∴=，1333m -∴=，31m ∴=-，13m ∴=-， 所以函数的解析式为13()f x x -=．（2）由题得函数13()f x x -=的定义域为{|0}x x ≠，在(0,)+∞是减函数，因为13220,20a a +->>，所以132222132,3a aa a a +->∴+>-∴>，． 所以不等式的解集为2(,)3+∞．故答案为13()f x x -=，2(,)3+∞．【变式10．1】已知()()22132a a --+>-，则实数a 的取值范围为________．【答案】()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭【解析】根据幂函数2y x 是定义域()(),00,-∞+∞上的偶函数，且在()0,∞+上单调递减，()()22132a a --∴+>-等价于0132a a <+<-，()()221132a a a ≠-⎧⎪⎨+<-⎪⎩，解得23<a 或4a >， ∴实数a 的取值范围是()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭，故答案为()()2,11,4,3⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭．1．幂函数的定义是形式定义，它的解析式必须满足的条件：①指数为常数；②底数为自变量；③x α的系数为1．2．幂函数在()0,+∞都有定义，当幂函数与坐标轴相交时，则交点一定是坐标原点． 3．当0α>时，幂函数的图象都过点()1,1和()0,0；当0α<时，幂函数的图象都过()1,1，幂函数图象一定出现在第一象限内，一定不出现在第四象限． 4．在直线1x =右侧，幂函数的指数由下向上逐渐增大． 5．当0α<时，幂函数在第一象限内单调递减；当0α>时，幂函数在第一象限内单调递增，且当1α>图象增长速度先慢后快，当01α<<时，图象增长速度先快后慢．一、选择题．1．下列函数中，在区间()0,∞+上单调递减的是（）A ．2yxB ．y =C ．2xy =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数2y x 、y =2xy =在()0,∞+上均为增函数，函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()0,∞+上为减函数， 故选D ．2．若函数()f x 是幂函数，且满足()()432f f =，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为（）A ．3-B ．13-C ．3D ．13【答案】D【解析】设()af x x =，则由()()432f f =，得432a a =，所以23a =， 故111223af ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选D ．3．已知函数log ()a y x b =-的大致图象如下图，则幂函数b ay x =在第一象限的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由log ()a y x b =-的图象可知，1log (1)0log (2)0a a a b b >⎧⎪-<⎨⎪->⎩，所以101121a b b >⎧⎪<-<⎨⎪->⎩，得1a >，01b <<，所以01ba<<，所以幂函数ba y x =在第一象限的图象可能为B ，故选B ．4．若120x x <<，则下列函数①()f x x =；②2()f x x =；③3()f x x =；④()f x =1()f x x =满足条件()()()121221()022f x f x x x f x x ++≤>>的有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】D【解析】只有上凹函数或者是一次函数才满足题中条件，所以只有①②③⑤满足， 故选D ．5．已知函数1a y ax b =-+-是幂函数，直线20(0,0)mx ny m n -+=>>过点(,)a b ，则11n m ++的取值范围是（）A ．11,,333⎛⎫⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．(1,3)C ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】由1a y ax b =-+-是幂函数，知1,1a b =-=， 又(,)a b 在20mx ny -+=上， ∴2m n +=，即20n m =->，则1341111n m m m m +-==-+++且02m <<， ∴11(,3)13n m +∈+，故选D ． 6．设1515a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1212c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【答案】D【解析】因为1515a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1313b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1212c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则63015a ⎛⎫== ⎪⎝⎭103013b ⎛⎫== ⎪⎝⎭153012c ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 由于在被开方数中，a 的被开方数大于c 的被开方数，c 的被开方数大于b 的被开方数， 故有a c b >>，故选D ．7．已知()()421m f x m m x +=--是幂函数，且1x ∀、2x ∈R ，12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，则不等式()2log 8f x <的解集为（） A ．()0,4 B ．()4,+∞C ．1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】因为()()421m f x m m x +=--是幂函数，所以211m m --=，解得2m =或1m =-．又因为1x ∀、2x ∈R ，12x x ≠都有()()12120f x f x x x ->-，可设12x x <，则()()12f x f x <，所以，函数()y f x =是单调递增函数，当2m =时，()6f x x =，该函数在R 上不单调，不合乎题意； 当1m =-时，()3f x x =，该函数在R 上为增函数．所以()2log 8f x <等价于()()2log 2f x f <，所以2log 2x <，解得04x <<， 故答案为()0,4．8．已知定义在R 上的幂函数()mf x x =（m 为实数）过点(2,8)A ，记()0.5log 3a f =，()2log 5b f =，()c f m =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．a b c << B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a <<【答案】A【解析】由题得3382,22,3,()m m m f x x =∴=∴=∴=．函数3()f x x =是R 上的增函数．因为0.50.5log 3log 10<=，220log 5log 83m <<==， 所以20.5log 5log 3m >>，所以20.5()(log 5)(log 3)f m f f >>，所以a b c <<，故选A ．9．（多选）已知实数x ，y 满足1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列关系式中恒成立的是（） A ．sin sin x y > B ．2121x y e e ++>C ．11x y< D ．33x y >【答案】BD【解析】因为1133x y⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以x y >．A ：当π,0x y ==时，显然符合x y >，但是sin sin x y >不成立，故本关系式不恒成立；B ：x y e =在R 上是增函数，故2121x y e e ++>，故本关系恒成立；C ：当π,0x y ==时，显然符合x y >，但是1y没有意义，故本关系式不恒成立； D ：因为3y x =在R 上是增函数，所以33x y >，故本关系恒成立， 故选BD ．10．（多选）已知函数x y a =（0a >且1a ≠）的图象如下图所示，则下列四个函数图象与函数解析式对应正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABD【解析】由图可得12a =，即2a =，12xxy a -⎛⎫== ⎪⎝⎭单调递减过点()1,2-，故A 正确； 2a y x x --==为偶函数，在()0,∞+上单调递减，在(),0-∞上单调递增，故B 正确；2,022,0x xxx x y a x -⎧≥===⎨<⎩为偶函数，结合指数函数图象可知C 错误；2log log a y x x ==，根据“上不动、下翻上”可知D 正确， 故选ABD ．二、填空题． 11．已知112,1,,,1,2,322α，若幂函数f x x α为奇函数，且在0,上递减，则α_____．【答案】1【解析】因为幂函数()f x x α=为奇函数，且在(0,)+∞上单调递减， 所以α为负数，因为112,1,,1,,2,3,422α⎧⎫∈---⎨⎬⎩⎭，所以1α=-，故答案为1-．12．已知幂函数()()()12*m m f x xm ∈N －＋＝，经过点，试确定m 的值，则满足条件(2)(1)f a f a ->-的实数a 的取值范围___________． 【答案】312a ≤<【解析】∵()f x 的图象过点()122m m -+=，∴22m m +=，又m *∈N ，∴1m =． 即12()f x x =，其定义域为{|0}x x ≥，且在定义域上函数为增函数， ∴由(2)(1)f a f a ->-，得012a a ≤-<-，解得312a ≤<， 故答案为312a ≤<． 13．如果直线()21400,0ax by a b -+=>>和函数()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，那么b a的取值范围为________．【答案】34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由题意知()()110,1x f x m m m +=+>≠的图象恒过定点(1,2)-，又直线()21400,0ax by a b -+=>>过定点(1,2)-，所以7a b +=①，又定点(1,2)-在圆()()221225x a y b -+++-=的内部或圆上，所以2225a b +≤②，由①②解得34a ≤≤，11143a ∴≤≤，77341,43b a a a a -⎡⎤∴==-∈⎢⎥⎣⎦， 所以答案应填34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦．。
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解10---幂函数(解析版)
新高考数学复习考点知识与解题方法专题讲解专题3.4 幂函数【考纲解读与核心素养】1.了解幂函数的概念．掌握幂函数2,y x y x ==31,y x y x -==，121,y y x x==的图象和性质.2.了解幂函数的变化特征.3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象、数据分析等核心数学素养.4.高考预测：（1）与二次函数相关的单调性、最值问题.除单独考查外，多在题目中应用函数的图象和性质；（2）幂函数的图象与性质的应用.（3）在分段函数中考查幂函数的图象和性质. 5.备考重点：（1）“三个二次”的结合问题； （2）幂函数图象和性质.【知识清单】1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R，且x≠0}值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质 解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0) f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞⎝⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b 2a ，＋∞上单调递减对称性函数的图象关于x ＝－b2a 对称【典例剖析】高频考点一 ：幂函数的概念【典例1】已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数.【答案】(1) m ＝1.(2) m ＝－1.(3) －1±132.(4)－1± 2. 【解析】 (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若f (x )为二次函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝2m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1±132. (4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2. 【总结提升】形如y ＝x α的函数叫幂函数，这里需有：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y ＝3x 、y ＝x x ＋1、y ＝x 2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y ＝x 2是幂函数，y ＝2x 是指数函数．【变式探究】 有下列函数：①y ＝3x 2；②y ＝x 2＋1；③y ＝－1x ；④y ＝1x ； ⑤y ＝x 23 ；⑥y ＝2x .其中，是幂函数的有__ __(只填序号)． 【答案】④⑤【解析】①中，x 2的系数为3，故不是幂函数；②中，y ＝x 2＋1不是x α的形式，故不是幂函数；③中，y ＝－1x ＝－(x －1)，系数是－1，故不是幂函数；④中，y ＝1x ＝x －1是幂函数；⑤中，y ＝x 23 是幂函数；⑥中，y ＝2x 是指数函数．高频考点二 ：幂函数的图象【典例2】（2020·四川省高一期末）若四个幂函数a y x =，b y x =，c y x =，dy x =在同一坐标系中的部分图象如图，则a 、b 、c 、d 的大小关系正确的是（ ）A ．1a b >>B ．1a b >>C ．0b c >>D ．0d c >>【答案】B 【解析】由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在1x =的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，可得100a b c d >>>>>>.故选：B.【典例3】【2018届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟高三上期中】若幂函数1,m y x y x -==与n y x =在第一象限的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为 （ ）A. 101m n -<<<<B. 10n m -<<<C. 10m n -<<<D.101n m -<<<<【答案】D【解析】在第一象限作出幂函数1m n y x y x y x y ====，，， 的图象，在01（，） 内取同一值0x ，作直线0x x = ，与各图象有交点，则由“指大图高”，可知如图， 0110m n -＜＜，＜＜， 故选D ．【典例4】（2019·江西高三期中（文））幂函数的图象经过点，则( )A ．B ．C ．D ． 【答案】B【解析】设幂函数的解析式为，∵点在函数的图象上，∴，即，解得，∴，∴．故选B．【总结提升】1.函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．它们的单调性要牢记第一象限的图象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．2.幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.【变式探究】1．（2020·广西壮族自治区南宁三中高二月考（文））函数43的图像大致是（）y xA ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】4343y x x ==，∴该函数的定义域为R ，所以排除C ；因为函数为偶函数，所以排除D ； 又413>，43y x ∴=在第一象限内的图像与2y x 的图像类似，排除B.故选A ．9．（2020·上海高一课时练习）如图是幂函数n y x =的部分图像,已知n 取11,2,2,22--这四个值,则于曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为( )A ．112,,,222--B ．112,,,222--C ．11,2,2,22--D ．112,,2,22--【答案】A 【解析】方法一 曲线12,C C 过点()()0,01,1,，且在第一象限单调递增，0n ∴>，n 为1,22.显然1C 对应2yx ，2C 对应12y x =.曲线34,C C 过点()1,1，且在第一象限单调递减，0n ∴<，n 为1,22--.显然3C 对应12y x -=，4C 对应2yx .方法二 令2x =，分别代入1122221234,,,y x y x y x y x --====，得123414,24y y y y ====，1234y y y y ∴>>>， 所以曲线1234,,,C C C C 相对应的n 依次为112,,,222--.故选：A .3．（2020·上海高一课时练习）下列四个结论中，正确的是（ ）A ．幂函数的图像过(0,0) 和(1,1)两点B ．幂函数的图像不可能出现在第四象限C ．当0n >时，()*n y x n N =∈是增函数 D ．0y x =的图像是一条直线【答案】B 【解析】幂函数的图像都过点(1,1),但不一定过点(0,0) ，如1y x -=，所以A 错；因为当0x >时0y x α=>，所以幂函数的图像不可能出现在第四象限，即B 对；当0n >时，()*n y x n N =∈不一是增函数，如2yx 在(,0]-∞上单调递减，所以C错；0y x =的图像是一条去掉一点(0,1) 的直线，所以D 错.故选:B高频考点三 ：幂函数的性质【典例5】【多选题】（2020·新泰市第二中学高二月考）已知函数()f x x α=图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若120x x <<，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭.【答案】ACD 【解析】将点(4,2)代入函数()f x x α=得：2=4α，则1=2α.所以12()f x x =，显然()f x 在定义域[0,)+∞上为增函数，所以A 正确.()f x 的定义域为[0,)+∞，所以()f x 不具有奇偶性，所以B 不正确.当1x >1>，即()1f x >，所以C 正确.当若120x x <<时，()()122212()()22f x f x x x f ++-=22-.122x x +-.=0<.即()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭成立，所以D 正确.故选：ACD.【典例6】（2020·四川省高三二模（文））已知点（3，28）在函数f （x ）＝x n +1的图象上，设a f =⎝⎭，b ＝f （ln π），c f =⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．a ＜b ＜cC ．b ＜c ＜aD ．c ＜a ＜b【答案】D 【解析】根据题意，点（3，28）在函数f （x ）＝x n +1的图象上，则有28＝3n +1，解可得n ＝3；则f （x ）＝x 3+1，易得f （x ）在R 上为增函数，又由412123==1＜ln π，则有c ＜a ＜b .故选：D.【典例7】（2019·上海高考模拟）设，若为偶函数，则______．【答案】【解析】由题可知，时，，满足f(-x)=f(x),所以是偶函数；时，不满足f(-x)=f(x),．故答案为：．【方法技巧】1.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，既不同底又不同次数的幂函数值比较大小：常找到一个中间值，通过比较幂函数值与中间值的大小进行判断．准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.2.指数函数的图象在第一象限内底大图高(逆时针方向底数依次变大)．当幂的底数不确定时，要注意讨论底数的不同取值情况.【变式探究】1.（2019·湖北高三高考模拟（理））幂函数的图象过点，且，，，则、、的大小关系是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 幂函数的图象过点，∴＝4，m ＝2；∴， ，＝﹣log 23＜0，∴log 23， ∴．故选：C ．2．（2020·上海高一课时练习）已知幂函数a y x =的图像满足，当(0,1)x ∈时，在直线y x =的上方；当(1,)x ∈+∞时，在直线y x =的下方，则实数a 的取值范围是_______________.【答案】1α< 【解析】当1a >时，幂函数a y x =和直线y x =第一象限的图像如下由图可知，不满足题意当1a =时，幂函数a y x x ==和直线y x =重合，不满足题意 当01a <<时，幂函数a y x =和直线y x =第一象限的图像如下由图可知，满足题意当0a =时，幂函数a y x =和直线y x =第一象限的图像如下由图可知，满足题意当0a <时，幂函数a y x =和直线y x =第一象限的图像如下由图可知，满足题意 综上，1α< 故答案为1α<3．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文）） 已知函数2()(1)m f x m m x =--是幂函数，且()f x 在(0,)+∞上单调递增，则实数m =________.【答案】2 【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m 在区间（0，+∞）上单调递增，∴2110m m m ⎧--=⎨⎩＞， 解得m ＝2或-1（舍）．故答案为2．高频考点四：幂函数综合问题【典例8】（2013·江苏省高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P是函数y ＝1x(x >0)图象上一动点．若点P ，A 之间的最短距离为实数a 的所有值为________．【答案】－1 【解析】设点1,P x x ⎛⎫⎪⎝⎭()0x >，则PA ===令1,0,2t x x t x=+>∴≥令()()22222222g t t at a t a a =-+-=-+-（1）当2a ≥时，t a =时g t 取得最小值()22g a a =-，=a =（2）当2a <时，g t 在区间[)2,+∞上单调递增，所以当2t =时，g t 取得最小值()22242g a a =-+=1a =-综上可知：1a =-或a =所以答案应填：-1.【典例9】（2020·上海高一课时练习）若2233(1)(32)a a --+>-，求实数a 的取值范围．【答案】2,(4,)3a ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】由幂函数()23f x x-==的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且满足()()f x f x -===，所以函数()f x 为偶函数，又由幂函数的性质，可得函数()f x 在(,0)-∞单调递增，在(0,)+∞单调递减，又由2233(1)(32)a a --+>-，则满足13210320a a a a ⎧-<-⎪+≠⎨⎪-≠⎩，解得23<a 或4a >，所以实数a 的取值范围2(,)(4,)3-∞⋃+∞． 【典例10】（2020·江西省南康中学高一月考）已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+满足()()24f f <．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()()[]2,1,9g x f x mf x x =+∈，是否存在实数m 使得()g x 的最小值为0？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由；（3）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数(),a b a b <，使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）()12f x x =；（2）存在1m =-使得()g x 的最小值为0；（3）9,24n ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．【解析】（1）∵()f x 为幂函数，∴2331p p -+=，∴1p =或2p =．当1p =时，()1f x x -=在()0,+∞上单调递减，故()()24f f >不符合题意．当2p =时，()12f x x ==在()0,+∞上单调递增，故()()24f f <，符合题意．∴()f x =（2）()g x x =+令t =．∵[]1,9x ∈，∴[]1,3t ∈，∴()2g x t mt =+，[]1,3t ∈．当12m-≤时，1t =时，()g x 有最小值， ∴10m +=，1m =-．②当132m <-<时，2m t =-时，()g x 有最小值．∴204m -=，0m =（舍）．③当32m-≥时，3t =时，()g x 有最小值， ∴930m +=，3m =-（舍）．∴综上1m =-．（3）()h x n =易知()h x 在定义域上单调递减，∴()()h a bh b a ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即n b h a⎧=⎪⎨=⎪⎩，S =t =，则23a S =-，23b t =-，∴2233n S t n t S ⎧-=-⎨-=-⎩，∴22t S S t +=+， ∴()()10t S t S -+-=． ∵a b <，∴S t <，∴10t S +-=，∴1t S =-，1=．∵a b <，∴1134a -≤<-，∴10,2S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， ∴23n t S =+- 22S S =-- 21924S ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．∴9,24n ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦．【变式探究】1．（2019·内蒙古自治区高三月考（理））若幂函数()y f x =的图象过点(8,，则函数()()21f x f x --的最大值为（ ）A ．12B ．12-C ．34-D ．-1【答案】C 【解析】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα故()f x =()()21f x f x x --=t =，则()21y t t =-+，0t ≥，∴12t =时，max 34y =-.故选：C2.（2018·安徽省怀宁县第二中学高三月考（文））若()()1122132a a +<-，则实数a 的取值范围是________．【答案】21,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】令f(x)=12x 的定义域是{x|0x ≥},且在(0,+∞)上单调递增,则原不等式等价于10,{320,132,a a a a +≥-≥+>-解得21,3a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭.。
《幂函数》专题复习与训练
《3.3 幂函数》专题复习与训练【新课导入】1．幂函数的概念一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x－1的图象如图所示：3．幂函数的性质1．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝3xD ．y ＝x －1C [只有y ＝3x 不符合幂函数y ＝x α的形式，故选C.] 2．已知f (x )＝(m ＋1)x m 2＋2是幂函数，则m ＝( ) A ．2 B ．1 C ．3 D ．0 D [由题意可知m ＋1＝1，即m ＝0，∴f(x )＝x 2.]3．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)＝________.12 [由f (2)＝22可知2α＝22，即α＝－12， ∴f (4)＝4－12＝12.]【合作探究】 幂函数的概念【例1】 已知y ＝(m 2＋2m －2)xm 2－1＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．[解]由题意得⎩⎨⎧m 2＋2m －2＝1，m 2－1≠0，2n －3＝0，解得⎩⎨⎧m ＝－3，n ＝32，所以m ＝－3，n ＝32.判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.1．(1)在函数y ＝1x2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y ＝1中，幂函数的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)若函数f (x )是幂函数，且满足f (4)＝3f (2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值等于________．(1)B (2)13 [(1)∵y ＝1x2＝x －2，∴是幂函数；y ＝2x 2由于出现系数2，因此不是幂函数； y ＝x 2＋x 是两项和的形式，不是幂函数；y ＝1＝x 0(x ≠0)，可以看出，常函数y ＝1的图象比幂函数y ＝x 0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y ＝1不是幂函数．(2)设f (x )＝x α，∵f (4)＝3f (2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log 23，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 23＝13.]幂函数的图象及应用【例2】 点(2，2)与点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12分别在幂函数f (x )，g (x )的图象上，问当x 为何值时，有：(1)f (x )>g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )<g (x )．[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.∵(2)α＝2，(－2)β＝－1 2，∴α＝2，β＝－1，∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；(3)当x∈(0,1)时，f(x)<g(x)．解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0，1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高).(2)依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x 12或y＝x3)来判断.2.(1)若四个幂函数y＝x a，y＝x b，y＝x c，y＝x d在同一坐标系中的图象如图，则a，b，c，d的大小关系是( )A．d>c>b>aB．a>b>c>dC．d>c>a>bD．a>b>d>c(2)函数y＝x 12－1的图象关于x轴对称的图象大致是( )A B C D(1)B(2)B[(1)令a＝2，b＝12，c＝－13，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.(2)y＝x 12的图象位于第一象限且为增函数，所以函数图象是上升的，函数y＝x 12－1的图象可看作由y＝x12的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示)，将y＝x 12－1的图象关于x轴对称后即为选项B.]幂函数性质的综合应用[探究问题]1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．2．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.【例3】比较下列各组中幂值的大小：(1)0.213,0.233；(2)1.212，0.9－12， 1.1.[思路点拨] 构造幂函数，借助其单调性求解．[解] (1)∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.(2)0.9－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫10912， 1.1＝1.112.∵1.2>109>1.1，且y ＝x 12在[0，＋∞)上单调递增，∴1.212>⎝ ⎛⎭⎪⎫10912>1.112，即1.212>0.9－12> 1.1.把本例的各组数据更换如下，再比较其大小关系：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫250.5与⎝ ⎛⎭⎪⎫130.5；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1与⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1.[解] (1)因为幂函数y ＝x 0.5在[0，＋∞)上是单调递增的， 又25>13， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫250.5>⎝ ⎛⎭⎪⎫130.5.(2)因为幂函数y ＝x －1在(－∞，0)上是单调递减的，又－23<－35，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1>⎝ ⎛⎭⎪⎫－35－1.比较幂的大小时若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.1．判断一个函数是否为幂函数，其关键是判断其是否符合y ＝x α(α为常数)的形式．2．幂函数的图象是幂函数性质的直观反映，会用类比的思想分析函数y ＝x α(α为常数)同五个函数(y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，y ＝x 12)图象与性质的关系．3．幂函数的单调性是比较幂值大小关系的重要依据，要学会用幂函数的图象及性质处理幂值大小的比较问题.【课堂达标】 1．思考辨析(1)幂函数的图象都过点(0,0)，(1,1)．( ) (2)幂函数的图象一定不能出现在第四象限．( )(3)当幂指数α取1,3，12时，幂函数y ＝x α是增函数．( )(4)当幂指数α＝－1时，幂函数y ＝x α在定义域上是减函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×2．幂函数的图象过点(2，2)，则该幂函数的解析式是( ) A ．y ＝x －1B ．y ＝x 12 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 3B [设f (x )＝x α，则2α＝2， ∴α＝12，∴f (x )＝x 12.选B.]3．函数y ＝x 54的图象是( )A B C DC [∵函数y ＝x 54是非奇非偶函数，故排除A 、B 选项．又54>1，故选C.]4．比较下列各组数的大小：(1)3－52与3.1－52；(2)4.125，3.8－23，(－1.9)－35.[解] (1)因为函数y ＝x－52在(0，＋∞)上为减函数，又3<3.1，所以3－52>3.1－52. (2)4.125>125＝1,0<3.8－23<1－23＝1，而(－1.9)－35<0，所以4.125>3.8－23>(－1.9)－35.《幂函数》专题训练[合格基础练]一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 A [∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.]2.如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1B [因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．]3．幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( ) A ．[－1，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)B [设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.]4．设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域是R ，且为奇函数的所有α的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3A [当α＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当α＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当α＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当α＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.]5．幂函数f (x )＝x α的图象过点(2,4)，那么函数f (x )的单调递增区间是( )A ．(－2，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(－∞，－2)C [由题意得4＝2α，即22＝2α，所以α＝2.所以f (x )＝x 2. 所以二次函数f (x )的单调递增区间是[0，＋∞)．]二、填空题6．已知幂函数f (x )＝x m 的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3，13，则f (6)＝________.136 [依题意13＝(3)m＝3m 2，所以m 2＝－1，m ＝－2， 所以f (x )＝x －2，所以f (6)＝6－2＝136.] 7．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.－1 [∵f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3为幂函数， ∴m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x ，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m ＝－1时，f (x )＝x －5，符合题意．综上可知，m ＝－1.]8．若幂函数y ＝x mn (m ，n ∈N *且m ，n 互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是________．①m ，n 是奇数且m n <1；②m 是偶数，n 是奇数，且m n>1；③m 是偶数，n 是奇数，且m n <1；④m ，n 是偶数，且m n>1.③ [由题图知，函数y ＝x mn 为偶函数，m 为偶数，n 为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以mn<1，选③.]三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数．[解] (1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎨⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若函数f (x )为反比例函数，则 ⎩⎨⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2. 10．已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．[解] (1)由题意，得f (2)＝2α＝18，即α＝－3，故函数解析式为f (x )＝x－3.(2)∵f (x )＝x －3＝1x3，∴要使函数有意义，则x ≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， ∴该幂函数为奇函数．当x ＞0时，根据幂函数的性质可知f (x )＝x －3在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f (x )是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．[等级过关练]1．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是( )A.14 B ．－1 C ．4D ．－4C [函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为减函数，所以当x ＝12时有最大值4.] 2．给出幂函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3；④f (x )＝x ；⑤f (x )＝1x .其中满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2(x 1>x 2>0)的函数的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个A [①函数f (x )＝x 的图象是一条直线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f (x 1)＋f (x 2)2；②函数f (x )＝x 2的图象是凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2；③在第一象限，函数f (x )＝x 3的图象是凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2；④函数f (x )＝x 的图象是凸形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2；⑤在第一象限，函数f (x )＝1x的图象是一条凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2.故仅有函数f (x )＝x 满足当x 1>x 2>0时， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2.故选A.]3．幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，且f (－x )＝f (x )，则m 可能等于________．1 [∵幂函数f (x )＝x 3m －5(m ∈N )在(0，＋∞)上是减函数，∴3m －5＜0，即m ＜53，又m ∈N ，∴m ＝0,1；∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当m ＝0时，f (x )＝x －5是奇函数；当m ＝1时，f (x )＝x －2是偶函数，故m ＝1.]4．已知幂函数f (x )＝x 12，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．3<a ≤5 [因为f (x )＝x 12＝x (x ≥0)， 易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又f (10－2a )<f (a ＋1)，所以⎩⎨⎧a ＋1≥0，10－2a ≥0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎨⎧a ≥－1，a ≤5，a >3，所以3<a ≤5.]5．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，函数g (x )＝(x －2)f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1，求函数g (x )的最大值与最小值．[解] 因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以12＝2α，所以α＝－1，所以f (x )＝x －1， 所以g (x )＝(x －2)·x －1＝x －2x ＝1－2x. 又g (x )＝1－2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3，g (x )max ＝g (1)＝－1.。