2020上海高三数学二模分类汇总-数列（含答案）
上海市普陀区2020届高三数学二模考试试题含解析
某某市普陀区2020届高三数学二模考试试题（含解析）一、填空题（本大共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分） 1.数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______. 【答案】3.6 【解析】 【分析】把这组数据按从小到大排列，计算它的中位数即可．【详解】解：该组数据按从小到大排列为：1.5，2，2.9，4.3，4.8，5； 所以这组数据的中位数为1(2.9 4.3) 3.62⨯+=．故答案为：3.6．【点睛】本题考查了中位数的定义与计算问题，属于基础题． 2.若增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则实数m =______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据增广矩阵概念直接求解.【详解】由增广矩阵为23701m ⎛⎫ ⎪⎝⎭的线性方程组的解为21x y =⎧⎨=⎩，则0211m ⨯+⨯=，得1m =. 故答案为：1.【点睛】本题考查了对增广矩阵的理解与应用，属于基础题.3.已知i 为虚数单位，若复数z 满足()15i z z a +=+-，则实数a 的值为______.【答案】5 【解析】 【分析】根据两个复数相等，实部和实部相等，虚部和虚部相等，即可得出结果. 【详解】设,,z m ni z m ni m n R =+=-∈，，则可得()215i m a =+-， 所以15,2==a m . 故答案为：5【点睛】本题考查了共轭复数、两个复数相等的转化，考查了理解辨析能力和数学运算能力，属于容易题.4.已知等比数列{}n a （n *∈N ）满足()26441a a a =-，则4a =______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用等比中项求得关于4a 的方程，解方程即可得到答案； 【详解】()26441a a a =-，∴()()42424441202a a a a -⇒-==⇒=，故答案为：2.【点睛】本题考查等比中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题.5.已知实数x 、y 满足条件001x y y x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩.则目标函数2z x y =+的最大值为______.【答案】2 【解析】 【分析】作出约束条件所表示的可行域，当目标函数所表示的直线过点(1,0)A 时，目标函数取得最大值. 【详解】作出约束条件所表示的可行域，易得点(1,0)A ，当直线2y x z =-+过点A 时，直线在y 轴上的截距达到最大，∴max 2z =，故答案为：2【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查运算求解能力，求解时注意利用直线截距的几何意义进行求解.6.A ，B ，C ，D 四位同学参加甲、乙两项志愿者活动，两人一组，则A ，B 两位同学在同一组的概率为______.（结果用最简分数表示）【答案】13【解析】 【分析】古典概型，列出基本事件的总数和满足条件的基本事实个数，即可求出结果. 【详解】试验发生包含的事件是将A ，B ，C ，D 四个人平均分成两组，基本事件的总数：共有2242223=C C A ，即{}{}{},,,,,AB CD AC BD AD BC 满足条件的基本事件是A ，B 两人恰好在同一组，共有1种{},AB CD 根据古典概型概率公式得到13P =故答案为：13【点睛】本题考查古典概型，考查理解辨析能力、逻辑推理能力和数学运算能力，是一个基础题.7.已知一个半圆柱的高为4，其俯视图如图所示，其左视图的面积为8，则该半圆柱的表面积为______.【答案】1612+π 【解析】 【分析】由圆柱的主视图和左视图知该圆柱的底面直径为4，高为3，由此能求出该几何体的表面积，得到答案.【详解】由题意，其左视图为矩形，其左视图的面积为8，半圆柱的高h 为4， 可得半圆的半径r 为2，由于半圆柱的表面积为两个底面半圆面积加侧面展开图形的面积，即2211222224224161222S r rh rh πππππ=⨯⨯++=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=+. 故答案为：1612+π.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，以及圆柱的表面积的计算问题，同时考查了圆柱的结构特征的应用，属于基础题. 8.设()()()()11101111nnn n n x a x a x a x a --+=-+-++-+，若110729n n a a a a -++++=，则3a =______.【答案】160 【解析】 【分析】先将(1)nx +化为(2(1))nx +-，然后利用赋值法求出n 的值，再求出3a 的值．【详解】解：原式[2(1)]nx =+-，令11x -=，即2x =得：611037293n n n a a a a -=++⋯++==，所以6n =．所以展开式中含3(1)x -项为：333362(1)160(1)C x x -=-．故3160a =． 故答案为：160．【点睛】本题考查二项式定理的应用，以及利用通项法研究特定项的问题，属于基础题． 9.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和（n *∈N ）若86286S S -=-，则2lim 2→∞=n n Sn ______.【答案】12- 【解析】 【分析】由等差数列前n 项和公式有21()22n d dS n a n =+-，代入已知条件可求得公差d ，再计算数列极限．【详解】∵数列{}n a 是等差数列，21()22n d d S n a n ∴=+-（其中d 是公差），1()22n S d dn a n =+-，∵86286S S -=-， (86)22d∴-=-，2d =-．即 21(1)n S n a n =-++，21122(1)111lim lim lim()22222n n n n S n a n a n n n →∞→∞→∞-+++==-+=-． 故答案为：12-【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查数列的极限．关键是掌握等差数列前n 项和公式：21()22n d dS n a n =+-，属于中档题． 10.在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，若22=+ab a b c，则角C 的大小为______. 【答案】4π 【解析】 【分析】由二阶行列式和余弦定理，即可得出结果.222+=+c a b即222c a b =+-，由余弦定理可得，cos 2C =，4C π∴=.故答案为：4π. 【点睛】本题考查了二阶行列式、余弦定理等基础知识，考查了理解辨析和数学运算能力，属于容易题目.11.在平面四边形ABCD 中，0AB BC AD DC ⋅=⋅=，1AB AD ==，12AB AD ⋅=-若点M 是边BC 上的任一动点，则AM DM ⋅的最小值为______.【答案】2116【解析】 【分析】连接BD ，则可证BCD ∆是等边三角形，建立平面直角坐标系，设(,0)M x ，用x 表示出AM DM ，则根据配方法得出最小值．【详解】解：连接BD ， 0AB BC AD DC ==，90ABC ADC ∴∠=∠=︒，1||||cos cos2AB AD AB AD BAD BAD =∠=∠=-，120BAD ∴∠=︒，BD ∴== 30ABD ADB ∴∠=∠=︒，60DBC BDC ∴∠=∠=︒，BCD ∴∆是等边三角形，以B 为原点，以BC 为x 轴，以BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则(0,1)A ，C 0)，D 3)2，设(M x ，0)(03)x，则(,1)AM x =-，(DM x =，3)2，∴22321(216AM DM x x =+=+，∴当x =AM DM 取得最小值2116．故答案为：2116．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标法是常用方法之一，属于中档题．12.设双曲线r ：2221x y a-=（0a >）的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在r 的右支上，向量()1,d a 是直线1F M 的一个方向向量，若124F MF π∠=，则r 的焦距为______.6 【解析】 【分析】由题意可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >，设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，分别运用正弦定理、余弦定理，解方程可得a ，进而得到焦距2c ． 【详解】解：向量(1,)d a =是直线1F M 的一个方向向量，可得直线1F M 的斜率为a ，且0a >， 设2||F M t =，由双曲线的定义可得1||2F M t a =+，在三角形12F MF 中，由正弦定理可得122sin sin 4t c MF F π=∠，即222121t a a a +=+， 解得22t a =，由余弦定理可得22224(2)2(2)c t t a t t a =++-+， 即为22224(1)8(222)42(222)a a a a a a a +=++-+， 解得212a =，22312c a =+=，则焦距32262c =．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的正弦定理、余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一排得零分） 13.对于抛物线，“方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的（ ） A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的几何性质，结合充分条件和必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由抛物线方程24y x =，可得2p =，所以抛物线24y x =的焦点到准线的距离为2，即充分性是成立的；反之不成立，焦点到准线的距离为2，此时抛物线的方程可能是24x y =，即必要性不成立， 综上可得， “方程24y x =”是“焦点到准线的距离等于2”的充分非必要条件. 故选：A.【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判定，以及抛物线的标准方程及几何性质的应用，意在考查推理与运算能力，属于基础题.14.已知集合{}3M =，{}2,4N =，{}1,2,5Q =，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系O xyz -中向量a 的坐标，则可确定不同向量a 的个数为（ ） A. 33B. 34C. 35D. 36【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，先求得不考虑限定条件确定的不同的点的个数，进而考虑集合,B C 中的相同元素2，出现了3个重复的情况，进而计算可得答案.【详解】由题意，不考虑限定条件确定的不同点的个数为11323336C C A =,但集合,B C 中有相同元素2，由3,2,2三个数确定的不同点的个数只有三个， 故所求的个数为36333-=个. 故选：A.【点睛】本题主要考查了排列、组合的综合运用，注意从反面分析，并且注意到集合,B C 中有相同元素2从而导致出现重复的情况，着重考查分析问题和解答问题的能力. 15.已知平面l αβ=，B ，C l ∈，A α∈，且A l ∉，D β∈，且D l ∉，则下列叙述错误的是（ ）A. 直线AD 与BC 是异面直线B. 直线CD 在α上的射影可能与AB 平行C. 过AD 有且只有一个平面与BC 平行D. 过AD 有且只有一个平面与BC 垂直 【答案】D【解析】 【分析】利用反证法判断选项A 正确；举例说明选项B 正确；由公理3的推论结合过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行判断选项C 正确；由异面直线垂直及线面关系判断选项D 错误． 【详解】对于选项A ，若直线AD 与BC 是共面直线，设AD 与BC 共面γ， 不共线的三点B ，C ，D 均在β与γ内，β∴与γ重合， 又不共线的三点A ，B ，C 均在α与γ内，α与γ重合，则α与β重合，与l αβ=矛盾，故直线AD 与BC 是异面直线，所以选项A 正确；对于选项B ，当AB l ⊥，CD l ⊥，且二面角l αβ--为锐二面角时，直线CD 在α上的射影与AB 平行，所以选项B 正确；对于选项C ，在AD 上任取一点，过该点作BC 的平行线l '，则由AD 与l '确定一个平面，该平面与BC 平行，若过AD 另外有平面与BC 平行，由直线与平面平行的性质，可得过直线BC 外的一点A 有两条直线与BC 平行，与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，所以选项C 正确；对于选项D ，只有当AD 与BC 异面垂直时，过AD 有且只有一个平面与BC ，否则，不存在过AD 与BC 垂直的平面，故选项D 错误． 故选：D ．点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，着重考查异面直线的性质，考查空间想象能力与思维能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平． 16.定义域均为D 的三个函数()f x ，()g x ，()h x 满足条件：对任意x D ∈，点()(),x g x 与点()(),x h x 都关于点()(),x f x 对称，则称()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”.已知函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数“，记()f x 的定义域为D ，若对任意s D ∈，都存在t D ∈，使得()22221f t t s a a =+++-成立，则实数a的取值X 围是（ ） A. .[][]1,01,2-⋃ B. .{}[]10,2- C. .[][]2,10,1-- D. .{}[]12,0⋃-【答案】C 【解析】 【分析】求得()f x 的解析式和导数，以及单调性和极值、最值，进而得到()f x 的值域；判断22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得其值域，再由题意可得()f x 的值域包含在()m t 的值域内，可得a 的不等式组，解不等式可得所求X 围．【详解】解：由函数()g x =，()h x =()h x 是()g x 关于()f x 的“对称函数”，可得1()2f x =，01x ，()0f x >，1()()2f x x '=， 可得()0f x '=的解为34x =，由1(0)2f =，f （1）=3()14f =，且()f x 在3(0,)4递增，3(4，1)递减，可得()f x 的最小值为12，最大值为1， 可得()f x 的值域为1[2，1]，而22()21m t t t a a =+++-在[0，1]递增，可得()m t 的值域为2[1a a +-，22]a a ++，由题意可得[1，22][1a a ⊆+-，22]a a ++，即有221122a a a a +-<++，即为2101a a a -⎧⎨-⎩或，解得01a 或21a --，则a 的X 围是[][]2,10,1--，故选：C ．【点睛】本题考查函数的新定义的理解和运用，考查函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和函数的单调性，考查化简运算能力，属于中档题．三、解答题本大共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应填号的规定区域内写出必要的步骤.17.设函数()()31,20,0x x f x g x x m -⎧--≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩是偶函数.（1）某某数m 的值及()g x（2）设函数()g x 在区间[]0,m 上的反函数为()1gx -，当时，()122log 5ag ->（0a >且1a ≠）时，某某数a 的取值X 围.【答案】（1）2m =，()31xg x =-；（2）()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）直接利用偶函数的性质的应用求出结果．（2）利用反函数的性质的应用和不等式的应用求出结果．【详解】解：（1）因为函数()f x 为偶函数，所以定义域关于原点对称且()()f x f x -=， 则2m =，当02x <≤时，()()f x g x =，则20x -≤-<，()()31xf x f x -=-=，故()31xg x =-.（2）函数()g x 在区间[]0,2上的反函数为()1gx -，则()12312g --=，即()121g -=，即2log 15a <，则2log 1501a a ⎧<⎪⎨⎪<<⎩或2log 151a a ⎧<⎪⎨⎪>⎩，即205a <<或1a > 则实数a 的取值X 围为()20,1,5⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查的知识要点：对数函数的性质的应用，反函数的性质的应用，不等式的的解法及应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 18.设函数()22sin 1263f x x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（1）当01ω<<时，若函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫ ⎪⎝⎭，求函数()f x 的最小正周期; （2）若函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，求正实数ω的取值X 围. 【答案】（1）3π；（2）55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）利用降次公式，辅助角公式化简，再结合函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，求出ω，再求出函数()f x 的最小正周期； （2）由题知()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在(),2ππ内不存在零点，转化为(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，0>ω，求得ω的X 围.【详解】（1）()22sin 1263x f x x ωππω⎛⎫⎛⎫=+++-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 133x x ππωω⎛⎫⎛⎫=-+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 6x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭， 因为函数()f x 的最大值为2f π⎛⎫⎪⎝⎭，所以sin 126ππω⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭，即2262k πππωπ⋅+=+，k ∈Z ，即243k ω=+， 又01ω<<，则23ω=， 则函数()f x 的最小正周期为23ππω=.（2）因为函数()f x 在区间(),2ππ内不存在零点，所以(),2,66k k ππωπωππππ⎛⎫++⊆+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .即626k k πωπππωπππ⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，则156212k k ω-≤≤+，k ∈Z ， 因为156212k k -≤+，k ∈Z ，所以76k ≤，k ∈Z ，即0k =，1，则所求的ω的取值X 围为55110,,12612⎛⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，考查了三角函数降次公式，辅助角，三角函数的性质，属于中档题.19.某小区楼顶成一种“楔体”形状，该“楔体”两端成对称结构，其内部为钢架结构（未画出全部钢架，如图1所示，俯视图如图2所示），底面ABCD 是矩形，10AB =米，50AD =米，屋脊EF 到底面ABCD 的距离即楔体的高为1.5米，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直且与底面的交线为GH ，5AG =米，FO 为立柱且O 是GH 的中点.（1）求斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （2）求此模体ABCDEF 的体积. 【答案】（1）32arctan 20；（2）350（立方米）. 【解析】 【分析】（1）连接BO ，由题可知FO ⊥平面ABCD ， FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，在Rt FOB △中进行计算即可得解；（2）由题可知，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥，然后由题中条件结合椎体和柱体体积公式计算即可.【详解】（1）如下图，连接BO ，依题意FO 为立柱，即FO ⊥平面ABCD ， 则FBO ∠是直线FB 与底面ABCD 所成角，由俯视图可知，GH BC ⊥，则2252BO OH HB =+= 在Rt FOB △中，32tan 2052FO FOB BO ∠===，即FBO ∠=，则斜梁FB 与底面ABCD 所成角的大小为arctan20； （2）依题意，该“楔体”两端成对称结构，钢架所在的平面FGH 与EF 垂直，结合俯视图可知，可将该“楔体”分割成一个直三棱柱和两个相同的四棱锥， 则直三棱柱的体积()1122FGH V S EF GH FO AD AG =⋅=⋅⋅-△13104030022=⨯⨯⨯=（立方米），两个四棱锥的体积222233F GABH GABH V V S FO AG AB FO -==⋅=⋅⋅235105032=⨯⨯⨯=（立方米）， 则所求的楔体ABCDEF 的体积12350V V V =+=（立方米）.【点睛】本题考查线面角的计算，考查几何体体积的计算，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.20.已知椭圆C ：22194x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，上顶点为M ，过点M 且斜率为1-的直线与C 交于另一点N ，过原点的直线l 与C 交于P ，Q 两点 （1）求2PQF 周长的最小值：（2）是否存在这样的直线，使得与直线MN 平行的弦的中点都在该直线上?若存在，求出该直线的方程：若不存在，请说明理由.（3）直线l 与线段MN 相交，且四边形MPNQ 的面积10813S ⎡∈⎢⎣⎦，求直线l 的斜率k 的取值X 围.【答案】（1）10；（2）存在满足条件的直线，其方程为490x y -=；（3）80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性和椭圆的定义，可知当弦PQ 的长度最小值时，2PQF 的周长取得最小值；（2）设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，将其代入曲线C 的方程，根据韦达定理和中点坐标公式可得中点坐标，消去参数m 可得结果；（3）设直线l 的方程为y kx =，代入曲线C ，解得两个交点坐标，联立直线2x y +=与曲线C 的方程，解得,M N 的坐标，求出点,P Q 到直线2x y +=的距离，然后求出四边形MPNQ 的面积()1212MN d d ⋅⋅+，根据10813S ⎡∈⎢⎣⎦解不等式可得结果. 【详解】（1）连接1PF ，又直线l 过原点，由椭圆的对称性得12PF QF =， 则2PQF 的周长22216PQ PF QF PQ PF PF PQ ++=++=+， 要使得2PQF 的周长最小，即过原点的弦PQ 最短，由椭圆的性质可知，当弦PQ 与C 的短轴重合时最短，即弦PQ 的最小值为4， 则2PQF 周长的最小值为10.（2）依题意，设与直线MN 平行的弦所在的直线方程为y x m =-+，与C 的交点坐标为()11,x y ，()22,x y ，平行弦中点的坐标为()00,x y ，联立22194x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，化简整理得2213189360x mx m -+-=， 当()()()22218413936144130m m m ∆=--⨯⋅-=-->即m <<则1209213x x x m +==，1212042213y y x x y m m ++==-+=，则00490x y -=， 故存在满足条件的直线，其方程为490x y -=.（3）设直线l 的方程为y kx =，点()11,P x y ，()22,Q x y .（不妨设12x x >），由22194x y y kx⎧+=⎪⎨⎪=⎩消去y 并化简得()229436k x +=，即1x =，21x x =-=，依题意，直线MN 的方程为2y x =-+，由221942x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得213360x x -=，解得0x =或3613x =， 所以3613N x =，1013N y =-，所以(0,2)M ，3610(,)1313N -，则13MN =. 又l 与线段MN 有交点且MPNQ 为四边形，所以10513361813ONk k ->==-，即5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭， 点P ，Q 到直线MN的距离分别为1d =2d =，则()12112213MPNQ S MN d d =⋅⋅+=⨯四边形12=118216(1)2131313k =⨯=+=，又108,1313S ⎡∈⎢⎣⎦，即108216131313≤≤. 化简整理得，225808172160k k k k ⎧-≤⎨-+≥⎩，解得805k ≤≤， 又5,18k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，所以805k ≤≤.则所求的直线l 的斜率k 的取值X 围为80,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了椭圆的定义和椭圆的对称性，考查了直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，考查了运算求解能力，属于中档题.21.对于无穷数列{}n a 的某一项k a ，若存在m N *∈，有()k k m a k a *+<∈N成立，则称ka 具有性质()P m .（1）设()*3n a n n N=-∈，若对任意的k *∈N ，ka 都具有性质()P m ，求m 的最小值；（2）设等差数列{}n a 的首项12a =-，公差为d ，前n 项和为()n S n N *∈，若对任意的k *∈N 数列{}n S 中的项k S 都具有性质()7P ，某某数d 的取值X 围； （3）设数列{}n a 的首项12a =，当()2n n *≥∈N 时，存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，且此数列中恰有一项()299,t a t t *≤≤∈N 不具有性质()1P ，求此数列的前100项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的t 的值. 【答案】（1）5；（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（3）99t =时，最大值为99322⨯-；50t =或51t =时，最小值为50626⋅-. 【解析】 【分析】（1）计算得出167a a a <<<、256a a a <<<、()123k k k a a a k ++<<<≥，求得每种情况下对应m 的最小值，进而可得出结果；（2）求得n S ，根据题意得出7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立，可得出23d k >+，由此可得出d 的取值X 围； （3）根据题意得出121t t a a a a -<<<<，根据存在()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2n i a a =，得出1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，进一步得知：欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992，欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，分别计算出两种情况下数列{}n a 的前100项和，根据表达式可求得前100项和分别取最大值或最小值时对应的t 值. 【详解】（1）经计算知：167a a a <<<，此时5m ≥；256a a a <<<，此时3m ≥；当3k ≥时，12k k k a a a ++<<<，此时m 1≥.综上可知，5m ≥，即对任意的k *∈N ，k a 都具有性质()P m 时，m 的最小值为5； （2）由已知可得，()122n n n S n d -=-+，若对任意的k *∈N ，数列{}n S 中的k S 都具有性质()7P ，则7k k S S +<对任意的k *∈N 恒成立， 即()()()()177122722k k k k k d k d -++--+<-++，整理得：23d k >+.因为1k ，则2132k ≤+，所以12d >.因此，实数d 的取值X 围是1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭； （3）对于299t ≤≤，t *∈N ， 因为1a 、2a 、、1t a -都具有性质()1P ，所以121t t a a a a -<<<<，而当()2n n *≥∈N 时，存()11,i i n i *≤≤-∈N 满足2ni aa =，所以1a 、2a 、、t a 依次为：2、22、32、、2t ，由已知t a 不具有性质()1P ，故1t a +的可能值为22、32、、2t ，又因为1t a +、2t a +、、100a 都具有性质()1P ，所以12100t t a a a ++<<<，欲使此数列的前100项和最大，1t a +、2t a +、、100a 依次为：2t 、12t +、、992， 欲使此数列的前100项和最小，1t a +、2t a +、、100a 依次为：22、32、、1012t -，下面分别计算前100项和：()()()()2319912121002222222t t t t t t a a a a a a ++++++++++=++++++++100222t =+-，当99t =时，此数列的前100项和最大，最大值为9910099222322+-=⨯-；()()()()232310112121002222222t t t t t a a a a a a -+++++++++=++++++++10122266262t t ⎛⎫=+-≥= ⎪⎝⎭.当且仅当101222tt =时，即1012t =时等号成立，但1012t *=∉N ， 这时取50t =或51t =时，此数列的前100项和最小，最小值为()5051502226626+-=⋅-.【点睛】本题考查数列的新定义，考查数列求和等知识，考查数列不等式恒成立问题的求解，考查推理能力与运算求解能力，属于难题.。
2020年上海各区高三二模分类汇编-9数列(教师版)
2020年二模汇编——数列一、填空题【闵行4】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2,2121=+=a S S S n ，则=5a ________ 【答案】6【解析】61222233225111111213=⇒⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=++=+⇒⎩⎨⎧=+=a d a a d a a d a a S S S 【松江4】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15374,12a a a a +=+=，则7S = . 【答案】28【解析】两式相加得，153716a a a a +++=，利用下标公式，5317a a a a +=+，所以178a a +=，1777()282a a S +==. 【杨浦5】若{}n a 是无穷等比数列，首项113a =，公比13q =，则{}n a 各项的和S =【答案】21【解析】213113111=-=-=q a S 【宝山5】已知无穷数列()*2,3n na n N =∈-则数列{}n a 的各项和为 .【答案】12-【解析】由题意知数列{}n a 为首相为123a =-，公比为13q =-的无穷等比数列，1112n a s q ==--。
【松江6】已知数列{}n a 的首项11a =，且满足()1012n na a n N *+=∈，数列{}n a 的前n项和为n S ，则lim nn S →∞= .【答案】2 【解析】Q1012n n a a +=，∴12n n a a +=，∴112n n a a +=,即数列{}n a 是以1为首项，公比为12的等比数列.∴1lim =21n n a S q →∞=-. 【嘉定7】设各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为{}n S ，11a =,236a a +=,则6S = 【答案】63【解析】()()6261126026312q q q q S -+=>⇒=⇒==-【浦东7】若二项式()421x+展开式的第4项的值为24，则()=++++∞→n n x x x x Λ32lim ．【答案】15【解析】33441(2)6x T C x ===，()23116lim 1516nn x x x x →∞++++==-L 【长宁8】记等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若371,14a S ==，则5a = . 【答案】3【解析】由题意可得，()()()71735557771143222S a a a a a a =+=+=+=⇒= 【金山8】数列{}n a 的通项公式1,1,2=1,3,2n nn na n N n *⎧=⎪⎪∈⎨⎪≥⎪⎩，前项和为n s ，则lim n n s →∞= 【答案】74【解析】3121178lim 1112412n n a S a a q →∞=++=++=--【崇明8】已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和记为n S ，若233a a +=，3432a a +=， 则lim n n S →∞=【答案】8【解析】由题意得：114,lim 82n n a q S →∞==∴= 【奉贤8】已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是 【答案】1或5【解析】213111131(12)(2)(62),,0,152a a d a d a d a d d q a +=++====或 【杨浦9】数列{}n a 满足11a =，且132n n a a n ++=+对任意*n ∈N 均成立，则2020a = 【答案】3031【解析】由题可知521=+a a 且11=a ，则42=a ；832=+a a ，则43=a ；1143=+a a ，则74=a ；1454=+a a ，则75=a ；以此类推13,10,10876===a a a ……则这个数列的偶数项是首项为4公差为3的等差数列2020a 是这个等差数列的第1010项，则30313)11010(42020=⨯-+=a【闵行9】已知直线x y l =:1，斜率为()10<<q q 的直线2l 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点()a B ,00，过0B 做x 轴的平行线，交1l 于点1A ，过1A 做y 轴的平行线，交2l 于点1B ，再过1B 做x 轴的平行线，交1l 于点2A ，Λ，这样一次得线段,,,,,211110n n B A A B B A A B Λ记n x 为点n B 的横坐标，则=∞→n n x lim _________【答案】qa-1 【解析】设()(),,,,11++n n n n y x B y x B 由题可知,,11++=+=∴=n n n n n x a qx y x y 设A x x n x n x ==+∞→∞→1lim lim ,则qa A A a qA a qx x n x n x -==+=+=∞→+∞→1lim lim 1， 【金山11】我们把一系列向量()1,2,i a i n =u rL 按次序排成一排，称之为向量列，记作{}j a u u r ，已知向量{}i a u r 满足：()()()1111111,1,,,(2),2n n n n n n n a a x y x y x y n ----===-+≥u r u u r 设n θ表示向量1n a -u u u r 与n a u u r 的夹角，若2n n n b θπ=，对任意正整数n ，不等式()+122111+......log 12a n n na b b b +++>-恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】103⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【解析】()()()2211111111111111,,+cos 2||||2n n n n n n n n n n n n n n x y x y x y x y a a a an θ------------⋅-+⋅===u u u r u u r u u u u r u u r∴2,b ,44n n n πθ==()2222+......1log 1212a n a n n n n n n=+≥⨯=>-++++ ()log 121log a a a a -<=当01a <<时，1201,0123a a a a->⎧<<⎨->⎩当1a >时，12>0,12a a a a-⎧⎨-<⎩不存在综上实数a 的取值范围是103⎛⎫ ⎪⎝⎭， 【浦东12】已知数列{}{},n n a b 满足111a b ==，对任何正整数n 均有1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+，设113n n n n c a b ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则数列{}n c 的前2020项之和为 . 【答案】202133-【解析】()112+2nn n n n n n a b a b a b +++=⇒+=，11122n n n n n n n a b a b a b -++=⇒+=，12333n n n n c +=⋅=-，2021202033S =-【金山12】设n N *∈，n a 为(2)(1)nnx x +-+的展开式的各项系数之和，16,2m t t R =-+∈,1222333n n n na a a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦K （[]x 表示不超过x 实数的最大整数），则22()()n n t b m -+-的最小值为【答案】95【解析】1,32n n n x a ==-，2133nnn na n n n ⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦，()20112n n nb n -∴=+++-=K()()()222221622n n n n t b m n t t ⎡⎤-⎛⎫∴-+-=-+--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可看作抛物线22x xy -=上一点2,2n n A n ⎛⎫- ⎪⎝⎭与直线162y x =-+上一点1(,6)2B t t -+的距离的平方，数形结合可知，当3n =时，()3,3A 距离最小,()()222min95n n t b m ⎡⎤-+-==⎣⎦ 二、选择题【宝山15】用数学归纳法证明n n135(1)(2n 1)(1)n,n N*-+-+⋅⋅⋅+--=-∈.那么，“当n 1=时，命题成立”是对“n N*∈时命题成立”的（ ）【A 】充分不必要 【B 】必要不充分 【C 】充要【D 】既不充分也不必要 【答案】B【解析】由数学归纳法可知，“当n 1=时，命题成立”需要加上第二步假设证明才能得到“n N*∈时命题成立”【崇明15】设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a +的矩形的周长（1,2,i =⋅⋅⋅），则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（ ） 【A 】{}n a 是等差数列【B 】1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅或242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是等差数列 【C 】1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列【D 】1321,,,,n a a a -⋅⋅⋅⋅⋅⋅和242,,,,n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅都是等差数列，且公差相同 【答案】D【解析】(),21++=i i i a a A 若{}n a 为等差数列，设公差为d ，则21da a i i =-+， 即数列{}n a 的奇数项城等差，偶数项成等差；反之，若,22221212da a a a n n n n =-=---+则d A A n n =-+212为等差。
2020年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷(有答案解析)
2020年上海市长宁区、嘉定区高考数学二模试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.已知x∈R，则“”是“x＜1”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件2.产能利用率是指实际产出与生产能力的比率，工业产能利用率是衡量工业生产经营状况的重要指标，下图为国家统计局发布的2015年至2018年第2季度我国工业产能利用率的折线图（%）．在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2016年第二季度与2015年第二季度相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2015二季度与2015年第一季度相比较根据上述信息，下列结论中正确的是（）A. 2015年第三季度环比有所提高B. 2016年第一季度同比有所提高C. 2017年第三季度同比有所提高D. 2018年第一季度环比有所提高3.已知圆（x-2）2+y2=9的圆心为C，过点M（-2，0）且与x轴不重合的直线l交圆A、B两点，点A在点M与点B之间．过点M作直线AC的平行线交直线BC于点P，则点P的轨迹为（）A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分4.对于△ABC，若存在△A1B1C1，满足，则称△ABC为“V类三角形”．“V类三角形”一定满足（）A. 有一个内角为30°B. 有一个内角为45°C. 有一个内角为60°D. 有一个内角为75°二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.已知集合A={1，2，3，4}，B={x|2＜x＜5，x∈R}，则A∩B=______6.已知复数z满足i=3+4i（i是虚数单位），则|z|=______7.若线性方程组的增广矩阵为，解为则m+n=______8.在的二项展开式中，常数项的值为______9.已知一个圆锥的主视图（如图所示）是边长分别为5，5，4的三角形，则该圆锥的侧面积为______.10.已知实数x，y满足，则x+2y的最小值为______11.设函数（其中a为常数）的反函数为f-1（x），若函数f-1（x）的图象经过点（0，1），则方程f-1（x）=2的解为______12.学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为______（结果用数值表示）13.已知直线（t为参数）与抛物线y2=4x相交于A、B两点，若线段AB中点的坐标为（m，2），线段AB的长为______．14.在△ABC中，已知，P为线段AD上的一点，且满足，若△ABC的面积为，，则的最小值为______．15.已知有穷数列{a n}共有m项，记数列{a n}的所有项和为S（1），第二项及以后所有项和为S（2），……第n（1≤n≤m）项及以后所有项和为S（n），若S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，a n=______16.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=-f（x），且当0≤x≤1时，f（x）=log2（x+a），若对于x属于[0，1]都有，则实数t的取值范围为______三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知正四棱柱的底面边长为，与底面所成的角为(1)求三棱锥的体积；(2)求异面直线与所成的角的大小.18.已知函数，（1）若，且，求f（α）的值；（2）求函数f（x）最小正周期及函数f（x）在上单调递减区间．19.为了在夏季降温和冬季取暖时减少能源消耗，业主决定对房屋的屋顶和外墙喷涂某种新型隔热材料，该材料有效使用年限为20年，已知该房屋外表喷涂一层这种隔热材料的费用为每毫米厚6万元，且每年的能源消耗费用H（万元）与隔热层厚度x（毫米）满足关系（0≤x≤10）设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（1）请解释H（0）的实际意义，并求f（x）的表达式；（2）当隔热层喷涂厚度为多少毫米时，业主所付的总费用f（x）最少？并求此时与不建隔热层相比较，业主可节省多少钱？20.已知椭圆Γ：的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线l与椭圆Γ相交于P、Q．（1）求△F1PQ的周长；（2）设点A为椭圆Γ的上顶点，点P在第一象限，点M在线段AF2上，若，求点P的横坐标；（3）设直线l不平行于坐标轴，点R为点P关于x轴对称点，直线QR与x轴交于点N求△QF2N面积的最大值．21.记无穷数列{a n}的前n项中最大值为M n，最小值为m n，令．求：（1）若，写出b1，b2，b3，b4的值；（2）设，若b3=-3，求λ的值及n≥4时数列{b n}的前n项和S n；（3）求证：“数列{a n}是等差数列”的充要条件是“数列{b n}是等差数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：“”⇔0＜x＜1．∴“”是“x＜1”的充分不必要条件．故选：A．利用不等式的解法解出：“”，即可判断出结论．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：2015年第二季度利用率为74.3%，第三季度利用率为74.0%，故2015年第三季度环比有所下降，故A错误；2015年第一季度利用率为74.2%，2016年第一季度利用率为72.9%，故2016年第一季度同比有所下降，故B错误；2016年底三季度利用率率为73.2%，2017年第三季度利用率为76.8%，故2017年第三季度同比有所提高，故C正确；2017年第四季度利用率为78%，2018年第一季度利用率为76.5%，故2018年第一季度环比有所下降，故D错误．故选：C．根据同比和环比的定义比较两期数据得出结论．本题考查了新定义的理解，图表认知，属于基础题．3.答案：C解析：解：可得圆（x-2）2+y2=9的圆心为C（2，0），半径为R=3．如图，∵CB=CA=R=3，∴∠CBA=∠CAB，∵AC∥MP，∴，∴∠CBA=∠CAB=∠PMA，∴PM=PB=PC+BC⇒PM-PC=BC=3（定值），且3＜MC．∴点P的轨迹是双曲线的一部分，故选：C．根据题意可得PM-PC=BC=3（定值），且3＜MC．即可得点P的轨迹是双曲线的一部分．本题考查了动点根据的求解，考查了转化思想，属于中档题．4.答案：B解析：【分析】本题主要考查三角函数的化简求值，注意新定义运算法则，诱导公式的应用，属于基础题．设等腰△ABC中A=B，由已知得，则，结合同角三角函数关系进行化简求值即可．【解答】解：设A=B，由已知得，则，所以，（舍），或，解得：．故选：B．5.答案：{3，4}解析：解：∵A={1，2，3，4}，B={x|2＜x＜5，x∈R}；∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．6.答案：5解析：解：由i=3+4i，得，∴|z|=||=．故答案为：5．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．7.答案：3解析：解：由题意，可将增广矩阵的形式还原为线性方程组，得：，∵解为，∴m=2，n=1．∴m+n=3．故答案为：3．本题可可将增广矩阵的形式还原为线性方程组的形式，然后将解代入方程组即可得到m、n的值，即可得到结果．本题主要考查增广矩阵的相关概念及线性方程组的求参数．本题属基础题．8.答案：6解析：解：在的二项展开式中，通项公式为：T r+1=x4-r=x4-2r，令4-2r=0，解得r=2．∴常数项==6．故答案为：6．利用通项公式即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.答案：10π解析：【分析】本题考查圆锥的侧面积，属于基础题.根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，由侧面积公式可得．【解答】解：根据圆锥的主视图可知：圆锥的母线长为5，底面半径为2，所以该圆锥的侧面积为5×2π=10π，故答案为：10π．10.答案：-2解析：解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得A（0，-1）．化z=x+2y为y=-x+，由图可知，当直线y=-x+过A（0，-1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z=0+2×（-1）=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．11.答案：x=1解析：解：由y=f（x）=，得x-a=y2（y≥0），∴函数f（x）的反函数f-1（x）=x2+a（x≥0）．把点（0，1）代入，可得a=1．∴f-1（x）=x2+1（x≥0）．由f-1（x）=2，得x2+1=2，即x=1．故答案为：x=1．求出原函数的反函数，代入已知点的坐标求得a，则方程f-1（x）=2的解可求．本题考查函数的反函数的求法，关键是明确反函数的定义域是原函数的值域，是基础题．12.答案：解析：解：学校从3名男同学和2名女同学中任选2人参加志愿者服务活动，基本事件总数n==10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m==7，则选出的2人中至少有1名女同学的概率为p=．故答案为：．基本事件总数n==10．选出的2人中至少有1名女同学包含的基本事件个数m==7，由此能求出选出的2人中至少有1名女同学的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13.答案：8解析：【分析】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，弦长公式的应用，考查计算能力．根据直线的参数方程可得直线经过抛物线的焦点，利用点差法求出直线AB的斜率，根据抛物线的弦长公式即可求出线段AB的长.【解答】解：直线（t为参数），过定点，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，由，可得，即,所以,所以直线AB的方程为，所以，因为抛物线y2=4x的焦点坐标为，所以直线AB过抛物线的焦点，所以,故答案为：8．14.答案：2解析：解∵=∵A，P，D三点共线，∴，即m=．∴===，又∵．∴，即CA•CB=8．∴====．故答案为：2．利用A，P，D三点共线可求出m=，并得到．再利用平面向量的基本性质和基本不等式即可求出的最小值．本题考查平面向量共线定理，是中档题，解题时要认真审题，注意平面向量线性运算的运用．15.答案：-2n-1解析：解：S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，所以S（n）=n+=n2，则a n=S（n）-S（n+1）=n2-（n+1）2=-2n-1，故填：-2n-1．设数列{a n}的前n项和为T n，则S（n）=T m-T n，又知道S（n）是首项为1，公差为2的等差数列的前n项和，则当1≤n＜m时，即可得到a n的表达式．本题考查了数列通项的求法，等差数列的前n项和公式，属于基础题．16.答案：[0，3]解析：解：由题意，f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f （0）=0，得a=1，所以当0≤x≤1时，f（x）=log2（x+1），当x∈[-1，0]时，-x∈[0，1]，此时f（x）=-f（-x）=-log2（-x+1），又知道f（x+2）=-f（x）=f（-x），所以f（x）以x=1为对称轴．且当x∈[-1，1]时f（x）单调递增，当x∈[1，3]时f（x）单调递减．当x∈[-1，3]时，令f（x）=1-log23，得x=-，或x=，所以在[-1，3]内当f（x）＞1-log23时，x∈[-，]．设g（x）=-，若对于x属于[0，1]都有，因为g（0）=∈[-，]．，故g（x）∈[-，]．①当＜0时，g（x）在[0，1]上单调递减，故g（x）∈[t-，]⊆[-，]．得t≥0，无解．②0≤t≤1时，，此时g（t）最大，g（1）最小，即g（x）∈[t-1，]⊆[-，]．得t∈[0，1]．③当1＜t≤2时，即，此时g（0）最小，g（t）最大，即g（x）∈[，]⊆[-，]．得t∈（1，2]，④当t＞2时，g（x）在[0，1]上单调递增，故g（x）∈[，t-]⊆[-，]．解得，t∈（2，3]，综上t∈[0，3]．故填：[0，3]．f（x）为周期为4的函数，且是奇函数．0在函数定义域内，故f（0）=0，得a=1，先得到[-1，3]一个周期内f（x）的图象，求出该周期内使f（x）≥1-log23成立的x的范围，从而推出的范围，再分t的范围讨论即可．本题考查了复合函数的值域、对称区间上函数解析式的求法、二次函数在闭区间上的最值、函数的对称性、周期性、恒成立等知识．属于难题．17.答案：解：（1）∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1，A1B与底面ABCD所成的角为，AA1⊥平面ABCD，∴∠A1BA是A1B与底面ABCD所成的角，∴∠A1BA=，∴AA1=AB=1，∴三棱锥A1-BCD的体积：=AA1×S△BCD==．（2）∵A1D∥B1C，∴∠DA1B是异面直线A1B与B1C所成的角（或所成角的平面角），∵由（1）知AA1=1，∴A1D=BD=A1B，∴∠DA1B=，∴异面直线A1B与B1C所成的角的大小为．解析：本题考查三棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．（1）由AA1⊥平面ABCD，得∠A1BA是A1B与底面ABCD所成的角，从而∠A1BA=，进而AA1=AB=1，由此能求出三棱锥A1-BCD的体积．（2）由A1D∥B1C，得∠DA1B是异面直线A1B与B1C所成的角（或所成角的平面角），由此能求出异面直线A1B与B1C所成的角的大小.18.答案：解：（1）∵函数，若，且，∴cosα==，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）-=（+）-=．（2）由题意知函数=sin2x+-=sin（2x+），故f（x）的最小正周期为=π．令2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+≤x≤kπ+，可得函数f（x）的减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．∵x∈[0]，∴函数f（x）在上单调递减区间为[，]．故f（x）在上单调递减区间为[，].解析：本题主要考查同角三角函数的基本关系，三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于中档题．（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得f（α）的值．（2）利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性、单调性得出结论．19.答案：解：（1）H（0）==8，H（0）的实际意义为不使用新型隔热材料时，每年的能源消耗费用为8万元．f（x）的解析式为：（0≤x≤10）．（2）f（x）=+6x=2（3x+5）-10≥2-10=70．当且仅当=2（3x+5）即x=5时取等号．∴厚度为5mm时，总费用最小70万元．若不使用隔热材料，则20年的能源消耗总费用为8×20=160万元，故业主可节省90万元．解析：（1）将建造费用和能源消耗费用相加得出f（x）的解析式；（2）利用基本不等式得出f（x）的最小值及对应的x的值，与不使用隔热材料的总费用比较得出结论．本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，属于中档题．20.答案：解：（1）由题意可得a=2，则△F1PQ的周长=|PF1|+|QF1|+|PQ|=|PF1|+|QF1|+|PF2|+|QF2|=4a=4×2=8，（2）设P（x0，y0），0＜x0＜2，∴+=1，∵A（0，），F2（1，0），∴直线AF的方程为y=-x+，设M的坐标为（x M，y M），∴y M=-x M+，∵，∴（x M+1，y M）=（x0+1，y0），∴x M=x0-，y M=y0，∴y0=-（x0-）+，即y0=-（x0-2），代入到+=1，整理化简可得5x02-16x0+12=0，解得x0=2（舍去）或x0=，故点P的横坐标为，（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），设直线l的方程为x=my+1，联立，得（3m2+4）y2+6my-9=0．∴y1+y2=-，y1y2=-，由题设知，R（x1，-y1），∴直线QR的方程为y+y1=（x-x1）．令y=0，得x=x1+=my1+1+=1+m（）=1+m•=1+2m•=4，∴点N（4，0）．∴|F2N|=4-1=3，∴△QF2N面积S=|F2N|•|y2|=|y2|，∵0＜|y2|≤，当|y2|=时，△QF2N面积最大，最大值为．解析：（1）根据椭圆的性质可得周长为4a，即可求出答案，（2）设P（x0，y0），求出直线AF，设M的坐标为（x M，y M），根据，可得x M=x0-，y M=y0，即可得到y0=-（x0-2），代入到+=1，整理即可求出（3）联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系求得P，Q的纵坐标的和与积，再求出N的坐标，写出三角形面积公式，即可求出．本题考查椭圆方程的性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，向量的运算，直线方程，韦达定理，考查计算能力和转化能力，是中档题．21.答案：（1）b1=-1，，，b4=1；（2）λ=4，；（3）证明略．解：（1）∵a n=2n-3n，∴a1=-1，a2=-2，a3=-1，a4=4，∴b1=-1，b2=-，b3=-，b4=1；（2）设，可得a1=2-λ，a2=4-2λ，a3=8-3λ，若b3=-3，可得λ＞0，由6-3λ=-6，可得λ=4；由10-4λ=-6，可得λ=4；由12-5λ=-6，可得λ=，若λ=4，可得a1=-2，a2=-4，a3=-4，满足题意；λ=时，a1=-，a2=-，a3=-，可得b3=-，不符题意，舍去，综上可得λ=4，即有数列中的项为-2，-4，-4，0，12，40，…，可得b n=，n≥5，则前n项和S n=-10+（24+25+…+2n-1）-2（6+7+…+n+1）=-10+-2•（（n-4）（6+n+1）=2n-n2-3n+2；（3）证明：充分性：若“数列{a n}是等差数列”，设其公差为d，则b n=，b n+1==b n+，故“数列{b n}是等差数列”；必要性：若“数列{b n}是等差数列”，设其公差为d′，则b n+1-b n=-=+=d′，根据定义，M n+1≥M n，m n+1≤m n，至少有一个取等号，当d′＞0时，M n+1＞M n，a n+1=M n+1＞M n≥a n，即数列{a n}为增数列，则M n=a n，m n=a1，则b n+1-b n=-==d′，即a n+1-a n=2d′，即“数列{a n}是等差数列”，同理可得d′＜0时，“数列{a n}是等差数列”；当d′=0时，M n+1=M n，且m n+1=m n，故{a n}为常数列，是等差数列．综上可得：“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等差数列”的充要条件．解析：（1）分别计算出a1，a2，a3，a4结合题意即可得b1，b2，b3，b4的值；（2）由新定义，可得λ＞0，考虑三种情况求得λ，检验可得所求λ；进而得到b n，由数列的分组求和，可得所求和；（3）充分性易证，无论d为何值，始终有b n=，即可证得结果，必要性须分类证明．本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的取值范围的求法，考查数列性质、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于难题．。
2020年上海市普陀区高考数学二模试卷（含答案解析）
故直线的倾斜角为一 故答案为：7. 把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程，根据直线过曲线的中心，求得直线斜率士的值，可得直
a 线的倾斜角 本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线的倾斜角和斜率，属于基础
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题.
9 .答案：5
解析：解：由z = 1 + 43 得5= l-4i. 则 2z +，= 2 X (1 + 4i) + 1 — 4i = 3 + 4t,
21 .如图所示，抛物线C必=22%3>0)的焦点为e 过点F且斜率存在的直线/交抛物线C于
A，B两点、,已知当直线/的斜率为1时，\AB\ = 8.
(I)求抛物线。的方程； (11)过点人作抛物线。的切线交直线％ =；于点0,试问：是否存在定点M在以为直径的圆 上？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由
6 .答案：V2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解析：解：设。>0,则双曲线卷一r=1的一个顶点为(。,0),
一条渐近线方程为y = a
即为2x-ay = 0,
由一个顶点到一条渐近线的距离为四，
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可得高=低 解得a = 2, 即有C = 2同 e = - = y]2. 故答案为：V2. 求得双曲线的顶点和一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式，求得a = b = 2,进而得到双曲线 的离心率. 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程和离心率的求法，属于中档题.
径为1的圆，那么这个圆柱的体积为
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故答案为：g. 利用已知条件，直接求解几何体的体积即可.
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本题考查几何体的三视图与直观图的对应关系，圆柱的体积的求法，考查计算能 力.
2020届上海市普陀区第二次高考模拟高三数学模拟试卷(有答案)(精品)
第二学期普陀区高三数学质量调研考生注意:1. 本试卷共4页，21道试题，满分150分. 考试时间120分钟.2. 本考试分试卷和答题纸. 试卷包括试题与答题要求. 作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3. 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1. 计算：=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→311lim n n .2. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x y 11log 2的定义域为 . 3. 若παπ<<2，53sin =α，则=2tan α. 4. 若复数()21i i z ⋅+=（i 表示虚数单位），则=z . 5. 曲线C ：⎩⎨⎧==θθtan sec y x （θ为参数）的两个顶点之间的距离为 .6. 若从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则在放回抽取的情形下，两张牌都是K 的概率为 （结果用最简分数表示）.7. 若关于x 的方程0cos sin =-+m x x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上有解，则实数m 的取值范围是 . 8. 若一个圆锥的母线与底面所成的角为6π,体积为π125,则此圆锥的高为 . 9. 若函数1log log )(222+-=x x x f （2≥x ）的反函数为)(1x f-，则)3(1-f= .10. 若三棱锥ABC S -的所有的顶点都在球O 的球面上，⊥SA 平面ABC ，2==AB SA ，4=AC ，3π=∠BAC ，则球O 的表面积为 .11.设0<a ，若不等式01cos )1(sin 22≥-+-+a x a x 对于任意的R ∈x 恒成立，则a 的取值范围是 .12.在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，M 是直线DE 上的动点.若△ABC 的面积为1，则2BC MC MB +⋅的最小值为 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13. 动点P 在抛物线122+=x y 上移动，若P 与点()1,0-Q 连线的中点为M ，则动点M 的轨迹方程为……………………………………………………………………………………………………………（ ）)A ( 22x y = ()B 24x y = ()C 26x y = ()D 28x y =14. 若α、β∈R ，则“βα≠”是“βαtan tan ≠”成立的……………………………………（ ） )A (充分非必要条件 ()B 必要非充分条件()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件15. 设l 、m 是不同的直线，α、β是不同的平面，下列命题中的真命题为…………………………（ ）)A ( 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则βα⊥ ()B 若α//l ，β⊥m ，m l ⊥，则 βα// ()C 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα⊥ ()D 若α//l ，β⊥m ，m l //，则βα//16. 关于函数x y 2sin =的判断，正确的是……………………………………………………………（ ）)A (最小正周期为π2，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调减函数()B 最小正周期为π，值域为[]1,1-，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调减函数 ()C 最小正周期为π，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上是单调增函数 ()D 最小正周期为π2，值域为[]1,0，在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是单调增函数三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别是BC 、11D A 的中点. （1）求证：四边形EDF B 1是菱形；（2）求异面直线C A 1与DE 所成角的大小 (结果用反三角函数值表示) .1A 1B 1C1DF18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 已知函数x b x a x f cos sin )(+=（a 、b 为常数且0≠a ，R ∈x ）.当4π=x 时，)(x f 取得最大值.（1）计算⎪⎭⎫⎝⎛411πf 的值； （2）设⎪⎭⎫⎝⎛-=x f x g 4)(π，判断函数)(x g 的奇偶性，并说明理由.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某人上午7时乘船出发，以匀速v 海里/小时（54≤≤v ）从A 港前往相距50海里的B 港，然后乘汽车以匀速ω千米/小时（10030≤≤ω）自B 港前往相距300千米的C 市，计划当天下午4到9时到达C 市.设乘船和汽车的所要的时间分别为x 、y 小时，如果所需要的经费()()y x P -+-+=853100（单位：元） （1）试用含有v 、ω的代数式表示P ；（2）要使得所需经费P 最少，求x 和y 的值，并求出此时的费用.20. （本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分. 已知曲线Γ：13422=+y x ，直线l 经过点()0,m P 与Γ相交于A 、B 两点. （1）若()3,0-C 且2=PC ，求证：P 必为Γ的焦点；（2）设0>m ，若点D 在Γ上，且PD 的最大值为3，求m 的值； （3）设O 为坐标原点，若3=m ，直线l 的一个法向量为()k n ,1=，求∆AOB 面积的最大值.21.（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分.已知数列{}n a （*N ∈n ），若{}1++n n a a 为等比数列，则称{}n a 具有性质P .xyo（1）若数列{}n a 具有性质P ，且3,1321===a a a ，求4a 、5a 的值； （2）若()nn n b 12-+=，求证：数列{}n b 具有性质P ；（3）设=+++n c c c Λ21n n +2，数列{}n d 具有性质P ，其中11=d ，123c d d =-，232c d d =+，若310>m d ，求正整数m 的取值范围.第二学期普陀区高三数学质量调研一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得4分、后6题得5分，否则一律得零分.1.12. ()()+∞∞-,10,Y3.34. i +-15.26.1691 7. 21≤≤m . 8. 5 9. 4 10.π20 11. 2-≤a 12. 3二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，如图所示： 则()1,0,11B ,⎪⎭⎫ ⎝⎛0,21,1E ,()0,1,0D ,⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21,0F ……1分⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0,21,11FB ……2分所以1FB DE =,即1//FB DE 且1FB DE =,故四边形EDF B 1是平行四边形……3分又因为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1,21,01E B ,25==……5分 故平行四边形EDF B 1是菱形……6分（2）因为()0,1,11=A ()()1,1,101,0--=-,⎪⎭⎫⎝⎛-=0,21,1……8分设异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为θ……9分cos =θ……10分()()15152111110121)1(11222222=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅+-+-⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-⨯-+⨯-=……12分 所以1515arccos=θ……13分, 故异面直线C A 1与DE 所成的角的大小为1515arccos ……14分 18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 【解】（1）x b x a x f cos sin )(+=()ϕ++=x b a sin 22，其中abarctan =ϕ……2分根据题设条件可得，224b a f +=⎪⎭⎫ ⎝⎛π 即()2222b a b a +=+ ……4分 化简得()()2222b a b a +=+，所以0222=+-b ab a即()02=-b a ，故0=-b a ……………5分所以()022411cos 411sin 411=-=+=⎪⎭⎫⎝⎛b a b a f πππ……………6分 （2）由（1）可得，b a =，即()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=4sin 2cos sin )(πx a x x a x f ……8分故x a x a x a x f x g cos 22sin 244sin 24)(=⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππππ所以x a x g cos 2)(=（R ∈x ）…………10分对于任意的R ∈x ，x a x a x g cos 2)cos(2)(=-=-（0≠a ）……12分即)()(x g x g =-，所以)(x g 是偶函数.…………14分19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分【解】（1）v x 50=，204≤≤v ，得22510≤≤x ……2分 ω300=y ，10030≤≤ω，得103≤≤y ……4分()()y x P -+-+=853100⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=ω30085053100v所以ω300150123--=v P （其中204≤≤v ，10030≤≤ω）……6分 （2）()()y x P -+-+=853100)3(123y x +-=其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+≤10322510149y x y x ，……9分令目标函数y x k +=3, ，()3,6 …12分则当3,11==y x 时，36333max =+=k所以8736123min =-=P （元）,此时115050==x v ，1003300==ω答：当3,11==y x 时，所需要的费用最少，为87元。
上海2020届高三数学二模汇编数列
2020届高三数学二模汇编数列、填空题:已知等差数列｛a n ｝的各项不为零，且 a 3、a 13、a 63成等比数列，则公比是记S n 为等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3 2s l S 2, a 2,已知直线l 1：y x,斜率为q (0 q 1)的直线与x 轴交于点A,与y 轴交于点B o (0,a),过B o 作x 轴的平 行线，交11于点A,过A 1作y 轴的平行线，交12于点B 1,再过B 1作x 轴的平行线交11于点A2,,这样依次得线一 n 1 1 ........... 设C n 3 ,则数列 C n 的前2020项之和为 a n b n1. 已知无穷数列a n2 ("W_ _ * ............... . _ _ 一・一 .. .n N ,则数列｛a n ｝的各项和为2. 3. 数列｛a n ｝的通项公式a n1 ,n n 1 2n ，n 1,2 * n N ,刖n 项和为S n ,则lim S n n4. LT 我们把一系列向量a i (i LT1,2, ,n)按次序排成一列，称为向量列，记作 ｛a i ｝,已知向量ur ｛a i ｝满足 a (1,1),LU 1 ULLT UTa n (x n ,y n ) 2 Jn 1 y n 1, x n 1 y n 1)(n 2),设 n 表示向量 2门 1 与 2门夹角，若2b n n5. —log a (1 2a)恒成立，则实数a 的取值范围是 b 2n6.、… _ _ *. .n设 n N , a n 为(x 2)(x 1)n 的展开式的各项系数之和,1—t 6, t 2 R,b n[a 1] [2a 2]3 323n([x]表示不超过实数x 的最大整数)22(n t)2(b m)2的最小值为7. 8. 记x n 为点B n 的横坐标，则lim x n n na 33,a 3 a 410.若二项式1 2x4展开式的第4项的值为412 ,则lim x n3.. 一-,则 lim S n 2 nn11.已知数列 a n , b n 满足a 〔 D 1 ,对任何正整数n 均有 a n 1 a n b n｛a bn , b n 1a nb n J a 2 b n 2,不等式5若a ?12.等差数列a n的前n项和为S n ,若a〔a§ 42a7.............. .. .一一an 1 an * ................. — . _ 一.13.已知数列a n的首项a i 1,且满足0 n N ，数列a n的前n项和为& ,则n ।/ n 11/1 2lim S n n -------------------14.已知集合A n K,X2,L ,X n |x 1,i 1,2,L ,n ,元素1n 1,1,L ,1称为集合A n的特征元素，对于A n中的元素a 2,a2,L ,a n与b b1,b2,L b n,定义：f n a b a1bl a2b2L a n b n,当n=9 时，若a是集合A中的非特征元素，则f919 a 1的概率为15.记等差数列a n的前n项和为S n,若a3 1§ 14 ,则a§二、选择题：1.用数学归纳法证明13 5 （ 1）n（2n 1）（ 1）n n , n N成立.那么，“当n 1时，命题成立”是“对* ..... .. ..n N时，命题成立”的（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要..... ・ . .. .. --- . . . ................................................................. .. . . . . - * ... .2.已知等差数列｛a n｝与等比数列｛b n｝的首项均为1,且公比q 1,若存在数对（k,t）, k,t N ,使得a k b t,称这样的数对（k,t）为｛a n｝与｛b n｝相关数对，则这样的数对（k,t）最多有（）对则数列｛b n｝是（A.单调递增数列且lim b n 1B.单调递减数列且lim b n1n 2 n 2C.单调递增数列且lim bnn 2 D.单调递减数列且lim b nn212,则S7 ____________A. 2B. 3C. 4D. 53.设等比数列｛a n｝的前n项和为S n,首项a 1,且2s2 S4 3s3，已知-* … \ 一. ■m,n N ,若存在正整数i、j (1 使彳# ma、mn、na j成等差数列，则mn的最小值为（A. 16B.12r ur4.已知e、f是互相垂直的单位向量,C. 8D. 6ur r uu ur uu向量a n满足：e a n n , f a nir uur2n 1 , b n是向量f与a n夹角的正切值,A是边长为科同i的矩形的周长i 1,2,L ，则“数列A n为等差数列”的充要条件是（）A.a n是等差数列B.a1，a3, L , a?n i,L 或a2, a4,L , a?n,L 是等差数列C.a i,a3,L , a2n i,L 和a2,a4,L ,a?n,L 都是等差数列D.a i,a3,L ,a2ni,L和a2,a4,L ,a2n,L都是等差数列，且公差相同6.我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增5.设a n是各项为正数的无穷数列,倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺,小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍, 小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为（A. 3B. 4 D. 62x A.记椭圆一42ny4n ii围成的区域（含边界）n ( n i,2,),当点(x, y)分别在上时，x y的最大值分别是M i, M2, ，则lim M nnA. 2 ,5B.4C.3D.2.2三、解答题：1.据相关数据统计，2019年底全国已开通5G基站13万个，部分省市的政府工作报告将“推进5G通信网络建设”列入2020年的重点工作，今年一月份全国共建基站3万个.(1)如果从2月份起，以后的每个月比上一个月多建设2000个，那么，今年底全国共有基站多少万个.(精确到0.1万个)(2)如果计划今年新建基站60万个，到2022年底全国至少需要800万个，并且，今后新建的数量每年比上一年以等比递增，问2021年和2022年至少各建多少万个才能完成计划？(精确到1万个)2.已知项数为m (m N , m 2)的数列｛4｝满足条件：① a n N* (n 1,2, ,m)^a1 a2 a m ;若数列｛b n｝满足b n (a-a ----------------------- a m)-a n N* (n 1,2, ,m),m 1则称｛ b n｝为数列｛为｝的“关联数列”.(1)数列1, 5, 9, 13, 17是否存在“关联数列”？若存在，写出其“关联数列”，若不存在，请说明理由；(2)若数列｛a n｝存在“关联数列” ｛b n｝,证明：a n 1 a n m 1 (n 1,2, ,m 1)；(3)已知数列｛a n｝存在“关联数列” ｛b n｝,且a1 1, a m 2049,求数列｛a0｝项数m的最小值与最大值.3.若数列C n满足“对任意正整数i,j,i j ,都存在正整数k,使得C k GC j”，则称数列C n具有“性质P”，已知数列a n无无穷数列.(1)若a n为等比数列，且a1 1,判断数列a n是否具有“性质P”，并说明理由；(2)若a n为等差数列，且公差d<0 ,求证：数列a n不具有“性质P” ；(3)若等差数列a n具有“性质P”，且a3 2 ,求数列a n的通项公式a n.4.已知函数f x的定义域为D,若存在实常数及a a 0 ,对任意x D,当x a D且x a D时，都有fxa f x a f x成立，则称函数f x具有性质M ,a .2(1)判断函数f x x是否具有性质M ,a，并说明理由；(2)若函数g x sin2x sinx具有性质M ,a，求及a应满足的条件；1 * (3)已知函数y h x不存在零点，当x R时具有性质M t - ,1 (其中t 0,t 1),记a n h n n N ,求证：数列a n为等比数列的充要条件是a2t或电1.a1 a1 t5.若数列｛a n｝与函数f (x)满足：①｛a n｝的任意两项均不相等，且f(x)的定义域为R ；② 数列｛a0｝的前n的项*的和S n f(a n)对任意的n N都成立；则称｛a n｝与f(x)具有“共生关系”. n(1)若a n 2 ( n N ),试写出一个与数列｛a0｝具有“共生关系”的函数f(x)的解析式；(2)若f(x) ax b与数列｛a n｝具有“共生关系”，求实数对(a,b)所构成的集合，并写出a n关于a、b、n的表达式；(3)若f(x) x2 cx h ,求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列｛a n｝,使得｛a n｝与f(x)具有‘共生关系’”，、一，“，，… 1 1 ,,的充要条件是“点(c,h)在射线x 1(y 卷)上.* *6.对于无穷数列｛a n｝、｛b n｝, n N ,若b k max｛a1，a2,L ,aj min｛a i,a2 ,L , aQ , k N ,则称数列｛b n｝是数列｛a n｝的“收缩数列"，其中max｛a1，a2,L ,aj、min｛q, a2,L ,aj分别表示a1，a2,L冏中的最大项和最小项,已知数列｛a n｝的前n项和为S n ,数列｛b n｝是数列｛%｝的“收缩数列”.(1)若a n 3n 1 ,求数列｛b n｝的前n项和；(2)证明：数列｛b n｝的“收缩数列”仍是｛b n｝；(3)若s S2 L S n n(n%1 n(n1)b n (n 1,2,3 )，求所有满足该条件的数列｛a n｝.2 27.若数列a n对任意连续三项a i ,a i 1,aj i 2,均有aia 2 a i 1 0,则称该数列为“跳跃数歹(1)判断下列两个数列是否是跳跃数列:1,2 ,3,4,5,(2)若数列0 ai 1.(3)跳跃数列8.在无穷数列(1)若a1(2)若S3(3)证明:1,a n11112,4, 8 ,16满足对任何正整数均有a n a i an & 0 .证明：数列a n是跳跃数列的充分必要条件是a n满足对任意正整数均有a n19a n中，a n N ,且a na n 1 2a n2a n，一一—,求首项a1的取值范围.a n是偶数、》工土 , c，记a n的刖n项和为S n.3,10,17,a n求S9的值;求a1的值;中必有一项为1或3.9.已知数列｛X n｝,若对任意n N* ,都有x x n 2X n 1成立，则称数列｛X n｝为“差增数列”.22(1)试判断数列a n n2 (n N )是否为“差增数列”，并说明理由； ......................... .… ......................................................................................................... . * .・................. .・一・一(2)若数列｛a n｝为“差增数列"，且a n N , a i a2 1,对于给定的正整数m,当a m ,项数k的最大值为20时，求m的所有可能取值的集合； __________________ _ . .. . . * . . . . . 一■(3)右数列｛lg x n｝为“差增数列” ，(n N , n 2020),且lgX i lgx? lg .20 0 ,证明：x^x.1 .10.随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放，据统计研、 .. . ................................................... ... 一................................... . *究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型( nN)200n 1500 1 n 6n 6300 3k 2400 7 n 28表示第n个时刻进入园区的人数,以f (n)23400 650n 29 n 360 1 n 15以g(n) 400n 5000 16 n 28表示第n个时刻离开园区的人数8200 29 n 36设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即n 1 , 8点30分作为第2个计算单位，即n 2 ,依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位(最后结果四舍五入，精确到整数).(1)试分别计算当天12: 30至13: 30这一小时内，进入园区的游客人数f(19) f (20)f(21) f (22)和离开园区的游客人数g(19) g(20) g(21) g(22)；(2)请问，从12点(即n 16)开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由^_ _ .、 . _ _ .. . . . ..* ............... - . * . . 一・,… ・. - -11.右无否数列｛a n｝满足：存在k N ,对任意的n n° ( n N ),都有a n k a n d (d为常数)，则称｛a n｝具有，f'生质Q(k,n0,d).(1)若无穷数列｛小｝具有性质Q(3,1,0),且a i 1,% 2, a3 3 ,求a? a3 a4的值；(2)若无穷数列｛b n｝是等差数列，无穷数列｛G｝是公比为正数的等比数列， b C5 1,b5 G 81, a n b n C n ,判断｛a n｝是否具有性质Q(k,n o,0),并说明理由； . .. - - .... _ *(3)设无穷数列｛a n｝既具有性质Q(i,2,d1),又具有性质Q(j2d2),其中i, j N , i j,i、j互质，求证：数列｛4｝具有f质Q(j izLidJ.i* -- - -12.定义：｛a n｝是无穷数列，若存在正整数k使得对任意n N ,均有a n k a n (a n k a n),则称｛a n｝是近似递增(减)数列，其中k叫近似递增(减)数列｛a n｝的间隔数.(1)若a n n ( 1)n, ｛a n｝是不是近似递增数列，并说明理由；............ 一一， 1 …一二 4 一，、，…,…,(2)已知数列｛a n｝的通项公式为a n ——" a ,其前n项的和为& ,若2是近似递增数列｛ S n｝的间隔数，求a (2)n 1的取值范围；(3)已知a n n sinn ,证明｛小｝是近似递减数列，并且4是它的最小间隔数.213.两个数列｛0｝、｛n｝,当｛0｝和｛n｝同时在0 %时取得相同的最大值，我们称｛0｝与｛n｝具有性质P,其*中n N .(1)设(1 x)2022的二项展开式中x k 的系数为a (k 0,1,2,3, ,2022 ), k N,记a o c1, a1 C2, ,依次下去 , a2022 C2023 ,组成的数列是｛c n｝;1 2022 . . k , -一同样地，(x -) 的二项展开式中x的系数为d(k 0,1,2,3, ,2022 ), k N,x记b0 d1，bi d2 , ,依次下去, b2022 d2023 , 组成的数列是｛d n｝；判别｛C n｝与｛d n｝是否具有性质P,请说明理由；(2)数列｛t dn｝的前n项和是s ,数列｛1982 3n｝的前n项和是T n ,若｛S n｝与｛T n｝具有性质P , d,t N*,则这样的数列｛t dn｝一共有多少个？请说明理由；_ 、 > » 1 一一一.一一 . * ............................................................(3)两个有限项数列｛a n｝与｛b n｝满足a n 1 a n (b n 1 b n) , n N ,且a1 b 0 ,是否存在实数，使得｛，｝与｛b n｝具有性质P,请说明理由.。
上海市黄浦区2020届高三二模数学卷(含答案)
yxO PA BC Q 上海市黄浦区2020届高三二模数学卷2020年5月一、填空题（本大题共有12题，满分54分.其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[1．若集合{1,2,3,4,5}A =，2{|60}B x x x =−−<，则A B ∩=.2．函数22cos 2y x =+的最小正周期为．3．某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选户.4．若直线1:350l ax y +−=与2:210l x y +−=互相垂直，则实数a的值为.5．如果sin 3α=−，α为第三象限角，则3πsin()2α+=.6．若一圆锥的主视图是边长为6的正三角形，则此圆锥的体积为.7．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的一条渐近线平行于直线l ：210y x =+，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为.8．已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[2,0]−，则(1)f −=.9．当,x y 满足270101x y x y x +−−−，， 时，|2|x y a − 恒成立，则实数a 的取值范围是.10．某班共有4个小组，每个小组有2人报名参加志愿者活动．现从这8人中随机选出4人作为正式志愿者，则选出的4人中至少有2人来自同一小组的概率为．11．已知a R ∈，函数22(0)()1(0)a x f x xx x+> = +≤ ，若存在不相等的实数123,,x x x ，使得11()f x x =22()f x x =33()2f x x =−，则a 的取值范围是．12．点A 是曲线y =(2)y ≤上的任意一点，(0,2)P −,(0,2)Q ，射线QA 交曲线218y x =于B 点，BC 垂直于直线3y =，垂足为点C ．则下列结论：（1）||||AP AQ −为定值；（2）||QB ||BC +为定值5；（3）||||||PA ABBC ++为定值5+.其中正确结论的序号是．二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．“函数()()f x x R ∈存在反函数”是“函数()f x 在R 上为增函数”的（）..A 充分而不必要条件.B 必要而不充分条件.C 充分必要条件.D 既不充分也不必要条件14．设12,z z 是复数,则下列命题中的假命题是（）..A 若12||0z z −=,则12z z =.B 若12z z =,则12z z =.C 若||||21z z =,则2112··z z z z =.D 若12||||z z =,则2122z z =15.已知e f ,是互相垂直的单位向量，向量n a 满足：n e a n ⋅= ，21n f a n ⋅=+ ，n b 是向量f 与n a夹角的正切值，则数列{}n b 是（）..A 单调递增数列且1lim 2n n b →∞=.B 单调递减数列且1lim 2n n b →∞=.C 单调递增数列且lim 2n n b →∞=.D 单调递减数列且lim 2n n b →∞=16．如图，直线l ⊥平面α,垂足为O ，正四面体ABCD 的棱长为2，, A D 分别是直线l 和平面α上的动点，且BC l ⊥，则下列判断：①点O 到棱BC 中点E1+；②正四面体ABCD 在平面α上的射影面积的最大值为（）..A ①②都正确.B ①②都错误.C ①正确，②错误.D ①错误，②正确三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在三棱椎P ABC −中，PA ⊥平面ABC ，90,BAC ∠=D E F 、、分别是棱AB BC CP 、、的中点，1AB BC ==,2PA =．（1）求异面直线PB 与DF 所成的角；（2）求点P 到平面DEF 的距离．图①图②18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．设1122(,),(,)A x y B x y 是函数21log 21xy x =+−的图像上任意两点，点00(,)M x y 满足OM = 1()2OA OB + ．（1）若012x =，求证：0y 为定值；（2）若212x x =，且01y >，求1x 的取值范围，并比较1y 与2y 的大小．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．某公园计划在矩形空地上建造一个扇形花园.如图①所示，矩形ABCD 的AB 边与BC 边的长分别为48米与40米，扇形的圆心O 为AB 中点，扇形的圆弧端点,E F 分别在AD 与BC 上，圆弧的中点G 在CD 上．（1）求扇形花园的面积（精确到1平方米）；（2）若在扇形花园内开辟出一个矩形区域1111A B C D 为花卉展览区．如图②所示，矩形1111A B C D 的四条边与矩形ABCD 的对应边平行，点11,A B 分别在,OE OF 上，点11,C D 在扇形的弧上.某同学猜想：当矩形1111A B C D 面积最大时，两矩形1111A B C D 与ABCD 的形状恰好相同（即长与宽之比相同），试求花卉展览区1111A B C D 面积的最大值，并判断上述猜想是否正确（请说明理由）.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知点,A B 分别是椭圆2222 :1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点与上顶点，坐标原点O 到直线AB 且点A 是圆:Γ222((0)x y r r +=>的圆心．动直线:l y kx =与椭圆交于,P Q 两点．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点S 在线段AB 上，()OS OP R λλ+=∈，且当λ取最小值时直线l 与圆Γ相切，求r 的值；（3）若直线l 与圆Γ分别交于,G H 两点，点G 在线段PQ 上，且||||QG PH =，求r 的取值范围.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．若数列{}n a 与函数()f x 满足：①{}n a 的任意两项均不相等，且()f x 的定义域为R ；②数列{}n a 的前n 的项的和()n n S f a =对任意的*n N ∈都成立，则称{}n a 与()f x 具有“共生关系”.（1）若*2()n n a n N =∈,试写出一个与数列{}n a 具有“共生关系”的函数()f x 的解析式；（2）若()f x ax b =+与数列{}n a 具有“共生关系”，求实数对(,)a b 所构成的集合,并写出n a 关于,,a b n 的表达式；（3）若2()f x x cx h =++,求证：“存在每项都是正数的无穷等差数列{}n a ，使得{}n a 与()f x 具有‘共生关系’”的充要条件是“点(,)c h 在射线11()216xy =≤上”.参考答案与评分标准一、填空题：（1~6题每题4分；7~12题每题5分）1.{1,2}；2.π；3.56；4.6−；5.13；6.；7.221520x y −=；3；9.[4+)∞，；10.2735；11.(,4)−∞−；12.①②.二、选择题：（每题5分）13.B ；14.D ；15.A ；16.C.三、解答题：（共76分）17．（1）如图，分别以,,AB AC AP 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0)(0,1,0)(0,0,2)A B C P ,,，11(,0,0),(0,,1)22D F ,故11(1,0,2),(,,1),22BP DF =−=− ……2分所以cos ,BP DF <>= …………4分可得,6BP DF <>= ，故异面直线PB 与DF所成的角为.…………6分（另法:先证明,DF EF DE EF ⊥，然后在直角DEF △中，可求得所成角为5arctan5）.（2）同（1）建立空间直角坐标系，则111(0,,0),(,,1),222DE DF − ………7分设(,,1)n x y = 是平面DEF 的一个法向量，则00n DE n DF ⋅= ⋅=，，可得102111022y x y= −++= ，，解得20x y = = ，，所以(2,0,1)n = ，………11分又1(0,,1)2PF =−，P 到平面DEF 的距离5||5||PF n d n ⋅==．.…………14分18．（1）由1()2OM OA OB =+ ，可知01211()22x x x =+=，即121x x +=，…………2分1212012222121211111()(log log )(1log 2221212(1)(1)+x x x x y y y x x x x =+=+++=−−−−，故12022111(1log 22+x x y x x =为定值.…………………6分（2）由122x x =，01y >，可得1122112log log 1112x x x x +>−−，…………………7分它等价于1111121111110,2120,0,122333102222112x x x x x x x x x x x << >⇔<<⇔−+ << −+< ⋅>−− 解得1x的取值范围是1)2.…………………11分此时由111111120112(1)(12)x x x x x x x −−=<−−−−，可知111120112x x x x <<−−，故112211112log log 21212+x x x x <+−−，即12y y <.…………………14分19．（1）设2 EOF θ∠=，则BFO θ∠=，在直角OBF △中，，124,402BO AB OF BC ====，3sin 5OB OF θ==，3arcsin 5θ=，…………………3分可得扇形的面积21133402arcsin 1600arcsin 1030255S =⋅⋅=≈平方米，所以扇形花园的面积约为1030平方米.………………6分（2）在图2中，连1OC ，设11(0)FOC OC r ααθ∠=<<=,，则在11OB C △中，由111sin sin B C OC αθ=，可得11sin sin r B C αθ=，又112sin()C D r θα=−，34sin cos 55θθ==，所以矩形1111A B C D 的面积21111sin 2sin()sin r S B C C D r αθαθ=⋅=⋅−…………………9分22210sin (sin cos cos sin )(6sin cos 8sin )33r r αθαθαααα−=−216004(3sin 24cos 24)arcsin )4]335r ααα+−=+−，当且仅当4π2arcsin 52α+=，即1π4(arcsin )2252θα=−=时，2S 取最大值，2S 的最大值为16003，所以花卉展览区1111A B C D 面积的最大值为16003平方米.………12分当1111A B C D 的面积最大时，2θα=，此时11112sin()64862sin ,sin 5405sin C D r CD r B C BC θαθαθ−===== ，从而两矩形长和宽之比相等，所以两矩形的形状相同，即该同学的猜想是正确的.…………………14分20.解：（1）由题意知，a =6,3=可得1b =，…………………3分故椭圆方程为2212x y +=.…………………4分（2）设π,sin )([0,2P ααα∈，则cos ,sin )S αλα，………………6分代入直线AB1y =，可得(cos sin )1λαα+=，故1cos sin λαα==+，故当且仅当α取π4时，λ取最小值.………8分此时点P 的坐标为22，直线l的方程为0x =，故63r =.…………10分（3）由||||QG PH =，可得||||PQ GH =，将y kx =代入椭圆C 的方程，可得22(12)2k x +=，即x =||PQ =又A 到直线l ，故||GH =，，…………………13分可得22222222222(1)422(1)+2112112k k k k r k k k k +++==+−++++，令2222112[1,2)11k z k k +==−∈++，则212(2[23)r z z=+−∈,，故r 的取值范围是.…………………16分21.解：（1）由2nn a =，可知12(12)222212n n n n S a +−==−=−−，所以与数列{}n a 具有“共生关系”函数()f x 的解析式可以是()22f x x =−.……4分（2）由题意得n n S aa b =+，令1n =，可得11a aa b =+，即1(1)a a b −=，①若10a b =≠,，此式不成立，不合题意；若10a b ==,，由22S a =，可得10a =，又33S a =，可得20a =，与{}n a 任意两项均不相等产生矛盾，故此时也不合题意.………5分②若1a ≠，可得11b a a=−，若0b =，则由111a S aa ==与1222a a S aa +==，可得120a a ==，不合题意.若0b ≠，0a =，则n S b =，当2n ≥时，0n a =，不合题意.…………6分若0b ≠，0,1a ≠，则n S b =，由n n S aa b =+，+1+1n n S aa b =+，可得1+1+1n n n n n a S S aa aa +−−，即11n n a a a a +=−，此时数列{}n a 是首项为1b a−，公比为1a a −的等比数列，又{}n a 的任意两项均不相等，故11a a ≠±−，可知12a ≠，……8分所以实数对(,)ab 所构成的集合为1{(,)|0,1,,2a b a ≠且0,R}b a b ≠∈其中,，且11(11(1)n n n n b a baa a a a −−=⋅=−−−.……10分（3）(必要性)法一:若{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列,且它与()f x 具有“共生关系”,则由2n n n S a ca h =++，2+1+1+1n n n S a ca h =++，可知221+1+1+1+11()()()n n n n n n n n n n n a S S a a c a a a a a a c ++=−=−+−=−++，……11分故11[2(21)]a nd d a n d c +=+−+，即2112(2)a nd d n da d cd +=+−+恒成立，故2112,2d d ada d cd = =−+ ，解得12c d ==，……13分又由211112n a S a a h ==++，可得21102n a a h −+>，由1404h ∆=−≥，可知116h ≤.所以点(,)c h 在射线11()216x y =≤上.……14分法二：若{}n a 是等差数列，且它与()f x 具有“共生关系”,设(0)n a dn m d =+≠，则由2n n n S a ca h =++,可知2(1)()()2n n dmn dn m c dn m h ++=++++，……11分所以2222((2)()22d dn m n d n md cd n m cm h ++=+++++恒成立，故2212220d d d m md cd m cm h =+=+=++，，，可得211,022c d m m h ==++=且有实根，……13分即1404h ∆=−≥，可知116h ≤.所以点(,)c h 在射线11()216x y =≤上.……14分(充分性)若点(,)c h 在射线11()216x y =≤上，则11,216c h =≤，又方程211112a a a h =++等价于211102a a h −+=，1404h ∆=−≥，且1a =1a =，它显然是正数且满足1(1)S f =，……16分令+112n n a a −=,则22+1+111(1)()()()22n n n n f n f n a a a a +−=+−++1+1+1+111()(+)(2)22n n n n n n a a a a a a =−+==，故当2n ≥时，12(1)[(2)(1)][(3)(2)][()(1)]n n S a aa f f f f f f n f n =+++=+−+−++−− ()f n =，这里的无穷数列{}n a ，公差为12的无穷等差数列，其每一项都是正数.所以存在每项都是正数的无穷等差数列{}n a ，使得{}n a 与()f x 具有“共生关系”..……18分另法：直接证明首项为1+1164、公差为12的等差数列满足条件②，即可.。
2019-2020年高三二模数学(文)试题分类汇编5：数列 含答案
2019-2020年高三二模数学（文）试题分类汇编5：数列 含答案一、填空题1 ．（上海市闸北区xx 高三第二学期期中考试数学(文)试卷）设,,,则数列的通项公式_______.2 ．（上海市徐汇、松江、金山xx 高三4月学习能力诊断数学（文）试题）如图,对正方形纸片进行如下操作:第一步,过点任作一条直线与边相交于点,记;第二步,作的平分线交边于点,记;第三步,作的平分线交边于点,记;按此作法从第二步起重复以上步骤,得到 ,则用和表示的递推关系式是____________.α1α2第三步第二步第一步E 3DCBAE 2E 2ABCDE 1E 1DCB A α1α3第14题图3 ．（上海市普陀区xx 高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）若表示阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n a n ,853543211111 中第行、第列的元素,其中第行的元素均为,第列的元素为,且(、),则____________.4 ．（上海市浦东区xx 高考二模数学（文）试题 ）数列满足().①存在可以生成的数列是常数数列;②“数列中存在某一项”是“数列为有穷数列”的充要条件; ③若为单调递增数列,则的取值范围是; ④只要,其中,则一定存在;其中正确命题的序号为__________.5 ．（上海市闵行区xx 高三4月质量调研考试数学(文)试题）公差为,各项均为正整数的等差数列中,若,则的最小值等于_________________.6 ．（上海市黄浦区xx4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）等差数列的前10项和为,则_____.7 ．（上海市虹口区xx高三（二模）数学（文）试卷）设,称为整数的为“希望数”,则在内所有“希望数”的个数为_____________.8 ．（上海市虹口区xx高三（二模）数学（文）试卷）数列的通项,前项和为,则____________.9 ．（上海市奉贤区xx高考二模数学（文）试题）设正项数列的前项和是,若和{}都是等差数列,且公差相等,则________10．（上海市长宁、嘉定区xx高考二模数学（文）试题）(文)设数列是公差不为零的等差数列,,若自然数满足,且是等比数列,则=_______________.二、解答题11．（上海市闸北区xx高三第二学期期中考试数学(文)试卷）本题满分16分,第1小题满分8分,第2小题满分8分设数列与满足:对任意,都有,.其中为数列的前项和.(1)当时,求的通项公式,进而求出的通项公式;(2)当时,求数列的通项以及前项和.12．（上海市徐汇、松江、金山xx高三4月学习能力诊断数学（文）试题）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列的前项和为,数列是首项为,公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,对任意的正整数,将集合中的三个元素排成一个递增的等差数列,其公差为,求;(3)对(2)题中的,设,,动点满足,点的轨迹是函数的图像,其中是以为周期的周期函数,且当时, ,动点的轨迹是函数的图像,求.13．（上海市普陀区xx 高三第二学期（二模）质量调研数学（文）试题）本大题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分 ,第3小题满分8分.对于任意的,若数列同时满足下列两个条件,则称数列具有“性质”:①; ②存在实数,使得成立. (1)数列、中,、(),判断、是否具 有“性质”;(2)若各项为正数的等比数列的前项和为,且,,求证:数列具有“性质”; (3)数列的通项公式().对于任意且,数列具有“性质”,求实数的取值范围.14．（上海市浦东区xx 高考二模数学（文）试题 ）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分.已知直角的三边长,满足(1)在之间插入xx 个数,使这xx 个数构成以为首项的等差数列,且它们的和为,求的最小值.(2)已知均为正整数,且成等差数列,将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列,求n n n S S S S T )1(321-++-+-= ().(3)已知成等比数列,()n nn c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,证明:数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形. 15．（上海市闵行区xx 高三4月质量调研考试数学(文)试题）本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分,第(3)小题满分8分.过坐标原点作倾斜角为的直线交抛物线于点,过点作倾斜角为的直线交轴于点,交于点;过点作倾斜角为的直线交轴于点,交于点;过点作倾斜角为的直线,交轴于点,交于点;如此下去.又设线段112231n n OQ Q Q Q Q Q Q ，，，，，L L 的长分别为,数列的前项的和为. (1)求;(2)求,;(3)设,数列的前项和为,若正整数成等差数列,且,试比较与的大小.解:16．（上海市静安、杨浦、青浦、宝山区xx 高三4月高考模拟数学(文)试题）本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分. 已知数列的前项和为,且,.从中抽出部分项 ,组成的数列是等比数列,设该等比数列的公比为, 其中. (1)求的值;(2)当取最小时,求的通项公式; (3)求的值.17．（上海市黄浦区xx4月高考（二模）模拟考试数学（文）试题）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.已知数列具有性质:①为整数;②对于任意的正整数n,当为偶数时,;当为奇数时,.(1)若,求数列的通项公式;(2)若成等差数列,求的值;(3)设(且N),数列的前n项和为,求证:.黄浦区xx高考模拟考数学试18．（上海市虹口区xx高三（二模）数学（文）试卷）已知复数,其中,,,是虚数单位,且,.(1)求数列,的通项公式;(2)求和:①;②.19．（上海市奉贤区xx高考二模数学（文）试题）已知数列对任意的满足:,则称为“Z数列”.(1)求证:任何的等差数列不可能是“Z数列”;数列是“Z数列”,数列是否可能是等比数列,说明理由,构造一个数列,(2)若正数列,使得是“Z数列”;(3)若数列是“Z数列”,设求证20．（上海市长宁、嘉定区xx高考二模数学（文）试题）(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分8分,第3小题6分)(文)已知数列的前项和为,且对于任意,总有.(1)求数列的通项公式;(2)在与之间插入个数,使这个数组成等差数列,当公差满足时,求的值并求这个等差数列所有项的和;(3)记,如果(),问是否存在正实数,使得数列是单调递减数列?若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由.上海市16区xx 高三二模数学（文）试题分类汇编5：数列参考答案一、填空题 1. 2. 3. 4. ①④. 5. ; 6. 12; 7. 9; 8. 7; 9. 10. (文) 二、解答题11.解:由题意知,且两式相减得()()1121nn n n b a a b a ++--=-即 ① (1)当时,由①知于是()()1122212nnnn n a n a n +-+⋅=+-+⋅又,所以是首项为1,公比为2的等比数列.故知,, 再由,得. (2)当时,由①得1111122222n n n n n a ba b b+++-⋅=+-⋅-- 若,, 若,, 若,数列是以为首项,以为公比的等比数列,故12)1(2221-⋅--=⋅--n n n b b b b a , ()[]122221--+-=n n n b b b a()()1213212)1(2222221-+⋅⋅⋅+++--++⋅⋅⋅+++-=n n n b b b b b b S时,符合上式所以,当时,12.本题共有3个小题,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分6分, 第(3)小题满分8分.解: (1)由条件得,即 所以(2) 由(1)可知,所以22222144(2)21515k k k b ---=-=⋅,2121244(2)21515k k k b --=-=-⋅ 222144(2)21515k k k b +=-=⋅由及得依次成递增的等差数列,所以22221214442215155kk k k k k d b b -+-=-=⋅-⋅= (3)由(2)得,即当33(1)()m x m m Z <≤+∈时,,由是以为周期的周期函数得,()(3)lg(3)g x g x m x m =-=-, 即(333())m x m m Z <≤+∈设是函数图象上的任意点,并设点的坐标为,则而(333())N m x m m Z <≤+∈, 于是,(3133())m x m m Z <+≤+∈, 所以,(3132())m x m m Z -<≤+∈13.解:(1)在数列中,取,则,不满足条件①,所以数列不具有“性质”;在数列中,,,,,,则,,,所以满足条件①;()满足条件②,所以数列具有“性质” (2)由于数列是各项为正数的等比数列,则公比,将 代入得,,解得或(舍去) 所以,,对于任意的,122212212122+++=-<--=+n n n n n n S S S ,且 所以数列满足条件①和②,所以数列具有“性质”(3)由于,则,由于任意且,数列具有“性质”,所以 即,化简得,,即对于任意且恒成立,所以①1121)1(21++-+--=-n n n n n t tn d d =由于及①,所以 即时,数列是单调递增数列,所以最大项的值为满则条件②只需即可,所以这样的存在② 所以即可14.解:(1)是等差数列,∴,即所以,的最小值为; (2)设的公差为,则, 设三角形的三边长为,面积21346()2d S d d d d Z =⨯⨯=∈,, 当为偶数时,)4321(622222321n S S S S T n n +-+-+-=++-+-=n n n 33)4321(62+=++++++= ;当为奇数时,n n n n n S T T n n n 336)1(3)1(32221--=--+-=-=-; 综上,(3)证明:因为成等比数列,由于为直角三角形的三边长,知,,()nnn c a n N a c *⎛⎫⎛⎫=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得nn n X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2512515 于是11125125125125155+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n n n n X X2225251251+++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n X,则有)222+=故数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形15. [解] (1)如图,由是边长为的等边三角形,得点的坐标为,又在抛物线上,所以,得同理在抛物线上,得(2)如图,法1:点的坐标为,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，,所以直线的方程为或,因此,点的坐标满足 消去得 , 所以 又,故 从而 ① 由①有 ②②-①得22113()2()4n n n n n a a a a a ++---=即11()(332)0n n n n a a a a +++--=,又,于是 所以是以为首项、为公差的等差数, (文)1()1(1)23n n a a n S n n +==+ 文2分 法2:点的坐标为,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，, 所以直线的方程为或因此,点的坐标满足消去得, 又,所以,从而 ① 以下各步同法1 法3:点的坐标为,即点100(,0)(=0)n S Q S -点与原点重合，,所以, 又在抛物线上,得 即以下各步同法1(3)(文)因为2(1)231323n n n nb aa b a++==,所以数列是正项等比数列,且公比,首项, 因正整数成等差数列,且,设其公差为,则 为正整数,所以,, 则,,,=2321000020(1)(1)(1)(1)(1)p p d p d p d b q q q q q +++⎡⎤⋅-----⎣⎦- 2231000020()()(1)p d p d p p db q q q q q +++⎡⎤=⋅+-+⎣⎦- 而23200000000()()(1)(1)p dp d p p d p d p d d q q q q q q q q +++++-+=---22000000(1)(1)(1)(1)d p d p d dq q q q q q =--=---因为,所以,又为正整数,所以与同号, 故,所以,(第(3)问只写出正确结论的,给1分)16.本题共有3小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.解:(1)令得,即;又(2)由和⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-++=-+3)1()1(,3)1(11n n S a n n n S na n n n n 32)1(1n a a n na n n n +=--⇒+, 所以数列是以2为首项,为公差的等差数列,所以.解法一:数列是正项递增等差数列,故数列的公比,若,则由得,此时,由解得,所以,同理;若,则由得,此时组成等比数列,所以,,对任何正整数,只要取,即是数列的第项.最小的公比.所以.解法二: 数列是正项递增等差数列,故数列的公比,设存在组成的数列是等比数列,则,即()()232)2(322)2(32322322+=+⇒+⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+k k k k 因为所以必有因数,即可设,当数列的公比最小时,即,最小的公比.所以.(3)由(2)可得从中抽出部分项组成的数列是等比数列,其中,那么的公比是,其中由解法二可得. )2(32)32(312+=+⋅=-n n k k k a n 2)32(312-+⋅=⇒-n n k k 2)3223(31-+-⋅=⇒-n n t k , 所以3232)1(31221--⋅=-++++=+++-n t n t t t k k k n n n17.本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.(1)由,可得,,,,,,,,即的前7项成等比数列,从第8起数列的项均为0故数列的通项公式为72(17,)0,(8,)n n n n a n n -⎧≤≤∈=⎨≥∈⎩, N N (2)若时,,,由成等差数列,可知即,解得,故;若时,,,由成等差数列,可知,解得,故;若时,,,由成等差数列,可知,解得,故;若时,,,由成等差数列,可知,解得,故;∴的值为(3)由(),可得,,,若,则是奇数,从而1112112122t t k k a a -+---===-, 可得当时,成立又,,故当时,;当时,故对于给定的,的最大值为1231(23)(22)(21)(21)(21)m m m m ---=-+-+-+-++- 1211(2222)325m m m m m m --+=++++--=--,故18.解:(1),,. 由得i b a i i b a i b a i b a n n n n n n n n ⋅++=+⋅-+⋅+=⋅+++)2(32)()(211,数列是以1为首项公比为3的等比数列,数列是以1为首项公差为2的等差数列,,(2)由(1)知,. ①i n i b b b a a a z z z n n n n ⋅+-=⋅+++++++=+++2212121)13(21)()( ②令n n n b a b a b a S +++= 2211,)12(35333112-⋅++⋅+⋅+=-n S n n (Ⅰ)将(Ⅰ)式两边乘以3得)12(3533313332-⋅++⋅+⋅+⋅=n S n n (Ⅱ)将(Ⅰ)减(Ⅱ)得)12(33232323212132-⋅-⋅++⋅+⋅+⋅+=--n S n n n .)22(322+-+-=-n S n n ,19.解:(1)设等差数列的首项,公差,0)1(22)2(211111=----+++=-+-+d n a d n a nd a a a a n n n所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”或者根据等差数列的性质:所以任何的等差数列不可能是“Z 数列”(2)假设是等比数列,则是“Z 数列”,所以,所以不可能是等比数列,等比数列()1,0111≠<⋅=-q c q c c n n 只要首项公比其他的也可以:等比数列的首项,公比,通项公式112111122---+⋅-⋅+⋅=-+n n n n n n q c q c q c c c c ()()0112221221<-⋅⋅=+-⋅=--q q c q q q c n n 恒成立, 补充说明:分析:,根据几何意义只要的一阶导函数单调递减就可以(3)因为,,,,项一共1211211+---+---+++=-++-+-=-s t s t t s s t t t t s t b b b a a a a a a a a 同理:项一共1211211+-+-+-++++-+-+-+++++++=-++-+-=-s t m s m t m t m s m s t m t m m t m t m s m t b b b a a a a a a a a因为数列满足对任意的所以,,,,2211s m s m t t m t t b b b b b b >>>+-+--+-20. (文)(1)当时,由已知,得.当时,由,,两式相减得,即,所以是首项为,公比为的等比数列.所以,()(2)由题意,,故,即,因为,所以,即,解得,所以.所以所得等差数列首项为,公差为,共有项所以这个等差数列所有项的和所以,,(3)由(1)知,所以n n m m n m n n n 22log log 2)2(222⋅=⋅=⋅=⋅由题意,,即对任意成立,所以对任意成立因为在上是单调递增的,所以的最小值为.所以.由得的取值范围是.所以,当时,数列是单调递减数列。
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2020上海高三数学二模分类汇总-数列（含答案）2020届二模分类汇总-数列一、等差等比数列的性质与判定1、【2020年闵行区二模第4题】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3122S S S =+，12a =，则5a = 【答案：6】2、【2020年松江区二模第4题】等差数列的前项和为，若，则= ．【答案：28 】3、【2020年长宁区二模第8题】记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若31a =，714S =，则5a =__________．【答案：3】4、【2020年奉贤区二模第8题】已知等差数列{}n a 的各项不为零，且3a 、13a 、63a 成等比数列，则公比是【答案： 5 】5、【2020年嘉定区二模第7题】设各项均为正数的等比数列{}na 的前n 项和为n S ，11a =，236a a +=，则6S = 【答案： 63 】6、【2020年崇明区二模第15题】设{}n a 是各项为正数的无穷数列，i A 是边长为i a 、1i a +的矩形的周长（1,2,i =），则“数列{}n A 为等差数列”的充要条件是（） A. {}n a 是等差数列B. 1321,,,,n a a a -或242,,,,n a a a 是等差数列C. 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 都是等差数列D. 1321,,,,n a a a -和242,,,,n a a a 都是等差数列，且公差相同【答案： D 】{}n a n n S 15374,12a a a a +=+=7S7、【2020年嘉定区二模第16题】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2n S 是6和n a 的等差中项．若对任意的*n N ∈，都有1 3[n nS s S -∈，]t ，则t s -的最小值为( ) A ．23 B ．94 C ．12 D ．16【答案： B解析：由题意，64n n a S +=，∴1164n n a S --+=，作差11143n n n n n a a a a a ---=?=-，为等比数列，由111642a S a +=?=，1(1)31[1()]123n n n a q S q -==---，111()[,]339n -∈-，∴4[,2]3n S ∈，∴113113[,]42n n S S -∈，∴min 1113()24t s -=-=94。
】 8、【2020年虹口区二模第16题】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，且24323S S S +=，已知*,N m n ∈，若存在正整数i 、j （1i j <<），使得i ma 、mn 、j na 成等差数列，则mn 的最小值为（） A. 16 B. 12 C. 8 D. 6 【答案：C解析：24343232S S S a a +=?=，2q =，∵11a =，∴12n n a -=，根据题意，11222i j i j mn ma na m n --=+=?+?≥，≥，∴2232228i j mn +-+-≥≥=，当且仅当4m =，2n =时等号成立。
】二、数列的通项与求和9、【2020年青浦区二模第14题】我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：“今有垣厚八尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠日半尺，大鼠日增倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”，意思是“今有土墙厚8尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天打洞半尺，大鼠之后每天打洞长度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞长度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？”两鼠相逢需要的最少天数为………………………………… （）．（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6【答案：B 】10、【2020年杨浦区二模第9题】数列{}n a 满足11,a =且132n n a a n ++=+对任意*n N ∈均成立，则2020a =【答案：3031】11、【2020年徐汇区二模第16题】若数列{}n a 、{}n b 的通项公式分别为2020(1)n n a a +=-，2019(1)2n n b n+-=+，且n n a b <对任意n *∈N 恒成立，则实数a 的取值范围为（）A. [2,1)-B. 3[2,)2-C. 1[1,)2- D. [1,1)- 【答案：B解析：① 当n 为偶数时，12n n a b a n <?<-，∴min 113(2)222a n <-=-=；② 当n 为奇数时，n n ab <?-<+，即12a n >--，∵12y n=--递增，且1lim(2)2n n →∞--=-，∴2a ≥-；综上所述，a ∈3[2,)2-。
】12、【2020年青浦区二模第12题】定义函数{}{}()f x x x =，其中{}x 表示不小于x 的最小整数，如{}1.42=，{}2.32-=-，当()(0,]x n n N *∈∈时，函数()f x 的值域为n A ，记集合n A 中元素的个数为n a ，则n a =_______．【答案：(1)2n n n a +=解析：当(0,1]x ∈，{}1x =，(){{}}{}1f x x x x ===，有1个元素；当(1,2]x ∈，{}2x =， (){{}}{2}f x x x x ==，2(2,4]x ∈，∴{2}3x =或4，有2个元素；当(2,3]x ∈，{}3x =，(){{}}{3}f x x x x ==，3(6,9]x ∈，∴有963-=个元素；……；当(2,1]x n n ∈--，{}1x n =-，(){(1)}f x n x =-，2(1)((2)(1),(1)]n x n n n -∈---，∴有2(1)(2)(1)1n n n n ----=-个元素；当(1,]x n n ∈-，{}x n =，(){{}}{}f x x x nx ==，22(,]nx n n n ∈-，∴有22()n n n n --=个元素；且222((2)(1),(1)](,]n n n n n n --?--=I ，∴当(0,]x n ∈，12n a n =+++=(1)2n n +。
】 13、【2020年杨浦区二模第16题】设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,,n n n a a a ++的乘积是定值（1,2,3,,2010n =），命题① 存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1；② 不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1；的真假情况为（）A. ①和②都是真命题B. ①是真命题，②是假命题C. ②是真命题，①是假命题D. ①和②都是假命题【答案：D解析：① 110121111n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=?=，即周期为11，∵2020111837=?+，∴2020项中包含了183个完整周期，不到184个周期，若每个周期有2个1，则至少366（1832?）个1，若每个周期有1个1，则至多184个1，∴不可能恰有365个1；② 若每个周期有3个1，则至少549（1833?）个1，至多552（1843?）个1，所以可能存在满足条件的数列有550个1；综上，①和②都是假命题。
】14、【2020年金山区二模第11题】我们把一系列向量(1,2,...,)i ai n =u r按次序排成一列，称之为向量列，记作{}i a u r ，已知向量列{}i a u r 满足：1(1,1)a =u r ，()()11111,,(2)2n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥u u r ，设n θ表示向量1n a -u u u r 与n a u u r 的夹角，若2n n n b θπ=，对任意正整数n ，()...log 12a a >-恒成立，则实数a 的取值范围是________.【答案： 10,3（）解析：11cos ||||n n n n n a a a a θ--?===?u u u r u u ru u ur u u r22222==，∴4n πθ=，或者通过分析1a u u r 、2a u u r 、3a u u r 等前面几项也可以归纳出4n πθ=. ∴24n n b =，设()f n =+222()122f n n n n =+++++，∵222(1)()021221f n f n n n n +-=+->+++，∴()f n 单调递增，min ()(1)1f n f ==，即log (12)1a a -<，∵(12)0a ->，∴102a <<，∴log (12)log 12a a a a a a -，∴103a <<。
】 15、1、【2020年浦东新区二模第12题】已知数列{}{},n n a b ，满足111a b ==，对任何正整数n均有1n n n a a b +=+1n n n b a b +=+-113nn n n c a b ??=+，则数列{}n c 的前2020项之和为 . 【答案：202133-解析：()()222112n n n n n n n n a b a b a b a b ++?=+-+=，12n n n a b -= ()112n n n n a b a b ++=+∴+ ，2n n n a b ∴+= 113323n n n n n n n n n n a bc b b a a ??+∴=+==? ???()202020212020331326S ??=-?∴=- 】16、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nnx x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b=+++（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-?，R t ∈可用计算器分析2()3n n ?单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ?∈，∴[]13n nna n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示，当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小，∴min 22512d ==+，即2min 95d =。