数学抽象的定义
如何理解高中数学中的抽象概念？
如何理解高中数学中的抽象概念？如何能明白高中数学中的抽象概念？高中数学课程涵盖了许多抽象的概念，例如分段函数、极限、导数、积分等。
这些概念建立在逻辑推理和符号表达的基础上，初学者并不一定能轻易理解其含义和应用。
作为教育专家，我认为理解高中数学抽象概念的关键在于以下几个方面：一、建立形象直观的理解抽象概念不是凭空出现，它们源于对现实世界现象的抽象概括。
理解的关键在于将抽象概念与具体实例联系起来，建立比较直观的理解。
例如，函数的概念可以从现实世界中“对应关系”的例子出发，如温度和时间之间的关系、商品价格和销量之间的关系等。
通过具体例子，学生可以真正体会到函数的本质是描述事物之间的关系。
二、应用多种表达数学概念可以用多种方式表达，例如文字说明、符号表达式、图形图像等。
帮助和鼓励学生发挥多种表达来理解和解释抽象概念，利于增强他们从不同的角度明白问题。
例如，函数可以用文字描述、函数图像、函数表达式等多种方式表达，学生可以体会不同表达之间的联系，更深入地理解函数概念。
三、从具体到抽象学习抽象概念要循序渐进，从具体实例出发，逐步抽象，最终形成抽象概念的理解。
例如，学习导数概念可以先从速度、加速度等具体例子出发，然后再抽象概括，从中得到导数的概念。
在这个过程中，学生可以通过对具体实例的分析，更深刻地理解抽象概念背后的意义和应用。
四、注重概念之间的联系高中数学中的概念之间相互联系，例如，导数和积分是对立的，极限是导数和积分的基础。
理解概念之间的联系，可以帮助学生形成一个完整的知识体系，更好地理解抽象概念。
教师在教学过程中，应该注重引导学生发现概念之间的联系，并鼓励学生用已有的知识解释新的概念。
五、主动积极进行练习理解抽象概念需要通过大量的练习来巩固学习成果。
教师应该设计一些能够帮助学生运用抽象概念解决实际问题的练习，例如，用函数知识解决经济问题，用导数知识求解最值问题等。
通过解决问题，学生可以加深对抽象概念的理解，并体会到数学知识的实际应用价值。
数学中的抽象思维与思维方法
数学中的抽象思维与思维方法数学是一门理性思维与逻辑思维相结合的学科，它需要我们具备良好的抽象思维和运用有效的思维方法。
抽象思维是指将具体问题中的共性和本质进行提取和概括，思维方法则是指在解决问题时采取的套路和思考方式。
本文将从数学中的抽象思维和思维方法两个方面来探讨。
一.数学中的抽象思维数学的发展离不开抽象思维的运用。
抽象思维是指通过提取事物的共性与本质，将具体问题进行理性概括和抽象化的思维过程。
在数学中，抽象思维能够帮助我们理清问题的逻辑结构，找出问题的本质和规律。
1. 概念的抽象在数学中，概念是一切推理和论证的基础。
概念的形成需要我们对具体对象进行分类和归纳，将其相同的特征抽象出来，形成更高级别的概念。
例如，将不同的几何图形进行分类，我们可以抽象出“三角形”、“四边形”等几何概念，从而研究它们的共同性质。
2. 符号的运用符号在数学中起到了语言的作用，它可以帮助我们简洁、准确地表达数学概念和关系。
数学符号的引入，将复杂的问题转化为简单的符号运算，使得问题的表达更加精确和清晰。
比如，在代数中，我们用字母表示未知数，可以用简洁的代数表达式来表示复杂的数学关系。
3. 全盘抽象数学思维要求我们从一个更高的层次来看待和分析问题。
全盘抽象是指将具体问题中的各个要素进行整体思考和概括，从而发现问题之间的共性和联系。
例如，当我们研究某个数列时，要从整体上考虑数列的递推关系、极限性质等，而不仅仅局限于数列的具体项。
二. 数学中的思维方法除了抽象思维，数学中还有一些常用的思维方法，这些方法能够帮助我们更好地解决数学问题。
1. 归纳法归纳法是数学研究中常用的一种思维方法。
通过观察某一问题的若干个具体实例，总结其中的规律和特点，进而推广到一般情况。
归纳法在数学证明中起到了重要的作用，可以将具体问题抽象成一般性结论。
2. 演绎法演绎法是从已知条件出发，利用逻辑推理而得出结论的思维方法。
它是数学证明过程中的重要手段，通过运用数学公理、定理和推理规则，逐步推导出所要证明的结论。
如何理解抽象的数学概念？
如何理解抽象的数学概念？
哎，你说抽象数学概念这玩意儿，难搞吧？就像我上次去超市买了个大西瓜，店家说这瓜是“圆形”，我当时就愣住了。
圆形？什么玩意儿？我又不是数学家，哪懂什么圆形啊！
后来我仔细一想，圆形其实就是指西瓜的形状嘛！它不像方形的薯片那样有棱角，而是平滑的，而且各个方向都是一样的，就像个球一样。
哦，原来圆形就是指像球一样的东西啊！
这就是抽象概念啊，它就像个“影子”一样，你摸不着看不见，但它却指代着具体的东西。
就像圆形这个概念，它可以指代西瓜的形状、篮球的形状，甚至地球的形状！
而数学概念就更抽象了，比如“函数”，我最初听这名字，就很头疼。
函数是什么啊？能吃吗？结果老师一解释，我就懂了。
其实函数就是一个“机器”嘛，你往里面丢一个东西，它就会吐出一个东西出来。
比如你往函数里丢一个数字“2”，它可能就会吐出一个数字“4”出来。
这就好比我手里拿着一根绳子，我往绳子里打一个结，然后拉紧它，绳子就会变短，这其实就是一个函数的操作。
你往绳子(函数)里"输入"一个结，它
就会"输出"一个短的绳子。
数学概念就是这么神奇，它把现实中的事物抽象出来，用符号和公式来表示，这样就能方便地进行计算和推理。
虽然数学很抽象，但理解它就像理解一个新的朋友一样，只要你用心去感受，你就能发现它的魅力所在。
就像我理解了圆形，我就能理解球，就能理解地球，我理解了函数，我就能理解绳子的变化，就能理解世界上的很多现象。
所以，理解抽象的数学概念，其实就是“解谜”的过程，你得不断地去探索，去思考，去联系现实生活，最终你就会发现，数学其实并不难，它就在我们身边，无处不在。
高中数学教学中数学抽象的科学理解与操作办法
数学教学通讯投稿邮箱:************.com ＞教研在线高中数学教学中数学抽象的科学理解与操作办法付平山东省济宁市育才中学272000［摘要］在高中数学教学中，数学抽象一直受到高度重视,甚至在数学学科核心素养的六大要素当中，抽象被列为第一要素.数学抽象的理解与操作有两关键:一是要科学理解什么是数学抽象;二是要能够建立起正确的数学抽象的操作办法.对数学抽象的理解，必须秉承辩证看待的思路，同时必须避免一些认识上的误区.数学抽象的操作办法是:创设情境，激发学生数学抽象的动机;借助数学思维，选择数学工具,对数学研究对象进行数学抽象;运用数学知识对数学抽象的结果进行表征.无论是从教师的角度还是从学生的角度，都应该对数学抽象进行深入的理解,这样更加符合高中学生的认知特点与核心素养发展的需要.［关键词］高中数学;数学抽象;理解;实践当把数学研究的对象概括为空间形式和数量关系时,就意味着数学抽象在数学教学及其研究中有着不可轻视的基础性地位;也因此在高中数学教学中,数学抽象一直受到高度重视，甚至在数学学科核心素养的六大要素当中，抽象被列为第一要素.站在学生的角度看数学抽象，可以发现通过高中数学课程的学习,学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，积累从具体到抽象的活动经验;养成在日常生活和实践中一般性思考问题的习惯，把握事物的本质，以简驭繁;运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.由此可以看出,数学抽象对于学生的学习而言功能巨大.既然数学抽象是如此的重要，那么在核心素养的背景之下，高中数学的数学抽象教学应当如何进行呢？回答这个问题，笔者以为有两关键:一是要科学理解什么是数学抽象;二是要能够建立起正确的数学抽象的操作办法.本文就这两个重要的话题,谈谈笔者一些浅显的思考.卩数学抽象的科学理解对数学抽象的理解,首先是建立在数学抽象的概念基础之上的.认识“数学抽象”首先要认识“抽象”,两者之间是概念的隶属关系.所谓抽象,通常是指人在认识不同事物的过程中,基于一定的标准去舍弃事物的个别、非本质的属性，并在此基础上抽取出事物的本质属性的过程和方法;相应的，数学抽象则是指人在研究事物的过程中,通过观察与比较、分析与综合，去除事物表象的、外部的、偶然的非数学的因素，并提出事物数学本质的、内在的、必然的数学关系.在此过程中要从空间形式和数量关系两个角度去揭示、描述研究对象的数学本质和数学规律的研究方法.无独有偶的是，史宁中教授定义为“数学是研究空间形式和数量关系的一门科学”，认为不管是现实世界中,还是思维想象中的“数量关系和空间形式”都属于数学研究的范畴，这表明数学抽象的基本特征是数量化和形式化.对数学抽象的理解，笔者以为必须秉承辩证看待的思路，同时必须避免一些认识上的误区.强调辩证看待，意思是指数学学习内容一方面是抽象的,尤其是高中数学的知识体系，基本上都是数学抽象的结果,其直接表征方式都是抽象的数与形；另一方面,抽象的知识往往来自于形象的事物或者学生已经熟悉了的知识基作者简介:付平(1979-),教育学硕士，中学一级教师,从事高中数学教学.52>2020年40冃(下旬)删勰5础（其从形式的角度来看是抽象的，从学生认知熟悉程度的角度来看是形象的），在建立数学概念、规则或者规律的时候，往往都会经由数学抽象的过程.因此对于高中学生而言，数学知识的学习过程，实际上是一个从形象走向抽象的过程,亦即数学抽象过程.强调要避免一些认识上的误区，主要是为了避免“数学无用论”“数学抽象虚无论”.在历史上曾经出现过“数学是数学家发明的一种脱离现实世界的思维游戏”这样的认识,本质上这种认识就是对数学抽象的错误理解，上面其实已经强调过：数学的形式是抽象的，但是数学知识的形成过程却是以形象事物与形象思维为基础的,抽象的数学知识最终也是运用于形象的生活事物的，因此数学抽象并不虚无.卩数学抽象的操作办法有了上述理解，到了具体的高中数学教学中,数学抽象的教学以及作为核心素养要素的落地,就必须寻找正确的操作方法.对于数学抽象的情境需要与操作思路之间,有研究认为，数学教学重要的任务之一就是让学生体验数学抽象的过程,而这就需要教师建立对数学抽象的准确理解，并设计教学让学生进入到数学抽象的情境之中.在此基础上,笔者进一步总结出的数学抽象的操作方法是:创设情境,激发学生数学抽象的动机;借助数学思维，选择数学工具，对数学研究对象进行数学抽象，这是一个纯化与创造、想象与推理的过程;运用数学知识对数学抽象的结果进行表征，表征不只是简单的用数学语言描述自己的抽象结果，更多的是在数学抽象结果与数学语言之间寻找联系，这就需要以准确理解数学语言为基础，实际上就是需要以学生正确理解已有的数学概念或规律为基础.来看一个例子：在“向量”这一知识的教学中，常规的教学是给学生举出“既有大小又有方向的量”的例子，然后告诉学生“既有大小又有方向的量叫作向量”.这样的教学在逻辑上看不出多大的问题,因为这些例子本质上是根据向量的定义反推岀来的;而从学生建构数学概念的角度来看,这样的设计又过于线性,不能完全满足学生的认知需要.基于数学抽象素养落地的教学,笔者以为向量概念的建构可以这样设计：首先,创设情境，让学生进行比较，并形成数学抽象的动机.既然向量描述的是既有大小又有方向的量,那么生活中就应该存在只有大小没有方向的量.因此在创设情境的时候，可以将这两种类型的量一同提供给学生，比如物理中的力、位移、速度、功、功率、时间、某一事物的数量等，然后让学生去比较且进行分析，学生自然就可以从中提取出既有大小又有方向的量随后问题也就来了:为什么这些量既有大小又有方向？很显然，在描述这些量的特征的时候，方向这个要素就不可以回避，这个时候看力、速度等,就发现在生活中存在着一些事物需要同时从大小以及方向两个角度进行描述.于是，数学抽象的大门也就打开了.其次,运用数学的学科思维完成数学抽象对于向量而言，从大小与方向的生活认知到数学概念的建立，显然需要经历数学抽象的过程.从数学思想方法的角度来看,向量其实是一个典型的数形结合的产物，当然这里的数与形已经是抽象后的产物.需要指出的是，学生此时用的数学抽象实际上是强抽象，因为上述物理量或其他量学生虽然比较熟悉,但本身是比较抽象的，因此需要用强抽象来完成.而且这里的抽象对象应当是包括向量和非向量的，学生通过抽象之后发现，有的量抽象的结果是只有“大小”,而有的则同时有“大小”和“方向”，这样也就完成了数学抽象再次,用数学语言表述数学抽象的结果并形成数学概念.学生完成了数学抽象，也就意味着学生的数学思维已经迈过了一个重要的观察，即学生的思维当中已经有了抽象的结果.有了这个结果之后，就必须进行输出，输出的过程就是用数学语言描述抽象结果的过程.对于数学抽象而言,这个过程也非常重要，因为其涉及学生对数学概念的精确理解.而且特别需要强调的是，这里所说的数学语言的运用不只是语言文字,根据笔者的经验,此时将语言文字与表象结合起来效果更佳，也就是说让学生在口中描述“既有大小又有方向的量”时，大脑里面还必须能够浮现出相应的数学图景——一根有向线段，线段的长短表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向.这种图文并茂的方式才是准确的数学语言运用.0数学抽象的教学思考作为数学学科核心素养中最重要的要素之一，对数学抽象的教学奠定了数学教学的基础,数学抽象的过程与结果质量，决定了学生学习过程的质量.作为高中数学教师,对数学抽象的重视以及深入研究是非常必要的，这其中需要思考的问题有很多，比如当教师认识到数学中必然存在数学抽象时,有没有思考过数学抽象的合理性呢？实际上早就有研究者指出,数学抽象的合理性是有所表现的:仅抽取事物对象量的关系和空间形式以及抽象的确定性,在数学教学中应注重贯彻这一特点的教学策略.在上面的教学案例中，数学抽象的确定性体现在数学抽象结果的客观性上，生活中存在向量是客观的，用有向线段表示向量也是客观的.认识到数学抽象结果的客观性，对于数学抽象核心素养的落地非常有益，因为它可以让学生认识到数学抽象的结果是真实可信的.这种认识不是建立在“因为学习，所以可信”上，而是建立在自己的数学思维运用以及数学抽象素养落地的过程中的.因此无论是从教师的角度还是从学生的角度，都应该对数学抽象进行深入的理解,并在教学实践中求证自己的猜想,从而得以让数学抽象的教学更加具有科学性，更加符合高中学生的认知特点与核心素养发展的需要.2020年40冃（下旬）＜53。
数学抽象中的概念抽象(1).docx
数学抽象中的概念抽象王建全高中数学课程旨在培养和提高学生的数学核心素养，使学生获得 良好的数学教育，不同的学生在数学上得到相应的发展。
而数学抽象 又是数学核心素养之一，在教学中应以数学学科的特征、高中学生的 认知规律，以学生的最近发展区为主线来设计课堂教学。
将数学抽象 融入到教学过程中，去引导学生进行思考，突破思维障碍，达到学会 数学知识，提高学生数学核心素养的目的。
概念的形成过程图数学概念的形成过程知识的形成过程首先是由猜想开始的，然后根据所具备的知识进 行探究、抽象、验证等来实现对未知知识的一个发现过程。
其中，数 学抽象在其中起了很大的作用，反之，概念教学也是对数学抽象这个 核心素养的一个很好的培养过程。
下面就任意角的三角函数这一课为 例来说明如何将数学核心素养之一的数学抽象融入到课堂教学中。
一猜想，类比过程任意角的三角函数是任教A 版必修四第一章第二节内容。
首先 复习直角三角形中的三角函数的定义，此时需强调，三角函数值只与角的大小有关与边长没有关系。
第二步引入钝角三角函数并提问，如何求钝角的三角函数，学生根据已有的知识是不能解答这个问题的，但是学生对于直角三角形中的定义此时是非常清晰的。
这时设置一个引导性问题，能否依据直角三角形中的三角函数求法来解决钝角三角形中的钝角的三角函数值。
此吋学生会过点B作高，这吋写岀。
的三角函数值令一如+戸等这样的疑问。
这个问题，学生是无法解答的。
过点B做AB的高，这是一个类比过程。
这样可以在钝角三角形中构造一个直角三角形，这样就可以用直角三角形的三角函数定义来写出钝角Q的三角函数，同时又出现了锐角0的三角函数，而写出的两组三角函数值是否相等，这是一个猜想过程，这两个过程需要教师来引导学生完成。
二分化过程在出现上述猜想之后，学生中会出现迷茫分化现象。
因为三角函数值只与角的大小有关而与边长是没有关系的。
但是角a与角0是互补的，他们的三角函数值是否相等学生是无法解答的。
高中数学抽象的特征、评价与培养
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2.构建数学结构问题链
概括是把抽象出来的若干事物的共同属性归 结出来进行考察的思维方式，以抽象为基础，是抽 象的发展冈。数学抽象性在逐级抽象、逐次提高的过 程中，总是伴随着概括。
例如在推导两角差的余弦公式的教学中，通过 两个诱导公式：
cos( tt-ol )=-cosa①
引导学生探究特殊角“7T”和“岁”的去向，猜想
3.量化特征
数学抽象是从数量关系上揭示客观事物的本 质及规律的一种研究方法，是逐层抽象不断发展 的。如函数概念的抽象，就经历了从客观世界中的 事物对应关系量化为数量的对应关系，再从初中变 量对应关系转变到高中的非空数集上的实数对应 关系的过程。具体事物量化为变量是量化的结果。 变量抽象为实数,变量说过渡到实数对应说，是函 数概念分层抽象的结果。数学教学中数学抽象的量 化特征能够促进学生高阶思维的产生，促进创新思 维的发展。
用准确的数学语言予以表达
能结合实际情境解释 能用一般的概念解释 用数学原理解释自然现象和社
交流
相关的抽象概念
具体现象
会现象
按照《课程标准》给出的三级水平标准和喻平 教授的构想，在实际操作层面,我们可以把数学抽 象素养的评价简化为表2的三级形态。这三级形态 是呈金字塔的进阶形态，基层底部是数学抽象对基
二、数学抽象的基本特征
1. 符号化特征
数学抽象研究事物或现象的量的关系和空间 形式,其结果就是用数学符号作为数学思维活动的 载体,进行数学思想交流与传播,使得事物或现象 关系表述变得统一、简洁、有序。例如，研究一个对 象随着另一个对象的变化而变化的变化规律，就抽 象为函数的单调性，具体的符号化语言就描述为 “设函数f(x)的定义域为I,区间DCI：如果办x2e D,当 Xi® 时都有 f(xi)<f(x2)(f(xi)>f(x2))那么 称函数f(x)在区间D单调递增(减)”。在数学教学 中，数学抽象的符号化特征可以培养学生抽象思维 能力。学生在具体的学习环境中逐步感受和理解抽 象的符号化特征,感受数学抽象以简驭繁高度概括 的能力，并能在问题解决过程中合理地使用数学符 号,合乎逻辑地进行数学推理。
如何理解抽象的数学概念？
如何理解抽象的数学概念？该如何理解抽象的数学概念？数学，充当人类文明的基石，其抽象概念性也成为许多人学习数学的障碍。
对此抽象的数学概念，我们该如何理解呢？作为一名教育专家，我认为以下几个方面十分有利：一、探究概念的起源和演变数学概念并非是凭空出现，它们往往源于现实世界的问题，并伴随着人类认知的不断深化而演变。
了解一个概念的起源和演变，有助于我们更深刻地理解其内涵。
比如，负数最初是为了表示欠款而产生的，而微积分则出自对运动和变化的描述。
二、将抽象概念形象化抽象的数学概念一般来说很难理解，但我们可以通过形象化的方式来帮助学生更直观地理解。
例如，可以使用图形、模型、实验等手段来将抽象的概念形象化，帮助学生建立起直观的印象。
三、指出概念之间的联系数学概念之间并非孤立存在，而是相互联系、相互依存的。
学习一个概念时，要注重与其相关概念的联系，解释它们之间的逻辑关系。
例如，函数的概念与集合、映射等概念密切相关，理解这些概念之间的联系，能增强我们对函数概念的理解。
四、鼓励学生提高动手能力实践是理解数学概念的最佳途径之一。
通过动手实践，学生可以将抽象的数学概念与现实世界联系起来，更深刻地理解其意义。
比如，在学习几何概念时，可以通过积木、纸张等材料进行几何图形的搭建和操作，更好地理解几何概念。
五、运用多元化的学习方法不同的学生有不同的学习风格，我们应该鼓励学生使用多元化的学习方法来理解数学概念。
例如，可以通过讲授课程、讨论、合作学习、自主学习等多种方式来激发学生兴趣，帮助他们更好地理解抽象的数学概念。
六、培养学生的逻辑思维能力理解数学概念需要学生拥有一定的逻辑思维能力。
在教学过程中，应培养学生的逻辑思维能力，引导学生推理、证明、抽象和概括。
例如，可以引导学生分析题目条件、寻找解题思路、进行逻辑推导等。
七、鼓励学生提出问题学生在学习数学过程中，会遇到各种各样的问题。
鼓励学生提出问题，并在师生的共同探讨中寻找答案，可以帮助学生更深入地理解数学概念。
如何理解抽象的数学概念？
如何理解抽象的数学概念？如何解释抽象的数学概念？数学的抽象性是其精髓，也是初学者难以跨越的门槛。
如何帮助学生理解抽象的数学概念，是教育工作者需要深入思考的问题。
以下从几个方面探讨如何帮助学生解释抽象的数学概念：1. 建立具体模型:抽象的概念往往脱离具体的事物，建立起具体模型是解释抽象数学概念的关键。
例如，在学习“集合”的概念时，可以借助学生熟悉的例子，诸如“班上大部分的同学”就是一个集合。
将抽象的概念与具体事物联系起来，可以使学生更容易理解。
2. 运用视觉化工具:数学概念的抽象性可以通过视觉化工具得到形象直观的表达。
例如，在学习“数轴”的概念时，可以借用图形展示数轴上的点与数字的对应关系。
运用图表、模型、动画等视觉化工具，可以将抽象的概念具象化，帮助学生建立起直观的理解。
3. 多元化教学手段:除了传统的讲解和练习，还可以运用多种教学手段，如游戏、故事、实验等，让学生在玩乐中理解抽象概念。
比如，在学习“概率”的概念时，可以通过掷骰子游戏，让学生直观地感受事件发生的可能性。
多元化的教学手段可以激发学生的兴趣，提高学习效率。
4. 鼓励学生主动探索:抽象概念的理解需要学生主动思考和探索。
教师可以鼓励学生提出问题、通过猜想、验证假设等，主动参与学习过程。
比如，在学习“圆周率”的概念时，可以鼓励学生从测量圆的周长和直径，自己探索圆周率的近似值。
5. 强调数学概念的联系:数学概念之间有着密切的联系，理解一个概念可以帮助理解相关概念。
比如，理解“比例”的概念可以帮助理解“相似三角形”的概念。
教师可以引导学生发现概念之间的联系，形成知识网络，帮助学生构建更完整的数学体系。
6. 关注学生个体差异:学生理解抽象概念的能力存在个体差异。
教师要了解学生的个体差异，提供个性化的学习方案。
例如，对于理解能力较差的学生，可以提供一些具体例子、更详细的解释，或采用更直观的教学方法。
7. 持续练习与反思:理解抽象概念需要持续的练习和反思。