抽象与概括
第五章抽象与概括
一、要点解析
主要内容指导
1、抽象的含义及其过程
2、概括的含义及其过程
3、数学抽象有以下特征
1）数学抽象具有无物质性；
2）数学抽象具有层次性；
3）数学抽象过程要凭借分析或直觉；
4）数学的抽象不仅有概念抽象还有方法抽象
4、常用的数学抽象方式
1）弱抽象是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。
2）强抽象是指通过把—些新的特征加入到某一概念中而形成的新概念的抽象过程。
3）理想化抽象(或称构造性抽象) 是指从数学研究的需要出发，人们构造出一些理想化的对象(数学概念)的思维过程。
4）公理化抽象是数学中或出于逻辑上的需要，或为了克服数学内部的矛盾(悖论)而形成的一种数学抽象。
5）可实现性抽象是理想化抽象的一个特殊情况。
通过这种抽象，使得在现实世界中难以实现的对象成为了可能。
难点指导：
抽象和概括的区别
抽象从感性认识出发，通过分析和舍弃，抽出共同点，撇开差异性的内容和联系，通过收括得出简单的、基本的规定，即合理的抽象。
概括在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念。
二、典型例题
1．叙述抽象的含义及其过程。
解答：抽象是指在认识事物的过程中，舍弃那些个别的、偶然的非本质属性，抽取普遍的、必然的本质属性，形成科学概念，从而把握事物的本质和规律的思维过程。
人们在思维中对对象的抽象是从对对象的比较和区分开始的。
所谓比较，就是在思维中确定对象之间的相同点和不同点；而所谓区分，则是把比较得到的相同点和不同点在思维中固定下来，利用它们把对象分为不同的类。
然后再进行舍弃与收括，舍弃是指在思维中不考虑对象的某些性质，收括则是指把对象的我们所需要的性质固定下来，并用词表达出来。
这就形成了抽象的概念，同时也就形成了表示这个概念的词，于是完成了一个抽象过程。
2．叙述概括的含义及其过程。
解答：概括是指在认识事物属性的过程中，把所研究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成这类事物的普遍概念的思维过程。
概括通常可分为经验概括和理论概括两种。
经验概括是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍的认识——由对个体特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认识。
理论概括则是指在经验概括的基础上，由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。
在数学中经常使用的是理论概括。
一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等几个主要环节。
抽象与概括的名词解释
抽象与概括的名词解释一、抽象——从具体形象中概括出本质。
1．它的特点是舍弃了事物的细节，并根据本质属性对其加以抽取。
2．人类对事物的认识往往是先由具体到抽象，再由抽象到具体。
（如，人们不能正确地认识电子，就是因为他们没有弄清楚原子是怎么回事） 3．学会抽象，这是培养思维能力的重要条件。
1．概念：一般来说，凡是能用语言或文字来表达，并且人们能够自觉的运用的东西，都可称为概念。
2．类别：指事物或现象所具有的不同属性。
概念有多种分类方法。
（ 1）按反映对象的范围不同，可分为：个别概念，一般概念，抽象概念；（ 2）按反映事物本质的层次不同，可分为：本质概念，非本质概念。
（ 3）按概念的外延大小不同，可分为：全称概念，部分概念。
2．抽象性：指事物的非本质性、外在的联系，这是与事物的本质属性相联系的概念。
而非本质性是事物的外在联系。
由于事物的非本质性，决定了概念与对象的不同。
（ a、在内容上，概念不反映对象的任何个别特性，而只反映事物本身的属性。
b、在形式上，概念的反映是一般到个别。
）3．概括性：指事物的共同点和区别。
概括是由个别上升到一般，在此过程中，必然是舍弃个别，抓住一般。
概括是对具体的深入和精炼。
比如：“地震使很多人无家可归”、“新疆大旱灾”、“今年高考录取率是40%”、“全国中小学开展了读书活动”、“残疾儿童教育问题值得关注”等，就是一种典型的例子。
但是，总之，从一个个体事物上升到一般，这本身是难以做到的，所以我们经常使用“抽象”和“概括”这两个词语。
二、概括——根据事物的本质属性将其事物本质特征反映在一起。
以上三者是统一的。
（一）本质是事物的一种特殊的矛盾性或同类现象的共同点。
（二）概括是将本质特征集中在一起。
（三）所谓本质，是指具体事物区别于其他事物的内在特点，就是该事物所具有的同类现象的普遍性。
三、抽象和概括的辩证关系： 1．二者是相互区别的，概括是抽象的高级阶段。
2．二者又是相互联系的，概括是在抽象的基础上进行的。
数学中的抽象、概括与归纳问题
数学方法的概括与统一
01
方法的抽象
数学方法是从具体问题中抽象出来的解决策略。通过对不同问题的解决
方法进行总结和提炼，可以形成具有普遍指导意义的数学方法。
02
方法的统一
在数学中，许多不同的方法往往可以归结为同一种更一般的方法。这种
统一的过程体现了数学方法的概括性。
03
方法的应用与推广
概括后的数学方法可以应用于更广泛的问题领域，甚至在其他学科中也
课程内容
课程将涵盖数学抽象性的概念与特性、抽象思维方法在数学中的应 用、概括与归纳的原理和方法等内容。
教学方式
通过讲解、案例分析、实践练习等方式，帮助学生理解和掌握数学 中的抽象、概括与归纳方法。
02
抽象思维在数学中的应用
数字的抽象
自然数的抽象
自然数是数学中最基础的抽象概念之 一，通过对物体的数量进行抽象，形 成了自然数的概念，使得数学可以进 行数量的计算和推理。
抽象的作用
数学的抽象性使得数学能够深入 研究各种现象的本质，发现一般 性的规律和原理，进而应用于广
泛的实际问题中。
抽象的例子
例如，数学中的群论抽象地研究 对象的对称性和变换性质，不依 赖于具体对象的物理属性和空间
形态。
抽象、概括与归纳在数学中的作用
抽象的作用
抽象能够帮助我们抓住事物的本 质特征，舍弃次要因素，从而更
归纳法在证明中的应用
Байду номын сангаас证明恒等式
01
通过归纳法，可以方便地证明一些与自然数n有关的恒等式，如
算术几何不等式、二项式定理等。
证明整除性质
02
归纳法常用于证明与自然数有关的整除性质，如费马小定理、
欧拉定理等。
抽象描述和理论概括
抽象描述和理论概括抽象描述和理论概括都是高度概括的过程，但二者有质的区别：1.关于对现实事物的认识和把握。
在认识客观世界中包含着具体事物与事物之间的联系，而这种联系正是由事物的特殊性所决定的；因此在反映客观世界时需要将其表达出来以便使人们能够加深对它的了解、理解并掌握它。
不难发现“千里之行始于足下”是对某一事物认识后而作出进一步探索、研究的基础。
相比较而言抽象描述则更多地强调主观意愿或思想方法等内容，即只提供结果，没有具体细节的表述；而理论概括是在对事物的各个部分及整体进行归纳总结的前提下得到的，也就是说，既然已经形成了对该事物的完整印象，那么再去回忆当初的情景，必然会带给我们新鲜感觉，如同吃饭喝水般自然。
2.关于认知活动的目标。
在日常生活中，人们往往通过直接经验获取信息，这样做虽然可靠却很费力气，且无法全面考虑问题，甚至还存在许多盲点。
而借助语言文字的描绘，让读者产生身临其境的感受，就像看电影似的，随着剧情起伏变化，逐渐明白故事背景，最终弄清楚事件真相。
3.关于认知结构。
在大脑中，记忆储备占据绝对优势，任何东西都逃脱不掉被遗忘的命运，为什么？原因就在于记忆的组织功能。
每次阅读都会重建一遍认知结构，这些重复巩固的记忆会越积累越丰富，直到你遇见类似场合才能迅速找到答案。
4.关于认知风格。
心理学家认为，每个人都拥有独立的认知模式，即不同的认知风格。
例如，同样是写小说，鲁迅先生笔下的阿 Q 精神胜利法显示出他对待挫折的态度，而郭敬明用夸张手法刻画出另外一位女孩子，她向周围的朋友炫耀男朋友送的礼物，又抱怨自己太胖穿不下漂亮衣服……5.关于认知范畴。
抽象描述属于认知领域，理论概括则涉及哲学层面。
抽象与概括名词解释
抽象与概括名词解释抽象：指从事实材料中去掉个别性质，而保留共同本质属性，即舍弃个别，保留一般。
综合抽象的反义词是分析，因为分析是从观察对象各部分之间的关系来考察对象，去其个别性质，求得共同属性，以揭示其本质。
例如：马克思和恩格斯对黑格尔《逻辑学》的研究，就是进行了全面的分析，认为它是辩证法和唯物论的完美统一。
又如：无产阶级政党制定路线、方针和政策，必须以辩证唯物主义为基础，充分考虑到历史和现实情况，这样才能把革命任务和客观规律性有机结合起来，避免犯颠倒两者关系的错误。
综合概括的反义词是具体、特殊，因为分析从对象内在联系着眼，不是从对象外在联系入手，看不见事物的整体，也找不到事物的普遍联系，不能提高认识。
例如：我们要正确地理解和运用唯物辩证法，既要坚持唯物辩证法，又要防止唯心辩证法，决不能把二者割裂开来或混淆不清。
判断性概括的反义词是推测，因为推测是根据已知条件，通过想象力作出的一种假定性预见。
例如：根据本地区近几年人口流动量，可以大致估计某市人口的变化趋势。
但它只能是一种推测，不能用来代替科学调查，更不能用来代替科学预见。
在分析、综合、判断的过程中，还应注意做好归纳、演绎、类比等逻辑方法的运用，否则也会影响到对事物本质的认识。
例如：我国改革开放20多年来，城乡居民生活水平显著提高，这些都是归纳、演绎的结果。
综合概括的反义词是具体、特殊，因为它要求对对象内部的各个构成成分、各个层次、各种因素，采取抽象和概括的方法，达到去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的目的，但在具体抽象和概括的过程中，往往也涉及到具体性，具体是有形的，有一定的外延和内涵，只是一般所抽象、概括的对象，而抽象和概括却是无形的，没有具体形态的东西，因而不能把二者混为一谈。
例如：从分析到综合再到抽象和概括，使得哲学理论由不成熟逐渐走向成熟。
综合概括的反义词是具体、特殊，因为分析、综合、判断的过程，实际上就是从对象的整体、全体或本质的角度去把握对象，认识对象。
概括方法与抽象方法的区别和联系
概括方法与抽象方法的区别和联系概括方法与抽象方法是不同的，但是它们又有十分密切的联系。
抽象是舍弃事物的一些属性而收括固定出其固有的另一些属性的思维过程，抽象得到的新概念与表述原来的对象的概念之间不一定有种属关系。
例如我们从现实存在的事物中抽象出“重量”概念来，它与原来的“物体”并无种属关系。
概括是在思维中由认识个别事物的本质属性，发展到认识具有这种本质属性的一切事物，从而形成关于这类事物的普遍概念。
由概括得出的新概念是表述概括对象概念的一个属概念。
例如在数学中可由平行四边形、菱形等图形概念概括出“四边形”概念，它是前几个概念的属概念，还可以进一步由四边形、三角形等概念概括出“凸多边形”的概念，它又是四边形、三角形等概念的属概念。
概括和抽象虽有差别，但又是互相联系、密不可分的。
抽象是概括的基础，没有抽象就不能认识任何事物的本质属性，就无法概括。
概括也是抽象思维过程中所必须的一个环节，前述“收括”操作实际上也是一个概括过程，有人就把“收括”称之为概括，由于对共同点的概括才能得出对象的本质属性，从而完成抽象过程。
科学概念通常是抽象和概括共同采用的结果。
一般说来，概括的范围越广泛，得到的概念的内涵就越少，即是说它所反映的事物的性质越普遍，实际反映的性质就越少，因而从抽象的角度来看，其抽象程度也就越高；而概括范围较狭窄的概念，也就是比较具体的概念。
反之，抽象程度越高的概念，其收括的规范性就越少，反映的事物的本质属性就越多，因而其概括的范围就越大；而较具体的概念，由于它反映着事物的较多的规定性，因而反映的事物就越少，其概括的范围也就越小。
由于抽象和概括是密切联系的两种方法，因此，人们常将抽象方法和概括方法统称为抽象概括方法。
5抽象与概括
四、常用的数学抽象方式 1．弱抽象是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽 象，从而形成比原型更为一般的概念或理论。 2．强抽象是指通过把—些新的特征加入到某一概念 中而形成的新概念的抽象过程。 3．理想化抽象(或称构造性抽象) 是指从数学研究的 需要出发，人们构造出一些理想化的对象(数学概念)的 思维过程。 4．公理化抽象是数学中或出于逻辑上的需要，或为 了克服数学内部的矛盾(悖论)而形成的一种数学抽象。 5．可实现性抽象是理想化抽象的一个特殊情况。通 过这种抽象，使得在现实世界中难以实现的对象成为 了可能。
一个概括过程包括比较、区分、扩张和分析等 几个主要环节。 比较和区分的具体做法与抽象过程中的一样， 不过在概括过程中，通过比较和区分要得到的 是某类对象的共同本质。 扩张指的是把由比较区分得到的关于对象的 共同点推广到包括这些对象的一类更广泛 的对象的共同本质。这是区别于抽象的一个 环节，是概括的关键。
二、概括的含义及其过程 概括是指在认识事物属性的过程中，把所研 究各部分事物得到的一般的、本质的属性联系 起来，整理推广到同类的全体事物，从而形成 这类事物的普遍概念。
概括通常可分为经验概括和理论概括两种。经验 概括是从事实出发，以对个别事物所做的观察 陈述为基础，上升为普遍的认识——由对个体 特性的认识上升为对个体所属的种的特性的认 识。理论概括则是指在经验概括的基础上，由 对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性 的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。 在数学中经常使用的是理论概括。
(2)从运算意义的角度探索 说出下面左、右两个式子所表示的意义，并 计算结果。
在平面上从一点出发引出3条射线，可以构成 小于平角的角最多有多少个？引4条呢？5条 呢？…？请你抽象概括出平面上从一点出发引 n条射线可以构成小于平角的角最多个数的计 算公式。
名词解释抽象与概括
名词解释抽象与概括一、抽象的概念与特征抽象是指事物之间相互区别的属性。
由于事物本身的联系，可以将它们的属性抽象为不同的要素，并从中区分出这些要素的共同点和个别差异，这就叫做抽象。
例如：区别意识、实践、真理与谬误、辩证法等。
2。
形态特征：表面的相似性，非本质的区别3。
关系特征：运动的规律性，联系的必然性4。
结构特征：层次、因果关系、递进、演绎5。
功能特征：对象、主体、主客体、社会6。
条件特征：客观性7。
标志特征：内容、符号8。
心理特征：原因、本质9。
现象特征：多样性10。
价值特征：真理性、普遍性、有用性二、抽象的分类1。
按内涵特征分类根据其内在本质属性的不同，可把抽象划分为不同的层次。
(1)从本质上看，抽象可以分为不同的派别，即一切科学抽象、哲学抽象和艺术抽象。
(2)从结构上看，抽象又可以分为不同的种类。
(3)从方式上看，抽象又可以分为不同的方式。
(4)从目的上看，抽象又可以分为不同的目的。
2。
从对象特征分类根据其抽象的外部特征的不同，可以把抽象划分为不同的种类。
(1)从具体事物的范围分类，可分为广义抽象和狭义抽象。
(2)从抽象的深度分类，可分为具体抽象和概括抽象。
(3)从抽象的领域分类，可分为数学抽象、逻辑抽象、物理抽象、生理抽象和心理抽象等。
3。
从层次特征分类从抽象的层次上看，可以把抽象划分为不同的层次。
(1)从思维活动的逻辑形式来看，抽象可以分为一般抽象和具体抽象。
(2)从抽象的对象领域来看，可分为数学抽象、逻辑抽象、物理抽象和生理抽象等。
4。
从条件特征分类从抽象的条件上看，可分为不同的种类。
(1)从所处的具体条件看，抽象可分为历史条件的抽象、阶级条件的抽象、社会条件的抽象、地理条件的抽象等。
(2)从所具备的条件性质来看，抽象可分为自然的抽象、人文的抽象、社会的抽象、经济的抽象、政治的抽象、科学的抽象、道德的抽象等。
5。
从认知特征分类从抽象的认知上看，可以分为不同的层次。
(1)从认知对象来看，抽象可分为物理抽象、逻辑抽象、数学抽象、思维抽象、艺术抽象、美学抽象、心理抽象等。
抽象与概括 名词解释
抽象与概括名词解释
抽象：
1.指从许多事物中，舍弃个别的、非本质的属性，抽出共同的、本质的属性，是形成概念的必要手段。
如：有众多的个体可以抽象出其中共同的属性。
2.不能或没有具体经验到的，只是理论上的，笼统的，空洞的。
与“具体”相对。
如：看问题要依据具体事实，不能从抽象的定义出发。
概括：
1.指把事物的共同特点归结在一起，总括。
如：各组的解决方案虽然都不一样，但概括起来不外乎两种。
2.简单扼要。
如：他把事情的经过概括地说了一遍。
抽象是概括的基础。
可以简单理解为：抽象是把本质特征抽取出来，是归纳的过程，概括是根据这些本质特征，把后来遇到的具有相同本质特征的新的事物归于同一类别，即基于本质特征进行归类，是演绎的过程。
这里借用百度百科（概括）的例子：如儿童经常看到“鸟”，比如鸡、鸭、麻雀、鸽子、鹦鹉等，这时候他脑内并没有关于“鸟”的概念，但当他把这些“鸟”和其他动物进行比较后，逐渐分清鸟的本质特征（有羽毛、卵生、有翅类结构，多数会飞等）和非本质特征（大小、颜色、喙的形状等）；在此基础上，就能把这些本质特征综合起来，形成“鸟”的概念——这个过程叫抽象。
后来他又在《动物世界》中看到“丹顶鹤”这种之前没见过的动物，因为有了先前对于“鸟”这一概念的认识，于是也能把“丹顶鹤”归类为“鸟”
——这个过程叫概括。
抽象与概括名词解释
抽象与概括名词解释抽象与概括（简称抽概）是对客观事物的特征和内在联系不作具体描写和不加选择地进行概括，而只是做出抽象的说明。
它主要解决的问题是“怎样看待事物”。
1、抽象：指人们不再直接描述它，而是将其普遍性的共同本质特征抽取出来，舍弃那些非本质的属性，从而获得了一个精练而简洁的形式。
2、概括：指通过研究事物的相互关系或规律，把整体分成各个部分并确定它们之间的关系，使分析、综合的结果更有条理、更精练、更深刻、更全面。
3、抽象是指对事物现象、本质属性和规律等作高度的提炼，舍去一般性的特征。
概括是指将若干零散的、彼此无关的材料加以综合，提炼为能包容这些材料的中心思想，或找到材料间的内在联系。
抽象与概括的异同点可以概括为：相同点：①二者都是从已知中探求未知。
②二者都要运用科学的方法。
③二者都要遵循认识的辩证规律。
不同点：①二者所依据的哲学范畴不同。
②二者的具体研究对象不同。
③二者的基本任务不同。
④二者研究的方法不同。
2、概括：指用归纳推理的方法对复杂事物进行高度的抽象，抓住事物的本质特征，舍去次要的、非本质的东西，舍去无关紧要的东西。
概括包括以下几个步骤： 1、抽象，即从总体中取出共同的东西，舍去个别的东西，然后对这些抽象出来的共同的东西进行高度的概括。
2、抽象的结果是概括，而概括则是对抽象的东西进行简单化。
概括也要经历从抽象到具体的过程。
4、事物的共同特点和本质属性。
3、事物的共同本质的属性，是构成事物区别于他事物的标志。
4、事物共同的一般本质。
5、事物的个别特点。
2、特征：事物本身所固有的，能够区别同类事物的独有的东西。
它是对同类事物本质的最高概括。
3、本质：事物区别于他事物的根本属性，它表现在该事物与其他事物的区别上。
4、特征与本质的区别：（ 1）特征侧重于反映对象的个别的、局部的、外在的特点；本质侧重于揭示对象的根本特点。
（ 2）特征有时又称特性，表示某一事物在整体中的个别特点；本质则是事物的根本性质。
数学抽象与概括方法
物理学一班李密学号：200907051112数学抽象与概括方法所谓抽象，是指从复杂的事物中，排除非本质属性，透过现象抽出其本质特征的思维过程，通过科学的抽象，人们就能更深刻、更正确、更完全地把握事物的内部联系和本质特性。
抽象是数学中常用且不可少的思维方法。
所谓概括，就是将个别事物的本质特征综合起来推广到同类事物的思维过程。
在数学中概括是构成概念的一种重要方法，它和抽象相互联系，密不可分。
事实上，数学中的任何一个数、一个算式、一种运算、每个概念、公理、定理、法则和有关的数学模型，无一不是抽象、概括的结果。
其中，大多数概念是从直接观察事物的现象中抽象出来的。
它是对事物所表现出来的特征的抽象，故称之为“表征性抽象”。
如点、线、面、体、正方形、立方体、回转体等均属此类。
而数学公理、原理、公式等，乃是在表征性抽象的基础上形成的一种深一层的抽象，它揭示了事物的因果性和规律性联系，故称之为“原理性抽象”。
至于与抽象相联系的概括，在数学中常常用于把某类事物的部分个体所具有的特性推广到该事物的全体上去，或是把某个特定领域的规律推广到其它领域中去。
这种概括称之为“外推性概括”，对于数学概念，则常常是采取由对单一的某个事物的认识，直接上升概括为一种具有普遍性规律的认识，这种概括称之为“上升性概括”。
由于我们数学学习所认识的对象，主要是已经被前人抽象、概括了的间接知识，尽管它们无需我们再去抽象、概括，但是我们必须要在数学的学习过程中，去分析、研究，弄清它们是如何抽象、概括出来的，不仅仅限于去学习这些知识，重要的是要去学习这种抽象概括的思想方法，必须学会摆脱具体内容，从各种概念、关系运算、定理的结构中去分析，被扬弃的非本质属性是哪些？抽出的本质特征又是什么？又是怎样去概括这些本质特征的？自己也可以选择一些适当的事物做这种抽象、概括方法的训练，通过这样的深究分析，便可在学习活动中逐步培养抽象、概括的能力。
下面，我们看一个对现实世界中的具体问题，通过抽象、概括归结出一个相应的“数学模型”的生动、有趣的典型例子。