高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书：第九章 解析几何 9.8 曲线与方程 Word版含答案

§9.8 曲线与方程考纲展示►了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.考点1 直接法求轨迹方程1.曲线与方程一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是________的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是________的点．那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线．曲线可以看作是符合某条件的点的集合，也可看作是适合某种条件的点的轨迹，因此，此类问题也叫轨迹问题．答案：(1)这个方程(2)曲线上2．求曲线方程的基本步骤[典题1] (1)已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.①求动圆圆心的轨迹C 的方程；②已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．①[解] 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，|O 1A |＝|O 1M |，当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中点． ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝x －2＋y 2，∴x －2＋y 2＝x 2＋42，化简得y 2＝8x (x ≠0)．当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .②[证明] 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x ，得k 2x 2＋(2kb －8)x ＋b 2＝0.其中Δ＝－32kb ＋64>0. 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8－2kbk2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线， 所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0，(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0，③将①②代入③，得2kb 2＋(k ＋b )(8－2kb )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)．(2)在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于－13.求动点P 的轨迹方程．[解] 因为点B 与点A (－1,1)关于原点O 对称，所以点B 的坐标为(1，－1)． 设点P 的坐标为(x ，y )， 由题意得y －1x ＋1·y ＋1x －1＝－13， 化简得x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．故动点P 的轨迹方程为x 2＋3y 2＝4(x ≠±1)．[点石成金] 直接法求曲线方程时，最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系，则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．考点2 定义法求轨迹方程[典题2] 已知动圆C 与圆C 1：(x ＋1)2＋y 2＝1相外切，与圆C 2：(x －1)2＋y 2＝9相内切，设动圆圆心C 的轨迹为T ，且轨迹T 与x 轴右半轴的交点为A .(1)求轨迹T 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋m 与轨迹T 相交于M ，N 两点(M ，N 不在x 轴上)．若以MN 为直径的圆过点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．[解] (1)设动圆C 的半径为r ，则 |CC 1|＝r ＋1，|CC 2|＝3－r ， ∴|CC 1|＋|CC 2|＝4.∴点C 的轨迹是以C 1，C 2为焦点(c ＝1)，长轴长为2a ＝4的椭圆， ∴点C 的轨迹T 的方程是x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，得 (4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. ∴x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3，x 1x 2＝4m 2－124k 2＋3.①∵以MN 为直径的圆过点A ，点A 的坐标为(2,0)， ∴AM →·AN →＝0，即(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0.② ∵y 1＝kx 1＋m ，y 2＝kx 2＋m ， ∴y 1y 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.③ 将①③代入②，得7m 2＋16km ＋4k 2＝0.∴m k ＝－27或mk＝－2，且都满足Δ＞0. 由于直线l ：y ＝kx ＋m 与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－mk，0，当m k＝－2时，直线l 恒过定点(2,0)，不合题意，舍去．∴m k ＝－27， ∴直线l ：y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.[点石成金] 1.运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程．2．定义法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，其方程是几何形式的情况．利用条件把待定系数求出来，使问题得解.如图，已知△ABC 的两顶点坐标A (－1,0)，B (1,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，|CP |＝1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等)，动点C 的轨迹为曲线M .求曲线M 的方程．解：由题知|CA |＋|CB |＝|CP |＋|CQ |＋|AP |＋|BQ |＝2|CP |＋|AB |＝4＞|AB |，所以曲线M 是以A ，B 为焦点，长轴长为4的椭圆(挖去与x 轴的交点)．设曲线M ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0，y ≠0)，则a 2＝4，b 2＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫|AB |22＝3，所以曲线M 的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．考点3 代入法求轨迹方程[典题3] [2017·山东泰安质检]如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1＜t ＜3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左，右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 的交点M 的轨迹方程． [解] (1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，∴当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取得最大值，最大值为6. (2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1知，A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)．② 由①②，得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③得x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．∴点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x ＜－3，y ＜0)．[点石成金] 代入法求轨迹方程的四个步骤 (1)设出所求动点坐标P (x ，y )．(2)寻求所求动点P (x ，y )与已知动点Q (x ′，y ′)的关系． (3)建立P ，Q 两坐标间的关系，并表示出x ′，y ′. (4)将x ′，y ′代入已知曲线方程中化简求解.1.[2017·宁夏银川模拟]动点A 在圆x 2＋y 2＝1上移动时，它与定点B (3,0)连线的中点的轨迹方程是________．答案：(2x －3)2＋4y 2＝1解析：设中点M (x ，y )，由中点坐标公式，可得A (2x －3,2y )， ∵点A 在圆上，将点A 坐标代入圆的方程， ∴轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1.2．设F (1,0)，点M 在x 轴上，点P 在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →.当点P 在y 轴上运动时，求点N 的轨迹方程．解：设M (x 0,0)，P (0，y 0)，N (x ，y )， ∵PM →⊥PF →，PM →＝(x 0，－y 0)，PF →＝(1，－y 0)， ∴(x 0，－y 0)·(1，－y 0)＝0， ∴x 0＋y 20＝0. 由MN →＝2MP →，得(x －x 0，y )＝2(－x 0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝－2x 0，y ＝2y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝12y ，∴－x ＋y 24＝0，即y 2＝4x .故所求点N 的轨迹方程是y 2＝4x .[方法技巧] 求轨迹方程的三种方法：(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量(如距离与角)的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只需把这种关系转化为x ，y 的等式就得到曲线的轨迹方程．(2)定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹(如直线或圆锥曲线)的定义，则可根据定义设方程，求方程系数得到动点的轨迹方程．(3)代入法(相关点法)：所求动点M 是随着另一动点P (称之为相关点)而运动的．如果相关点P 所满足某一曲线方程，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，再把相关点代入曲线方程，就把相关点所满足的方程转化为动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．[易错防范] 1.求轨迹方程时，要注意曲线上的点与方程的解是一一对应关系．检验可从以下两个方面进行：一是方程的化简是否是同解变形；二是是否符合题目的实际意义．2．求点的轨迹与轨迹方程是不同的要求，求轨迹时，应先求轨迹方程，然后根据方程说明轨迹的形状、位置、大小等．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]设圆x 2＋y 2＋2x －15＝0的圆心为A ，直线l 过点B (1,0)且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .(1)证明|EA |＋|EB |为定值，并写出点E 的轨迹方程；(2)设点E 的轨迹为曲线C 1，直线l 交C 1于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q 两点，求四边形MPNQ 面积的取值范围．解：(1)因为|AD |＝|AC |，EB ∥AC ， 故∠EBD ＝∠ACD ＝∠ADC . 所以|EB |＝|ED |，故|EA |＋|EB |＝|EA |＋|ED |＝|AD |. 又圆A 的标准方程为(x ＋1)2＋y 2＝16， 从而|AD |＝4，所以|EA |＋|EB |＝4.由题设得A (－1,0)，B (1,0)，|AB |＝2，由椭圆定义可得，点E 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．(2)当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，x 24＋y23＝1，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0，则x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－124k 2＋3，所以|MN |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝k 2＋4k 2＋3.过点B (1,0)且与l 垂直的直线m ：y ＝－1k(x －1)，A 到m 的距离为2k 2＋1， 所以|PQ |＝242－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋12＝44k 2＋3k 2＋1. 故四边形MPNQ 的面积为S ＝12|MN ||PQ |＝121＋14k 2＋3. 可得当l 与x 轴不垂直时，四边形MPNQ 面积的取值范围为(12,83)．当l 与x 轴垂直时，其方程为x ＝1，|MN |＝3，|PQ |＝8，四边形MPNQ 的面积为12. 综上，四边形MPNQ 面积的取值范围为[12,83)．2．[2016·湖北卷]一种作图工具如图①所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且DN ＝ON ＝1，MN ＝3 .当栓子D 在滑槽AB 内做往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周(D 不动时，N 也不动)，M 处的笔尖画出的曲线记为C .以O 为原点， AB 所在的直线为x 轴建立如图②所示的平面直角坐标系．①②(1)求曲线C 的方程；(2)设动直线l 与两定直线l 1：x －2y ＝0和l 2：x ＋2y ＝0分别交于P ，Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：△OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)设点D (t,0)(|t |≤2)，N (x 0，y 0)，M (x ，y )，依题意，MD →＝2DN →，且|DN →|＝|ON →|＝1，所以(t －x ，－y )＝2(x 0－t ，y 0)，且⎩⎪⎨⎪⎧x 0－t 2＋y 20＝1，x 20＋y 20＝1.即⎩⎪⎨⎪⎧t －x ＝2x 0－2t ，y ＝－2y 0，且t (t －2x 0)＝0.由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0， 于是t ＝2x 0，故x 0＝x 4，y 0＝－y2.代入x 2＋y 20＝1，可得x 216＋y 24＝1， 故曲线C 的方程为x 216＋y 24＝1.(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 为x ＝4或x ＝－4，都有S △OPQ ＝12×4×4＝8.②当直线l 的斜率存在时， 设直线l ：y ＝kx ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠±12， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝16消去y ，可得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－16＝0.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以Δ＝64k 2m 2－4(1＋4k 2)(4m 2－16)＝0， 即m 2＝16k 2＋4.(*1)又由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x －2y ＝0， 可得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 1－2k ，m 1－2k ；同理可得Q ⎝⎛⎭⎪⎫－2m 1＋2k ，m 1＋2k .由原点O 到直线PQ 的距离为d ＝||m 1＋k2和|PQ |＝1＋k 2|x P －x Q |，可得S △OPQ ＝12|PQ |·d ＝12|m ||x P －x Q |＝12|m |⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 1－2k ＋2m 1＋2k ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2.(*2) 将(*1)代入(*2)，得S △OPQ ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m 21－4k 2＝8||4k 2＋1||4k 2－1.当k 2>14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋14k 2－1＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋24k 2－1>8；当0≤k 2<14时，S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2＋11－4k 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2.因为0≤k 2<14，则0<1－4k 2≤1，21－4k 2≥2，所以S △OPQ ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋21－4k 2≥8，当且仅当k ＝0时等号成立． 所以当k ＝0时，S △OPQ 的最小值为8.综合①②可知，当直线l 与椭圆C 在四个顶点处相切时，△OPQ 的面积取得最小值8.课外拓展阅读 参数法求轨迹方程[典例] 已知抛物线y 2＝4px (p >0)，O 为顶点，A ，B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于点M ，则点M 的轨迹为________．[审题视角] (1)点M 的运动是由点A 的运动引起的，而A 的变动又和OA 的斜率有关．(2)若OA 的斜率确定，A 的坐标确定，M 的坐标也确定，所以可以选OA 的斜率为参数．[解析] 设点M 的坐标为(x ，y )，直线OA 的方程为y ＝kx ，显然k ≠0，则直线OB 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝4px ，得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4p k2，4p k ，同理可得，点B 的坐标为(4pk 2，－4pk )．从而知当k ≠±1时，k AB ＝4p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋k 4p ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2－k 2＝11k －k . 故得直线AB 的方程为y ＋4pk ＝11k－k (x －4pk 2)， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k y ＋4p －x ＝0，① 直线OM 的方程为y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k x .② 可知点M 的坐标同时满足①②，由①及②消去k ，得4px ＝x 2＋y 2，即(x －2p )2＋y 2＝4p 2(x ≠0)，当k ＝±1时，容易验证点M 的坐标仍适合上述方程． 故点M 的轨迹方程为(x －2p )2＋y 2＝4p 2(x ≠0)， 其轨迹是以点(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆．[答案] 以点(2p,0)为圆心，以2p 为半径的圆 提醒 完成课时跟踪检测(五十四)。