第一章 导热理论和导热微分方程
傅里叶热传导定律导热微分方程
傅里叶热传导定律导热微分方程傅里叶热传导定律导热微分方程：探索热传导的奥秘1、引言：了解傅里叶热传导定律热传导是我们日常生活中重要的现象之一，在多个领域都有广泛应用，包括工程、物理、化学和生物等。
傅里叶热传导定律是描述物体内部温度分布的重要方程，通过导热微分方程可以更深入地理解温度传导现象。
2、基础知识：热传导和傅里叶热传导定律热传导是指热量从高温区域向低温区域传递的过程。
傅里叶热传导定律则是一组描述热传导的微分方程，最常用的是一维传热情况下的傅里叶热传导定律。
3、傅里叶热传导定律的一维形式在一维情况下，傅里叶热传导定律可以表示为：(1) ∂T/∂t = α ∂²T/∂x²其中，T是温度，t是时间，x是空间坐标，α是传热系数。
这个方程描述了温度随时间和空间变化的关系，可以帮助我们理解物体内部的温度分布情况。
4、解析解和数值解：探索温度变化的方法傅里叶热传导定律的导热微分方程是一个偏微分方程，可以通过解析解或数值解来获取温度的变化情况。
解析解适用于简单的几何形状和边界条件，而数值解则可以应用于更为复杂的情况。
5、实际应用：傅里叶热传导定律的物理意义傅里叶热传导定律的物理意义是描述热量如何在物体内部传递和分布的过程。
通过研究傅里叶热传导定律，我们可以探索不同物质和结构的热传导行为，进而优化材料的热性能、设计更高效的散热系统。
6、个人观点和理解：热传导与现代科技的关系热传导作为能量传递的重要方式之一，在现代科技发展中扮演着重要角色。
通过研究傅里叶热传导定律，我们可以更好地理解材料的热传导行为，从而开发出更高效的散热材料和散热系统，提高设备的效能，推动科技的发展。
7、总结回顾：深入理解热传导的奥秘在本文中，我们深入探讨了傅里叶热传导定律导热微分方程，从基础知识到实际应用，对热传导现象进行了全面评估。
傅里叶热传导定律导热微分方程可以帮助我们理解温度传导的机制和规律，为现代科技的发展提供了重要的理论支持，同时也为我们研究和优化热传导过程提供了有效工具。
导热微分方程
导热微分方程
要了解物体内部各点温度的分布，必须根据能量守恒定律与傅里叶定律，来建立导热物体中的温度场应当满足的数学关系式，即导热微分方程。
1、 原则：
⏹ 付立叶定律和能量守恒定律：
⏹ ——以能量方程为基础
热焓的增加量=传入物体的热量—传出物体的热量
2、 方程推导：
对于各向同性材料，
(1) 在x 方向：
(2) 单位时间内传入微元体内的热量
(3) 单位时间内微元体内能的变化
Or
t a t 2∇=∂∂τ
（3）无内热源、稳态导热：0222222=∂∂+∂∂+∂∂z
t y t x t ——拉普拉斯(Laplace)方程
(4) 一维不稳定导热: 022
=dx
dt
dydz x t k Q x ∂∂-=dx x Q Q Q x x dx x ∂∂+=+dxdydz x t k Q Q dQ dx x x x 22∂∂=-=+dxdydz z t y t x t k dQ dQ dQ Q z y x )(222222∂∂+∂∂+∂∂=++=∆dxdydz t c Q p ρτ∂∂=∆)(222222z t y t x t c k t P ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂ρτ
3、导温系数（热扩散系数）（Thermal diffusivity）
物理意义——物体在相同加热或冷却条件下，物体内部各部分温度趋向于一致的能力
α也是判断材
及导热方
(如10-8～10s)内产生极大的热流密度的热量传递现象（激光加工过程）；极低温度(接近于0 K)时的导热问题等，则不能再用上述式来描述。
《传热学》(第五版)
第一章导热理论基础2已知：10.62()W m K λ=∙、20.65()W m K λ=∙、30.024()W m K λ=∙、40.016()W m K λ=∙求：'R λ、''R λ 解：2'3124124224259210 1.1460.620.650.016m K R W λσσσλλλ-⨯⨯⨯⨯⎛⎫∙=++=++⨯= ⎪⎝⎭'"232232560.265/0.650.024R m k W λσσλλ⨯⎛⎫=+=+=⋅ ⎪⎝⎭由计算可知，双Low-e 膜双真空玻璃的导热热阻高于中空玻璃，也就是说双Low-e 膜双真空玻璃的保温性能要优于中空玻璃。
5．6．已知：50mm σ=、2t a bx =+、200a =℃、2000b =-℃/m 2、45()Wm K λ=∙求：（1）0x q =、6x q = （2）v q解：（1）00020x x x dtq bx dx λλ====-=-= 3322452(2000)5010910x x x dtW q bx m dx σσσλλ-====-=-=-⨯⨯-⨯⨯=⨯（2）由220vq d t dx λ+=2332245(2000)218010v d t W q b m dxλλ=-=-=-⨯-⨯=⨯9．取如图所示球坐标，其为无内热源一维非稳态导热 故有：22t a t r r r r τ∂∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭00,t t τ==0,0tr r∂==∂ ,()f tr R h t t rλ∂=-=-∂ 10．解：建立如图坐标，在x=x 位置取dx 长度微元体，根据能量守恒有：x dx x Q Q Q ε++= （1）x dt Q dx λ=-+()x dx d dtQ t dx dx dxλ+=-++∙ 4()b b Q EA E A T Udx εεεσ===代入式（1），合并整理得：2420b fU d t T dx εσλ-= 该问题数学描写为：2420b f U d t T dx εσλ-= 00,x t T == ,0()x ldtx l dx ===假设的 4()b e x ldtfT f dx λεσ=-=真实的 第二章稳态导热3.解：（1）温度分布为 121w w w t t t t x δ-=-(设12w w t t >)其与平壁的材料无关的根本原因在 coust λ=（即常物性假设），否则t 与平壁的材料有关 （2）由 dtq dxλ=- 知，q 与平壁的材料即物性有关5.解： 2111222()0,(),w w ww d dt r dr drr r t t t t r r t t===>==设有：12124()11w w Q t t r r πλ=-- 21214F r r R r r λπλ-=7.已知：4,3,0.25l m h m δ=== 115w t =℃, 25w t =-℃, 0.7/()W m k λ=⋅ 求：Q解： ,l h δ ，可认为该墙为无限大平壁15(5)0.7(43)6720.25tQ FW λδ∆--∴==⨯⨯⨯= 8.已知：2220,0.14,15w F m m t δ===-℃，31.28/(), 5.510W m k Q W λ=⋅=⨯ 求：1w t解： 由 tQ Fλδ∆= 得一无限平壁的稳态导热312 5.510150.141520 1.28w w Q t t F δλ⨯=+=-+⨯=⨯℃ 9.已知：12240,20mm mmδδ==，120.7/(),0.58/()W m k W m k λλ=⋅=⋅3210.06/(),0.2W m k q q λ=⋅=求：3δ解： 设两种情况下的内外面墙壁温度12w w t t 和保持不变，且12w w t t >221313由题意知：1211212w w t t q δδλλ-=+122312123w w t t q δδδλλλ-=++再由： 210.2q q =，有121231212121230.2w w w w t t t t δδδδδλλλλλ--=+++得：123312240204()40.06()90.60.70.58mm δδδλλλ=+=⨯⨯+= 10.已知：1450w t =℃，20.0940.000125,50w t t λ=+=℃，2340/q W m ≤ 求：δ 解： 412,0.094 1.25102w w t t tq m m λλδ+∆==+⨯⨯41212[0.094 1.2510]2w w w w t t t t tmq qδλ+-∆==+⨯⋅ 44505045050[0.094 1.2510]0.14742340m +-=+⨯⨯⨯= 即有 2340/147.4q W m m mδ≤≥时有 11.已知：11120,0.8/()mm W m k δλ==⋅，2250,0.12/()mm W m k δλ==⋅33250,0.6/()mm W m k δλ==⋅求：'3?δ=解： '2121'3123112313,w w w w t t t t q q δδδδδλλλλλ--==+++由题意知：'q q =212tw 1tw 2q 11λ12λ23λ322即有：2121'3123112313w w w wt t t t δδδδδλλλλλ--=+++'33322λδδδλ=+ 0.6250505000.12mm =+⨯= 12.已知：1600w t =℃，2480w t =℃，3200w t =℃，460w t =℃ 求：123,,R R R R R R λλλλλλ解：由题意知其为多层平壁的稳态导热 故有： 14122334123w w w w w w w w t t t t t t t t q R R R R λλλλ----====∴112146004800.2260060w w w w R t t R t t λλ--===-- 223144802000.5260060w w w w R t t R t t λλ--===--33414200600.2660060w w w w R t t R t t λλ--===-- 14.已知：1）11012,40/(),3,250f mm W m k mm t δλδ==⋅==℃，60f t =℃ 220112,75/(),50/()h W m k h W m k λλ==⋅=⋅ 2）223,320/()mm W m k δλ==⋅ 3）2'23030,,70/()h W m k δδλλ===⋅求：123123,,,,,q q q k k k ∆∆∆ 解：未变前的122030102250605687.2/1113101754050f f t t q W m h h δλ---===⨯++++tw 1tw 4tw 2tw 3R 1R2R3R =R 1+R 2R3+t αt f221）21311121129.96/()1112101754050k W m k h h δλ-===⋅⨯++++ 21129.96(25060)5692.4/q k t W m =∆=⨯-= 21105692.45687.2 5.2/q q q W m ∆=-=-= 2）22321221129.99/()11131017532050k W m k h h δλ-===⋅⨯++++ 22229.99(25060)5698.4/q k t W m =∆=⨯-= 22205698.45687.211.2/q q q W m ∆=-=-= 3) 22330'101136.11/()131********k W m k h h δλ-===⋅⨯++++ 23336.11(25060)6860.7/q k t W m =∆=⨯-= 23306860.75687.21173.5/q q q W m ∆=-=-= 321q q q ∴∆∆>∆ ，第三种方案的强化换热效果最好 15.已知：35,130A C B mm mm δδδ===，其余尺寸如下图所示，1.53/(),0.742/()A C B W m k W m k λλλ==⋅=⋅求：R λ解：该空斗墙由对称性可取虚线部分，成为三个并联的部分R 1R 1R 1R2R3R 2R 2R3R311113222,A B C A B C R R R R RR R R R =++==++ 3321111311135101301020.1307()/1.53 1.53C A B A B C R R m k W δδδλλλ--⨯⨯∴=++=⨯+==⋅332322222335101301020.221()/1.530.742C A B A B C R m k W δδδλλλ--⨯⨯=++=⨯+=⋅2212115.0410()/1111220.13070.221R m k W R R λ-∴===⨯⋅⨯+⨯+16.已知：121160,170,58/()d mm d mm W m k λ===⋅，2230,0.093/()mm W m k δλ==⋅33140,0.17/(),300w mm W m k t δλ==⋅=℃，450w t =℃求：1）123,,R R R λλλ; 2) l q : 3) 23,w w t t . 解：1）4211111170lnln 1.66410()/2258160d R m k W d λπλπ-===⨯⋅⨯2222221117060lnln 0.517()/220.093170d R m k W d λδπλπ++===⋅⨯ 223332222111706080lnln 0.279()/2220.1717060d R m k W d λδδπλδπ++++===⋅+⨯+tw 1112323tw 4132R R R λλλ∴< 2) 2330050314.1/0.5170.279l i t t q W m R R R λλλ∆∆-====++∑ 3）由 121w w l t t q R λ-=得 4211300314.1 1.66410299.95w w l t t q R λ-=-=-⨯⨯=℃ 同理：34350314.10.279137.63w w l t t q R λ=+=+⨯=℃ 17.已知：1221211,,22m m d d δδλλ=== 求：'ll q q 解：忽略管壁热阻010121020122211ln ln 222d d R d d λδδδπλπλδ+++=++ '010122010122211ln ln 222d d R d d λδδδπλπλδ+++=++ '',l l t tq q R R λλ∆∆== （管内外壁温13,w w t t 不变）01012'20101'010*******22211lnln 22222211ln ln 222l l d d q R d d d d q R d d λλδδδπλπλδδδδπλπλδ+++++∴==+++++01010010101001241lnln 22241ln ln 22d d d d d d d d δδδδδδ++++=++++由题意知： 1001011[(2)]2m d d d d δδ=++=+ 2112011[(2)]32mm m d d d d δδ=++=+ 即：21010101232()m m d d d d d δδδ=⇒+=+⇒= （代入上式）3''15ln 3ln23 1.277ln 3ln 23l l q R q R λλ+∴===+ 即： '0.783l l q q ='21.7%l llq q q -∆==即热损失比原来减小21.7%。
传热学---导热微分方程式
dQx
−
dQx+dx
=
−
∂qx ∂x
dxdydz
⋅ dτ
[J]
1
第二节 导热微分方程式
dτ 时间内、沿y轴方向导入与导出微元体净热量：
dQy
−
dQ y + dy
=
−
∂q y ∂y
dxdydz ⋅ dτ
[J]
dτ 时间内、沿z轴方向导入与导出微元体净热量：
dQz
−
dQz+dz
=
−
∂qz ∂z
dxdydz ⋅ dτ
+
j1 r
∂t ∂θ
+k
r
1 sinθ
∂t ∂φ
⎞ ⎠⎟
ρc
∂t ∂τ
=
1 r2
∂ ∂r
(λr2
∂t ) + ∂r
r2
1 sinθ
∂ ∂θ
(λsinθ
∂t ∂θ
)
+
r2
1 sin2θ
∂ ∂φ
(λ ∂∂φt )+qv
第二节 导热微分方程式
2.导热微分方程式的不适应范围: 非傅里叶导热过程
极短时间(如10)产生极大的热流密度的热量传 递现象， 如激光加工过程。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
第二节 导热微分方程式
1、几何条件 说明导热体的几何形状和大小。 如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等。
2、物理条件
说明导热体的物理特征。
如：物性参数 λ、c 和 ρ 的数值，是否随温度变化； 有无内热源、大小和分布；是否各向同性。
传热学
传热学导热微分方程推导
传热学导热微分方程推导摘要：一、传热学的基本概念二、导热微分方程的推导过程1.傅立叶定律2.边界条件3.圆柱坐标系下的导热微分方程推导三、导热微分方程的应用1.稳态传热过程和非稳态传热过程2.内热源生成热及内能的增量正文：传热学是研究热量传递规律的学科，热量传递过程根据物体温度与时间的关系，可分为稳态传热过程和非稳态传热过程。
在传热学中，导热微分方程是一个关键的概念，它描述了物体内部热量传递的过程。
本文将从传热学的基本概念入手，详细介绍导热微分方程的推导过程及其应用。
首先，我们来了解传热学的基本概念。
传热学研究的是热量在物体间的传递规律，热量从物体的高温部分传向低温部分，物体之间存在温差，热量就会自发地从高温物体传向低温物体。
根据热量传递的方式，传热过程可以分为传导、对流和辐射三种方式。
接下来，我们将介绍导热微分方程的推导过程。
为了更好地理解导热微分方程，我们先从傅立叶定律入手。
傅立叶定律给出了热量在物体内部的分布规律，即热量在各个方向上的分布与距离的平方成反比。
在推导导热微分方程时，我们需要考虑物体内部的热流密度，即单位时间内通过单位面积的热量。
根据傅立叶定律，我们可以列出热量在各个方向上的导入与导出的微分方程。
在推导过程中，我们还需要考虑边界条件。
边界条件是指物体表面的热传递规律，根据物体表面的热流密度与表面温度的关系，我们可以将边界条件分为三类。
在实际应用中，我们可以根据问题的具体情况选择不同的边界条件。
此外，我们还需要了解圆柱坐标系下的导热微分方程推导。
与直角坐标系相比，圆柱坐标系更适用于描述圆柱形物体的热量传递。
在圆柱坐标系下，我们可以根据傅立叶定律列出r、j、z 方向上的导入与导出的热量的六个微分方程；然后根据能量守恒定律列出热平衡式，经整理即可得。
这样，不论稳态与否、有无内热源，我们都可以根据内热源生成热及内能的增量列出方程，很易理解。
最后，我们来看一下导热微分方程的应用。
在实际问题中，我们可以根据导热微分方程计算物体内部的温度分布，从而为工程设计提供理论依据。
高等传热学-傅立叶导热定律及导热方程
质点温度发生变化，则意味着内能发生变化 按热力学第一定律，必有热量进出该质点 结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域， 不论空间介质种类如何（热量传播速度无限 大） 温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的 份额不同 热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量 守恒原理而得 能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系， 与能量传递过程中具体行为无任何联系 故可认定上述结论是傅立叶导热定律所导致
考虑热传播速度的有限性 对于无源项情况， 型 hyperbola 偏微分方程）
1 2 t 1 t 2 t 2 2 （双曲线 a c
是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修 正
导热微分方程在正交坐标系(orthogonal curvilinear coordinates)中表述
梯度 (gradient) 一般表达式在附录(Appendix) 3 中式（9）
1 1 1 e1 e2 e3 H1 q1 H 2 q2 H 3 q3
按温度变量(variable)有：
1 t t ei i 1 H i xi
3
（a)
高等传热学
波的特征wave property
传播介质中的质点(particle)并未随机械波 的传播而迁移(move) 水波荡漾时水的质点正是在重力和水的张力 作用下上下振动，从而带动周边的质点一起 上下振动，此质点与周边质点的振动有一个 相位差(phase difference)，这种波称为横 波(transverse wave) 声波(sound wave )的实质与水波(water wave )完全一致，只是水波能看到，声波 看不到
高等传热学
热的波动性wave of the heat
导热微分方程的推导
导热微分方程的推导〇．傅立叶定律⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⋅-=k j i z T y T x T gradT q λλ 其中，i ，j ，k 分别为x ，y ，z 坐标轴上的单位矢量。
λ为导热率（单位K m W ⋅）。
其含义表示，单位时间内，通过某单位截面上的热流q （单位2mW ），与该处的温度梯度gradT 成正比，但方向相反。
一．导热微分方程的推导依据1．依据根据能量守恒定律与傅立叶定律，建立导热物体中的温度场应满足的数学表达式，即导热微分方程；A E Q +∆=Q ，物体在单位时间内获得的热量；E ∆，物体在单位时间内内能的增加；A ，物体对外界所做的功。
对于固体来说，温度改变导致体积变化对环境所做的功A 可忽略不计，上式变为：E Q ∆=2．一般性假设(1) 所研究的物体是各向同性的连续介质；(2) 热导率、比热容和密度均为已知；(3) 物体内具有内热源，强度V q （单位3mW ），表示单位体积、单位时间内放出的热量二．直角坐标系下导热微分方程的推导考察dt 时间内微元体中： [导入与导出净热量] + [内热源发热量] = [热力学能的增加]1. 导入与导出微元体的净热量（1）dt 时间内、沿x 轴方向、经垂直于x 轴 的热量导入表面导入的热量： dydzdt q dQ x x ⋅= (单位J )同理，dt 时间内、沿x 轴方向、经垂直于x 轴 的热量导出表面导出的热量： dydzdt q dQ dx x dx x ++= (单位J )x q ，dx x q +分别为热量导入面和导出面上的热流密度，单位2m W 。
请注意，事实上这里有： dx x q q q x dx x x ∂∂-=-+，所以导入与导出的热量差为： dydzdt dx xq dQ dQ x dx x x ⋅∂∂-=-+ (单位J ) 同理：（2）dt 时间内、沿y 轴方向、经垂直于y 轴 的两表面导入导出的热量差： dxdzdt dy y q dQ dQ ydy y y ⋅∂∂-=-+ (单位J )（3）dt 时间内、沿z 轴方向、经垂直于z 轴 的两表面导入导出的热量差： dxdydt dz zq dQ dQ z dz z z ⋅∂∂-=-+ (单位J ) 2． 微元体自身的发热量dt 时间内，微元体自身的发热量dv Q ：dxdydzdt q Q v dv =3．微元体热力学能的增量（即微元体温度升高耗费的能量）dt 时间内，微元体温度升高耗费的能量T Q ∆：dxdydz dt tT c Q T ⋅∂∂=∆ρ 根据前面所述的能量守恒，有：[]T dv dz z z dy y y dx x x Q Q dQ dQ dQ dQ dQ dQ∆+++=+-+-+-)()()( 即 dxdydz dt t T c dxdydzdt q dxdydt dz z q dxdzdt dy y q dydzdt dx x q v z y x ⋅∂∂=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∂∂-⋅∂∂-⋅∂∂-ρ整理得：t T c q z q y q x q v z y x ∂∂=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂-∂∂-ρ 又因为傅立叶定律，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-=⋅-=k j i z T y T x T gradT q λλ ，所以： 22x T x q x ∂∂-=∂∂λ， 22yT y q y ∂∂-=∂∂λ， 22z T z q z ∂∂-=∂∂λ，带入上式，得直角坐标系下的导热微分方程：t T c q z T y T xT v ∂∂=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+∂∂ρλ222222三．柱坐标系下导热微分方程的推导注意，直接写出柱坐标系下的傅立叶定律：)1(k j i zT T r r T T gradT q ∂∂+∂∂+∂∂-=∇-=-=φλλλ 解释如下：沿着r 方向的温度梯度：r T ∂∂，容易理解； 沿着φ方向的温度梯度：φ∂∂T r 1，我们把它写成φd r T ⋅∂，注意分母是沿着φ方向的微小增量，或许就容易理解了；沿着z 方向的温度梯度：zT ∂∂，这个很好理解，不多解释。
导热微分方程
qy
T y
qz
T z
dQc
x
T x
y
T y
z
T z
dxdydzd
10.导热
10.3 导热微分方程
导热微分方程形式
dQc dQg dQ
dQc
x
T x
y
T y
z
T z
dxdydzd
内热源强度：单位时间内 单位体积所生成的热量
qV
W m3
dQg qV dxdydzd
第一类边界条件－－表面温度为常数
d 2T dx2
0
T x0 TW1
T xs TW 2
dT C1dx
积 分
d 2T dx2
0
d dT 0 dx dx
d dT 0 dx
积 分
dT dx
C1
T C1x C2 T x0 TW1 T xs TW 2
T
TW1 TW 2 s
x TW1
TW1 TW 3 si
4
1 2 3
i1 i
q
c
T
x
T x
y
T y
z
T z
qV
导热微分方程
T
c
2T x2
2T y 2
2T z 2
qV
c
T 2T qV
c
10.导热
10.3 导热微分方程
导热微分方程形式
T 2T qV
c
T 2T
拉普拉斯算符，直角坐标系 可为矢量式，其它坐标系则 不可。
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2 x 2
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2 y 2
I. 已知任何时刻边 界面上的温度分 布
T W TW
II.
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1 第一章 导热理论和导热微分方程 相互接触的物体各部分之间依靠分子、原子和自由电子等微观粒子的热运动而传递热量的过程称为导热。在纯导热过程中物体各部分之间没有宏观运动。 与固体物理的理论研究方法不同，传热学研究导热问题时不是对导热过程的微观机理作深入的分析，而是从宏观的、现象的角度出发，以实验中总结出来的基本定律为基础进行数学的推导，以得到如温度分布、温度-时间响应和热流密度等有用的结果。这种处理方法的物理概念简单明了，但所要求的数学知识和技能仍是复杂和困难的。本书在材料的选取上，注意在介绍有重要应用价值的结果的同时，也给予求解导热问题的典型数学方法以足够的重视，以培养和发展读者独立解决问题的能力。
1-1 导热基本定律 1-1-1 温度场 由于传热学以宏观的、现象的方式来研究导热问题，团此必须引入连续介质假定，以便用连续函数来描述温度分布。温度场就是在一定的时间和空间域上的温度分布。它可以表示为空间坐标和时间的函数。由于温度是标量，温度场是标量场。常用的空间坐标系有三种：直角坐标系、柱坐标系和球坐标系。在直角坐标系中，温度场可以表示为
(,,,)tfxyz （1-1-1）
式中：t表示温度；x、y、z为三个空间坐标；τ表示时间。 若温度场各点的温度均不随时间变化，即0t，则称该温度场为稳态温度场，否则为非稳态温度场。若温度场只是一个空间坐标的函数，则称为一维温度场；若温度场是两个或三个空间坐标的函数，则称为二维或三维温度场。
1-1-2 等温面与温度梯度 物体内温度相同的点的集合所构成的面叫做等温面。对应不同温度值的等温面构成等温面族。等温面与任一截面的交线形成等温线。由于等温线具有形象直观的优点，二维温度场常用等温线来表示温度分布。 由于在同一时刻物体的一个点上只能有一个温度值，所以不同的等温面不可能相交。它们或者在域内形成封闭曲线，或者终止于物体的边界。 如图1-l所示，在物体内某一点P处，沿空间某一方向l的温度的变化率
图1-l 等温线和温度梯度 2
0limlttll
（1-1-2）
称为温度场沿该方向的方向导数。因为沿等温面方向温度不变，所以温度场在等温面方向的方向导数为零。对于确定的空间点，在空间各方向上最大的方向导数称为该点的梯度。所以，温度梯度是一个向量。温度梯度的方向是温度增加最快的方向，它的模（大小）等于最大的方向导数。温度梯度可以记作gradt或▽t。温度梯度在任一方向l的投影就是该方向的方向导数。若l方向与gradt的夹角为θ，则
costgradtlgradtl （1-1-3）
其中l是l方向的单位向量；显然，温度梯度垂直于过该点的等温面。 在直角坐标系中。温度梯度在三个坐标轴上的投影分别为tx、ty、tz，则有
tttgradtijkxyz
（1-1-4）
其中i、j、k分别为x、y、z在坐标轴上的单位向量。在一般的正交坐标系中梯度的表达式将在以后讨论。 连续温度场内的每—点都对应一个温度梯度向量，所以温度梯度构成一个向量场。应该注意，梯度（gradient）在英文中有两个不完全相同的意义。一个是以上介绍的严格按数学（场论）意义上定义的梯度，它是一个向量；另一个意思是“坡度”、“变化率”。由此在有些中文书中也可见到如“温度场在x方向的
梯度”这样的说法，意思是tx。读者应加以区别。
1-1-3 热流向量 单位时间内通过单位面积传递的热量称为热流密度，记作q，单位为W/m2。对确定的空间点、在不同方向上热流密度是不同的。与定义温度梯度的方法一样，可以定义一点处的热流向量。热流向量的方向是热流密度最大的方向，其大小等于该方向的热流密度。热流向量记作q。任一方向的热流密度等于热流向量在该方向的投影。在连续温度场内的每一点都对应一个热流向量，所以热流向量也构成一个热流向量场，或称热流场。在直角坐标系中
xyzqqiqjqk （1-1-5）
1-1-4 傅里叶定律 以实验观察为基础并经过科学的抽象，1822年法国数学物理学家傅里叶（Joseph Fourier）提出了把温度场和热流场联系起来的基本定律。对于各向同性（材料的导热系数不随方向改变）的物体，傅里叶定律可表述为：热流向量与温度梯度成正比，方向相反。因为温度梯度是指向温度升高的方向，而根据热力学第二定律，热流总是朝着温度降低的方向，或用数学形式表示为
qgradt （1-1-6）
其中λ称为材料的导热系数。 把式（1-1-4）、（1-l-5）代入式（1-1-6），可得傅里叶定律在直角坐标系中的投影表达式为
xyz
tqxtqytqz
（1-1-7）
傅里叶定律适用于稳态和非稳态的、无热源和有热源的温度场，也适用于常物性和物性随温度改变的 3
情况。但对于各向异性材料将必须作一定的修改，对此将在后面的第三节中讨论。 傅里叶定律建立了温度场和热流场之间的联系，温度场确定之后热流场就被唯一地确定，并且可进一步求得经物体内部或边界上任意表面传导的热流量Q（如图1-2所示）：
图1-2 通过任意表面的热流量 dQqdAgradtdA （1-1-8）
AAQqdAgradtdA （1-1-9）
其中，dA是面积元向量，方向为表面的外法线方向。这样，在已知导热系数的情况下，由温度场可以确定流过任意表面的热流量。因此，虽然在许多实际问题中可能更关心热流量的计算，但是在求解导热问题时总是把求解温度场放在首要地位。
1-1-5 导热系数 傅里叶定律的另一个作用就是定义了导热系数，即
qgradt
（1-1-10）
在导热分析中，导热系数是一个重要的物性参数，在给定温度梯度的条件下热流密度的大小正比于导热系数。在国际单位制中，导热系数的单位是W/(m·K)。导热系数与材料的种类及其所处的状态有关。固体、液体与气体，金属与介电质的内部结构不同，导热的机理也有很大的差异。热物性学的现代理论提供了对导热过程微观机理的解释，并为按要求的热物性“设计”特定的材料提供了可能的途径。但是这些理论还不够完善，除了对理想气体和晶体等比较简单的情况以外，对于绝大多数材料还不能较精确地预测其导热系数。有关导热微观机理的理论可参阅文献[1，2]。对于绝大多数材料，现在还不能根据其结构和导热机理来计算其导热系数。各种实际应用材料的导热系数主要是通过实验的方法得到的。目前已有一系列不同的实验方法可用来测定各种材料在不同温度范围内的导热系数，特别是20世纪60年代以来发展起来的多种非稳态的方法，由于其测试时间短（几秒至几十秒）、适应性强等优点，已被广泛采用。许多常用材料的热物性数据可以在一些手册中查得。 一般来说，材料的导热系数是温度的函数。大多数纯金属的导热系数随温度的升高而减小，而气体与介电材料的导热系数随温度的升高而增加。在极低温条件下（0-60 K），金属的导热系数随温度有剧烈的变化，且可以达到很高的值。例如，纯铜在10 K时的导热系数可达1.9×104W/(m·K)。对于液体和气体， 4
特别是在接近临界状态的条件下，导热系数还与压力有关。接近真空的稀薄气体中的传热已不属于经典的导热过程。 在求解导热问题时常常假定导热系数是常量，即不随温度变化。根据傅里叶定律，此时热流与温度梯度成线性关系，问题的求解可以得到很大简化。在需要考虑导热系数随温度变化而温度变化范围又不太大时，工程上常用线性关系来近似导热系数与温度的关系，即
0(1)bt （1-1-11）
为了对各种材料导热系数的大小有一个数量级的概念，一些典型材料在通常工程温度范围内的导热系数的范围列于下面： 金属 50-415W/(m·K) 合金 l 2-120W/(m·K) 非金属液体 0.17-0.7W/(m·K) 隔热材料 0. 02-0.17W/(m·K) 大气压力下的气体 0.007-0.17W/(M·K) 从以上数据可以看到，在通常的温度范围内导热性能最好的材料与最差的材料相比，导热系数大约相差5个数量级。这虽然是相当悬殊的差别，但从实际应用的需要来看，导热材料和隔热材料在导热性能上的反差仍显得太小。导热与导电有很大的类似性。但优良导电材料（如铜）的电导率与电绝缘材料（如塑料）的电导率相差达12个数量级以上，因此很容易设计各种电路来控制电子的流动（电流），电学量的测量也常可以达到很高的精度。相比之下，控制热流要困难得多，这是热的测量很难达到较高精度的主要原因。这也使保温隔热成为传热学和许多工程领域的重要课题。
1-2 固体导热问题的数学描述 固体导热问题的数学描述包括导热微分方程和单值性条件。导热微分方程可以根据直角坐标系（或柱坐标系、球坐标系）中微元体的热平衡导得，其推导过程可参阅大多数的传热学教科书。这里给出更一般的不依赖于坐标系的推导。建立导热微分方程的依据仍然是能量守恒定律。由于所考虑的导热体系是静止的，与外界没有功的交换，所以体系得到的热量应该等于体系内能的增加。体系得到的热量可以有两部分：一部分是由于导热通过体系的界面传入的热量，另一部分是由于内热源（化学反应、电加热等）的发热而产生的热量。参照图1-3，导热体系的体积为V，表面为A。单位时间内通过表面A由导热进入体系的热量Ql为
图1-3 导热微分方程的推导 1AV
QqdAqdV （1-2-1）