答案控制系统的状态空间描述习题解答
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第2章 “控制系统的状态空间描述”习题解答
系统的结构如图所示。以图中所标记的1x 、2x 、3x 作为状态变量，推导其状态空间表达式。其中，u 、y 分别为系统的输入、输出，1α、2α、3α均为标量。
3
x 2
x 图系统结构图
解 图给出了由积分器、放大器及加法器所描述的系统结构图，且图中每个积分器的输出即为状态变量，这种图形称为系统状态变量图。状态变量图即描述了系统状态变量之间的关系，又说明了状态变量的物理意义。由状态变量图可直接求得系统的状态空间表达式。
着眼于求和点①、②、③，则有
①：2111x x x +=α& ②： 3222x x x +=α&③：u x x +=333α&
输出y 为1y x du =+，得
1112223331000100
1x a x x a x u x a x ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
&&& []123100x y x du x ⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
已知系统的微分方程 (1) u y y y y 354=+++&&&&&&
；(2) u u y y -=+&&&&&&32； (3) u u y y y y 75532+=+++&&&&&&&&&
。试列写出它们的状态空间表达式。 (1) 解 选择状态变量1y x =，2y
x =&，3y x =&&，则有：
1223
31231
543x x x x x x x x u y x =⎧⎪=⎪⎨
=---+⎪⎪=⎩&&& 状态空间表达式为：[]112233123010000105413100x x x x u x x x y x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
&&&
(2) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(2)在零初试条件
下取拉氏变换得：
3222332()3()()()
11()12
23()232
s Y s sY s s U s U s s Y s s U s s s s s
+=---==++ 由公式、可直接求得系统状态空间表达式为
1122330100001031002x x x x u x x ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎢⎥
⎣⎦
&&& 123110
2
2x y x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥
=-
⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
(3) 解 采用拉氏变换法求取状态空间表达式。对微分方程(3)在零初试条件
下取拉氏变换得：
323()2()3()5()5()7()s Y s s Y s sY s Y s s U s U s +++=+
332
()57
()235
Y s s U s s s s +=+++ 在用传递函数求系统的状态空间表达式时，一定要注意传递函数是否为严格真有理分式，即m 是否小于n ，若m n =需作如下处理
323232()57101518
5()235235
Y s s s s U s s s s s s s +---==+++++++ 再由公式、可直接求得系统状态空间表达式为
112233010000105321x x x x u x x ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦&&& []1231005x y x u x ⎡⎤
⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦
已知下列传递函数，试用直接分解法建立其状态空间表达式，并画出状态变量图。
(1)3321()6116s s g s s s s ++=+++ (2)232
23
()231
s s g s s s s ++=+++ (1) 解
首先将传函(1)化为严格真有理式即：
232()6105()11()()6116
Y s s s g s g s U s s s s ---'==+=++++
令()
()()
Y s g s U s ''=
'，则有 123
123
6105()()16116s s s Y s U s s s s
---------''=+++， 123
1
()()
16116E s U s s s s ---''=+++，
即：
1231
2
3
()()6()11()6()()6()10()5()
E s U s s E s s E s s E s Y s s E s s E s s E s ------'=---'=---
由上式可得状态变量图如下：
由状态变量图或公式、直接求得能控标准型状态空间表达式
1122330100001061161x x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
&&& []123x y x u x ⎡⎤
⎢⎥+⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
=-6-11-6
(2) 解 由已知得：
123
123
23()()123s s s Y s U s s s s
------++=+++， 令： 123
1
()()
123E s U s s s s ---=+++，
得： 1231
2
3
()()2()3()()()()2()3()
E s U s s E s s E s s E s Y s s E s s E s s E s ------=---=++
状态变量图如下：