卡方检验
卡方检验的基本原理
卡方检验的基本原理卡方检验是一种常用的统计方法，用于判断两个或多个分类变量之间是否存在显著性关联。
它基于卡方统计量的计算，通过比较实际观察值与理论预期值之间的差异来判断变量之间的关系。
本文将介绍卡方检验的基本原理及其应用。
一、卡方检验的基本原理卡方检验的基本原理是基于观察频数与期望频数之间的差异来判断变量之间的关联性。
在进行卡方检验之前，我们需要先了解以下几个概念：1. 观察频数（O）：指实际观察到的频数，即实际发生的次数。
2. 期望频数（E）：指在假设条件下，根据总体比例计算得到的预期频数。
3. 自由度（df）：指用于计算卡方统计量的自由变量的个数。
卡方统计量的计算公式如下：χ² = Σ((O-E)²/E)其中，Σ表示对所有分类进行求和。
卡方统计量的计算结果服从自由度为(df = (行数-1) * (列数-1))的卡方分布。
通过查表或计算卡方分布的p值，我们可以判断卡方统计量是否达到显著水平。
二、卡方检验的应用卡方检验可以应用于多种场景，以下是几个常见的应用示例：1. 拟合优度检验：用于判断观察频数与期望频数之间的差异是否显著。
例如，我们可以使用卡方检验来判断一组数据是否符合某个理论分布。
2. 独立性检验：用于判断两个分类变量之间是否存在关联。
例如，我们可以使用卡方检验来判断性别与喜好之间是否存在关联。
3. 分类变量的比较：用于比较两个或多个分类变量之间的差异。
例如，我们可以使用卡方检验来比较不同地区的人口分布是否存在差异。
4. 配对数据的比较：用于比较配对数据之间的差异。
例如，我们可以使用卡方检验来比较同一组人在不同时间点的健康状况是否存在差异。
三、卡方检验的限制虽然卡方检验是一种常用的统计方法，但也存在一些限制：1. 样本量要求：卡方检验对样本量的要求较高，特别是在分类变量较多或期望频数较低的情况下，需要保证样本量足够大。
2. 数据独立性：卡方检验要求观察数据之间相互独立，如果数据存在相关性或依赖性，可能会导致检验结果不准确。
卡方检验名词解释
卡方检验名词解释
卡方检验属于非参数检验，由于非参检验不存在具体参数和总体正态分布的假设，所以有时被称为自由分布检验。
参数和非参数检验最明显的区别是它们使用数据的类型。
非参检验通常将被试分类，如民主党和共和党，这些分类涉及名义量表或顺序量表，无法计算平均数和方差。
卡方检验分为拟合度的卡方检验和卡方独立性检验。
我们用几个例子来区分这两种卡方检验：
•对于可口可乐公司的两个领导品牌，大多数美国人喜欢哪一种？•公司采用了新的网页页面B，相较于旧版页面A，网民更喜欢哪一种页面？
以上两个例子属于拟合度的卡方检验，原因在于它们都是有关总体比例的问题。
我们只是将个体分类，并想知道每个类别中的总体比例。
它检验的内容仅涉及一个因素多项分类的计数资料，检验的是单一变量在多项分类中实际观察次数分布与某理论次数是否有显著差异。
拟合度的卡方检验定义：
主要使用样本数据检验总体分布形态或比例的假说。
测验决定所获得的的样本比例与虚无假设中的总体比例的拟合程度如何。
拟合度的卡方检验又叫最佳拟合度的卡方检验，为何取名“最佳拟合”？这是因为最佳拟合度的卡方检验的目的是比较数据（实际频数）与虚无假设。
确定数据如何拟合虚无假设指定的分布，因此取名“最佳拟合”。
关于拟合度的卡方检验有一些翻译上的区别，其实表达的是一个意思：
拟合度的卡方检验=卡方拟合优度检验=最佳拟合度卡方检验
以下统称：卡方拟合优度检验
卡方统计的公式：卡方卡方=χ2=Σ(fo−fe)2fe
公式中O代表observation，即实际频数；E代表Expectation，即期望频数。
卡方检验
表内用虚线隔开的这四个数据是整个表中的基本资料，其余数据均由此推算出来；这四格资料表就专称四格表（fourfold table），或称2行2列表（2×2 contingency table）从该资料算出的两种疗法有效率分别为44.2%和77.3%，两者的差别可能是抽样误差所致，亦可能是两种治疗有效率（总体率）确有所不同。
这里可通过x2检验来区别其差异有无统计学意义，检验的基本公式为：式中A为实际数，以上四格表的四个数据就是实际数。
T为理论数，是根据检验假设推断出来的；即假设这两种卵巢癌治疗的有效率本无不同，差别仅是由抽样误差所致。
这里可将两种疗法合计有效率作为理论上的有效率，即53/87=60.9%，以此为依据便可推算出四格表中相应的四格的理论数。
兹以表20-11资料为例检验如下。
检验步骤：1.建立检验假设：H0：π1=π2H1：π1≠π2α=0.052.计算理论数（TRC），计算公式为：TRC=nR.nc/n 公式（20.13）因为上表每行和每列合计数都是固定的，所以只要用TRC式求得其中一项理论数（例如T1.1=26.2），则其余三项理论数都可用同行或同列合计数相减，直接求出，示范如下：T1.1=26.2T1.2=43-26.2=16.8T2.1=53-26.2=26.8T2.2=44-26.2=17.23.计算x2值按公式20.12代入4.查x2值表求P值在查表之前应知本题自由度。
按x2检验的自由度v=（行数-1）（列数-1），则该题的自由度v=（2-1）（2-1）=1，查x2界值表（附表20-1），找到x20.001（1）=6.63，而本题x2=10.01即x2＞x20.001（1），P＜0.01，差异有高度统计学意义，按α=0.05水准，拒绝H0，可以认为采用化疗加放疗治疗卵巢癌的疗效比单用化疗佳。
通过实例计算，读者对卡方的基本公式有如下理解：若各理论数与相应实际数相差越小，x2值越小；如两者相同，则x2值必为零，而x2永远为正值。
卡方检验的计算步骤
卡方检验的计算步骤
卡方检验是一种常用的统计学方法，用于检验两个或多个分类变量之间是否存在显著的关联性。
以下是卡方检验的计算步骤：
1.提出假设：根据研究问题，确定检验的假设，通常有两个假设：
-H0：两个分类变量之间不存在关联性；
-H1：两个分类变量之间存在关联性。
2.计算期望频数：根据样本数据，计算每个单元格（即每个交叉分类）的期望频数。
期望频数等于每个类别在样本中的频率乘以总样本量。
3.计算卡方值：根据期望频数和实际频数，计算卡方值。
卡方值的计算公式为：
其中，O表示实际频数，E表示期望频数。
4.确定自由度：卡方检验的自由度等于行数减去1乘以列数减去1。
5.查找临界值：根据自由度和显著性水平（通常为0.05或0.01），查找卡方分布表中的临界值。
6.作出决策：如果卡方值大于临界值，则拒绝H0，接受H1，认为两个分类变量之间存在关联性。
如果卡方值小于临界值，则不能拒绝H0，认为两个分类变量之间不存在关联性。
需要注意的是，在进行卡方检验时，需要注意样本量是否足够大，以及分类变量的类别是否存在不均衡的情况。
如果存在这些情况，可能会导致检验结果不准确。
卡方检验值的取值范围
卡方检验值的取值范围
卡方检验是一种统计方法，用于检查两个变量之间是否存在相关性。
具体来说，它比较实际观测值和预期值之间的偏差，并计算满足该偏差的概率。
卡方检验值的取值范围是由自由度决定的。
自由度指被研究数据中自由变异的数量。
在卡方检验中，自由度通常由两个变量的水平数目决定。
例如，对于一个2x2的列联表，自由度为1，因为只有一个方向上可以自由变化。
对于更大的表格，自由度的计算方法为自由变化的行数和列数之积。
卡方检验值的取值范围由自由度确定。
通常，在设定一个显著水平（例如0.05）的基础上，可以查表找到给定自由度下的临界值。
如果计算出的卡方值大于这个临界值，则认为在该显著水平下存在显著的相关性。
举例来说，一个2x2的列联表的卡方值可能在0到10之间取值，而自由度为1。
如果显著水平为0.05，则临界值为3.84。
如果计算出的卡方值大于3.84，则可以认为在这个显著水平下存在相关性。
如果计算出的卡方值小于3.84，则不能否定原假设，即认为两个变量之间不存在相关性。
总之，卡方检验值的取值范围是由自由度决定的，并且通常需要根据显著水平查表来判断是否存在相关性。
在应用卡方检验时应注意自由度的计算以及显著水平的设定。
卡方检验的参数
卡方检验的参数
卡方检验是一种用于统计数据分析的方法，它用来判断两个分类变量之间是否存在相关性。
它基于观察到的数据与期望的数据之间的差异来进行推断。
卡方检验的参数包括样本数量、自由度和显著性水平。
样本数量是指参与检验的样本数量，它决定了卡方检验的可靠性。
自由度是指检验中独立的变量的数量，它与样本数量和分类变量的数量有关。
显著性水平是指在实际观察到的差异下，拒绝原假设的概率。
通常，我们使用显著性水平为0.05或0.01来进行判断。
在进行卡方检验时，我们首先需要建立原假设和备择假设。
原假设是指两个变量之间没有相关性，备择假设是指两个变量之间存在相关性。
然后，我们计算卡方值，并通过查阅卡方分布表来确定显著性水平下的临界值。
最后，比较计算得到的卡方值和临界值，如果计算得到的卡方值大于临界值，则拒绝原假设，认为两个变量之间存在相关性。
卡方检验可以应用于各种领域，例如医学、社会科学、市场调研等。
在医学领域，可以使用卡方检验来研究某种疾病与某种基因型之间的关系；在社会科学领域，可以使用卡方检验来研究教育水平与收入水平之间的关系；在市场调研领域，可以使用卡方检验来研究产品类型与购买决策之间的关系。
卡方检验是一种常用的统计方法，用于判断两个分类变量之间是否存在相关性。
它的参数包括样本数量、自由度和显著性水平。
通过计算卡方值并比较临界值，我们可以得出结论并进行进一步的数据分析。
卡方检验的原理
卡方检验的原理卡方检验是一种用于检验两个分类变量之间是否存在相关性的统计方法。
它的原理是通过比较实际观察值和期望理论值之间的差异来判断两个变量之间的相关性程度。
在进行卡方检验时，我们首先需要构建一个列联表，然后根据列联表中的数据计算出卡方值，最后根据卡方值来判断两个变量之间的相关性程度。
首先，我们来看一下列联表的构建。
列联表是由两个分类变量的交叉分类频数构成的二维表格。
表格的行表示一个分类变量的各个分类，表格的列表示另一个分类变量的各个分类，交叉点上的数字表示对应分类组合的频数。
构建列联表的目的是为了清晰地展现两个变量之间的关系，为后续的卡方检验提供数据基础。
接下来，我们需要计算卡方值。
卡方值的计算公式为，χ²=Σ((O-E)²/E)，其中，Σ表示求和，O表示观察频数，E表示期望频数。
在计算卡方值时，我们需要先计算出期望频数，然后将观察频数和期望频数的差异进行平方，并除以期望频数，最后将所有分类组合的差异平方和除以期望频数的总和就得到了卡方值。
最后，我们根据卡方值来判断两个变量之间的相关性程度。
在进行判断时，我们需要参考自由度和显著性水平。
自由度的计算公式为，df=(r-1)(c-1)，其中，r表示行数，c表示列数。
在一般情况下，我们可以查找卡方分布表来确定显著性水平下的临界值，然后比较计算出的卡方值和临界值的大小关系，从而判断两个变量之间的相关性程度。
总的来说，卡方检验是一种用于检验两个分类变量之间相关性的统计方法，它通过比较实际观察值和期望理论值之间的差异来判断两个变量之间的相关性程度。
在进行卡方检验时，我们需要构建列联表，计算卡方值，并根据卡方值来判断两个变量之间的相关性程度。
通过卡方检验，我们可以更加清晰地了解两个变量之间的关系，为进一步的分析和决策提供依据。
方差分析与卡方检验
方差分析与卡方检验方差分析（Analysis of Variance），简称ANOVA，是一种用于比较两个或多个组之间差异的统计方法。
它通过比较组内变异与组间变异的大小来判断不同组之间是否存在显著差异。
卡方检验（Chi-Square Test），又称χ²检验，是一种用于检验实际观测值与理论预期值之间是否存在显著差异的统计方法。
方差分析和卡方检验是常用的两种统计分析方法，本文将分别对它们进行介绍和比较。
一、方差分析方差分析是一种基于方差的统计方法，用于比较两个或多个样本均值之间的差异。
它适用于多个独立样本或多个相关样本之间的比较。
具体的步骤如下：1. 假设检验方差分析的假设检验通常基于以下假设：- 零假设（H0）：各组样本的均值相等。
- 备择假设（H1）：至少有一个组样本的均值与其他组不同。
2. 计算统计量方差分析中常用的统计量是F值。
F值是组间均方与组内均方之比，其具体计算公式为：F = 组间均方 / 组内均方3. 比较临界值根据给定的显著性水平（通常为0.05），查表或计算得到临界值。
4. 做出判断如果计算得到的F值大于临界值，则拒绝零假设，认为各组样本的均值存在显著差异；否则，接受零假设，认为各组样本的均值相等。
二、卡方检验卡方检验是一种用于检验实际观测值与理论预期值之间差异的统计方法。
它适用于分类变量之间的比较。
具体的步骤如下：1. 假设检验卡方检验的假设检验通常基于以下假设：- 零假设（H0）：实际观测值与理论预期值之间无显著差异。
- 备择假设（H1）：实际观测值与理论预期值之间存在显著差异。
2. 构建列联表根据实际观测值，构建列联表。
列联表是由多个分类变量组成的二维表格，用于统计不同组别之间的频数或频率。
3. 计算卡方值根据列联表中的实际观测频数和理论预期频数，计算卡方值。
卡方值的计算公式为：χ² = ∑ [(观测频数 - 预期频数)^2 / 预期频数]4. 比较临界值根据给定的自由度和显著性水平，查表或计算得到临界值。
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一、准备工作
（二）判断能否作检验，是否需要校正
1、计算理论数： ×
T＝
疗法 治愈 甲药 20（17.3） 乙药 18（ ） 38 合计
＝ 7.7
未治愈 合计 5（ ） 25 12（ ） 30 55 17
一、准备工作
（二）判断能否作检验，是否需要校正
1、计算理论数：
T＝
疗法 甲药 乙药 合计
30×38 ＝ 20.7 55
计算结果及判断
u | 0.316 0.20 | 0.20(1 0.20) 152 3.58
判断：u=3.58 > u0.05=1. 96（双 侧）, P<0.05。 在α=0.05水准上，拒绝H0，接受H1， 差异有统计学意义。
率的U检验
2.两个样本率比较的u检验
适用条件为两样本的np和n(1-p)均 大于5。 计算公式为
∴P＞0.05
4、可以认为两药疗效相同。
0 2.55 3.84
四格表卡方检验
例二：为比较槟榔煎剂和阿的平驱绦虫的效果， 对45名绦虫患者进行治疗，结果如下表，问两药 疗效是否相同？
药物 槟榔煎剂 治 疗 人 数 27 有 效 人 数 24 有效率 （%） 88.9
阿的平
18
10
55.6
一、准备工作 ＋ （1） 24 甲 10 乙 合计 34
＝4.82 甲 乙 合计
二、假设检验
1、H0：π 1＝π 2 2、 H1：π 1≠π 2 α =0.05
X2＝
＝
(│ad－bc│－N／2)2 N
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
（│24×8－10×3│－45／2）2×45 27×18×34×11
95％
＝4.82 3、 ν＝1 X20.05（1）＝3.84 ∴P ＜ 0.05
合计 357 92 133 6 588
计算理论数，有两格T＜1， 一格1＜T＜5，其他T均＞5。
2检验资料合并示意 行×列表X
某厂在冠心病普查中研究冠心病与眼底动脉硬 化的关系，资料如下，问两者之间是否存在一定的 关系？
2.031
判断： u ＝2.031>u0.05=1.96，故p < 0.05。 在α=0.05水准上，拒绝H0，接受H1，差异有 统计学意义。
2检验） 卡方检验（X
计数资料的假设检验
X2检验用途广泛，常用的有三种。
四格表X2检验： 用于比较两个样本率或构成比 行×列表X2检验： 用于比较多个样本率或构成比 配对X2检验： 用于配对资料比较
－ 3 8 11
合计 27 18 45
（2） Tmin＝
11×18 45 ＝4.4
1＜Tmin ＜ 5，故用校正公式
二、假设检验
1、H0：π 1＝π 2 2、 H1：π 1≠π 2 α =0.05
X2＝
＝
(│ad－bc│－N／2)2 N
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
（│24×8－10×3│－45／2）2×45 27×18×34×11 ＋ 24 10 34 － 3 8 11 合计 27 18 45
＝712
（ （
Σ
A2
nR × nC
1802
－1
）
2002 ＋…＋ 332 333× 98
379× 380
＋
333×380
－1
）
2检验 行×列表X
1、H0:居室朝向不同 佝偻病患病率相同 H1:居室朝向不同 佝偻病患病率不同 α＝0.05 2、 X2＝N Σ ＝15.08
居室朝向 南 患病 人数 无病 人数 合计 人数
一、准备工作
（二）判断能否作检验，是否需要校正
1、计算理论数：
T＝
疗法 甲药 乙药 合计
nR×nC N
X2=Σ
(A-T)2 T 合计 25 30 55
治愈 20（17.3） 18（20.7） 38
未治愈 5（7.7） 12（9.3） 17
本例四个理论数均＞5，总合计数＞40
一、准备工作
（二）判断能否作检验，是否需要校正
0
∵ X2 ＞ 3.84
3.84
4、可以认为两药疗效不同，槟榔煎剂疗效较好。
行×列表卡方检验
Ω 适用于两个以上的率或构成比的比较 Ω R×C表卡方检验对资料的要求： 任何格子的T＞1。 1＜T＜5的格子数不得超过总格子数的1/5。 X2＝N
（
Σ
A2
nR × nC
－1
）
Ω 如果出现上述任何一种情况，可采用下列措施 扩大样本继续调查，直至T符合要求。 将性质相近的邻行或邻列合并，使T符合要求 将T不符合要求的行或列去除
居室朝向 南 患病 人数 无病 人数 合计 人数
180
200
380
西、西南
东、东南 北、东北、西北 合 计
14
120 65 379
16
84 33 333
30
204 98 712
3、ν= （R－1）（C－1）=（4－1）（2－1）= 3 X2＝15.082 查表得X 0.05（3）= 7.81 ∵X2＞X20.05 ∴P＜0.05
治愈 未治愈 合计 20（17.3） 5（ 7.7 ） 25 18（ ） 12（ ） 30 38 17 55
一、准备工作
（二）判断能否作检验，是否需要校正
1、计算理论数：
T＝
疗法 甲药 乙药 合计
30×17 ＝ 9.3 55
治愈 未治愈 合计 20（17.3） 5（ 7.7 ） 25 18（20.7） 12（ ） 30 38 17 55
用药组和对照组流感发病率比较
组
别
观察人数 100 120
发病人数 14 30
发病率（%） 14 25
用药组 对照组
合 计
220
44
20
计算结果
本例n1=100，p1=14%，n2=120， p2=25% ， pc=20%，1－pc=80%，代入公式
u
0.14 0.25 0.20 0.80 (1 100 1 120 )
率的抽样误差和总体率的估计
在同一总体中按一定的样本含量n抽样， 样本率和总体率之间也存在着差异，这种 差异称为率的抽样误差。率的抽样误差是 用率的标准误来表示的。公式如下：
σp＝ π（1－ π) n
π代表总体率
率的抽样误差和总体率的估计
率的抽样误差：Sp（率的标准误）是表 示样本率抽样误差的统计指标。 1、P代表样本率 2、计算Sp
X2=Σ
二、假设检验
例1：为比较两种治疗方法哪一种较好，某医师用 甲药治疗患者25例，治愈率80%；用乙药治疗同类 患者30例，治愈60%。问两种治疗效果是否不同？ 1、H0：π 1＝π 2 2、 H1：π 1≠π 2 α =0.05
X2＝ 2.55
查表得X20.05（1）＝3.84
95％
3、ν＝（R－1)(C－1)＝1 ∵2.55＜3.84
2检验 行×列表X
1、H0:居室朝向不同 佝偻病患病率相同 H1:居室朝向不同 佝偻病患病率不同 α＝0.05 2、 X2＝N
居室朝向 南 患病 人数 无病 人数 合计 人数
180
200
380
西、西南
东、东南 北、东北、西北 合 计
14
120 65 379
16
84 33 333
30
204 98 712
u p1 p 2 S p1 p2 p1 p 2 pc (1 p c )(1 n1 1 n2 )
x1 x 2 pc n1 n2
For example
某中药研究所试用某种草药预防流感， 观察用药组和对照组（未用药组）的 流感发病率，其结果见表。问两组流 感发病率有无差别？
率的U检验
条件：当样本含量较大时，且样本率p和 （1-p）均不太小，如np与n(1-p)均≥5时， 样本率也是以总体率π 为中心呈正态分布 或近似正态分布。 1.样本率与总体率比较的u检验
u | p 0 |
p
| p 0 |
0 (1 0 ) n
For example
根据以往经验，一般胃溃疡病患者有 20%(总体率)发生胃出血症状。现某医 生观察65岁以上胃溃疡病人152例，其 中48例发生胃出血，占31.6%（样本 率）。问老年胃溃疡病患者是否较一 般胃溃疡病患者易发生胃出血。
四格表X2检验
一、准备工作
（一）列分析表
例：为比较两种治疗方法哪一种较好，某医师用 甲药治疗患者25例，治愈率80%；用乙药治疗同类 患者30例，治愈60%。问两种治疗效果是否不同？
疗法
甲药 乙药 合计
治愈 20 18 38
未治愈 5 12 17
合计
25 30 55
一、准备工作
（一）列分析表 疗法 甲药 乙药 合计 治愈 20 18 38 未治愈 合计 5 12 17 25 30 55 ＋ － 合计 a b 甲 a＋b c d 乙 c＋d 合计 a＋c b＋d N
Sp＝ P（1－P) 例：某社区调查35岁以上 n 1000人，发现高血压患病 ＝ 0.2（1－0.2) 率20%，其率的标准误为： 1000 ＝0.0126（1.26%）
Sp的应用——估计总体率（π）
95%π可信区间 意义： 表示π位于该数值区间的可能性为95%。 1.正态分布法 计算公式： 当样本含量n≥100时，且样本率P和（1-P） 均不太小，如np或n(1-p)均≥5时，样本率 的分布近似正态分布，则总体率的可信区间 按下式估计：
二、假设检验
例：为比较两种治疗方法哪一种较好，某医师用 甲药治疗患者25例，治愈率80%；用乙药治疗同类 患者30例，治愈60%。问两种治疗效果是否不同？ 1、H0：π 1＝π 2 H1：π 1≠π 2 α =0.05 （ ×(ad－bc)2N ）2× － × 2、本例四格T均＞5，总合计数＞40，故采用正常公式 X2＝ × × × (a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d) ＋ － 合计 20 5 25 a b 甲 a＋b 5 30 18 c 12 c＋d d 乙 18 12 N 合计 a＋c b＋d 55 38 17 38 17 (A-T)2 T