勒让德多项式
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
数学物理方法
于承斌
泰山医学院
第十六章勒让德函数
球坐标系中求解物理方程,解函数是一类特殊函数,其形式为多项式，最早研究的是法国数学家勒让德，故称其为勒让德函数以及勒让德多项式。
§16.1 勒让德多项式的定义及表示
16.1.1. 定义及级数表示
o
ϕθ
r x
y
z
勒让德方程
0,21
(1)2c n n ⋅+−
x+ x+
4(23)2(1)!(2)!
(24)!,n n n n n −−−−
,0,1,2,,m =⎢ 220(22)!()(1)2!()!(2)!l k l k l l k l k P x x k l k l k ⎡⎤⎢⎥⎣⎦−=−=−−−∑
()l P x 221
1
1
2
1
2
2
1
12(!)d d 1d (1)d d (1)
d d (1)
d d l l
l l l l l
l
l
l x l x x x x x x
−−−−−⋅−⎢⎥⎣⎦⎡−−⋅⎢⎡⎤−⎢
⎥⎣⎦
∫∫
注意到l
l
l
x x x )1()1()1(2
+−=−以1±=x 为l 级零点，
故其(1)l −阶导数
121
d (1)d l l
l x x −−−必然以1
±=x 1
12121
2
22
1
11(1)d (1)d (1)
d 2(!)
d d l l l l
l l
l l x x N x l x x
−+−+−−−−=∫再进行
l 次分部积分，即得
221
22
22
21
(1)d (1)
(1)d 2(!)d l
l l
l
l
l l x N x x l x
−−−=−∫为一级零点，从而上式已积出部分的值为零
l
x )1(2
−是
l 2次多项式，其l 2阶导数也就是最高幂项
l
x
2的l 2阶导数为)!2(l ．故
1
222
1
(2)!
(1)(1)(1)d 2(!)
l
l l
l
l
l N x x x
l −=−−+∫
再对上式分部积分一次
112
112211111
221(2)!1(1)(1)(1)(1)(1)d 2(!)1(2)!(1)(1)(1)(1)d 2(!)1l
l l l l l
l l l l l l N x x l x x x l l l l x x x l l −+−−−+−⎡⎤=−⋅−+−−+⎢
⎥⎣⎦+=−⋅−−++∫∫容易看出已积出部分以1±=x 为零点．
至此，分部积分的结果是使)1(−x 的幂次降低一次，
)1(+x 的幂次升高一次，且积分乘上一个相应的常数因子．
继续分部积分（计l 次），即得
1202221
12121(2)!11(1)(1)(1)(1)d 2(!)122112(1)22121
l
l l
l
l l l l l l N x x x l l l l x l l −+−−=−⋅−⋅⋅⋅−+++=⋅+=++∫ 故勒让德多项式的模为
1
22+=
l N l )
,2,1,0( =l 且有
1
12
P ()P ()d 21
l l
x x x l −=+∫
=
2m P ++
16.2.4. 勒让德多项式的递推公式
利用母函数(16.1.13)对x求导, 勒让德多项式有以下的递推公式
11(2)(1)()(21)()()n n n n P x n xP x nP x +−+=+−1(3)()()()
n n n nP x xP x P x −′′=−1(4)'()()(1)()n n n P x xP x n P x +′′=++11(1)()'()2'()'()
n n n n P x P x xP x P x +−=−+11(5)(21)()()()n n n n P x P x P x +−′′+=−2
1(6)(1)'()()()
n n n x P x nxP x nP x −−=−1
(7)
(21)()'
()'()
n
l
n n l l P x P x P x +=+=+∑
例16.2. 1求积分
1
1
P ()P ()d l n I x x x x
−=∫【解】利用递推公式（2）
11(1)P ()(21)P ()P ()
k k k k x k x x k x +−+=+−．
(1)
k ≥故有1
1
1111111111
1
P ()P ()d {
[(1)P ()P ()]}P ()d 21
1 P ()P ()d P ()P ()d 2121l n l l n l n l n I x x x x l x l x x x l l l
x x x x x x l l +−−−+−−−==++++=+++∫∫∫∫2
2 (1)412(1) (1)(23)(21)0 (1)
n
l n n n l n n n l n ⎧⎪=−−⎪⎪+==+⎨++⎪⎪⎪
−≠±⎩