勒让德多项式及性质 PPT课件

[0, ] 上，则
f (x) fl Pl (x) l0
或 f ( ) fl Pl (cos ) l0
其中系数：
fl
1
N
2 l
1 1
f (x)Pl (x)dx
2l 1 2
1 1
f (x)Pl (x)dx
或
fl
2l 1
2 0
f ( )Pl (cos ) sind
例题一：以勒让德多项式为基本函数族，将函数
场强为 E0，球的半径为 r0 ，介电常数为
，试求解介质球内外的场强。
解：选取球心为极点，
极点，平行于E0 的直线为Z轴。
即：Z轴为对称轴， u与 无关。
由于介质球的极化，球面上产生了束缚电荷。
场强
E u
在球面上不连续。u
u
E
在球面上无意义。 所以，球内外电势要通过衔接条件连接。
1、设球内电势为：u内 ，满足：
N
2 l
1
[
1
Pl
(
x)]2
dx
代入 Pl (x) 的微分式得：
Nl2
2 2l 1
模为： Nl
2 2l 1
三、广义傅立叶级数
由前面的分析可以看出，勒让德多项式 Pl ( x)
为本征函数族，（ l 0, 1,2 ）是正交的、完备的。
可以作为广义傅立叶级数的基。
若函数 f (x)定义在区间[1,1] 上，或 f ( ) 定义在区间
al 2
l(l 1) (2)(2l
1)
al
l(l 1) (2l)! 2(2l 1) 2l (l !)2
l(l 1) (2l)(2l 1)(2l 2)! 2(2l 1) 2l l(l 1)! l(l 1)(l 2)!
2l
(l
(2l 1)!
2)! (l
2)!
(1)1
2l
(l
(2l 1)!
轴对称球函数
现在注意：m 0时，() Acos m B sin m A(常数) （u r, ,） R(r)( )() AR(r)( ) （u r,） u与无关，只与r， 有关。意味着当r，一定时，可任意改变，u不变。 即在以r， 构成的锥体上各点的u值相同。 问题关于极轴（z轴）对称。球函数Y ( ,) A( ) ~ 称为轴对称球函数。
n l 奇数 n l 偶数，且n l
例题2、以勒让德多项式为基本函数族，将函数
f (x) 2x3 3x 4 在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。
n 3,1,0 l 0,1,3
f0 4
f1
21 5
f3
4 5
2x3
3x
4
4P0
(x)
21 5
P1 (x)
4 5
P3
(x)
四、解方程：要选取对称轴为球坐标的极轴，
第三篇：特殊函数
第二章 勒让德多项式
主要内容：
勒让德多项式（轴对称问题）及性质 连带勒让德函数（转动对称问题） 球函数（一般问题）
在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
1 r2
(r2 r
u ) r
1
r2 sin
(sin
u )
1
r 2 sin2
2u
2
0
在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
f (x) x 3 在区间（-1，+1）上进行广义傅立叶展开。
fl
2l 1 2
1 1
x3
Pl
(
x)dx
f 0
1 2
1 x3dx
1
1 8
x4
1 1
0
f1
3
2
1 x3xdx
1
3 10
x5
1 1
3 5
f 2
5 1 x3( 3 x2 1)dx 0
2 1 2
2
f3
7 2
1 x3( 5 x3 3 x)dx
u
0
c
os
0
2
2
或
u rr0 uu00xx
0 x 1 1 x 0
通解为：
u(r, )
( Al r l
l 0
Bl
r
1
l 1
)
Pl
(cos
)
对于球的内部： u r0 有界
Bl 0
u(r, ) Alrl Pl (cos ) 代入边界条件得： l 0 Al r0l Pl (x) u0 x l0
m 0时，m Am为常数， u与无关。
例题3、在球 r r0的内部,求解
u=0,使得满足边界条件 u rr0 cos2
解：m=0
通解为：u(r, )
l 0
( Al r l
Bl
r
1
l 1
)
pl
(cos
)
B 0 r 0u r0 有限值
l
通解为 u(r, ) Al r l pl (cos ) l0
Pl (x) (1)l Pl (x)
即当 l 为偶数时，勒让德多项式 Pl (x) 为偶函数，
l 为奇数时
Pl ( x) 为奇函数
一、勒让德多项式的正交关系
1
1 Pk (x)Pl (x)dx 0 (k l)
0 Pk (cos )Pl (cos )sind 0 (k l)
两式称为正交性．
二、勒让德多项式的模：
1 2
2
2 5
(最高幂）
f (x)
x3
l 0
fl Pl (x)
3 5
P1
(
x)
2 5
P3 (x)
另一解法：
x3
(5 2
x3
3 2
x
3 2
x)
2 5
3 5
P1(x)
2 5
P3 ( x)
推广： f (x) xn
fl
2l 1 2
1 1
x
n
Pl
(
x)dx
(2l
0 1)n!(n
l
1)!!
(n l)!(n l 1)!!
u内 0 u内 r0 有限值
(r r0)
u内 Al r l Pl (cos )
l 0
r2
d2R dr 2
2r
dR dr
l(l
1) R
0
和球谐函数方程
1
பைடு நூலகம்sin
sin
Y
1
sin2
2Y
2
l(l 1)Y
0
继续分离变数，令Y (,) ( )(),得到关于的方程：
'' 0 ( 2 ) ()
(1) 0时，( (2) m2 ,()
) C1
Acos
C2 C2
m Bsin
u x 展开
为广义傅立叶级数。
0
f (x) u0 x fl Pl (x)
l 0
fl
2l 1 2
1 1
f
(x)Pl (x)dx
2l 2
1
u0
1
1 Pl ( )d
可以导出： f 2n1 0
f
2n
(1)n1
(4n (2n
1)( 2n 1)(2n
1)!! 2)!!
u0
f
0
1 2
u0
比较系数得：
m
() Acos m B sin m, m 0,1, 2,3,...
球函数Y (,) (Acos m Bsin m)( ),其中( )需从连带勒让德
方程解出:(1 x2 ) d 2 2x d [l(l 1) m2 ] 0，x cos
dx2 dx
1 x2
m 0时，成为l阶勒让德方程：(1 x2 ) d 2 2x d l(l 1) 0 dx2 dx
3、勒让德多项式的积分表示
根据柯西积分公式的高阶导数，并取正方向积分有
i f (l) (z) l!
2πi
C
(
f ( )
z)l 1
d
容易证明微分表示也可表示为环路积分形式
1 1 ( 2 1)l
i Pl (x) 2πi 2l C ( x)l1 dx
C 为 z 平面上围绕 z x 点的任一闭合回路，
(2)勒让德多项式
通常约定：用适当的常数乘以本征函数使最高次幂项xl的系数为:
al
(2l)! 2l (l !)2
,
l
Pl (x) ak xk （相邻两项相差2次） k 0
利用系数递推公式：ak
(k 2)(k 1) (k l)(k l 1) ak＋2
推算出其他系数：a0...al2n...al4 , al2 , al
前面已学：勒让德方程在x 1有自然边界条件：y 有限，从而构成 x 1
本征值问题，本征值是l(l 1), l 0,1, 2, 3..., 在l为整数条件下，勒让德方程
的两个线性独立特解y(x) a0 y0 (x) a1 y1(x)之一退化为l次多项式。
z
(
)
y(x)
l为l为22kk(1偶(奇数数):):aa01yy10((xx))
用常点邻域
的级数解法
,
令
y
ak xk
k0
a0 y0 (x)
a1 y1(x)
aa10yy10(
( x), l为偶数时 x)，l为奇数时
同样若记 arc cos x y(x) (x)
则上述方程也可写为下列形式的 l 阶勒让德方程
d [(1 x2 ) dy ] l(l 1) y 0
dx
dx
~ ~
x2k x 2 k 1
将它们分别乘上适当的常数，叫做l阶勒让德
r
y 多项式，记作Pl (x).
x
Pl (x) 轴对称情况下的球函数。
[Y ( ,) A( ) Ay(x) Pl (x)]
§2·1 勒让德多项式
• 勒让德方程的求解 • 勒让德多项式 • 勒让德多项式的性质、母函数和递推公式 • 勒让德多项式的应用
al 6
(1)3
3!2l
(2l (l
6)! 3)!(l
6)! , ...al 2 n
(1)n
n!2l
(2l (l
2n)! n)!(l
2n)!
勒让德多项式:y
Pl
(x)
[l/2]
a xl2n l2n
n0
[l/2]
(1)n
n0
n!2l
(2l (l
2n)! n)!(l
xl2n 2n)!
(1)n
(2n 1)!! (2n)!!
式中记号 (2n)!! (2n)(2n 2)(2n 4)L 6 4 2
而 (2n 1)!! (2n 1)(2n 3)(2n 5)L 531
因此， (2n)! (2n)!!(2n 1)!!
奇偶性：
根据勒让德多项式的定义式，作代换 x (x), 容易得到
选取球心为极点，Z轴为极轴，
Z
Z轴为对称轴，u与无关。
u 0
u rr0 u0 cos u0 x
O
Y
X
u
0 2
或 u x
x0 0
0
2 x不是直角坐标
对定解问题解析延拓到整个球形区域
x=0上满足第二类边界条件，是关于Z轴对称的。所以边界条件应进行偶延拓。
u0
cos
u rr0
(231x6
315x4
105x2
5)
1 512
(231cos 6
126 cos
4
105cos
2
50)
勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 11.1
2、勒让德多项式的微分表示
Pl (x)
1 2l l !
dl dxl
(x2
1)l
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
并取正方向．这叫作勒让德多项式的施列夫利积分表示式．
还可以进一步表为下述拉普拉斯积分．
Pl
(x)
1 π
π
(x i
0
1 x2 cos)l d
§2·2 勒让德多项式的性质
Pl (1) 1
Pl (1) (1)l
Pl (x) 1
(1 x 1)
P2n1(0) 0
P2n (0)
(1)n
(2n)! 2n n!2n n!
将指标n k
Pl
(x)
[l/2]
(1)k
k0
k !2l
(2l (l
2k)! k)!(l
2k)!
xl2k
,
按降幂排列的l次多项式。
一、勒让德方程的解：
我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解
为
Pl (x)
[l] 2
(1)k
k 0
(2l 2k)! 2l k!(l k)!(l
xl2k 2k)!
l 0
Al r0l
pl (cos )
cos2
x2
1 3
p0 (x)
2 3
p2 (x)
A0
1 3
A2
2 3
1 r0 2
Al 0 (l 0.2)
u(r, )
1 3
2 3
1 r02
r2
p2 (cos )
r 例题4：半径为 0 的半球，其球面上温度为
u0 cos ，底面绝热，试求这个半球里的稳定温度分布。
A2n1 0
A0
1 2
u0
A2n r02n
(1)n1
(4n (2n
1)(2n 1)(2n
1)!! 2)!!
u0
u(r, )
1 2
u0
n0
(1)n1
(4n (2n
1)(2n 1)(2n
1)!! 2)!!
u0
r2n r02n
P2n (x)
例题5、在匀强电场中，放入一均匀介质球（原来不带电），
Pl (x)
式中
[
l] 2
l
l, 2 1
, 2
l 2n l 2n 1
(n 0,1, 2, )
l 上式具有多项式的形式，故称 Pl ( x) 为
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
二、勒让德多项式
1、前几个勒让德多项式: （注意到 x cos )
P0 (x) 1
P1(x) x cos
P2 (x)
1 2
(3x2
1)
1 4
(3cos 2
1)
P3
(x)
1 2
(5x3
3x)
1 8
(5cos
3
3cos
)
P4
(x)
1 8
(35x4
30x2
3)
1 64
(35cos
4
20 cos
2
9)
P5
(x)
1 8
(63x5
70x3
15x)
1 128
(63cos
5
35
cos
3
30
cos
)
P6 (x)
1 16
2)! (l
2)!
al 4
(l 2)(l 3) 4(2l 3)
al 2
(1)2
(l 2)(l 2 2!(2l
3) 3)
2l
(l
(2l 2)(2l 3)(2l 4)! 1)(l 2)(l 3)(l 4)!(l
2)!
(1)2
2!2l
(2l (l
4)! 2)!(l
4)!