勒让德多项式及球函数

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2 勒让德多项式的微分表示
1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1) 2 l ! dxl
（19.1.10）
上式通常又称为勒让德多项式的罗德里格斯（Rodrigues） 表示式．
下面证明表达式(19.1.10)和（19.1.7）是相同的．
【证明】 用二项Байду номын сангаас定理把
在分离变量法一章中，我们已经知道拉普拉斯方程
1 2 u 1 u 1 2u (r ) 2 (sin ) 2 2 0 2 2 r r r r sin r sin
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在球坐标系下分离变量后得到欧拉型常微分方程
2 d R dR 2 r 2r l (l 1) R 0 2 dr dr
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第三篇
特殊函数
本篇主要内容： 勒让德多项式及球函数；贝塞 尔函数和柱函数. 本篇重点：勒让德多项式和贝塞尔函数. 本篇特点：加强了思维能力的训练, 以及计算机 仿真绘图在特殊函数中的应用.
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第十九章 勒让德多项式 球函数
19.1 勒让德方程及其解的表示 19.1.1 勒让德方程 勒让德多项式
上式具有多项式的形式，故称
Pl ( x)
为
l
阶勒让德多项式．勒让德多项式也称为第一类勒让德函数．
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式（19.1.7）即为勒让德多项式的级数表示． 注意到 x cos , 故可方便地得出前几个勒让德多项式:
P0 ( x) 1
P1 ( x) x cos
P2 ( x) 1 1 (3x 2 1) (3cos 2 1) 2 4
，
y( x) ( x)
l
阶勒让德方程
，则上述方程也可写为下列形式的
d 2 dy [(1 x ) ] l (l 1) y 0 dx dx
(19.1.6)
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19．1．2 勒让德多项式的表示
1. 勒让德多项式的级数表示 我们知道：在自然边界条件下，勒让德方程的解 P ( x ) l 为
（19.1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则
m0
，即有 （19.1.5）
1 d d sin l (l 1) 0 sin d d
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
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同样若记
arc cos x
1 1 6 4 2 P6 ( x) (231x 315 x 105 x 5) (231cos 6 126cos 4 105cos 2 50) 16 512
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勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 19.1
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计算 Pl (0) ，这应当等于多项式
Pl ( x) 的常数项．
如 l
为
2n 1 （即为奇数）时，则 P2 n 1 ( x)
只含奇 数次幂，不含常数项，所以
P2 n 1 (0) 0
．
（19.１.8）
则 P2 n ( x) 含有常数项，即 l 2n （即为偶数）时， （19.１.7）中
1 1 P3 ( x) (5 x3 3x) (5cos 3 3cos ) 2 8
1 1 P4 ( x) (35 x 4 30 x 2 3) (35cos 4 20cos 2 9) 8 64 1 1 P5 ( x) (63x5 70 x3 15 x) (63cos 5 35cos 3 30cos ) 8 128
P2 n (0) (1)n
k l 2n
的那一项，所以
(2n)! n (2n 1)!! ( 1) （19.１.9） n n 2 n !2 n ! (2n)!! 式中记号 (2n)!! (2n)(2n 2)(2n 4)6 4 2 而 (2n 1)!! (2n 1)(2n 3)(2n 5)5 3 1 因此， (2n)! (2n)!! (2n 1)!!
(2l 2k )! Pl ( x) (1) l xl 2 k 2 k !(l k )!(l 2k )! k 0
k
l [ ] 2
（19.1.7）
式中
l , l [ ] 2 2 l 1 , 2
l 2n (n 0,1,2, ) l 2n 1
x cos 和 y( x) ( x)
把自变数从 换为
x ，则方程（19.1.3）可以化为下列
形式的 l 阶连带勒让德方程
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2 2 d y d y m 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y0 2 dx dx 1 x
球谐函数方程进一步分离变量，令
Y ( , ) ( )( )
得到关于 的常微分方程
1 d d m2 sin l (l 1) 2 0 sin d d sin
（19.1.3）
称为 令
l
阶连带勒让德方程 . l
（19.1.1）
和球谐函数方程
1 Y 1 2Y l (l 1)Y 0 sin 2 2 sin sin
(19.1.2)式的解 Y ( , ) 与半径 ，或简称为球函数．
（19.１.2）
r
无关，故称为球谐函数
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( x 2 1) l展开
l 1 2 l 1 l l! 1 2 l k k k 2l 2 k ( x 1 ) ( x ) ( 1 ) ( 1 ) x l l l 2 l! 2 l! k 0 (l k )!k! 2 k!(l k )! k 0