第七章勒让德多项式
勒让德多项式
勒让德多项式[编辑]维基百科，自由的百科全书伴随勒让德多项式有时也简称为“勒让德多项式”。
数学上，勒让德函数指以下勒让德微分方程的解：为求解方便一般也写成如下施图姆-刘维尔形式（Sturm-Liouville form）:上述方程及其解函数因法国数学家阿德里安-马里·勒让德而得名。
勒让德方程是物理学和其他技术领域常常遇到的一类常微分方程。
当试图在球坐标中求解三维拉普拉斯方程（或相关的其他偏微分方程）时，问题便会归结为勒让德方程的求解。
勒让德方程的解可写成标准的幂级数形式。
当方程满足|x| < 1 时，可得到有界解（即解级数收敛）。
并且当n 为非负整数，即n = 0, 1, 2,... 时，在x = ±1 点亦有有界解。
这种情况下，随n 值变化方程的解相应变化，构成一组由正交多项式组成的多项式序列，这组多项式称为勒让德多项式（Legendre polynomials）。
勒让德多项式Pn(x)是n 阶多项式，可用罗德里格公式表示为：目录 [隐藏]1 正交性2 部分实例3 在物理学中的应用4 其他性质4.1 奇偶性4.2 递推关系5 移位勒让德多项式6 分数阶勒让德多项式7 参见8 外部链接9 参考文献正交性[编辑]勒让德多项式的一个重要性质是其在区间−1 ≤x ≤ 1 关于L2内积满足正交性，即：其中δmn 为克罗内克δ记号，当m = n 时为1，否则为0。
事实上，推导勒让德多项式的另一种方法便是关于前述内积空间对多项式{1, x, x2, ...}进行格拉姆-施密特正交化。
之所以具有此正交性是因为如前所述，勒让德微分方程可化为标准的strum-liouville问题：其中本征值λ对应于原方程中的n(n+1)。
部分实例[编辑]下表列出了头11阶（n 从0到10）勒让德多项式的表达式：n12345678910头6阶（n 从0到5）勒让德多项式的曲线如下图所示：在物理学中的应用[编辑]在求解三维空间中的球对称问题，譬如计算点电荷在空间中激发的电势时，常常要用到勒让德多项式作如下形式的级数展开：其中和分别为位置向量和的长度，为两向量的夹角。
勒让德多项式归一化
勒让德多项式归一化
勒让德多项式是一类经典的正交多项式，用于描述数学和物理领域中
的各种现象和问题。
为了方便应用，我们需要将这些多项式进行归一
化处理。
勒让德多项式的归一化可以通过如下方式实现。
首先，我们需要确定
多项式中最高次幂的系数，即归一化因子。
通过求解正交条件和归一
化条件，我们可以得到这个系数的具体表达式。
以勒让德多项式P_n(x)为例，其中n代表多项式的阶数，x为自变量。
首先，我们需要确定归一化因子A_n，它的求解需要满足以下两个条件：
1. 正交条件：不同阶数的勒让德多项式在某一区间上的内积为0，即
∫(-1 to 1) P_n(x)P_m(x) dx = 0 (n ≠ m)。
这个条件保证了不同
阶数的多项式之间不存在互相干扰。
2. 归一化条件：阶数为n的勒让德多项式在区间内的归一化，即∫(-
1 to 1) [P_n(x)]^
2 dx = 1。
这个条件保证了每个多项式都有相同的
总能量。
通过求解这两个条件，我们可以得到归一化因子A_n的具体表达式。
然后，我们可以将原始的勒让德多项式除以归一化因子，即P_n(x) /
A_n，从而得到归一化后的多项式。
归一化后的勒让德多项式具有一些重要的性质和应用。
它们能够描述
电磁场、量子力学以及各种物理过程中的现象和问题。
归一化后的勒
让德多项式在实际计算中更加方便和可靠，能够提供准确的结果，并
被广泛应用于科学和工程领域。
10-1勒让德多项式
§10.1 勒让德多项式一、 引入拉普拉斯方程20u ∇=，在球坐标下为2222222111sin 0sin sin u u ur r r r r r r θθθθφ∂∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭ 它有分离变量形式的解()(),u R r Y θφ=，其中R (r )满足径向方程()210d dR r l l R dr dr ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭其通解解为()1ll B R r Ar r +=+.(),Y θφ为球函数，它满足球函数方程()22211sin 10sin sin Y Yl l Y θθθθθφ∂∂∂⎛⎫+++= ⎪∂∂∂⎝⎭ (),Y θφ可以进一步分离变量为()()(),Y θφθφ=ΘΦ，()φΦ满足方程2"0m Φ+Φ=其解为()()cos sin 0,1,2,C m D m m ϕϕϕΦ=⋅+⋅=()θΘ满足方程：()22sin sin 1sin 0d d l l m d d θθθθθΘ⎛⎫⎡⎤++-Θ= ⎪⎣⎦⎝⎭ 该方程可以化为连带勒让德方程()()222212101d d m x x l l dx dx x ⎡⎤ΘΘ--++-Θ=⎢⎥-⎣⎦其中cos x θ=，当m=0，方程退化为勒让德方程：()()221210(1)d d x x l l dx dxΘΘ--++Θ= 这正是本节要研究的问题：m=0，意味着Φ=常数，与φ（方位角）无关，这在物理上代表轴对称问题。
其中（1）受边界条件“在x =1处有限”的限制，构成本征值问题，本征值：()1l l +本征函数：()0y x ，当l 为偶数，()0y x 截止到2lnx x =项()1y x ，当l 为奇数，()1y x 截止到21ln x x+=项其中()2020kk k y x ax +∞==∑，()21121k k k y x a x +∞++==∑系数递推公式为：()()()()22121k kk l k l a a k k +-++=++ 二、勒让德多项式约定最高项 ()()22!2!l kl l a a l =利用上述系数递推公式，反推全部系数，可得()()()()222!1!2!2!kl k l l k a k l k l k --=---如此，可将勒让德方程的解可以表示为：()()()()()22022!1!2!2!l kl k l lk l k P x k l k l k ⎡⎤⎣⎦-=-=---∑ 2l ⎡⎤⎢⎥⎣⎦表示不超过的最大整数(),2212ll l l l ⎧⎪⎡⎤⎨=⎢⎥⎣⎦-⎪⎩为偶数，为奇数勒让德多项式举例：()()()()()()()()()()()0122234241cos 11313cos 212411535cos33cos 28113530335cos 430cos 29864P x P x x P x x P x x x P x x x θθθθθθ====-=+=-=+=-+=++ ， 1. 基本性质（1）()21n P x +为奇，()2n P x 为偶（2）()()()()()21221!!00,012!!nn n n P P n +-==- ()()()()()()()2!!2222464221!!2123531n n n n n n n =--⋅⋅-=--⋅⋅（3） ()()()11,11ll l P P =-=- （4）()()1,11l P x x ≤-≤≤ 2. 微分表示()()2112!l l l l l d P x x l dx=- 这叫罗德里格斯公式（Rodriguez ） 证明：()()()()()22220111!1112!2!2!!!l ll l l kkkkl kll l llllk k d d d l x Cxx l dx l dx l dx k l k --==-=-=--∑∑ 其中使用了二项式定理，经l 次求导，凡是幂次小于lx 的项最后都为0，所以最后结果值保留不小于l 次幂的项，即22l k l -≥，即2l l ≤上式()()()()()2202222121112!2!!l k l kl l k l k l k l k xl k l k ⎡⎤⎣⎦-=----+=--∑()()()()22022!12!!2!l kl k l k l k x k l k l k ⎡⎤⎣⎦-=-=---∑此即()l P x3. 积分表示利用积分公式()()()1!2nn c f d n f z i z ζζπζ+=-⎰，令()()21l f x x =-，由导数表示的公式可得()()()2111122ll l lcz P x dz i z x π+-=-⎰这里c 为围绕x 点的任一闭合回路，此积分叫做施列夫利积分；将c 取为圆心在z=x ，半径,i i z x dz d ψψψ-==代入积分表示式中，可得()[]011cos sin cos lll P x x d i d ππψψθθψψππ⎡⎤=+=+⎣⎦⎰⎰当x =1，很容易求得()11l P =；当()()1,11ll x P =-⇒-=-此外，()[]22211cos sin cos cos sin cos lll P x i d i d ππθθψψθθψψππ⎡⎤≤+=+⎣⎦⎰⎰22211cos sin 1ld d ππθθψψππ⎡⎤≤+==⎣⎦⎰⎰即()1l P x ≤（前提是11x -≤≤，但cos x θ=，所以肯定11x -≤≤）4. 正交性()()()110,k l P x P x dx k l -=≠⎰或者：()()()0cos cos sin 0,k l P P d k l πθθθθ=≠⎰模：若k l =，有：()()()11211221k l l P x P x dx P x dx l --=⇒⎡⎤⎣⎦+⎰⎰ 这个积分结果为勒让德多项式的模方为：2l N ，即l N =5. 完备性()l P x 是定义在[]1,1x ∈-区间上的函数族，任意一个定义于区间[]1,1-上的连续或者分段连续的函数()f x ，（只有第一类间断点，且是有限个第一类间断点，有限个极值点） 都可以以()l P x 为“基矢”展开，即()()0l l l f x C P x ∞==∑()l P x 的这一性质叫做它的完备性，展开系数l C 可以用前述正交性求得：()()()()1102121cos sin 22l l l l l C f x P x dx f P d πθθθθ-++==⎰⎰ 简证：把()()0l ll f x C P x ∞==∑两边同乘以()kP x()()()()0k l l k l f x P x C P x P x ∞==∑再两边同时取积分()()()()()11121110221k l l k k k k l f x P x dx C P x P x dx C P x dx C k ∞---====⎡⎤⎣⎦+∑⎰⎰⎰⇒ ()()11221k k C f x P x dx k -=+⎰评述：勒让德多项式()l P x 的正交、完备性，使之可以作为“基矢”，任意定义在[]1,1-上的分段连续的()f x 都可以用展开，这样的性质类似于傅里叶级数展开，称之为广义傅里叶展开。
勒让德多项式的应用
r→∞
lim v = 0
(1) (2)
∆v = 0, −q v , r =a = r12 − 2r1r cosθ + r 2
在轴对称情况下方程的一般解是
∞
lim v = 0
r →∞
(1) (2)
v (r ,θ ) = ∑ ( Al r l + Bl r −( l +1) ) pl (cos θ )
例题 4
轴对称的边界条件
半径为a的导体球面附近的电场分布为 f = Acosθ， 确定球外空间的电势 u 。
解：
∆u = 0, r > a 定解问题为： ur |r =a = f = A cosθ
定解问题有轴对称性， 相应的一般解为 u = ∑ l = 0 ( Al r l + Bl r − l −1 ) Pl (cos θ ) 球外解要求 u (∞ , θ )有界，一般解化为 u = ∑ l = 0 Bl r − l −1 Pl (cos θ )
由边界条件得： Ax 2 =
根据完备性：
∞
r
∞
∑
∞ l =0
B l a − l −1 Pl ( x )
2 k + 1 k +1 Bk = a 2
∫
+1
−1
Ax 2 Pk ( x ) dx =
例题 3
一空心圆球区域，内半径为a，外半径为b， 内球面上电势为 f = cosθ，外球面上电 势为零，确定区域内电势u 。 ∆u = 0, a < r < b 定解问题为： 解： u |r =a = cosθ , u |r =b = 0
球内解要求 u ( 0, θ )有界，一般解化为 u = ∑ l =1 Al r l Pl1 (cos θ ) sin ϕ
勒让德多项式
(1) k (2l 2k )! l 2 k Pl ( x) l x k 0 2 k!(l k )!(l 2k )!
n
一. 特殊值、奇偶性和图形
l 2 l 1 n 当l为奇数时 2
当l为偶数时 n
Pl (1) 1,
P2 n (0) c0 (1) n
六. 勒让德多项式的正交性、完备性与模
0, lk 2 1 Pl ( x)Pk ( x)dx Nl2 , l k 2l 1
1
勒让德多项式完备性 若f(x)是定义在[-1,1]区间上任意一个平方可积的函数,
那么
f ( x) cl Pl ( x)
l 0
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
2. P l ( x) P l 1 ( x) 2 xP l ( x) P l 1 ( x)
3. 4.
P l 1 ( x) xP l ( x) (l 1) P( x) Pl 1 ( x) P l 1 ( x) 2l 1P l ( x)
1 1 2rx r xr
2
r Pl ( x)
l l 0 2
(l 1) P l 1 ( x) lP l 1 ( x) (2l 1) xP l ( x)
1 2rx r 2
(1 2rx r ) lr l 1Pl ( x)
l 0
( x r ) r l Pl ( x) (1 2rx r 2 ) lr l 1Pl ( x)
证
2 l
1 dl 2 l Pl ( x) l ( x 1 ) 2 l! dx l
数理方程勒让德多项式
35 cos
3
30 cos
)
P6
(x)
1 16
(231x6
315x4
105x 2
5)
1 512
(231cos
6
126 cos
4
105 cos
2
50)
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勒让德多项式的图形可通过计算机仿真(如MATLAB仿真) 得到
图 6.1
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计算 Pl (0) ，这应当等于多项式 Pl (x) 的常数项．
不同阶的勒让德多项式在区间 [1,1] 上满足
1
1 Pn
( x)Pl
(x)dx
N 2 l n,l
(2.2)
其中
n,l
1 0
(n l) (n l)
当
nl
时满足
1
1Pn (x)Pl (x)d，x 0
(2.3)
称为正交性． 相等时可求出其模
Nl
1 1
Pl2
(
x) dx
2 2l 1
(l 0,1,2, )
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(1
x2
)
d2 y dx2
2x
dy dx
l
(l
1)
1
m2 x2
y
0
（1.4）
若所讨论的问题具有旋转轴对称性，即定解问题的解与
无关，则 m 0 ，即有
1
sin
d
d
sin
d
d
l(l
1)
0
（1.5）
称为 l 阶勒让德（legendre）方程．
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同样若记 arc cos x ， y(x) (x)
勒让德多项式及其性质
由达朗贝尔判别法可知，当n 0不为整数时，这两个级数的收敛半径为1,在（）式和（）式中，a°与a i可以任意取值，它们起着任意常数的作用，显然，在区间（—1，1 ）内yi和y都是方程（）的解，所以（）是（）的通解。
上面（）和（）幕级数当|x| 1时级数收敛，此外级数是发散的。
并且，我们发现，当n取非负整数时，y1和y2中有一个便退化为n次多项式，它就是方程（）在闭区间［-1,1］上的有界解。
此时，适当的选定这个多项式的最高次幕系数an，所得的多项式称为n阶勒让德多项式或第一类勒让德函数，记作P n X，下面我们来推导勒让德多项式R X的表达式。
①当n为正偶数时%退化为n次多项式。
为求得巳X的表达式，在％中我们通过a n来表示其它各项的系数。
为此，将系数递推关系式改写成下列形式：(k 2)(k 1) 一a k O k 2(k n)(k n 1) 2()在（）式中取k n 2，得：n(n 1) aa n 2an2(2 n 1) n()勒让德（legendre）多项式及其性质一. 勒让德多项式勒让德多项式是由勒让德方程的通解推导出来的，所以我们首先引入勒让德方程，以及勒让德方程的幕级数解，勒让德方程的表达式如下：Q II I （1 x2）y 2xy它的幕级数解如下：y y i y2其中：2ky i a2k Xk 02k 1y2 a2k 1X ak 0n(na o[1(n1)y 02!吨X33!其中n为非负实数（）()n(n 2)(n 1)(n 3)X4]4! （）(n 1)(1 3)(n 2)(n 4)X5✓v5!]()2n 2m !an 2m1m2n m!(n m)!(n 2m)!(m 0,1,(\!7nXI2rnn- 2n/1%\IJn/(. rrX.n 2mx()般地，我们有我们将这些系数带入（）中，并把此时的 y 记作R （x ），可得:这就是当n 为正偶数时勒让德多项式 ②当n 为正奇数时丫2退化为n 次多项式，我们把丫2记作R （x ），同理可得:n 1了、2,八m(2n 2m)!p n (x)( 1) m02n m!(n m)!(n 2m)! 把（）和（）写成统一的形式，得习惯上取an 为 a n(2n)2n ( n!)2()于是有: an 2n(n 1)2n(2n 1)(2n 2)! 2(2 n1)2n n(n 1)!n(n 1)(n 2!)(2n 2)! 2)!2n(n 1)!(n()在（）式中取k n4，并利用a n 2之值得:(2n 4)!a n(n 2)(n 3)a 4(2 n 3) n 22(n 2)(n 3)| 4(2n 3) I 1)(2n 2)!2n (n 1)!(n 2)!(1)2Y(2!)(n 2)!(n 4)!()由上述讨论可知，当n 为非负整数时，力和y 2中有一个是n 阶勒让德多项式，而另一个是无穷 级数，记作Q n (x)，称为第二类勒让德函数，此时方程()通解为：y Cf n (x) C 2Q n (X )()特别当n 0,1,2,3,4,5时，由()和()式得：1 2P o (x) 1 P(x) xP 2(x) 2(3X 1) 1311 5 3F 3(x)(5x 3x)P 4(x) -(35x 4 30x 2 3)F 5(x)(63x 70x 15x) 288它们的图形如下:P n (X)m 0m —(2n 2m )!—Xn 2m2n m!(n m)!(n 2m)!()其中[2]表示 2的整数部分-05c勒让德多项式的性质首先介绍一下勒让德多项式的母函数: 试将函数(x,z)(1 2xz z2) 2() 展开成z的幂级数(x,z)nA n Zn 0()可以证明(x, z)级数展开式中z n的系数恰好是勒让德多项式, 最终得到(x,z)(1 2xz Z2) 12Fn(x)z nn 0()因此称(x, z)为勒让德多项式的母函数。
勒让德多项式的权函数
勒让德多项式的权函数勒让德多项式的权函数可以被用作求解数学问题的工具，并用于给出一个有效的方案来适用于各种情境。
在过去的几十年中，由勒让德多项式的权函数问题引发了许多研究工作。
自古以来，人们就认识到它极具有概化性，能够提供以天然语言和抽象关系表达的普遍性解决方案。
本文将对这个传统的科学工具进行一次全面的介绍，从它的历史沿革和相关的数学理论，到其在机器学习和优化等领域的应用，使人们对它有一个更深入的了解。
2让德多项式的权函数的简单介绍勒让德多项式的权函数是一种求解数学问题的工具，它能够很好地表达多项式函数。
这种方法也可以表示多维函数，并通过勒让德多项式参数进行拟合。
它可以用于多维函数的估计、抽象形式描述多维函数问题以及参数估计，等等。
这种方法通常被称为“勒让德多项式变换”或“勒让德多项式拟合”。
3让德多项式的历史勒让德多项式的权函数可以追溯到古希腊数学家勒让德（Tyrone Lehrand）的时代。
他在六世纪的手稿中，提出了一种求解数学问题的方法，包括在数学方程中求解未知数。
早在十九世纪，多项式的拟合已被广泛应用到数学的各个领域，比如天文学，物理学和测量，以生成更准确的数据。
4让德多项式的数学基础有关勒让德多项式的权函数的数学原理，可以从四个方面来谈：多项式变换、多项式拟合、多项式表达式和多项式估计。
多项式变换是指使用有效解决方案，将多项式从一种表达方式转变到另一种表达方式的过程。
比如，将多项式从未知数表达式转变为固定参数表达式；或者，将多项式从多变量表达式转变为单变量表达式。
多项式拟合是指通过拟合给定的数据点，得到一系列参数和对应的多项式函数，用来表示待估计函数。
这种拟合方法通常采用最小二乘法，来得到参数和系数。
此外，多项式表达式可以提供一种抽象和简洁的表达方式，用于表示函数的行为。
最后，多项式估计可以用来估计参数的值，以及这些参数的改变如何影响到函数的行为。
5让德多项式的应用凭借其易用性和相关性，勒让德多项式的权函数已经被广泛用于机器学习和优化领域。
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第7章 勒让德多项式在第三章中我们介绍了一类特殊函数—贝塞尔函数，我们利用贝塞尔函数给出了平面圆域上拉普拉斯算子特征值问题的解，从而求解了一些与此特征值问题相关的定解问题。
为求解空间中球形区域上与拉普拉斯算子相关的一些定解问题，需要引入另一类特殊函数—勒让德（Legendre ）多项式，用于求解空间中球形区域上拉普拉斯算子的特征值问题。
需要说明的是勒让德多项式不仅是解决数学物理方程中许多问题的重要工具，在自然科学的其它领域也有许多的应用。
§7⋅1勒让德多项式本节介绍勒让德多项式及相关的一些特征值问题，为分离变量法的进一步应用作准备。
7．1.1 勒让德方程及勒让德多项式 考虑如下二阶常微分方程2[(1)]0d dyx y dx dxλ-+=，11x -<< (7.1.1) 其中0λ≥为常数，方程(7.1.1)称为勒让德方程。
设α是非负实数，使得(1),λαα=+则方程（7.1.1）可表示成如下形式2(1)2(1)0x y xy y αα'''--++=，11x -<< （7.1.2） 方程（7.1.2）满足第3章中定理3.1的条件，其中222(1)(), ()11x p x q x x x αα+=-=-- 故（7.1.2）在区间(1,1)-有解析解，设其解为0()k k k y x a x ∞==∑ （7.1.3）其中(0)k a k ≥为待定常数。
将该级数及一阶和二阶导数代入到原方程中得22121(1)(1)2(1)0k k k k k k k k k x k k a xx ka xa x αα∞∞∞--===---++=∑∑∑或20(1)(2)(1)2(1)0kkkkk k k kk k k k k k ax k ka x ka x a x αα∞∞∞∞+====++---++=∑∑∑∑ 即20[(1)(2)()(1)]0k k k k k k a k k a x αα∞+=+++-++=∑比较两端k x 的系数，可得2(1)(2)()(1)0, 0k k k k a k k a k αα++++-++=≥ 由此式可得系数递推关系2()(1), 0(1)(2)k k k k a a k k k αα+-++=-≥++ （7.1.4）当系数k a 指标分别取偶数和奇数时，（7.1.4）可表示为22(1)(22)(21), 1(21)2k k k k a a k k k αα--++-=-≥-212(1)1(21)(2), 12(21)k k k k a a k k k αα+-+-++=-≥+连续使用上述递推关系可知，当1k ≥时20(2)(22)(1)(3)(21)(1)(2)!k k k k a a k αααααα-⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+-=-211(1)(3)(21)(2)(4)(2)(1)(21)!k k k k a a k αααααα+--⋅⋅⋅-+++⋅⋅⋅+=-+记220k k a c a =，21211k k a c a ++=, 可得勒让德方程(7.1.2)的如下两个解2,120()kk k y x c x α∞==∑, 21,2210() k k k y x c x α∞++==∑ （7.1.5）其中011c c ==。
显然，,1()y x α与,2()y x α线性无关，它们构成了勒让德方程(7.1.2)的基解组。
因此勒让德方程的通解为0,11,2()()+ ()y x a y x a y x αα= 其中01,a a 为任意常数。
当0α≥不为整数时，由于对0k ∀≥，2k c 和21k c +都不等于零，所以,1()y x α和,2()y x α都是无穷级数, 称为α阶勒让德函数。
根据第3章定理3.1，级数,1()y x α和,2()y x α在区间(1,1)-内均处处收敛。
进一步可证明[8]，这两个无穷级数在端点1x =±是发散的, 而且发散到无穷大。
当α为非负整数n 时，由( 0)k c k ≥的表达式易见：若n 为偶数，则当 2k n >时，20 k c =；若n 为奇数，则当21k n +>时，210k c +=。
因此，当α为非负整数n 时，,1()n y x 和,2()n y x 中必有一个退化为n 次多项式，而另一个仍是无穷级数。
如果选择常数a ，使其中的n 次多项式与a 之积的首项系数(即n x 的系数)等于2(2)!2(!)n n n ，那么相乘所得的n 次多项式就称为n 阶勒让德多项式, 记为()n P x 。
这时，,1,2{(), ()}n n y x y x 中的另一个无穷级数称为第二类n 阶勒让德函数, 记为()n Q x 。
()n Q x 在区间(1,1)-内处处收敛, 但在端点1x =±发散，而且发散到无穷大(参看参考文献[8])。
总结上述，我们有如下结论。
定理7.1 对任意非负实数(1)λαα=+，其中0α≥，勒让德方程（7.1.1）在区间(1,1)-上存在由（7.1.5）所示的两个线性无关解。
当α不为整数时，级数,1()y x α和,2()y x α在端点1x =±发散到无穷大。
当且仅当α为非负整数n 时, 勒让德方程（7.1.1）存在有界解。
而且，当α为非负整数n 时，勒让德方程（7.1.1）的有界解由n 阶勒让德多项式()n P x 表示（即由()n P x 线性表示），另一个与()n P x 线性无关的解可由第二类n 阶勒让德函数()n Q x 表示，()n Q x 在区间(1,1)-上是无界的。
定理7.1表明，当α为非负整数n 时，勒让德方程（7.1.1）的通解可表示为12()()()n n y x c P x c Q x =+勒让德多项式不仅可用于求解勒让德方程，还可以用来求解其它相关的微分方程。
考虑如下微分方程222d d [(1)]()0, 11d d 1z m x z x x x xλ-+-=-<<- （7.1.6） 其中m 为正整数，(1)λαα=+，0α≥。
（7.1.6）称为勒让德伴随方程。
对(7.1.6)中方程作变量代换：22(1)()m z x u x =-，直接计算可得()u x 满足如下方程2(1)2(1)[(1)]0x u m xu m m u λ'''--++-+= （7.1.7）对勒让德方程（7.1.2）两边关于x 求m 阶导数得2(2)(1)()(1)()()(1)2(1)220m m m m m m x y mxy m m y xy my y λ+++------+=整理可得2(2)(1)()(1)2(1)[(1)]0m m m x y m xy m m y λ++--++-+= （7.1.8）比较（7.1.7）和（7.1.8）可知，()m u y =是（7.1.7）的解，而y 是勒让德方程（7.1.2）的解。
因此，（7.1.7）的通解为()()1,12,2()()()m m u x c y x c y x αα=+ 其中,1()y x α和,2()y x α由（7.1.5）给出。
由变换22(1)()mz x u x =-可知, 方程（7.1.6）的通解为2()2()221,12,2()(1)()(1)()m mm m z x c x yx c x y x αα=-+- （7.1.9）由定理7.1知, 仅当(1)n n λ=+，勒让德伴随方程（7.1.6）有有界解2()2()(1)()m m n z x x P x =- （7.1.10）需要说明的是，利用（7.1.5）可建立勒让德多项式()n P x 的具体表达式，但我们有更好的技巧来研究()n P x 的性质，请看节7.1.2和7.1.3的讨论。
7.1.2 勒让德多项式的生成函数和递推公式勒让德多项式和三维拉普拉斯方程基本解有密切的联系。
在第五章中已经知道，三维拉普拉斯方程基本解为001(,)4P P P P r πΓ=其中0(,,)P ξηζ是任意给定的点, 点3(,,)P x y z R ∈, 00||P P r P P =。
0(,,)(,)u x y z P P Γ=表示在0(,,)P ξηζ处放置的单位正电荷在(,,)P x y z 处产生的电位。
可验证当0(,,)(,,)P x y z P ξηζ≠时, (,,)u x y z 满足三维拉普拉斯方程0u ∆=。
若记 00,r OP r OP ==，0OP 和OP 的夹角为ϕ，由余弦定理可得0p p r =故有0001, 1, 1.p pr r r r r ρρ=⎧=<⎪⎪=⎨=< 引入函数(,)x ψρ，其定义如下122(,)(12), 0,1x x x ψρρρρ-==+-≥≤（7.1.10）由于20(2)0x ρρρ=-=，所以(,)x ψρ可在0ρ=的某一邻域展成Taylor 级数。
利取12α=-时二项式Taylor 级数公式可得122222232(12)1351(2)(2)(2)2816(1)(1) +(2)!n x x x x x n x n ψρρρρρρρρραααρρ-=+-=--+---+--+-+（，）（7.1.11）将（7.1.11）中2(2)n x ρρ-展开，注意到对任意正整数n ，含n ρ的项均来自于（7.1.11）中的前n 项，故n ρ的系数至多为变量x 的一个n 次多项式。
可以证明[2]n ρ的系数就是勒让德多项式()n P x ，即对于任意的[1,1]x ∈-，有(,)()n n n x P x ψρρ∞==∑。
（7.1.12）由于勒让德多项式()n P x 可由（7.1.12）确定，就称函数(,)x ψρ为勒让德多项式的生成函数或叫母函数,利用该函数可以得到勒让德多项式的一些性质。
下面利用(7.1.12)式推导勒让德多项式的递推公式。
利用（7.1.10）对(,)x ψρ关于ρ求导，易得下面一阶微分方程2(,)(12)()(,)x x x x ψρρρρψρρ∂+-=-∂ （7.1.13） 将（7.1.12）代入到（7.1.13）中得2100(12)()()()n n n n n n x nP x x P x ρρρρρ∞∞-==+-=-∑∑整理可得110(1)()(21)()()0nnn n n n n n n n Px n xP x nP x ρρρ∞∞∞+-===+-++=∑∑∑令n ρ的系数为零便得11(1)()(21)()()0, 0n n n n P x n xP x nP x n +-+-++=≥ （7.1.14）（7.1.14）称为勒让德多项式的递推公式。