第四节(2) 重积分的物理应用
重积分的积分应用和物理意义
重积分的积分应用和物理意义重积分是高等数学中一个重要的概念和工具。
它的出现是为了解决多元函数在空间区域内的积分问题。
在实际应用中，重积分有着广泛的应用，尤其是在物理学领域。
本文就对重积分的积分应用和物理意义进行分析。
一、重积分的积分应用1.体积和质量的计算在几何学和物理学中，体积和质量的计算都涉及到对空间中某个区域的积分。
例如，在三维空间中，某个具有规则形状的立体体积可以通过三重积分计算得出。
具体地，设空间中一个体积为V的区域为S，对其进行三重积分可以得到S的体积为：V = ∫∫∫ S dx dy dz同样的，如果在空间中某一点对应有一定质量，那么对该区域进行三重积分可以得到该区域的质量。
这时需要考虑到每个小立方体所包含的质量及其对应的体积，即：m = ∫∫∫ S ρ(x, y, z) dx dy dz其中，ρ(x, y, z)表示该点的密度。
2.力的计算在物理学中，重积分可用于计算某个物体所受的外力。
例如，平面上某个点的引力如果可以看成是均匀分布的，那么该点所受的外力可以通过对其周围区域进行二重积分得到。
具体地，如果某一点所受的引力函数的密度为ρ(x, y)，则该点所受的外力F可以表示为：F = ∫∫ D ρ(x, y) dS其中，D为该点周围的区域面积，dS为微小面积元素。
3.能量的计算在物理学中，重积分还可用于计算某个系统所具有的能量。
例如，某个三维物体所具有的动能可以通过对其质点进行积分计算得到。
具体地，设空间中某个物体的速度场为V(x, y, z)，则其动能可以表示为：E = 1/2 * m * ∫∫∫ S [V(x, y, z)]^2 dx dy dz其中，m为该物体的总质量。
二、重积分的物理意义重积分在物理学中有着广泛的应用，它可以帮助我们理解物理现象的本质和规律。
以下就以几个例子来说明重积分的物理意义。
1.空间电荷密度在电学中，空间电荷密度常常需要进行积分计算。
例如，在计算某一电场强度时，我们需要考虑到空间中每个点的电荷密度对该点电场强度的影响。
《重积分的应用举例》PPT课件
1. 重积分的几何应用
计算面积与体积
n
S
1d
D
lim 0 i1
i
n
V
1dV
lim 0
i 1
Vi
例1 求两曲面 z x2 3y2 与 z 8 x2 y2 所围区域的体积.
解 所求体积为 V dv, 将往oxy面上投影
z x2 3y2
z
(称为面积元素)
z
n
SP
o
x
d y
nz
dS P d
故有曲面面积公式
S D 1 fx2 (x, y) f y2 (x, y) d
即
S
1 ( z )2 ( z )2 d xd y
D
x y
若光滑曲面方程为
x g( y, z) , ( y, z) Dy z ,则有
Dy z
若光滑曲面方程为
面积.
解 由已知条件得
S EG F 2 drd r 2 h2 drd
D
D
2
a
d
r 2 h2 dr [a
a2 h2 h2 ln( a
0
0
a2 h2 )].
h
2. 重积分的物理应用
(1) 质
量平面薄片的质量 M x, yd ,
D
x, y是薄片 D 在 x, y处的面密度.
2r.
V 2 (4 4r2 cos2 4r2 sin2 ) 2 2rdrd
D
16 2
2
d
1 4r(1 r 2 )dr 8
2.
0
0
曲面的面积
设曲面S的方程zf(x, y)在区域D上具有连续的一阶偏导数, 则曲面S的面积为
重积分的运用举例
解：
先求该物体的体密度
由题意
且
Hw p199 2,3(2).
Apr. 23 Mon. Review
重积分应用
1.几何应用：
2.物理应用：
2.物理应用：
四. 物体的质心
，质量元素为
当薄片是均匀的，质心称为形心.
解：
解：
以球心为原点，以物体的对称轴为z轴，建立坐标系，形状对称，故质心在z轴上，即
同理可得
若光滑曲面方程为隐式
则
1.
x
y
z
o
1
1
x
y
z
o
1
1.
x
y
z
o
1
1
D
S
.
.
.
.
.
.
.
1.
2.
a
y
x
z
o
2.
x
y
z
o
D
S =
共同的 D :
.
2
x
z
y
3.
o
3.
x
z
y
2
问题： 曲面向哪个坐标面投影？
.
o
只能向xoz平面投影
x
z
y
2
得 z = 2
Dxz
.
3.
o
其中，
x
z
y
2
Dxz
b
引理成立.
a
注：这里 即 两平面法矢量的夹角.
证毕
二. 曲面的面积
x
z
y
0
z = f (x,y)
D
(xi , yi)
Pi
重积分的应用
3
计算复杂几何形状的表面积
对于复杂的几何形状，可以通过将其分割成小的 部分，然后对每一部分进行重积分，最后求和得 到总表面积。
03
重积分在概率论中的应用
概描述随机变量在各个取值上的概率分布情况，通过重积分计算随机变量
的概率分布。
02
离散型随机变量的概率密度函数
对于离散型随机变量，概率密度函数表示随机变量取各个可能值的概率，
对于离散型随机变量，期望值表示所有可能取值的加权平均，通过重积分计算离散型随 机变量的期望值。
连续型随机变量的期望值
对于连续型随机变量，期望值表示在各个实数区间上的概率密度函数的积分，通过重积 分计算连续型随机变量的期望值。
随机变量的方差
随机变量的方差
表示随机变量取值与其期望值的 偏离程度，通过重积分计算随机 变量的方差。
02
重积分的几何应用
计算面积
计算平面图形的面积
计算参数曲线的长度
通过重积分可以计算平面图形的面积， 例如矩形、圆形、三角形等。
对于参数曲线，重积分可以用来计算 其长度。
计算曲面面积
重积分也可以用来计算曲面在某个平 面上的投影面积，这在工程和物理中 非常有用。
计算体积
计算三维物体的体积
重积分可以用来计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体、圆锥体 等。
计算期权价格
期权定价模型
重积分在期权定价模型中有重要应用， 通过重积分可以计算出期权的合理价格 。
VS
隐含波动率
利用重积分，还可以计算出期权的隐含波 动率，为投资者提供更加全面的信息。
05
重积分在工程设计中的应用
优化设计参数
结构优化
重积分被广泛应用于结构优化设计，通过计算不同设计方 案下结构的应力、应变等参数，选择最优的设计方案，降 低结构重量并提高其承载能力。
重积分的应用
第四节 重积分的应用1求半径为a 的球的表面积。
解 取上半球面方程为z=222y x a --，则它在x0y 面上的投影区域D=(){}222,a y x y x ≤+。
由x z ∂∂=222y x a x --- , x z ∂∂=222yx a y ---得221⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+y z x z =222yx a a ---因为这函数在闭区域D 上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。
所以先取区域D 1=(){}222,b y x y x ≤+(0<b<a)为积分区域，算出相应于D 1上的球面面积A 1后，令b →a 取A 1的极限○1就得半球面的面积。
A 1=dxdy yx a a D 2221--⎰⎰利用极坐标，得 A 1=θρρρd d a a D 221-⎰⎰=⎰⎰-πρρρθ20022ba d d a=⎰-ba d a 0222ρρρπ=2()22b a a a --π于是()222122lim lim a b a a a A ab a b ππ=--=→→ 这就是半个球面的面积，因此整个球面的面积为 A 24a π=2,设有一颗地球同步轨道通讯卫星，距地面的高度为h=3600km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同。
试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值（地球半径R=6400km ）解 取低心为坐标原点，低心到通讯卫星中心的连线为z 轴，建立坐标系，如图9-40所示。
通讯卫星覆盖的曲面是上半球面被半顶角为a 的圆锥面所截得的部分。
的方程为⎰⎰⎰⎰--=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=xyD Dxydxdyyy x R Rdxdy y z x z A 222221其中是曲面在xOy 面上的投影区域，(){}α2222sin ,R y x y x D xy ≤+= 利用极坐标 得()απρρρπρρρθπααcos 122220sin 0sin 02222-=-=-=⎰⎰⎰R d R R d R R d A R R由于hR R+=αcos ，代入上式 得 h R h R h R R R A +∙=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=22212ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为()()5.42104.6362103624662≈∙+∙=+=h R h RA π% 又以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔π32角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面。
重积分的应用78864-32页PPT文档资料
F y (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 ) y 2 ( y (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
F z (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 ) z 2 ( z (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
2a
2
A 0
y(x)dx a (1 co t)d [s a (t sit)n ] 0
2a2(1cot)s2dt3a2. 0
由 于 区 域 关 于 直 线 x a 对 称 ， 所 以 形 心 在 x a 上 ， 即 x a ,
y 1
x A1 Dxd,
y A1 Dyd.
其中Ad
D
例3 设平面薄板由yxaa((1tcsiontts))，(0t2)
与x轴围成，它的面密度1，求形心坐标．
解 先 求 区 域 D 的 面 积 A ，
y(x)
D
0 t 2 ， 0 x 2 a a 2a
D
b
3h
12
.
设 物 体 占 有 空 间 有 界 闭 区 域 ,在 点 (x ,y ,z)处
的 体 密 度 为 (x ,y ,z),(x ,y ,z)在 上 连 续 ,则
对于 x轴的转动惯量
Ix(y2z2)(x,y,z)dv,
对于y轴的转动惯量
Iy(x2z2)(x,y,z)dv.
对于 z轴的转动惯量
Iz(x2y2)(x,y,z)dv.
五、引力
空间一物体对物体外一点p0(x0,y0,z0)处的
单位质量质点的引力为: F
km1m2 r3
r
F x (x ( x 0 k )2 (x (,y y ,z y )0 x )2 ( x (0 z ) z0 )2 )2 3d,v
重积分的应用
I z ( x y ) ( x , y , z )dv
2 2
x
x
y
2 2 2 2 [( x , y , z ) 到 l 的距离 ] )d (x I0 ( x , y ,z v, y , z )dv l ( x y z )
16
例 设一均匀的直角三角形薄板,两直角边长分别为 a,b,求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.
2
b
y a (1 b )
D
0
0
1 3 x dx a b . 12
17
例 求由y 2 ax及直线x a(a 0)所围图形对直线
y a的转动惯量( 1).
解
y
I ( y ( a )) d
2 D
( x, y)
y 2 ax (a , a )
xa
o x
y
x2 y2 a2 , z a
在xy 平面上的投影域为 Dxy : x 2 y 2 a 2 ,
1 2 由 z ( x y 2 )得 a
2x 2y zx , zy , a a
6
1 2 由 z ( x y 2 )得 a
Dxy : x y a ,
解 由对称性知 A 4 A1 , (A1为第一卦限图形的面积,如图) 2 2 D1 xy : x y ax ( x , y 0) 曲面方程 z a 2 x 2 y 2 于是,
2 dA 1 z x z2 y dxdy a dxdy 2 2 2 a x y
2 A 1 x 2 x y z dydz
Dxy
Dzx ３．设曲面的方程为：y h( z, x), 投影域为
重积分课件
详细描述
在计算电场时，我们需要对电荷的分布和位置进行积分 ，以确定电荷对其他电荷的作用力。这个积分过程也是 重积分。通过重积分，我们可以得到电荷之间的电场强 度和电势，进一步得到整个电场的分布情况。
05
重积分的数学性质
重积分的可加性
总结词
重积分具有可加性，即对于可加函数，其在两个不相交区域的积分之和等于其在整个区 域的积分。
微分方程的数值解法
欧拉方法
一种简单而常用的数值解法，通过迭代的方式逐步逼近微分方程的 解。
龙格-库塔方法
一种高精度的数值解法，适用于求解非刚性问题，具有更高的计算 精度和稳定性。
谱方法
利用傅里叶变换或小波变换将微分方程转化为频域或时域中的多项 式方程，通过求解多项式方程得到原微分方程的数值解。
THANKS。
04
重积分的物理应用Biblioteka 质量分布的计算总结词
质量分布是物理学中一个重要的概念，它描 述了物体内部各点的质量分布情况。
详细描述
在计算物体质量时，我们需要对物体的密度 函数进行积分，以确定物体内部所有点的质 量总和。这个积分过程就是重积分。通过重 积分，我们可以得到物体的总质量、质心位
置等重要物理量。
引力场的计算
详细描述
重积分的可乘性是指，如果函数在两个区域上进行积分 ，那么这些积分的结果之积等于函数在它们所围成的区 域上的积分结果。这个性质在处理多变量函数的积分问 题时非常有用，因为它允许我们将问题简化为更简单的 形式，从而更容易计算出积分的结果。同时，这个性质 也为我们提供了一种计算多变量函数积分的有效方法。
体积的计算
总结词
重积分是计算三维空间中物体体积的有 效工具，通过重积分可以计算出各种形 状的物体体积。
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z
a a
z
zdv zdv Ω dv
Ω
1dv
Ω
Ω
,
o
y
zdv
2 3 πa , 3
xa
zdv
Ω
0 dz zdxdy
Dz
Dz
a
先二后一
a
0
zdz dxdy (a 2 z 2 )
2 2 2 32
d
D: x y a
2
2
2
G0h
D
1 ( h )
2
a 2 0
2
2 32
dd
1 d
0 a . 0 2
G0 h d
0
( h )
a
2 32
h 1 2πG0 (1 ). G0h 2 2 2 2 h2 a h 0
n
mi
i 1
M y , M x为质点系对 y 轴和 x 轴的静矩.
2. 平面薄片的质心
在典型小区域d中取一点( x, y ).
y
( x, y)
x
(x, y) D
则小薄片d 的质量为
m ( x, y )d
O
d y x
将 d 近似看成质点 可得平面薄片的静矩元 , 素
dM x y( x, y)d , dM y x( x, y)d .
F ( Fx , Fy , Fz )
z P (x , y ,z ) 0 0 0 0
Fx
Ω
G ( x, y, z )( x x0 ) r
3
dv ,
dv
Fy
Ω
G ( x, y, z )( y y0 ) r
3
dv ,
O
y
x
3
Fz
Ω
G ( x , y, z )(z z0 ) r
dv .
其中 r ( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z0 ) 2 .
例5. 设半径为a的匀质圆盘体( 0 ),穿过圆盘
中心、并与圆面垂直的 直线上距离盘心为h处放一 单位质量的质点Ｐ , 求圆盘对质点Ｐ 的引力．
解: 由球体的对称性及质量 分布的均匀性知
1 z M
z ( x, y, z )dv .
Ω
例1. 求位于两圆 2 sin 和 4 sin 之间的
均匀薄片的质心.
解: 因为闭区域D对称于y轴,
y 4 sin
4
所以质心 C ( x , y ) 必位于 y 轴上,
x 0.
C 2 1
O
D
y
yd
O
y
x
二、 质心
1. 质点系的质心
设xOy平面上有n个质点( x1 , y1 ), , ( xn , yn ), 质量分别为m1 , , mn .
静矩
设质心的坐标为 ( x , y),
x
My M
mi xi
i 1 n
n
mi
i 1
,
M x mi yi y i 1 . n M
I x ( y z ) ( x , y , z )dv ,
2 2 Ω
z
( x, y, z )
dv (x, y, z)
●
I y ( z x ) ( x , y , z )dv ,
2 2 Ω
I z ( x y ) ( x , y , z )dv .
π
y d si n dd
2
2 2
π a a 4 . 0 sin d d 0 8 2 4
a 3
D 2
D
4
例4. 求密度为 的均匀球体对于过球心 的一条
轴 l 的转动惯量.
解: 取球心为坐标原点, z 轴与 l 轴重合 ,
L
v r
1 2 1 2 2 动能T mv mr , 2 2
v
r
m
1 1 2 ( m )v ( mr 2 ) 2 2 2
2 m : 质点平动时惯 I L mr : 质点转动时惯性
性大小的度量.
大小的度量, 称为转动惯量 .
1. 一个质点的转动惯量
质点的质量为 m .
质点关于x轴的转动惯量:
( x , y ) 叫做平面图形 D 的形心.
3. 空间物体的质心
质心坐标 ( x , y, z )
z
( x, y, z )
1 x M
x( x, y, z )dv,
Ω
O
1 y M
y
y( x, y, z )dv,
Ω
x
( M为立体的质量)
M ( x , y , z )dv
O
质点 P 对单位质点P0 的引力 Gm Gm r F 2 er 2 r r r
y
x
Gm( x x0 ) Gm( y y0 ) Gm( z z0 ) . , , 3 3 3 r r r 其中r P0 P ( x x0 , y y0 , z z0 ), r r ( x x 0 ) 2 ( y y0 ) 2 ( z z 0 ) 2 .
a 0 0
2π
3
a d
2 2
o
y
8 πa 5 . 15
x
z a2 x2 y2
四、 引力
1. 两个质点间的引力
z
P0 ( x0 , y0 , z0 )
单位质点位于P0 ( x0 , y0 , z0 ), 质量为m的质点位于P ( x , y , z ).
P ( x, y, z )
质点系关于y轴的转动惯量:
Iy
i 1
n
2 mi xi .
3. 平面薄片的转动惯量
设面密度为 ( x , y ),
把 d 看成质点, 其质量为 m ( x , y )d .
y
( x, y)
x
(x, y)D
O
2
d y x
则薄片对 x 轴和 y 轴的转动惯量元素分别 为
设球面方程 x 2 y 2 z 2 a 2 ,
则空间区域 Ω {( x , y , z ) | x y z a },
2 2 2 2
z
l
y
球体对 z 轴的转动惯量为
I z ( x y )dxdydz ,
2 2 Ω
x
Iz
( x
Ω
2
y )dxdydz
πa z(a z )dz . 4
2 2
4
z
a
a
0
z o
Dz
a
4 2 3 3 z a a a, 8 4 3
3 质心 : (0,0, a ). 8
y
xa
D : x2 y2 a2 z2 z : . 0 z a
三、 转动惯量
物理背景
一个物体对于旋转运动的惯性
积分
M x y ( x, y )d , M y x ( x , y )d .
D
D
薄片质量 :
M
( x , y )d .
D
薄片的质心坐标为
y
( x, y)
D
x
My M
x ( x , y )d
D
( x , y )d
D
,
O
x
Mx y M
n Gm ( x x ) i i 0 , 3 i 1 ri
n
Gmi ( yi y0 )
3 ri
i 1
Gmi ( zi z0 ) , 3 i 1 ri
n
3. 物体对一个质点的引力
设物体占有空间闭区域 Ω, 体密 度函数 ( x, y, z )在上连续.
第十章
第四节(2) 重积分的物理应用
一、 物体质量 二、 物体的质心 三、 物体的转动惯量
四、 物体的引力
一、 物体的质量
1. 平面薄片的质量
( x, y )
y
面密度
M ( x , y )d .
D
D
o
2. 空间物体的质量
z
( x, y, z )
体密度
x
M ( x , y , z )dv .
y ( x , y )d
D
( x , y )d
D
.
如果薄片均匀即( x, y)是常量, ,
则均匀薄片的质心坐标为
x
xd xd
D
d
D
D
D
A
, y
yd yd
D
d
D
D
A
.
其中 A d 为闭区域 D 的面积.
z
P(0,0,h)
Fx Fy 0,
所求引力沿z轴的分量为
h
D x a
2 32
F
0
a
y
Fz
D
G0 (0 h) [( x 0) ( y 0) (0 h) ]
2 2
d
D: x y a
2
2
2
Fz
D
G0 (0 h) [( x 0) ( y 0) (0 h) ]