能量估计
薛定谔方程能量估计
薛定谔方程能量估计
薛定谔方程是量子力学中最为基础的方程，用于描述微观粒子的运动
状态。
在薛定谔方程中，粒子的运动状态可以用波函数来表示，而波
函数的变化是由该粒子的能量和势能所决定的。
因此，对于一个具体
的量子系统，如果能够求出其波函数，就可以通过薛定谔方程计算出
其能量。
薛定谔方程最基本的形式为：
iħ ∂ψ/∂t = Hψ
其中，ħ为约化普朗克常数，t为时间，ψ为波函数，H为哈密顿算符。
哈密顿算符描述了系统的总能量，包括动能和势能。
因此，通过求解
薛定谔方程，我们可以得到一个量子系统的能量。
对于简单的量子系统，比如一个自由粒子或者一个粒子受到一个恒定
的势场作用，可以通过解析方法求解薛定谔方程，得到该系统的波函
数和能量。
但是对于复杂的系统，比如一个氢原子或者一个分子，往
往无法通过解析方法求解薛定谔方程。
此时，可以使用数值方法来近
似求解。
其中最常用的方法是量子力学中的变分法。
变分法通过将波函数的形式进行变分，使得能量的期望值最小化。
这样得到的波函数就是系统的基态波函数，相应的能量也就是系统的基态能量。
这种方法的精度已经能够满足大多数实验结果的要求，并且被广泛应用于材料科学、化学及生物物理学等领域。
总之，薛定谔方程是理解量子力学及其应用的核心概念之一。
通过求解薛定谔方程，可以得到量子系统的波函数和能量，从而揭示了微观世界的规律和奥秘。
热传导方程的能量估计
热传导方程的能量估计作者：曹洪锋来源：《价值工程》2011年第13期摘要：本文以傅立叶交换和分离变量两种方法对热传导方程进行能量的估计，并举例说明其在实际生活中的意义。
Abstract: This article carries on Fourier transformation and the separation of variable to estimate the heat conductivity equation，and gives some examples to explain its significance in the practical life.关键词：热传导方程；傅立叶变换；分离变量Key words: heat conductivity equation；Fourier transformation；separation of variable中图分类号：TK31 文献标识码：A 文章编号：1006-4311（2011）13-0032-030 引言自17世纪牛顿，莱布尼茨发明微积分后，科学家在利用微积分处理力学，物理学中各种问题的过程中导出了大量的微分方程。
在这些微分方程中，有些是常微分方程，比如力学中质点运动方程（m =f），但更多是偏微分方程。
欧拉，拉格朗日等科学家在研究流体力学，声音传播和膜振动等问题时。
拉普拉斯在研究势函数和潮汐理论时，傅立叶在研究热传导以及麦克斯韦在研究电磁理论时都导出一些偏微分方程，近代量子力学中出现的波动方程也是偏微分方程。
我们把物理研究中出现的偏微分方程称为数学物理方程。
而数学物理方程中的三大支柱理论为波动方程，热传导方程，调和方程。
随着世界资源的日益减少，能源危机愈发的凸现，所以对于热传导方程中能量问题成为人们关注的焦点。
1 热传导方程的基本知识热传导方程的定义及推导：在导热介质中，温度分布的不均匀时热量流动，这种现象称为热传导。
热传导的强弱时用面积热流量q（x，y，z）表征的，它时单位时间内垂直通过单位面积的热量，以u（x，y，z，t）表示温度，则按热学中的傅立叶定律有q∝Δu，而且q=-k?塄u其中比例常数k>0称为导热系数。
能量估计方法范文
能量估计方法范文能量估计方法是一种用于评估能量消耗的工具，可帮助人们监控和控制自己的饮食和运动。
它是一种非常有用的方法，尤其对于那些希望减肥或保持健康体重的人来说。
本文将探讨几种常见的能量估计方法，以及它们的优缺点。
首先，最常见的能量估计方法是使用能量平衡方程。
这种方法通过比较能量摄入和能量消耗来估计每天的总能量消耗量。
能量摄入量可以通过记录饮食中的热量和营养物质摄入量来计算。
能量消耗量可以通过根据个体的体重、年龄、性别和活动水平来计算。
然后，将能量摄入量减去能量消耗量，得到每天的总能量消耗量。
这种方法简单易行，可以提供一个大致的能量消耗估计，但它并不考虑个体的代谢率和其他因素的影响，因此估计结果可能会有一定的误差。
其次，膳食记录是另一种常用的能量估计方法。
这种方法通过记录每天所摄入的食物类型和量来计算能量摄入量。
通常使用食物记录本或手机应用程序来记录食物。
该方法需要时间和耐心，以确保准确地记录每一餐的食物摄入量。
然后，通过参考食物的热量表，计算每种食物的能量摄入量，并求和得到每天的总能量摄入量。
膳食记录是一种很有用的方法，可以提供准确的能量摄入估计，但要求较高的参与度和记忆力。
除此之外，心率监测和运动追踪设备也是衡量能量消耗的重要工具。
心率监测器可以通过测量心率来计算运动时消耗的能量。
运动追踪设备则可以根据步数、活动强度和持续时间来估计能量消耗量。
这些设备有助于记录运动量和能量消耗，在制定健身计划时提供指导。
然而，这些设备的准确性取决于其算法和传感器的质量，因此估计结果可能存在误差。
最后，身体成分测试也可以用于估计能量消耗。
通过衡量体重、身高、脂肪含量等指标，可以计算出个体的基础代谢率（BMR），即身体在静息状态下所需的能量。
然后，根据个体的活动水平，可以计算出每天整体的能量消耗。
这种方法比较精确，但需要专业的设备和测试。
能量估计在偏微分方程中的应用
能量估计又称 能量不等式 ， 它在偏微分方程 中有 义 范 效 如 卜 着 广 泛 的应 用 ． 曹 洪 锋 等 ｕ 研 究 了 热 传 导 方 程 中 能 量 估计 的一些应用 ； 杨金林 研究 了二阶波动方程 中的能 ） 量估 计与应用．一些特殊的偏微分方程 的初边值 问题 定义２ 吲 在定义 １ 中， 若ｐ ＝ ２ ， 则 解的唯一性和稳定性可用极值原理口 或最大模估计Ｈ 睐 处理．但是对于一般形式 ｎ 维双 曲型偏微分方程 的初 边值 问题解 的唯一性 和稳定性 ， 一般形式 的 ｎ 维抛物
ｄ ｒ ａ ｗｎ ． Ｋｅ ｙ ｗｏ ｒ ｄ ｓ ： ｅ ｎ ｅ ｒ ｙ ｇ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｈ ｙ ｐｅ ｒ ｂ ｏ ｌ ｉ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ； ｐ ａ ｒ ａ ｂｏ ｌ ｉ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ； ｅ ｌ ｌ ｉ ｐ ｉｃ ｔ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉ ｏ ｎ
关 键 词 ：能 量 估 计 ； 双 曲 型 方程 ； 抛 物 型方 程 ； 椭 圆形 方 程 中图分 类号 ：Ｏ１ ７ ５ ． ２ 文献标志码 ：Ａ 文章编号 ：１ ６ ７ １ － ５ ３ ６ ５ （ ２ ０ １ ４ ） ０ ６ － ０ ０ ０ ３ － ０ ４
Ｔｈ ｅ Ａｐ ｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ Ｅｎ ｅ ｒ ｇ ｙ Ｅｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｉ ｎ Ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ Ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎ ｔ ｉ ａ ｌ Ｅｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ
Ａｂｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔｈｅ ｅ ｎ ｅ ｒ ｇ ｙ ｅ ｓ ｔ ｉ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎ ｉ ｔ ｉ ａ ｌ ｂｏ ｕ ｎ ｄ ａ ｒ ｙ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ｉ ｎ ２－ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｈ ｙ ｐｅ ｒ ｂ ｏ ｌ ｉ ｃ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎｅ ｒ ａ ｌ ｆ ｏ ｒ ｍ， ｉ ｎ ２－ ｏ ｒ ｄ ｅ ｒ ｐ ａ ｒ 。 ｏ ｄ ｕｃ ｅ ｄ ． Ｓ ｏ ｍｅ ａ ｐｐ ｌ ｉ ｃ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｐ ｒ ｏ ｂ＿ ａ ｂ ｏ ｌ ｉ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｆ ｏ ｍ ｒ ａ ｎ ｄ ｉ ｎ ２ － ｏ ｒ ｄ ｅ ； ｅ ｌ ｌ ｉ ｐ ｔ ｉ ｃ ｅ ｑ ｕ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ｓ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｇ ｅ ｎ ｅ ｒ ａ ｌ ｏｒ ｆ ｍ ｗ ｅ ｒ ｅ ｉ ｎ ｔ ｒ
数学建模——原子弹爆炸的能量估计(医学参照)
原子弹爆炸的能量估计与量纲分析一、问题提出1945年7月16日，美国科学家在墨西哥州阿拉莫戈多沙漠进行了“三位一体实验”，试爆了全球第一颗原子弹。
这一事件令全球震惊。
由此开始了一个新的时代。
当时，有关原子弹的所有资料都是保密的，一般人无法知道。
两年后，美国政府首次公布了这次爆炸的录像带，但是仍未公布任何数据。
英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的结果为19.2千吨。
这次爆炸所释放的实际能量为21千吨。
Taylor建立数学模型的数据来源如下：表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m)现在我们要在Taylor所使用的数据的基础上，运用量纲分析法建立计算原子弹爆炸能量的数学模型。
二、模型假设1.原子弹的爆炸是在瞬间完成的，不考虑爆炸的核反应过程。
2.原子弹爆炸产生的能量主要是以冲击波的形式表现出来。
不考虑其它（如辐射）的影响。
3.只考虑冲击波的动力学特征。
4.冲击波可以通过爆炸形成的“蘑菇云”来表征。
三、符号说明四、 问题分析首先，我们从题目叙述中可以得知，因为缺乏详实的的数据资料，我们不能从从爆炸录像中去推断原子弹爆炸的全过程，从而用能量转化等规律去分析爆炸产生的能量较困难。
其次，爆炸产生的能量主要是以冲击波和辐射的方式向外扩散，这在录像当中是看不到的。
一般地，爆炸产生的冲击播以爆炸点为中心呈球面向四周传播。
爆炸产生的能量越大，在一定时刻冲击波就会传的越远。
而冲击波又可以通过爆炸形成的“蘑菇云”表现出来。
据此我们我们可以推断出：爆炸形成的“蘑菇云”的半径与时间有关，与能量有关，还与“蘑菇云”周围的空气密度有关，与大气压强有关。
从而可以通过量纲分析法确定这些量之间的函数关系。
五、 模型建立与求解 1) 模型建立根据上文得出结论，使用量纲分析法来尝试建立数学模型。
根据Pi 定理，设爆炸中，冲击波的半径r 、时间t 、能量E 、空气密度ρ、大气压强P 满足的一般函数形式为：（1）由于爆炸是在瞬时间完成的，不考虑爆炸过程所需时间。
食品能量值计算公式(一)
食品能量值计算公式(一)食品能量值计算公式1. 简介食品能量值计算公式是用于计算食品能量含量的数学公式。
它是根据食品中所含的营养成分来计算食物的能量含量的一种方法。
2. 热量计算公式热量计算公式是最常用的食品能量值计算公式之一。
它表示食品的能量含量取决于食品中所含的蛋白质、脂肪和碳水化合物的含量。
热量（千卡）= 蛋白质（克）× 4 + 脂肪（克）× 9 + 碳水化合物（克）× 4例如，假设一份食物中含有10克的蛋白质、5克的脂肪和20克的碳水化合物，那么它的热量可以计算为：热量= 10 × 4 + 5 × 9 + 20 × 4 = 40 + 45 + 80 = 165千卡3. 转换公式有时候我们需要将食物的能量值从一种单位转换成另一种单位，这时可以使用转换公式。
千卡转换成焦耳千卡（kcal）到焦耳（J）的转换公式为：1千卡 = 焦耳。
假设一种食物的热量为200千卡，我们要将其转换成焦耳，那么可以使用以下公式计算：焦耳= 200 × = 焦耳焦耳转换成千卡焦耳（J）到千卡（kcal）的转换公式为：1焦耳 = 千卡。
例如，一种食物的能量为500焦耳，我们想将其转换成千卡，那么可以使用以下公式计算：千卡= 500 × = 千卡4. 填写数据并计算要得到食品的能量值，我们需要知道食物中所含的各种营养成分的含量，并将其填入公式进行计算。
以一份牛肉汉堡为例，假设它的蛋白质含量为15克，脂肪含量为25克，碳水化合物含量为40克，我们可以使用热量计算公式计算其能量值：热量= 15 × 4 + 25 × 9 + 40 × 4 = 60 + 225 + 160 = 445千卡5. 结论食品能量值计算公式是一种根据食物中所含的营养成分来计算能量含量的方法。
通过热量计算公式，我们可以粗略地估计出食物的能量含量。
数学建模——原子弹爆炸的能量估计(医学参照)
数学建模——原子弹爆炸的能量估计（医学参照）原子弹爆炸所释放的能量是巨大的，而对于医学来说，我们需要关注的是此次爆炸对健康的影响。
因此，在进行能量估计时，我们需要考虑的不仅是爆炸造成的破坏，还要考虑辐射对人体的影响。
首先，我们可以利用质能方程E=mc²来估算原子弹爆炸所释放的能量。
其中E为能量，m为失重的质量，c为光速（3×10^8 m/s）。
以1945年美国在广岛投下的“小男孩”原子弹为例，其质量为64 kg，如果它完全失重了，那么释放的能量为：E = 64 ×（3 × 10^8）² = 5.76 × 10^17 J这个数字太大了，难以想象。
我们可以将其与医学中用的单位——格雷（Gy）进行比较。
格雷是一种测量辐射剂量的单位，表示每公斤物质所吸收的辐射剂量。
经过计算，我们可以估计出广岛原子弹爆炸后周围瞬时释放的电离辐射剂量为3.4 × 10^15 Gy，随着时间的推移，这个剂量会不断下降。
这个数字很大，但并不能直接表明辐射对人体的影响。
不同的组织对辐射的敏感程度不同，因此我们还需要进行更详细的计算。
辐射对人体的影响主要包括两个方面：急性病理反应和慢性病理反应。
急性病理反应是指在短时间内接受高剂量辐射后，人体出现的一系列急性症状，可导致死亡。
而慢性病理反应则可能在长时间内造成慢性疾病，如癌症。
对于辐射剂量不同的组织，它们所受损害的也有所不同。
例如，免疫系统和骨髓对辐射的敏感程度较高，而肝脏和肺部的敏感程度较低。
因此，在评估辐射对人体的影响时，需要针对不同的组织进行分析。
另外，辐射的类型也会影响其对人体的影响。
电离辐射分为α、β、γ三种类型，其中α辐射对组织的影响最大，因为它的能量很高，穿透力很弱，很容易被身体内的组织吸收。
而γ辐射穿透力很强，对人体内部的所有组织都有影响。
总之，原子弹爆炸所释放的能量及其对人体的影响是一个十分复杂的问题，需要考虑多个因素。
波动方程的能量方法
波动方程的能量方法波动方程是描述自然界中运动的物体所产生的波动现象的一种基本方程。
它在物理学、工程学和应用数学等领域中广泛应用。
为了解决波动方程的解法和性质，数学家们提出了多种方法，其中能量方法是一种重要的解法方法。
能量方法的主要思想是根据物理学原理，将波动系统的能量视为一个重要的物理量，利用能量和能流对波动方程进行分析和解决问题的方法。
能量方法主要包括两个方面：能量守恒和能量估计。
能量守恒考虑一维弦上的波动问题。
假设一个质点以$v(x,t)$速度沿着一条固定的弦运动，在时刻$t$时位于$x$处。
弦的振动会产生能量，因此我们可以用振动的能量来描述这个系统的状态。
设$u(x,t)$为弦在时刻$t$时在$x$处的位移，则该位置的能量密度为$$ dE=\frac{1}{2}\rho(x)u_x^2(x,t)+\frac{1}{2}T(x)u_t^2(x,t)dx $$其中，$\rho(x)$为材料的密度，$T(x)$为材料的张力。
整个弦的能量密度可以看作$dE$在所有长度上的积分。
设$L$为弦的总长度，则整个系统的总能量为$$ E=\int_0^LdE=\int_0^L\frac{1}{2}\rho(x)u_x^2(x,t)+\frac{1}{2}T(x)u_t^2(x,t)dx $$我们现在来考虑能量守恒。
设$t_0$时刻系统的总能量为$E_0$，在$t$时刻其总能量为$E$。
那么前后两时刻之间能量差可以写成$$ \begin{aligned} \frac{d}{dt}(E-E_0)&=\frac{d}{dt}\int_0^L\frac{1}{2}\left[\rho(x)u_x^2(x,t)+T(x)u_t^2(x,t)\right]dx\\&=\int_0^L\left[\rho(x)u_xu_{xt}+T(x)u_tu_{tt}\right]dx\\&=\int_0^L u(x,t)(\rho(x)u_{xt}+T(x)u_{tt})dx \end{aligned} $$根据波动方程$u_{tt}=c^2u_{xx}$，可以将式子化简为$$ \frac{d}{dt}(E-E_0)=\int_0^Lcu_{tt}^2(x,t)dx\ge0 $$在$t_0$时刻能量守恒，即$E_0=E$，因此有$$ E-E_0=\int_{t_0}^t\frac{d}{dt}(E-E_0)dt=\int_{t_0}^t\int_0^Lcu_{tt}^2(x,s)dxds\ge0 $$这说明系统的总能量在某一时刻不会增加。
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能量估计
一、问题重述
1945年7月16日，美国科学家在新墨西哥州Los Alamos 沙漠试爆了世界上第一颗原子弹，这一事件令全球震惊. 但在当时有关原子弹爆炸的任何资料都是保密的，而很多其他国家的科学家非常想知道这次爆炸的威力有多大.
两年之后，美国政府首次公开了这次爆炸的录像带，而其他数据和资料仍然不被外界所知. 英国物理学家G. I. Taylor (1886 ~ 1975)通过研究原子弹爆炸的录像带，建立数学模型对爆炸所释放出的能量进行了估计，得到估计值与若干年后正式公布的爆炸能量21 kt 相当接近。
Taylor 是如何根据爆炸录像估计的呢？主要是通过测量爆炸形成的“蘑菇云”半径来进行估计的. 因为爆炸产生的冲击波从中心点向外传播，爆炸的能量越大，在相同时间内冲击波传播得越远、蘑菇云的半径就越大. Taylor 通过研究录像带，测量了从爆炸开始的不同时刻t 所对应的蘑菇云半径r(t),如下表所示：
表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m)
t r(t) t r(t) t r(t) t r(t) t r(t) 0.10 11.1 0.80 34.2 1.50 44.4 3.53 61.1 15.0 106.5 0.24 19.9 0.94 36.3 1.65 46.0 3.80 62.9 25.0 130.0 0.38 25.4 1.08 38.9 1.79 46.9 4.07 64.3 34.0 145.0 0.52 28.8 1.22 41.0 1.93 48.7 4.34 65.6 53.0 175.0 0.66 31.9
1.36 4
2.8
3.26 59.0
4.61 67.3
62.0 185.0
二、预备知识：
原子弹爆炸所释放的能量估计将涉及很多因素，在这种复杂的情况下采用量纲分析法将极大的简化问题，其中涉及线性代数中矩阵的计算，以及用最小二乘法对数据进行拟合求相关的系数。
对于MATLAB 等数学软件的掌握也是必不可少的，能起到事半功倍的效果。
三、问题假设
1 同一时间只有一点发生爆炸，传播的空间没有大型障碍物阻止。
2 爆炸开始的时间定为在t=0,爆炸的能量完全释放。
四、模型建立及求解
1 考虑到原子弹爆炸在极短的时间内释放出巨大的能量，蘑菇云半径r 主要与时间t 、爆炸能量E 、以及空气密度ρ等几个参数有关，要寻求的关系式记作：0),,,(=ψt E r ρ。
2 这是一个力学问题，基本量纲选为L ，T ，M 。
上述各物理量的量纲表为：
M
L MT L E T t L r 32
2
1][][][][---====ρ
其中n=3<m=4。
3 由以上各物理量的量纲表可写出量纲矩阵：
ρ
(((()()()(02-1-011
003-2014
3E t r
T M L ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=A ⨯
并且计算
RANK （A ）=3
4 解齐次方程 Ay =0
方程有m-r=4-3=1个基本解，可取为：
[]T
y 11251-=
5 给出这一个独立的无量纲量
ρπ1251-=E t r
6 为了更为准确的计算爆炸能量，将蘑菇云半径公式改写为：
t r E
ln 2ln 5)ln()ln(1+=+πρ
在实验室通过做实验，测定E ，ρ,r,t 后可计算得524.10ln 1-=π。
此时可根据测量数据得到t r ln 2ln 5+对应的数据的平均值c= 21.5628,由1
ln -πρc e E ≈，由
此可计算得J E 13
106123.8⨯≈，单位换算后约等于20.65kt 。
五、解及模型分析与应用推广
首先改写蘑菇云半径的公式为b
at r =的形式，而要作线性最小二乘法拟合，进一步改写公式为：t b a r ln ln ln +=。
根据测量数据我们得到lnr 和lnt 的数据，将它们的函数关系拟合为一次多项式，得到系数b=0.4058,其值与前面分析的结果2/5非常接近，从而验证了量纲分析得到的公式的正确性。
此模型在和平年代可以用于军事演习以及房屋桥梁等的爆破上，便于领导在不懂得专业知识的时候依然能估算炸药用量，以防下属虚报数字，贪污国家或公司财产。
MATLAB源程序：
% 读入数据t和对应的蘑菇云半径r
[t,r]=textread('c:/energy.txt','%f %f',-1); % 以下将R,T,E,p用基本量纲L,M,T表示
clc
R=[1 0 0]';
T=[0 0 -1]';
E=[2 1 -2]';
p=[-3 1 0]';
% 创建A矩阵
A=[R T E p]
% 确定方程基本解
r0=rank(A)
y=null(A,'r0');
y=y./y(4,1) %将基本解的系数化为整数
% 拟合求解E
x1=5*log(r);
y1=2*log(t);
c=sum(x1+y1)/length(t)
E=exp(c+10.524)
% 解及模型分析
y2=log(r);
x2=log(t);
polyfit(x2,y2,1)
程序结果：
A =
1 0
2 -3
0 0 1 1
0 -1 -2 0
r0 =
3
y =
5.0000
2.0000
-1.0000
1.0000
c =
21.5628
E =
8.6123e+13
ans =
0.4058 3.5903。