九年级数学上册 圆 几何综合单元测试卷(含答案解析)

九年级数学上册圆几何综合单元测试卷（含答案解析）

一、初三数学圆易错题压轴题（难）

1．如图1，四边形ABCD中，、为它的对角线，E为AB边上一动点（点E不与点A、B重合），EF∥AC交BC于点F，FG∥BD交DC于点G，GH∥AC交AD于点H，连接HE．记四边形EFGH的周长为，如果在点的运动过程中，的值不变，则我们称四边形ABCD为“四边形”，此时的值称为它的“值”．经过探究，可得矩形是“四边形”．如图2，矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为．

（1）等腰梯形（填“是”或“不是”）“四边形”；

（2）如图3，是⊙O的直径，A是⊙O上一点，，点为上的一动点，将△沿的中垂线翻折，得到△．当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有个．

【答案】“值”为10；（1）是；（2）最多有5个．

【解析】

试题分析：仔细分析题中“四边形”的定义结合矩形的性质求解即可；

（1）根据题中“四边形”的定义结合等腰梯形的性质即可作出判断；

（2）根据题中“四边形”的定义结合中垂线的性质、圆的基本性质即可作出判断.

矩形ABCD中，若AB=4，BC=3，则它的“值”为10；

（1）等腰梯形是“四边形”；

（2）由题意得当点运动到某一位置时，以、、、、、中的任意四个点为顶点的“四边形”最多，最多有5个.

考点：动点问题的综合题

点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．

2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0，c＜0）交x轴于点A，B，交y轴于点C，设过点A，B，C三点的圆与y轴的另一个交点为D．

（1）如图1，已知点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（8，0），（0，-4）；

①求此抛物线的函数解析式；

②若点M为抛物线上的一动点，且位于第四象限，求△BDM面积的最大值；

（2）如图2，若a=1，c=-4，求证：无论b取何值，点D的坐标均不改变．

【答案】（1）①y=x2-x-4；②△BDM的面积有最大值为36；（2）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）①只需运用待定系数法就可解决问题；②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．根据勾股定理的逆定理可得∠ACB=90°，从而可得AB为直径，根据垂径定理可得OD=OC，即可得到D（0，4），然后运用待定系数法可求得直线BD的解

析式为y=-x+4，设M（x，x2-x-4），则E（x，-x+4），从而得到ME=-x2+x+8，运用割补法可得S△BDM=S△DEM+S△BEM=-（x-2）2+36，然后根据二次函数的最值性就可求出△BDM 的面积的最大值；

（2）连接AD、BC，如图2．若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，可得C（0，-4），OC=4．设点A（x1，0），B（x2，0），则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，根据根与系数的关系可得OA•OB=4．由A、D、B、C四点共圆可得

∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，从而可得△ADO∽∽△CBO，根据相似三角形的性质可得OC•OD=OA•OB=4，从而可得OD=1，即可得到D（0，1），因而无论b取何值，点D的坐标均不改变．

试题解析：（1）①∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴，

解得．

∴抛物线的解析式为y=x2-x-4；

②过点M作ME∥y轴，交BD于点E，连接BC，如图1．

∵A（-2，0），B（8，0），C（0，-4），∴OA=2，OB=8，OC=4，

∴AB=10，AC=2，BC=4，

∴AB2=AC2+BC2，

∴∠ACB=90°，

∴AB为直径．

∵CD⊥AB，

∴OD=OC，

∴D（0，4）．

设直线BD的解析式为y=mx+n．

∵B（8，0），D（0，4），

∴，

解得，

∴直线BD的解析式为y=-x+4．

设M（x，x2-x-4），则E（x，-x+4），∴ME=（-x+4）-（x2-x-4）=-x2+x+8，

∴S△BDM=S△DEM+S△BEM

=ME（x E-x D）+ME（x B-x E）=ME（x B-x D）

=（-x2+x+8）×8=-x2+4x+32=-（x-2）2+36．∵0＜x＜8，

∴当x=2时，△BDM的面积有最大值为36；（2）连接AD、BC，如图2．

若a=1，c=-4，则抛物线的解析式为y=x2+bx-4，

则C（0，-4），OC=4．

设点A（x1，0），B（x2，0），

则OA=-x1，OB=x2，且x1、x2是方程x2+bx-4=0的两根，

∴OA•O B=-x1•x2=-（-4）=4．

∵A、D、B、C四点共圆，

∴∠ADC=∠ABC，∠DAB=∠DCB，

∴△ADO∽△CBO，

∴，

∴OC•OD=OA•OB=4，

∴4OD=4，

∴OD=1，

∴D（0，1），

∴无论b取何值，点D的坐标均不改变．

考点：圆的综合题

3．我们把“有两条边和其中一边的对角对应相等的两个三角形”叫做“同族三角形”，如图1，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD，∠B=∠B，则△ABC和△ABD是“同族三角形”．

（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，点C是弧BD的中点，求证：△ABC和△ACD是同族三角形；

（2）如图3，△ABC内接于⊙O，⊙O的半径为32AB=6，∠BAC=30°，求AC的长；（3）如图3，在（2）的条件下，若点D在⊙O上，△ADC与△ABC是非全等的同族三角