2015北京汇文中学高三(上)期中数学(理)
北京市2015年高三第一学期期中检测试卷数学(理)含答案解析
1A北京市2015年第一学期期中检测试卷高三数学（理）试卷满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．集合{}2M x|x 4>＝，{}|13N x x =<<，则图中阴影部分所表示的集合是 （ ）A ．{}|23x x -≤<B ．{}|22x x -≤≤C ．{}|12x x <≤D ．{}|23x x ≤<2. 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是 ( )A. 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥ 3. “1m =”是“直线0x y -=和直线0x my +=互相垂直”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．在同一坐标系中画出函数log a y x =，xy a =，y x a =+的图象，可能正确的是 ( )5．在等比数列{}n a 中，若48a =，2q =-，则7a 的值为 （ ）A ．64-B ．64C ．48-D ．486．设,x y ∈R,向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-，且,//a c b c ⊥，则a b += ( )A B C ．D ．107．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）A ．[1,4]B ．[1,5]C ．4[,4]5 D ．4[,5]58． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 设点P 在线段1CC 上，直线OP 与平面1A BD 所成的角为α， 则sin α的取值范围是 （ ）A ．B ．C ．D ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 以点（2，1-）为圆心且与直线5x y +=相切的圆的方程是 ．10.周期为2的函数()f x 在[1,1)x ∈-时，242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f = 。
【名师解析】北京市朝阳区2015届高三上学期期中统一考试数学(理)试题 Word版含解析
北京市朝阳区2015届高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知集合A={x|x2+x﹣2＜0}，B={x|x＞0}，则集合A∪B等于（）A．{x|x＞﹣2} B．{x|0＜x＜1} C．{x|x＜1} D．{x|﹣2＜x＜1}解答：解：∵集合A={x|x2+x﹣2＜0}={x|﹣2＜x＜1}，B={x|x＞0}，∴集合A∪B={x|x＞﹣2}．故选：A．点评：本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意不等式性质的合理运用．2．已知命题p：∀x＞0，x+≥4；命题q：∃x0∈R，2x0=﹣1．则下列判断正确的是（）A．p是假命题B．q是真命题C．p∧（￢q）是真命题D．（￢p）∧q是真命题解答：解：对于命题p：∵x＞0，∴x+≥2=4，∴命题p为真命题；对于命题q：∵对∀x∈R，2x＞0，∴命题q为假命题，￢q为真命题，故只有选项C为真命题．故选：C．点评：本题综合考查了复合命题的真假，简单命题的真假判断等知识，属于中档题，解题的关键是：准确理解两个命题的真值情况．3．执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）A．120 B．105 C．15 D．5考点：循环结构．专题：算法和程序框图．分析：据题意，模拟程序框图的运行过程，得出程序框图输出的k值是什么．解答：解：第一次循环得到：k=1，i=3；第二次循环得到：k=3，i=5；第三次循环得到：k=15，i=7；满足判断框中的条件，退出循环∴k=15故选C点评：本题考查了求程序框图的运行结果的问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出结论，是基础题．4．曲线y=与直线x=1，x=e2及x轴所围成的图形的面积是（）A．e2B．e2﹣1 C．e D．2分析：确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积，即可得到结论．解答：解：由题意，由曲线y=与直线x=1，x=e2及x轴所围成的图形的面积是S===2．故选：D．点评：本题考查面积的计算，解题的关键是确定曲线交点的坐标，确定被积区间及被积函数，利用定积分表示面积．5．设，是两个非零的平面向量，下列说法正确的是（）①若•=0，则有|+|=|﹣|；②|•|=||||；③若存在实数λ，使得=λ，则|+|=||+||；④若|+|=||﹣||，则存在实数λ，使得=λ．A．①③B．①④C．②③D．②④分析：①当•=0时，判断|+|=|﹣|成立；②利用数量积判断|•|=||||不一定成立；③当=λ时，判断|+|=||+||不一定成立；④当|+|=||﹣||时，得出、共线，即可判断正误．解答：解：对于①，当•=0时，|+|===|﹣|，∴①正确；对于②，∵•=||||cos＜，＞，∴|•|=||||不一定成立，②错误；对于③，当=λ时，则|+|=|λ+|=|||λ+1|，||+||=|λ|+||=||（|λ|+1），|+|=||+||不一定成立，∴③错误；对于④，当|+|=||﹣||时，∴+2•+=﹣2||||+，∴•=﹣||||，∴共线，即存在实数λ，使得=λ，∴④正确．综上，正确的是①④．故选：B．点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应熟练地掌握平面向量的有关概念，是基础题．6．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时（设月租金均为50元的整数倍），就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用（设租不出的房子不需要花这些费用）．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为（）A．3000 B．3300 C．3500 D．4000考点：函数最值的应用．专题：计算题；应用题；函数的性质及应用．分析：由题意，设利润为y元，租金定为3000+50x元，（0≤x≤70，x∈N），则y=（3000+50x）（70﹣x）﹣100（70﹣x），利用基本不等式求最值时的x的值即可．解答：解：由题意，设利润为y元，租金定为3000+50x元，（0≤x≤70，x∈N）则y=（3000+50x）（70﹣x）﹣100（70﹣x）=（2900+50x）（70﹣x）=50（58+x）（70﹣x）≤50（）2，当且仅当58+x=70﹣x，即x=6时，等号成立，故每月租金定为3000+300=3300（元），故选B．点评：本题考查了学生由实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题．7．如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b（其中ω＞0，＜φ＜π），则估计中午12时的温度近似为（）A．30℃B．27℃C．25℃D．24℃考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的图象的顶点坐标求出A和b，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，从而其求得x=12时的值．解答：解：由函数的图象可得b=20，A=30﹣20=10，根据•=10﹣6，可得ω=．再根据五点法作图可得，×6+φ=，求得φ=，∴y=10sin（x+）+20．令x=12，可得y=10sin（+）+20=10sin+20 10×+20≈27℃，故选：B．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．8．设函数f（x），g（x）满足下列条件：（1）对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2）；（2）f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1．下列四个命题：①g（0）=1；②g（2）=1；③f2（x）+g2（x）=1；④当n＞2，n∈N*时，[f（x）]n+[g（x）]n的最大值为1．其中所有正确命题的序号是（）A．①③B．②④C．②③④D．①③④考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：既然对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2），那么分别令x1，x2取1，0，﹣1求出g（0），g（1），g（﹣1），g（2），然后令x1=x2=x可得③，再根据不等式即可得④解答：解；对于①结论是正确的．∵对任意实数x1，x2都有f（x1）•f（x2）+g（x1）•g（x2）=g（x1﹣x2）且f（﹣1）=﹣1，f（0）=0，f（1）=1，令x1=x2=1，得[f（1）]2+[g（1）]2=g（0），∴1+[g（1）]2=g（0），∴g（0）﹣1=[g（1）]2令x1=1，x2=0，得f（1）f（0）+g（1）g（0）=g（1），∴g（1）g（0）=g（1），g（1）[g （0）﹣1]=0解方程组得对于②结论是不正确的，令x1=0，x2=﹣1，得f（0）f（﹣1）+g（0）g（﹣1）=g（1），∴g （﹣1）=0令x1=1，x2=﹣1，得f（1）f（﹣1）+g（1）g（﹣1）=g（2），∴﹣1=g（2），∴g（2）≠1 对于③结论是正确的，令x1=x2=1，得f2（x）+g2（x）=g（0）=1，对于④结论是正确的，由③可知f2（x）≤1，∴﹣1≤f（x）≤1，﹣1≤g（x）≤1∴|f n（x）|≤f2（x），|g n（x）|≤g2（x）对n＞2，n∈N*时恒成立，[f（x）]n+[g（x）]n≤f2（x）+g2（x）=1综上，①③④是正确的．故选：D点评：本题考查赋值法求抽象函数的性质属于中档题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．已知平面向量，满足||=1，=（1，1），且∥，则向量的坐标是或．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：设=（x，y）．由于平面向量，满足||=1，=（1，1），且∥，可得=1，x﹣y=0．解出即可．解答：解：设=（x，y）．∵平面向量，满足||=1，=（1，1），且∥，∴=1，x﹣y=0．解得．∴=或．故答案为：或．点评：本题考查了向量模的计算公式、向量共线定理，属于基础题．10．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是﹣；cosα的值是﹣．考点：两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．解答：解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．点评：本题考查两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，属于中档题．11．若f（x）=，是奇函数，则a+b的值是﹣1．考点：函数奇偶性的性质．分析：不妨设x＜0，则﹣x＞0，根据所给的函数解析式，利用f（﹣x）=﹣f（x），由此可得a、b的值，即可得到a+b．解答：解：函数f（x）=，是奇函数，任意x＜0，则﹣x＞0，由f（﹣x）=﹣f（x），则﹣2x+3=﹣ax﹣b，则a=2，b=﹣3．则a+b=﹣1，故答案为：﹣1．点评：本题主要考查分段函数求函数的奇偶性，运用函数的奇偶性的定义是解题的关键，属于基础题．12．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项和．若a1+a3+a5+a7=﹣4，S8=﹣16，则公差d=﹣2；数列{a n}的前3项和最大．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a2+a4+a6+a8=﹣4+4d，可得S8=﹣4+（﹣4+4d）=﹣16，解之可得d=﹣2，进而可得a1=5，可得a n=7﹣2n，解不等式可得等差数列{a n}的前3项为正数，从第4项起为负数，故数列{a n}的前3项和最大．解答：解：∵a1+a3+a5+a7=﹣4，∴a2+a4+a6+a8=﹣4+4d，∴S8=﹣4+（﹣4+4d）=﹣16，解得d=﹣2，∴a1+a3+a5+a7=4a1+12d=﹣4，解得a1=5，∴等差数列{a n}的通项公式a n=5﹣2（n﹣1）=7﹣2n，令a n=7﹣2n≤0可得n≥，∴等差数列{a n}的前3项为正数，从第4项起为负数，∴数列{a n}的前3项和最大故答案为：﹣2；3点评：本题考查等差数列的前n项和公式，属基础题．13．已知x，y满足条件若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点（2，0）处取得最大值，则a的取值范围是（，+∞）．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．解答：解：作出不等式对应的平面区域，由z=ax+y得y=﹣ax+z，∵a＞0，∴此时目标函数的斜率k=﹣a＜0，要使目标函数z=ax+y仅在点A（2，0）处取得最大值，则此时﹣a≤k AB=﹣，即a＞，故答案为：（，+∞）点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．14．如图，在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔AA1和BB1．已知从塔AA1的底部看塔BB1顶部的仰角是从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角．则从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角的正切值为；塔BB1的高为45m．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1=60tanα，BB1=60tan2α，利用从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，可得△A1AC∽△CBB1，即可求出结论．解答：解：设从塔BB1的底部看塔AA1顶部的仰角为α，则AA1=60tanα，BB1=60tan2α，∵从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，∴△A1AC∽△CBB1，∴，∴AA1•BB1=900，∴3600tanαtan2α=900，∴tanα=，tan2α=，BB1=60tan2α=45．故答案为：，45点评：本题考查解三角形的实际应用，考查学生的计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（13分）已知函数f（x）=sinx﹣acosx（x∈R）的图象经过点（，1）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）代点可求a值，可得解析式；（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=，易得周期为T=2π，解可得单调递减区间．解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象经过点，∴，即﹣a=1，解得a=1．∴==．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=．∴函数f（x）的最小正周期为T=2π．由，k∈Z．可得，k∈Z．∴函数f（x）的单调递减区间为：[]，k∈Z点评：本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数公式和三角函数的单调性和周期性，属基础题．16．（13分）如图，在△ABC中，∠ACB为钝角，AB=2，BC=．D为AC延长线上一点，且CD=+1．（Ⅰ）求∠BCD的大小；（Ⅱ）求BD的长及△ABC的面积．考点：余弦定理的应用．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用正弦定理求出∠BCD的正弦函数值，然后求出角的大小；（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可求BD的长，然后求出AC的长，即可求解△ABC的面积．解答：（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，，由正弦定理可得，即，所以．因为∠ACB为钝角，所以．所以．…（6分）（Ⅱ）在△BCD中，由余弦定理可知BD2=CB2+DC2﹣2CB•DC•cos∠BCD，即，整理得BD=2．在△ABC中，由余弦定理可知BC2=AB2+AC2﹣2AB•AC•cosA，即，整理得．解得．因为∠ACB为钝角，所以AC＜AB=2．所以．所以△ABC的面积．…．（13分）点评：本题考查余弦定理的应用，解三角形，考查基本知识的应用．17．（13分）在递减的等比数列{a n}中，设S n为其前n项和，已知a2=，S3=．（Ⅰ）求a n，S n；（Ⅱ）设b n=log2S n，试比较与b n+1的大小关系，并说明理由．考点：数列与函数的综合．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a2=，S3=，建立方程组，即可求a n，S n；（Ⅱ）b n+1=log2S n+1，由于函数y=log2x在定义域上为增函数，所以只需比较与S n+1的大小关系．解答：解：（Ⅰ）由已知可得，解得q=2或．由上面方程组可知a1＞0，且已知数列{a n}为递减数列，所以．代入求得，则.…．（6分）（Ⅱ）依题意，=；b n+1=log2S n+1，由于函数y=log2x在定义域上为增函数，所以只需比较与S n+1的大小关系，即比较S n•S n+2与S2n+1的大小关系，=，=，由于，即，所以．即S n•S n+2＜S2n+1，即＜b n+1…．（13分）点评：本题考查数列的通项，考查大小比较，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．（14分）已知函数f（x）=，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）在（1，2）上是单调函数，求a的取值范围．考点：函数的单调性及单调区间．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：本题考察函数的单调性．（Ⅰ）先写出函数的定义域，然后求导数，分a=0，a＞0，a＜0，利用导数的符号讨论函数的单调性即可，（Ⅱ）结合（Ⅰ）中的函数单调性，对a进行分类讨论，又x∈（1，2），分成a≤0，0＜2a≤1，1＜2a＜2，2a≥2四种情况进行讨论．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x≠a}.．①当a=0时，f（x）=x（x≠0），f'（x）=1，则x∈（﹣∞，0），（0，+∞）时，f（x）为增函数；②当a＞0时，由f'（x）＞0得，x＞2a或x＜0，由于此时0＜a＜2a，所以x＞2a时，f（x）为增函数，x ＜0时，f（x）为增函数；由f'（x）＜0得，0＜x＜2a，考虑定义域，当0＜x＜a，f（x）为减函数，a＜x＜2a时，f （x）为减函数；③当a＜0时，由f'（x）＞0得，x＞0或x＜2a，由于此时2a＜a＜0，所以当x＜2a时，f（x）为增函数，x＞0时，f（x）为增函数．由f'（x）＜0得，2a＜x＜0，考虑定义域，当2a＜x＜a，f（x）为减函数，a＜x＜0时，f （x）为减函数．综上，当a=0时，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），（0，+∞）．当a＞0时，函数f（x）的单调增区间为x∈（﹣∞，0），（2a，+∞），单调减区间为（0，a），（a，2a）．当a＜0时，函数f（x）的单调增区间为x∈（﹣∞，2a），（0，+∞），单调减区间为（2a，a），（a，0）．（Ⅱ）①当a≤0时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（1，2）单调增，且x∈（1，2）时，x≠a．②当0＜2a≤1时，即时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（2a，+∞）单调增，即在（1，2）单调增，且x∈（1，2）时，x≠a．③当1＜2a＜2时，即时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（1，2）上不具有单调性，不合题意．④当2a≥2，即a≥1时，由（Ⅰ）可得，f（x）在（0，a），（a，2a）为减函数，同时需注意a∉（1，2），满足这样的条件时f（x）在（1，2）单调减，所以此时a=1或a≥2．综上所述，或a=1或a≥2．点评：本题易忽略函数的定义域，在讨论函数的性质的题目中一定要先求出函数的定义域，在定义域内讨论；难点是分类讨论较复杂，要做到不重不漏，按照数轴从左向右讨论，还要注意特殊情况．19．（14分）已知函数y=f（x），若在区间（﹣2，2）内有且仅有一个x0，使得f（x0）=1成立，则称函数f（x）具有性质M．（Ⅰ）若f（x）=sinx+2，判断f（x）是否具有性质M，说明理由；（Ⅱ）若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，试求实数m的取值范围．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；新定义；函数的性质及应用．分析：（Ⅰ）f（x）=sinx+2具有性质M．若存在x0∈（﹣2，2），使得f（x0）=1，解方程求出方程的根，即可证得；（Ⅱ）依题意，若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，即方程x2+2mx+2m=0在（﹣2，2）上有且只有一个实根．设h（x）=x2+2mx+2m，即h（x）=x2+2mx+2m在（﹣2，2）上有且只有一个零点．讨论m的取值范围，结合零点存在定理，即可得到m的范围．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sinx+2具有性质M．理由：依题意，若存在x0∈（﹣2，2），使得f（x0）=1，则x0∈（﹣2，2）时有sinx0+2=1，即sinx0=﹣1，x0=2kπ﹣，k∈Z．由于x0∈（﹣2，2），所以x0=﹣．又因为区间（﹣2，2）内有且仅有一个x0=﹣．使得f（x0）=1成立，所以f（x）具有性质M；（Ⅱ）依题意，若函数f（x）=x2+2mx+2m+1具有性质M，即方程x2+2mx+2m=0在（﹣2，2）上有且只有一个实根．设h（x）=x2+2mx+2m，即h（x）=x2+2mx+2m在（﹣2，2）上有且只有一个零点．解法一：（1）当﹣m≤﹣2时，即m≥2时，可得h（x）在（﹣2，2）上为增函数，只需解得交集得m＞2．（2）当﹣2＜﹣m＜2时，即﹣2＜m＜2时，若使函数h（x）在（﹣2，2）上有且只有一个零点，需考虑以下3种情况：（ⅰ）m=0时，h（x）=x2在（﹣2，2）上有且只有一个零点，符合题意．（ⅱ）当﹣2＜﹣m＜0即0＜m＜2时，需解得交集得∅．（ⅲ）当0＜﹣m＜2时，即﹣2＜m＜0时，需解得交集得．（3）当﹣m≥2时，即m≤﹣2时，可得h（x）在（﹣2，2）上为减函数只需解得交集得m≤﹣2．综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是m或m＞2或m=0；解法二：依题意，（1）由h（﹣2）•h（2）＜0得，（4﹣2m）（6m+4）＜0，解得或m＞2．同时需要考虑以下三种情况：（2）由解得m=0．（3）由解得，不等式组无解．（4）由解得，解得．综上所述，若函数f（x）具有性质M，实数m的取值范围是或m＞2或m=0．点评：本题考查函数的零点的判断和求法，考查零点存在定理的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．20．（13分）对于项数为m的有穷数列{a n}，记b k=max{a1，a2，a3，…，a k}（k=1，2，3，…，m），即b k为a1，a2，a3，…，a k中的最大值，则称{b n}是{a n}的“控制数列”，{b n}各项中不同数值的个数称为{a n}的“控制阶数”．（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列{b n}为1，3，3，5，写出所有的{a n}；（Ⅱ）若m=100，a n=tn2﹣n，其中，{b n}是{a n}的控制数列，试用t表示（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+（b3﹣a3）+…+（b100﹣a100）的值；（Ⅲ）在1，2，3，4，5的所有全排列中，将每种排列视为一个数列，对于其中控制阶数为2的所有数列，求它们的首项之和．考点：数列的应用．专题：新定义；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）若各项均为正整数的数列{a n}的控制数列{b n}为1，3，3，5，可得{a n}；（Ⅱ）确定当n≥2时，总有a n+1＞a n，n≥3时，总有b n=a n．从而只需比较a1和a2的大小，即可得出结论．（Ⅲ）确定首项为1、2、3、4的数列的个数，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）1，3，1，5；1，3，2，5；1，3，3，5…．（3分）（Ⅱ）因为，所以．所以当n≥2时，总有a n+1＞a n．又a1=t﹣1，a3=9t﹣3．所以a3﹣a1=8t﹣2＞0．故n≥3时，总有b n=a n．从而只需比较a1和a2的大小．（1）当a1≤a2，即t﹣1≤4t﹣2，即时，{a n}是递增数列，此时b n=a n对一切n=1，2，3，…100均成立．所以（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+（b3﹣a3）+…+（b100﹣a100）=0．（2）当a1＞a2时，即t﹣1＞4t﹣2，即时，b1=a1，b2=a1，b n=a n（n≥3）．所以（b1﹣a1）+（b2﹣a2）+（b3﹣a3）+…+（b100﹣a100）=0+[（t﹣1）﹣（4t﹣2）]+0+…+0=1﹣3t．综上，原式=…．（9分）（Ⅲ）154．首项为1的数列有6个；首项为2的数列有6+2=8个；首项为3的数列有6+4+2=12个；首项为4的数列有6+6+6+6=24个；所以，控制阶数为2的所有数列首项之和6+8×2+12×3+24×4=154．…（13分）点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题．。
2015北京三十五中高三(上)期中数学(理)
2015北京三十五中高三（上）期中数学（理）一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1．（4分）已知集合A={x∈R|0＜x＜3}，B={x∈R|x2≥4}，则A∩B=（）A．{x|2＜x＜3} B．{x|2≤x＜3} C．{x|x≤﹣2或2≤x＜3} D．R2．（4分）给定下列命题：①“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件；②若sinα≠，则α≠；③“公比大于的等比数列是递增数列”的逆否命题；④命题“?x0∈R，使﹣x0+1≤0”的否定．其中真命题的序号是（）A．①② B．②④ C．①③ D．③④3．（4分）已知数列{a n}的前n项和为S n=kn2，若对所有的n∈N*，都有a n+1＞a n，则实数k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＜1 C．k＞1 D．k＞04．（4分）已知函数①y=sinx+cosx，②，则下列结论正确的是（）A．两个函数的图象均关于点成中心对称B．两个函数的图象均关于直线成轴对称C．两个函数在区间上都是单调递增函数D．两个函数的最小正周期相同5．（4分）设函数y=f（x）对任意的x∈R都有f（1﹣x）=f（1+x）成立，则y=f（x）（）A．图象关于x=0对称 B．图象关于x=1对称C．是周期为1的周期函数 D．是周期为2的周期函数6．（4分）函数y=e|lnx|﹣|x﹣1|的图象大致为（）A．B． C． D．7．（4分），为非零向量，“函数f（x）=（x+）2为偶函数”是“⊥”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．（4分）函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线方程的倾斜角为（）A．0 B．C．1 D．9．（4分）若a＞0，b＞0且a+b=4，则下列不等式恒成立的是（）A．B．C．D．a2+b2≥810．（4分）对于定义域和值域均为[0，1]的函数f（x），定义f1（x）=f（x），f2（x）=f（f1（x）），…，f n（x）=f （f n﹣1（x）），n=1，2，3，…．满足f n（x）=x的点x∈[0，1]称为f的n阶周期点．设f（x）=，则f的n阶周期点的个数是（）A．2n B．2（2n﹣1）C．2n D．2n2二、选择题（共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处）11．（5分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα= ．12．（5分）已知点P（1，﹣2）及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x﹣by+1＞0表示的平面区域内，则b的取值范围是．13．（5分）已知平面向量，的夹角为60°，=（，1），||=1，则|+2|= ．14．（5分）函数f（x）=e x+x3﹣2在区间（0，1）内的零点个数是．15．（5分）已知函数f（x）=，若f（a2﹣2）＞f（a），则实数a的取值范围是．16．（5分）对于函数①，②，③f（x）=cos（x+2）﹣cosx，判断如下两个命题的真假：命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1．能使命题甲、乙均为真的函数的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．（12分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知前6项和为36，最后6项和为180，S n=324（n＞6）．（Ⅰ）求数列的项数n；（Ⅱ）求a9+a10的值及数列的通项公式．18．（13分）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）设函数f（x）=sin cos+cos2，求f（B）的最大值，并判断此时△ABC的形状．19．（13分）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为y=﹣48x+8000，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？20．（14分）如图所示，A，B分别是单位圆与x轴、y轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP=θ（0＜θ＜π），C点坐标为（﹣2，0），平行四边形OAQP的面积为S．（1）求?+S的最大值；（2）若CB∥OP，求sin（2θ﹣）的值．21．（14分）已知函数．（a∈R）（1）当a=1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；（2）若在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方，求a的取值范围．22．（14分）已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T?f （x）成立．（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；（2）设函数f（x）=a x（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a x∈M；（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．数学试题答案一、选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在机读卡相应的题号处）1．【解答】集合B中的不等式x2≥4，移项并分解因式得：（x+2）（x﹣2）≥0，可化为：或，解得：x≥2或x≤﹣2，所以集合B={x|x≤﹣2或x≥2}，又集合A={x|0＜x＜3}，则A∩B={x|2≤x＜3}．故选B2．【解答】①，x＞1不能推出x＞2，x＞2一定有x＞1，∴“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，命题①错误；②，若sinα≠，则α≠，命题②正确；③，数列﹣1，﹣2，﹣4，…的公比大于1，不是递增数列，∴“公比大于1的等比数列是递增数列”是假命题，其逆否命题是假命题；④，∵对任意实数x，x2﹣x+1＞0恒成立，∴命题“?x0∈R，使﹣x0+1≤0”为假命题，则其否定为真命题．∴真命题的序号是②④．故选：B．3．【解答】∵S n=kn2，∴a n+1=S n+1﹣S n=k（n+1）2﹣kn2=（2n+1）k．∵对所有的n∈N*，都有a n+1＞a n，∴（2n+1）k＞（2n﹣1）k，化为k＞0，故选：D．4．【解答】函数①y=sinx+cosx=sin（x+），②y=2sinxcosx=sin2x，由于①的图象关于点（﹣，0 ）成中心对称，②的图象不关于点（﹣，0 ）成中心对称，故A不正确．由于函数②的图象不可能关于（﹣，0）成中心对称，故B不正确．由于这两个函数在区间（﹣，）上都是单调递增函数，故C正确．由于①的周期等于2π，②的周期等于π，故 D不正确．故选 C．5．【解答】在函数y=f（x）图象上取点P（1﹣x，f（1﹣x），Q（1+x，f（1+x）），则有x p=1﹣x，x Q=1+x，∴．∵f（1﹣x）=f（1+x），∴y p=y q，∴点P、Q关于直线x=1对称．由x的任意性可知：函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称．故选 B．6．【解答】先化简函数的表达式，e|lnx|=，∴当x≥1时，y=x﹣（x﹣1）=1；当0＜x＜1时，y=﹣（1﹣x）=x+﹣1；∴y=，特别地，当0＜x＜1时，，故只有A与B符合，但当x≥1时，y=x﹣（x﹣1）=1，图象时平行于x轴的直线，故只有B正确，故选：B．7．【解答】∵若f（x）为偶函数，则有则有则有反之，若则有则有所以f（x）为偶函数故函数为偶函数是的充要条件故选C8．【解答】求导函数，可得f′（x）=e x（cosx﹣sinx）∴f′（0）=1∴函数f（x）=e x cosx的图象在点（0，f（0））处的切线方程的倾斜角为故选B．9．【解答】∵a＞0，b＞0，且a+b=4，∴，∴，即ab≤4．A．∵ab≤4，∴，故A不恒成立；B．∵ab≤4=a+b，∴，故B不恒成立；C．∵，∴C不恒成立；D．∵=8．∴D恒成立．故选D．10．【解答】当x∈[0，]时，f1（x）=2x=x，解得x=0当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x=x，解得x=∴f的1阶周期点的个数是 2当x∈[0，]时，f1（x）=2x，f2（x）=4x=x解得x=0当x∈（，]时，f1（x）=2x，f2（x）=2﹣4x=x解得x=当x∈（，]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=﹣2+4x=x解得x=当x∈（，1]时，f1（x）=2﹣2x，f2（x）=4﹣4x=x解得x=∴f的2阶周期点的个数是22，当x∈[0，]，f1（x）=2x，f2（x）=4x，f3（x）=8x=x，x=0当x∈（，]，f1（x）=2x，f2（x）=4x，f3（x）=2﹣8x=x，x=当x∈（，]，f1（x）=2x，f2（x）=2﹣4x，f3（x）=2﹣2（2﹣4x）=x，x=…依此类推∴f的n阶周期点的个数是2n故选C．二、选择题（共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题纸相应的题号处）11．【解答】由定义知：sinα=，∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=，又角的终边落在第二象限，∴cosα=﹣．故答案为﹣．12．【解答】设点P（1，﹣2）关于原点的对称点为Q（x，y），则，解得：Q（﹣1，2）．因为点P（1，﹣2）及其关于原点的对称点中有且只有一个在不等式2x﹣by+1＞0表示的平面区域内，所以把点P，Q的坐标代入代数式2x﹣by+1中乘积小于0，即[2×1﹣b×（﹣2）+1][2×（﹣1）﹣b×2+1]＜0，解得：或，所以b的取值范围是（﹣∞，）∪（，+∞）．故答案为（﹣∞，）∪（，+∞）．13．【解答】∵平面向量，的夹角为60°，=（，1），∴||=2.再由|b|=1，可得=2×1cos60°=1，∴|+2|===，故答案为．14．【解答】f′（x）=e x+3x2＞0；∴f（x）在R上单调递增；又f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0；∴f（x）在区间（0，1）内零点个数是1．故答案为：1．15．【解答】f（x）=2﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减函数f（x）=﹣x2﹣2x在（0，+∞）上单调递减函数而函数在x=0处连续∴函数f（x）在R上是单调递减函数而f（a2﹣2）＞f（a），∴a2﹣2＜a解得a∈（﹣1，2）．故答案为：﹣1＜a＜2．16．【解答】当函数，在区间（0，）上单调递减，在区间（，+∞）上单调递增，故命题甲：f （x）在区间（1，2）上是增函数为真命题；当x=时函数取极小值﹣1＜0，故命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2=＜1．故①满足条件；当在区间（1，2）上函数的解析式可化为，根据“增﹣减=增”，可得f（x）在区间（1，2）上是增函数；由函数y=|log2x|与函数y=的图象可得在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1，故②满足条件；由余弦函数的周期性，查得函数f（x）=cos（x+2）﹣cosx，在区间（0，+∞）上有无限多个零点，故③不满足条件故答案为：①②三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．【解答】（Ⅰ）∵前6项和为36，最后6项的和为180，∴a1+a2+…+a6=36，a n+a n﹣1+…+a n﹣5=180，两式相加得（a1+a n）+（a2+a n﹣1）+…+（a6+a n﹣5）=216，∴a1+a n=36，∵S n=n（a1+a n）=324∴n=18；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a1+a18=36∴a9+a10=a1+a18=36，∵a1+a18=2a1+17d=36，3（2a1+5d）=36，∴d=2，a1=1，∴a n=2n﹣1．18．【解答】（Ⅰ）在△ABC中，因为b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理 a2=b2+c2﹣2bccosA 可得cosA=．∵0＜A＜π，（或写成A是三角形内角）∴．（Ⅱ）==，∵，∴，∴．∴当，即时，f（B）有最大值是．又∵，∴，∴△ABC为等边三角形．19．【解答】（1）设每吨的平均成本为W（万元/T），则（0＜x≤210），（4分）当且仅当，x=200（T）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（6分）（2）设年利润为u（万元），则=．（11分）所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．（12分）20．【解答】（1）由已知，得A（1，0），B（0，1）．P（cos θ，sin θ），因为四边形OAQP是平行四边形，所以=+=（1+cosθ，sinθ）．所以?=1+cosθ．（3分）又平行四边形OAQP的面积为S=|?|sin θ=sin θ，所以?+S=1+cosθ+sin θ=sin（θ+）+1．（5分）又0＜θ＜π，所以当θ=时，?+S的最大值为+1．（7分）（2）由题意，知=（2，1），=（cosθ，sinθ），因为CB∥OP，所以cosθ=2sinθ．又0＜θ＜π，cos2θ+sin2θ=1，解得sin θ=，cos θ=，所以sin2θ=2sin θcosθ=，cos 2θ=cos2θ﹣sin2θ=．所以sin（2θ﹣）=sin 2θcos﹣cos 2θsin=×﹣×=．（13分）21．【解答】（Ⅰ）当a=1时，，．对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在区间[1，e]上为增函数．∴，（Ⅱ）令，则g（x）的定义域为（0，+∞）．在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．∵．①若，令g'（x）=0，得极值点x1=1，．当x2＞x1=1，即时，在（x2，+∞）上有g'（x）＞0．此时g（x）在区间（x2，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x2），+∞），不合题意；当x2＜x1=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；②若，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0．从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足．由此求得a的范围是[，]．综合①②可知，当a∈[，]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．22．【解答】（1）对于非零常数T，f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx．因为对任意x∈R，x+T=Tx不能恒成立，所以f（x）=x?M；（2）因为函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象与函数y=x的图象有公共点，所以方程组：有解，消去y得a x=x，显然x=0不是方程a x=x的解，所以存在非零常数T，使a T=T．于是对于f（x）=a x有f（x+T）=a x+T=a T?a x=T?a x=Tf（x）故f（x）=a x∈M；（3）当k=0时，f（x）=0，显然f（x）=0∈M．当k≠0时，因为f（x）=sinkx∈M，所以存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=Tf（x）成立，即sin（kx+kT）=Tsinkx．因为k≠0，且x∈R，所以kx∈R，kx+kT∈R，于是sinkx∈[﹣1，1]，sin（kx+kT）∈[﹣1，1]，故要使sin（kx+kT）=Tsinkx．成立，只有T=±1，当T=1时，sin（kx+k）=sinkx成立，则k=2mπ，m∈Z．当T=﹣1时，sin（kx﹣k）=﹣sinkx成立，即sin（kx﹣k+π）=sinkx成立，则﹣k+π=2mπ，m∈Z，即k=﹣（2m﹣1）π，m∈Z．综合得，实数k的取值范围是{k|k=mπ，m∈Z}．11 / 11。
2023-2024学年北京市汇文中学教育高一(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京市汇文中学教育高一（上）期中数学试卷一、选择题（每题5分，共60分）1．下列关系中正确的是（）A．0∈∅B．{0}∈∅C．0∈N D．{0}∈N2．已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜4}B．{x|x＞0}C．{2，3}D．{1，2，3}3．命题p：∀x∈R，x2+x+12＞0，则命题p的否定是（）A．∃x∈R，x2+x+12≤0B．∃x∈R，x2+x+12＞0C．∀x∈R，x2+x+12≤0D．∀x∈R，x2+x+12＞04．下列函数中，值域是R的幂函数是（）A．y=x 13B．y=(13)x C．y=x23D．y=(23)x5．若a＞b＞0，c为实数，则下列不等关系不一定成立的是（）A．ac2＞bc2B．1a ＜1bC．a2＞b2D．a+c＞b+c6．若a、b均为非零实数，则不等式ba +ab≥2成立的一个充要条件为（）A．ab＞0B．ab≥0C．ab＜0D．ab≤0 7．函数f(x)=x|x|⋅3x的图象大致为（）A．B．C ．D ．8．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减B ．f （x ）的图象与x 轴只有2个公共点C ．f （8）＜0D ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）9．已知函数f （x ）＝2x 2+bx +c （b ，c 为实数），f （﹣10）＝f （12）．若方程f （x ）＝0有两个正实数根x 1，x 2，则1x 1+1x 2的最小值是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．1210．已知集合A ＝{﹣2，1}，B ＝{x |ax ＝2}，若A ∩B ＝B ，则实数a 值集合为（ ） A ．{﹣1}B ．{2}C ．{﹣1，2}D ．{﹣1，0，2}11．若函数f(x)={2x +3，x ≤0(x −2)2，0＜x ≤a 的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．（0，1）C ．（1，4）D ．（2，4）12．已知函数f （x ）＝（m +1）•2x +x 2+2nx ，记集合A ＝{x |f （x ）＝0，x ∈R }，集合B ＝{x |f [f （x ）]＝0，x ∈R }，若A ＝B ，且都不是空集，则m +n 的取值范围（ ） A ．[﹣1，4]B ．[﹣1，1）C ．[﹣3，5]D ．[0，4）二、填空题（每题5分，共30分）13．函数f(x)=√x +1+12x−4的定义域是 ．14．(127)13+log 35−log 315= ．15．已知集合A ＝{2a ﹣1，a 2，0}，B ＝{1﹣a ，a ﹣5，9}，若满足A ∩B ＝{9}，则实数a 的值为 ． 16．不等式2x x−1≥3的解集是 ．17．某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S （单位：平方米）与时间t （单位：月）的关系式为S ＝a t +1（a ＞0，且a ≠1），图象如图所示．则下列结论： ①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；②浮萍蔓延3个月后的面积是浮萍蔓延5个月后的面积的14；③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是50%；④浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和比蔓延到12平方米所经过的时间少．其中正确结论的序号是 ．18．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y ＝[x ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[1.1]＝1．已知f(x)=[2x−1x+1]，x ∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），则函数f （x ）的值域为 ． 三、解答题（共60分）19．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1． （Ⅰ）求f （x ）的对称轴；（Ⅱ）若f （﹣1）＝7，求a 的值及f （x ）的最值． 20．（12分）已知函数f(x)=2x −a2x 是定义在R 上的奇函数．（1）求f（1）的值；（2）若x∈[0，3]时，不等式f（t﹣2x）+f（x2）≤0恒成立，求实数t的取值范围．21．（12分）设函数f(x)=x+1x−2（x＞3）．（1）指出f（x）在（3，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）﹣a＜0在（3，+∞）上有解，求a的取值范围．22．（12分）已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数，满足下列两个条件：①当x＜0时，f（x）＜0恒成立；②对任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），都有f(x)f(y)=f(xy)+f(yx)．（1）求f（1）和f（﹣1）；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明；（3）若f（x）在区间（0，1]上单调递减，直接写出关于x的不等式f(x2+x+1)≤f(13)的解集．23．（12分）设A是实数集的非空子集，称集合B＝{uv|u，v∈A且u≠v}为集合A的生成集．（1）当A＝{2，3，5}时，写出集合A的生成集B；（2）若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由．2023-2024学年北京市汇文中学教育高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共60分）1．下列关系中正确的是（）A．0∈∅B．{0}∈∅C．0∈N D．{0}∈N解：由题意得，0∉∅，∅⊆{0}，0∈N，{0}⊆N，故选项A、B、D错误，选项C正确，故选：C．2．已知集合A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|0＜x＜4}，则A∩B＝（）A．{x|1＜x＜4}B．{x|x＞0}C．{2，3}D．{1，2，3}解：∵A＝{x∈N|x＞1}，B＝{x|0＜x＜4}，∴A∩B＝{x∈N|1＜x＜4}＝{2，3}；故选：C．3．命题p：∀x∈R，x2+x+12＞0，则命题p的否定是（）A．∃x∈R，x2+x+12≤0B．∃x∈R，x2+x+12＞0C ．∀x ∈R ，x 2+x +12≤0D ．∀x ∈R ，x 2+x +12＞0解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 命题p ：∀x ∈R ，x 2+x +12＞0，则命题p 的否定是：∃x ∈R ，x 2+x +12≤0． 故选：A ．4．下列函数中，值域是R 的幂函数是（ ） A ．y =x 13B ．y =(13)xC ．y =x 23D ．y =(23)x解：在R 上，函数y =x 13=√x 3的值域为R ，故A 满足条件；由于函数y =(13)x 的值域为（0，+∞），故B 不满足条件； 由于函数y =x 23=√x 23的值域为[0，+∞），故B 不满足条件； 由于函数y =(23)x 的值域为（0，+∞），故D 不满足条件； 故选：A ．5．若a ＞b ＞0，c 为实数，则下列不等关系不一定成立的是（ ） A ．ac 2＞bc 2B ．1a＜1bC ．a 2＞b 2D ．a +c ＞b +c解：对于A ，若c ＝0，则ac 2＞bc 2不成立； 对于B ，1a −1b=b−a ab＜0，所以1a＜1b，成立；由不等式的可乘方性知选项C 成立； 由不等式的可加性知选项D 成立． 故选：A ．6．若a 、b 均为非零实数，则不等式ba +a b≥2成立的一个充要条件为（ ）A ．ab ＞0B ．ab ≥0C ．ab ＜0D ．ab ≤0解：因为a 、b 均为非零实数且ba+a b ≥2，所以b 2+a 2ab≥2，因为b 2＞0，a 2＞0，所以b 2+a 2＞0，所以ab ＞0，由ab ＞0，可得a b＞0，ba＞0，所以ba+a b≥2√b a ⋅ab=2，当且仅当b a=a b，即a ＝b 时取等号，所以不等式b a+a b≥2成立的一个充要条件为ab ＞0．故选：A ．7．函数f(x)=x|x|⋅3x 的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．解：函数f(x)=x|x|⋅3x 的定义域为{x |x ≠0}， 当x ＞0时，f （x ）＝（13）x ；当x ＜0时，f （x ）＝﹣（13）x ． 则f （x ）在（0，+∞）单调递减；在（﹣∞，0）单调递增， 故选：D ．8．设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （﹣7）＝0，则下列结论错误的是（ ）A ．f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减B ．f （x ）的图象与x 轴只有2个公共点C ．f （8）＜0D ．不等式f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7）解：由题设，奇函数f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，且f （﹣7）＝f （7）＝f （0）＝0，A 对，B 错， 由f （x ）在（0，+∞）上单调递减，则f （8）＜f （7）＝0，C 对，由上分析知：（﹣∞，﹣7），（0，7）上f （x ）＞0，（﹣7，0），（7，+∞）上f （x ）＜0， 所以f （x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣7）∪（0，7），D 对． 故选：B ．9．已知函数f （x ）＝2x 2+bx +c （b ，c 为实数），f （﹣10）＝f （12）．若方程f （x ）＝0有两个正实数根x 1，x 2，则1x 1+1x 2的最小值是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．12解：根据题意，函数f （x ）＝2x 2+bx +c 为二次函数， 若f （﹣10）＝f （12），则f （x ）的对称轴为x ＝1， 若方程f （x ）＝0有两个正实数根x 1，x 2，则有x 1+x 2＝2， 则1x 1+1x 2=12（1x 1+1x 2）（x 1+x 2）=12（2+x 1x 2+x 2x 1）≥12（2+2√x 1x 2×x 2x 1）＝2， 当且仅当x 1＝x 2＝1时等号成立，即1x 1+1x 2的最小值是2，故选：B ．10．已知集合A ＝{﹣2，1}，B ＝{x |ax ＝2}，若A ∩B ＝B ，则实数a 值集合为（ ） A ．{﹣1}B ．{2}C ．{﹣1，2}D ．{﹣1，0，2}解：A ∩B ＝B ⇒B ⊆A ，A ＝{﹣2，1}的子集有ϕ，{﹣2}，{1}，{﹣2，1}， 当B ＝ϕ时，显然有a ＝0；当B ＝{﹣2}时，﹣2a ＝2⇒a ＝﹣1； 当B ＝{1}时，a •1＝2⇒a ＝2；当B ＝{﹣2，1}，不存在a ，符合题意， ∴实数a 值集合为{﹣1，0，2}， 故选：D ．11．若函数f(x)={2x +3，x ≤0(x −2)2，0＜x ≤a 的定义域和值域的交集为空集，则正数a 的取值范围是（ ）A ．（0，1]B ．（0，1）C ．（1，4）D ．（2，4）解：由题意得函数定义域为{x |x ≤a }， 当x ≤0时，f （x ）＝2x +3∈（3，4]，要使得定义域和值域的交集为空集，则0＜a ≤3， 又0＜x ≤a 时，f （x ）＝（x ﹣2）2，若a ≥2，则f （2）＝0，此时显然不满足题意，若0＜a ＜2，则f （x ）在（0，a ]上单调递减，f （x ）∈[（a ﹣2）2，4），故f （x ）∈[（a ﹣2）2，4）∪（3，4]，所以{a ＜(a −2)20＜a ＜2，解得0＜a ＜1．故选：B ．12．已知函数f （x ）＝（m +1）•2x +x 2+2nx ，记集合A ＝{x |f （x ）＝0，x ∈R }，集合B ＝{x |f [f （x ）]＝0，x ∈R }，若A ＝B ，且都不是空集，则m +n 的取值范围（ ） A ．[﹣1，4]B ．[﹣1，1）C ．[﹣3，5]D ．[0，4）解：因为集合A ，B 都不是空集，设a ∈A ，则f （a ）＝0， a ∈B ，f （f （a ））＝f （0）＝m +1＝0， 所以m ＝﹣1，f （x ）＝x 2+2nx ＝0，当n ＝0时，方程的解x ＝0，此时A ＝B ＝{0}，满足题意； 当n ≠0时，方程的解x ＝0或x ＝﹣2n ，B ＝{x |f [f （x ）]＝0，x ∈R }，则f （x ）＝0或f （x ）＝﹣2n ， 由A ＝B ，则f （x ）＝x 2+2nx ＝﹣2n 无解，则Δ＝4n 2﹣8n ＜0， 解得，0＜n ＜2，综上，0≤n ＜2，m +n ∈[﹣1，1）． 故选：B ．二、填空题（每题5分，共30分）13．函数f(x)=√x +1+12x−4的定义域是 [﹣1，2）∪（2，+∞） ． 解：由题设{x +1≥02x −4≠0，可得x ≥﹣1且x ≠2．∴函数f(x)=√x +1+12x−4的定义域是[﹣1，2）∪（2，+∞）． 故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞） 14．(127)13+log 35−log 315= −23 ．解：(127)13+log 35−log 315=13+log 3515=13−1=−23．故答案为：−23．15．已知集合A ＝{2a ﹣1，a 2，0}，B ＝{1﹣a ，a ﹣5，9}，若满足A ∩B ＝{9}，则实数a 的值为 ﹣3 ． 解：由题意可得，9∈A 且9∈B ，当2a ﹣1＝9时，解得a ＝5，此时A ＝{9，25，0}，B ＝{﹣4，0，9}，A ∩B ＝{0，9}，不符合题意，舍去； 当a 2＝9时，解得a ＝±3，当a ＝3时，A ＝{5，9，0}，B ＝{﹣2，﹣2，9}，B 中元素不满足互异性，不符合题意，舍去， 当a ＝﹣3时，A ＝{﹣7，9，0}，B ＝{4，﹣8，9}，A ∩B ＝{9}，符合题意， 综上所述，a ＝﹣3． 故答案为：﹣3． 16．不等式2x x−1≥3的解集是 （1，3] ． 解：由题设2xx−1−3=3−xx−1≥0，则{(x −1)(x −3)≤0x −1≠0，解得x ∈（1，3]．故答案为：（1，3]．17．某池塘里原有一块浮萍，浮萍蔓延后的面积S （单位：平方米）与时间t （单位：月）的关系式为S ＝a t +1（a ＞0，且a ≠1），图象如图所示．则下列结论： ①浮萍蔓延每个月增长的面积都相同；②浮萍蔓延3个月后的面积是浮萍蔓延5个月后的面积的14；③浮萍蔓延每个月增长率相同，都是50%；④浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和比蔓延到12平方米所经过的时间少．其中正确结论的序号是 ②④ ．解：由图象知当t ＝1时，S ＝4，即a 2＝4，得a ＝2，则S t ＝2t +1， 当t ＝2时，S 2＝8，比一月增长8﹣4＝4，当t ＝3时，S 3＝16，比二月增长16﹣8＝8，则每个月增长的面积不相同，故①错误，当t ＝5时，S 5＝26＝64，则1664=14，即浮萍蔓延3个月后的面积是浮萍蔓延5个月后的面积的14，故②正确， ∵S t+1S t=2，∴后一个月是前一个月面积2倍，即增长率为100%，故③错误，由2t +1＝3，得t +1＝log 23，即t 1＝log 23﹣1， 由2t +1＝4，得t +1＝2，即t 2＝1，由2t +1＝12，得t +1＝log 212，即t 3＝log 212﹣1＝log 26，则浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和为t 1+t 2＝log 23﹣1+1＝log 23， ∵log 23＜log 26，∴t 1+t 2＜t 3，即浮萍蔓延到3平方米所经过的时间与蔓延到4平方米所经过的时间的和比蔓延到12平方米所经过的时间少，故④正确， 故答案为：②④．18．世界公认的三大著名数学家为阿基米德、牛顿、高斯，其中享有“数学王子”美誉的高斯提出了取整函数y ＝[x ]，[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[1.1]＝1．已知f(x)=[2x−1x+1]，x ∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞），则函数f （x ）的值域为 {1，2，3} ． 解：根据题意，设g(x)=2x−1x+1， 则g(x)=2x−1x+1=2(x+1)−3x+1=2−3x+1， 当x ＞2时，x +1＞3，所以0＜1x+1＜13，即0＜3x+1＜1，所以1＜2−3x+1＜2，此时f （x ）的取值为1； 当x ＜﹣3时，x +1＜﹣2，所以−12＜1x+1＜0，即−32＜3x+1＜0，所以2＜2−3x+1＜72，此时f （x ）的取值为2，3；综上，f （x ）的值域为{1，2，3}， 故答案为：{1，2，3}． 三、解答题（共60分）19．（12分）已知二次函数f （x ）＝ax 2﹣2ax +1． （Ⅰ）求f （x ）的对称轴；（Ⅱ）若f （﹣1）＝7，求a 的值及f （x ）的最值． 解：（I ）∵f （x ）＝ax 2﹣2ax +1，∴f(x)=2a2a =1， 故f （x ）的对称轴为x ＝1． （II ）∵f （x ）＝ax 2﹣2ax +1，∴f（﹣1）＝a+2a+1＝7，解得a＝2，∴f（x）＝2x2﹣4x+1，∵a＝2＞0，∴f（x）开口向上，又∵f（x）的对称轴为x＝1，∴最小值为f（1）＝﹣1，无最大值．20．（12分）已知函数f(x)=2x−a2x是定义在R上的奇函数．（1）求f（1）的值；（2）若x∈[0，3]时，不等式f（t﹣2x）+f（x2）≤0恒成立，求实数t的取值范围．解：（1）由f（x）是R上的奇函数，可得f（0）＝0，即20−a20=0，解得a＝1，即有f(x)=2x−12x，∀x∈R，则f(−x)=2−x−12−x=12x−2x=−f(x)，符合题意，则f(1)=3 2．（2）因为f(x)=2x−12x ，所以f（x）在定义域上单调递增，又f（x）是定义在R上的奇函数，故f（t﹣2x）+f（x2）≤0在x∈[0，3]恒成立，等价于f（t﹣2x）≤﹣f（x2），即f（t﹣2x）≤f（﹣x2）在x∈[0，3]上恒成立，即t﹣2x≤﹣x2在x∈[0，3]上恒成立，即t≤﹣x2+2x，x∈[0，3]恒成立，令g（x）＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，x∈[0，3]，则g（x）min＝g（3）＝﹣3，则t≤﹣3，即t的取值范围是（﹣∞，﹣3]．21．（12分）设函数f(x)=x+1x−2（x＞3）．（1）指出f（x）在（3，+∞）上的单调性，并证明你的结论；（2）若f（x）﹣a＜0在（3，+∞）上有解，求a的取值范围．解：（1）f（x）在（3，+∞）上单调递减，∵f（x）=x+1x−2=1+3x−2证明：任取3＜x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（1+3x1−2）﹣（1+3x2−2）=3(x2−x1)(x1−2)(x2−2)，∵3＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1﹣2＞0，x2﹣2＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（3，+∞）上单调递减．（2）∵f（x）＝1+3x−2（x＞3），∴f（x）∈（1，4），∵f（x）﹣a＜0在（3，+∞）上有解，∴a＞（f（x））min，∴a的取值范围是{a|a＞1}．22．（12分）已知f（x）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数，满足下列两个条件：①当x＜0时，f（x）＜0恒成立；②对任意的x，y∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），都有f(x)f(y)=f(xy)+f(yx)．（1）求f（1）和f（﹣1）；（2）判断f（x）的奇偶性，并证明；（3）若f（x）在区间（0，1]上单调递减，直接写出关于x的不等式f(x2+x+1)≤f(13)的解集．解：（1）令x＝y＝1，得f2（1）＝2f（1），∴f（1）＝0或f（1）＝2，若f（1）＝0，取x＝y＝﹣1，则f2（﹣1）＝2f（1）＝0得f（﹣1）＝0，与x＜0时，f（x）＜0矛盾，故f（1）＝0舍去．∴f（1）＝2，f2（﹣1）＝2f（1）＝4，又x＜0时，f（x）＜0，∴f（﹣1）＝﹣2；（2）函数f（x）为奇函数，证明：取y＝x，x＝﹣1，得f（﹣1）f（x）＝f（﹣x）+f（﹣x），则﹣2f（x）＝2f（﹣x），∴f（x）＝﹣f（﹣x），函数f（x）为奇函数；（3）取y＝1，得f(x)f(1)=f(x)+f(1x )，因为f（1）＝2，可得2f(x)=f(x)+f(1x)，即f(x)=f(1x)，所以f(3)=f(13 )，由函数f（x）在区间（0，1]上单调递减，且f(x)=f(1x )，设x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2，可得0＜1x2＜1x1＜1，则f(1x1)＜f(1x2)，所以f(x1)−f(x2)=f(1x1)−f(1x2)＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，所以不等式转化为{x 2+x +1≥13x 2+x +1≤3，解得﹣2≤x ≤1， 所以不等式的解集为[﹣2，1]．23．（12分）设A 是实数集的非空子集，称集合B ＝{uv |u ，v ∈A 且u ≠v }为集合A 的生成集．（1）当A ＝{2，3，5}时，写出集合A 的生成集B ；（2）若A 是由5个正实数构成的集合，求其生成集B 中元素个数的最小值；（3）判断是否存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集B ＝{2，3，5，6，10，16}，并说明理由． 解：（1）∵A ＝{2，3，5}，∴B ＝{6，10，15}；（2）设A ＝{a 1，a 2，a 3，a 4，a 5}，不妨设0＜a 1＜a 2＜a 3＜a 4＜a 5，因为a 1a 2＜a 1a 3＜a 1a 4＜a 1a 5＜a 2a 5＜a 3a 5＜a 4a 5，所以B 中元素个数大于等于7个，又A ＝{21，22，23，24，25}，B ＝{23，24，25，26，27，28，29}，此时B 中元素个数大于等于7个， 所以生成集B 中元素个数的最小值为7；（3）不存在，理由如下：假设存在4个正实数构成的集合A ＝{a ，b ，c ，d }，使其生成集B ＝{2，3，5，6，10，16}， 不妨设0＜a ＜b ＜c ＜d ，则集合A 的生成集B ＝{ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd }；则必有ab ＝2，cd ＝16，其4个正实数的乘积abcd ＝32；也有ac ＝3，bd ＝10，其4个正实数的乘积abcd ＝30，矛盾；所以假设不成立，故不存在4个正实数构成的集合A ，使其生成集B ＝{2，3，5，6，10，16}．。
北京汇文中学届高三上学期期中考试数学理试题
北京汇文中学 2015-2016 学年度 第一学期期中考试 高三（理科）数学一、选择题：（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1. 复数i (3 + 4i ) 的虚部为（ ）（A ）3（B ） 3i （C ）4（D ） 4i2 已知命题 p : ∀x ∈ R , x ≥ 2 ,那么下列结论正确的是（）A ．命题 ⌝p : ∀x ∈ R ，x ≤ 2B ．命题 ⌝p : ∃x ∈ R ，x < 2C ．命题 ⌝p : ∀x ∈ R ，x ≤ -2D ．命题 ⌝p : ∃x ∈ R ，x < -23．下列函数中，对于任意 x ∈ R ，同时满足条件 f (x ) = f (-x ) 和 f (x - π) = （ ）f (x ) 的函数（A ） f (x ) = sin x（C ） f (x ) = cos x（B ） f (x ) = sin x cos x（D ） f (x ) = cos 2x - sin 2x4．执行如图所示的程序框图，如果输入 a = 2, b = 2，那么输出的 a 值为（ ）（A ） 4 （B ）16 （C ） 256（D ） log 3 165.满 足 a , b ∈{-1, 0,1, 2} ,且 关 于 x 的 方 程ax 2 + 2x + b = 0 有实数解的有序数对 (a , b ) 的个数为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．102 32115俯⎨ 6 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）（A ） 2（C ） 44（B ）3（D ） 5正(主)视图侧(左)视图视图7． 已知 a , b ∈ R ．下列四个条件中，使 a > b 成立的必要而不充分的条件是（）（A ） a > b -1（C ）| a | >| b |8.点 P (x , y ) 是曲线 C : y =（B ） a > b +1（D ） 2a> 2b1(x > 0) 上的一个动点，曲线 C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分别交于 xA ,B 两点，点 O 是坐标原点. 给出三个命题：① PA = PB ；② ∆OAB 的周长有最小值 4 + 2 ；③曲线 C 上存在两点 M , N ，使得 ∆OMN 为等腰直角三角形．其中真命题的个数是（ ）（A ）１ （B ）２ （C ）３ （D ）０二.填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）9. 若向量a ,b 满足 | a |=| b |=| a + b |= 1 ,则 a ⋅ b 的值为 .a = 3,b = 2, A = π10．在△ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别是 a , b , c .6 ，则tan B = .11.若数列{a n }的前 n 项和 S n = n -10n (n = 1，2，3， ) ，则此数列的通项公式为 .12. 已知为锐角， cos =5 ，则 tan( π+) = 5 4⎧ x ≥ 1,⎪x + y - 4 ≤ 0,⎪kx - y ≤ 0 13. 不等式组表示面积为 1 的直角三角形区域，则 的值为.⎩ k14．设某商品的需求函数为 Q = 100 -EQQ '5P ，其中 Q , P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性 EQEP大于 1（其中 = - EP QP ， Q ' 是 Q 的导数），则商品价格 P 的取值范围是 .2 2北京汇文中学2015-2016 学年度第一学期期中考试答题纸高三（理科）数学班级姓名学号成绩一、选择题：题号１２３４５６７８选项二、填空题：9. 10. 11.12. 13. 14.三、解答题,共6 小题，共80 分.解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．已知∆ABC 的三个内角分别为A,B,C,且2sin2 (B + C) = （Ⅰ）求A 的度数；（Ⅱ）若BC = 7, AC = 5, 求∆ABC 的面积S.sin 2 A. 316. 如图，PA ⊥ 平面ABC ，AB ⊥ BC ，AB = PA = 2BC = 2 ，M 为PB 的中点．（Ⅰ）求证：AM ⊥ 平面PBC ；（Ⅱ）求二面角A - PC - B 的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段PC 上存在点D ，使得BD ⊥ AC ，并求PD的值．PCCBP17.设函数f (x) = (x + 1)2 - 2k ln x ．（Ⅰ）k=2 时，求函数f(x)的增区间；（Ⅱ）当k<0 时，求函数g(x)= f '(x) 在区间（0，2]上的最小值．* 18.设数列{a n}的前n 项和为S n，且2a n=S n+2n+1(n∈N).（Ⅰ）求a1 ，a2 ，a3 ；（Ⅱ）求证：数列{a n+2}是等比数列；（Ⅲ）求数列{n ⋅ a n }的前n 项和T n .19．已知函数f (x) = ln x - a，其中a ∈ R ．x（Ⅰ）当a = 2 时，求函数f (x) 的图象在点(1, f (1)) 处的切线方程；（Ⅱ）如果对于任意x ∈ (1, +∞) ，都有f (x) > -x + 2 ，求a 的取值范围．20. 设满足以下两个条件的有穷数列a1 , a2 ,⋅⋅⋅, a n 为n（n =2, 3, 4, … ,）阶“期待数列”：① a1 + a2 + a3 + + a n = 0 ；②a1+a2+a3+ + a n= 1.（1）分别写出一个单调递增的3 阶和4 阶“期待数列”；（2）若某2015 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；（3）记n 阶“期待数列”的前k 项和为S k (k = 1, 2, 3, , n) ，试证：S k≤ 1 .22题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ABDCBCAC-1 9.2 ；10. ； 11. 2n-11；41213.114 (10, 20)15． 解: （Ⅰ） 2sin 2(B + C ) =sin 2 A .∴ 2 s in 2 A = 2 sin A c os A ,……………………….2 分sin A ≠ 0,∴sin A = cos A ,∴tan A = ,……………………….4 分0 < A < ,∴ A = 60 °.…………………….6 分（Ⅱ）在 ∆ABC 中, BC 2= AB 2+ AC 2- 2 A B ⨯ AC ⨯ cos 60, BC = 7, AC = 5,∴ 49 = AB 2 + 25 - 5AB , ∴ AB 2 - 5AB - 24 = 0,∴ AB = 8 或 AB = -3 (舍),………….10 分∴ S= 1 AB ⨯ AC ⨯ sin 60 = 1 ⨯ 5 ⨯ 8 ⨯ 3= 10 . …………………….13 分∆ABC2 2 216. 解：（Ⅰ）因为 PA ⊥ 平面 ABC ， BC ⊂ 平面 ABC ，所以 PA ⊥ BC ．因为 BC ⊥ AB ， PA AB = A ，所以 BC ⊥ 平面 PAB ．又 AM ⊂ 平面 PAB ， 所以 AM ⊥ BC ．因为 PA = AB ， M 为 PB 的中点， 所以 AM ⊥ PB ． 又 PB BC = B ，所以 AM ⊥ 平面 PBC ．……………………………5 分3 3 3 3 3xyz ．zCDAByMP （Ⅱ）如图，在平面 ABC 内，作 AZ ∥ BC ，则 AP , AB , AZ 两两互相垂直， 建立空间直角坐标系 A -x则 A (0, 0, 0), P (2, 0, 0), B (0, 2, 0), C (0, 2,1) ， M (1,1, 0) ．AP = (2, 0, 0) ， AC = (0, 2,1) ， AM = (1,1, 0) ．设平面 APC 的法向量为 n = (x , y , z ) ，则⎧⎪n ⋅ AP = 0, ⎧x = 0,⎨ 即 ⎨⎪⎩n ⋅ AC = 0, ⎩2 y + z = 0.令 y = 1，则 z= -2 ． 所以 n = (0,1, -2) ．由（Ⅰ）可知 AM = (1,1, 0) 为平面 BPC 的法向量，设 n , AM 的夹角为，则 c os =因为二面角 A - PC - B 为锐角，所以二面角 A - PC - B 的余弦值为10 ．1010 ．…………………………10 分10（Ⅲ）设 D (u , v , w ) 是线段 PC 上一点，且 PD = PC (0≤ ≤ 1) ． 即 (u - 2, v , w ) = (-2, 2,1) ．所以 u = 2 - 2, v = 2, w = ．所以 BD = (2 - 2, 2- 2,) ． 由 BD ⋅ AC = 0 ，得= 4． 5因为 4∈[0,1] ，所以在线段 PC 上存在点 D ，使得 BD ⊥ AC ．5-k -k -k -k nPD 此时，PC= =4 ． ………………………………14 分517. 解：（1）k =2， f (x ) = (x + 1)2 - 4 l n x ．则 f '(x ) = 2x + 2 - 4．x= 2(x -1)(x + 2) ＞0，（此处用“≥”同样给分） x注意到 x ＞0，故 x ＞1，于是函数的增区间为 (1, +∞) ．（写为 [1, +∞) 同样给分）6 分（2）当 k ＜0 时，g (x )= f '(x ) = 2x + 2 -2k ．g (x )= 2(x +-k) + 2 ≥ 4 + 2 9 分 xx当且仅当 x = 时，上述“≥”中取“=”．①若 ∈ (0, 2]，即当 k ∈[-4, 0) 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 + 2 ；…②若 k ＜-4，则 g '(x ) = 2(1 +k) 在 (0, 2] 上为负恒成立，x 2故 g (x )在区间 (0, 2] 上为减函数，于是 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 g (2)=6-k ． ………………………13 分综上所述，当 k ∈[-4, 0) 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 4 + 2 ；当 k ＜-4 时，函数 g (x )在区间 (0, 2] 上的最小值为 6-k ． ………………………15 分18.（Ⅲ）由(Ⅱ) 得： a n + 2 = 5⨯ 2n -1 ，即 a = 5⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N * ) . -knn -1*则 na n = 5n ⋅ 2 - 2n (n ∈ N ) .……………8 分设数列{5n ⋅ 2n -1} 的前 n 项和为 P ,12n -2n -1则 P n = 5⨯1⨯ 2 + 5⨯ 2 ⨯ 2 + 5⨯ 3⨯ 2 +... + 5⨯(n -1) ⋅ 2+ 5⨯ n ⋅ 2 ，123n -1n所以 2P n = 5⨯1⨯ 2 + 5⨯ 2 ⨯ 2 + 5⨯ 3⨯ 2 +... + 5(n -1) ⋅ 2 + 5n ⋅ 2 ，12n -1n所以 -P n = 5(1+ 2 + 2 +... + 2 ) - 5n ⋅ 2 ，即 P n = (5n - 5) ⋅ 2n + 5 (n ∈ N * ) .……………11 分nn (n +1)所以数列{n ⋅ a n }的前 n 项和 T n = (5n - 5) ⋅ 2 + 5 - 2 ⨯ ， 2n 2 *整理得， T n = (5n - 5) ⋅ 2 - n - n + 5 (n ∈ N ) .……………13 分19． （Ⅰ）解：由 f (x ) = ln x - 2 12 ，得 f '(x ) = + x x x 2，……………… 2 分所以 f '(1) = 3 ，又因为 f (1) = -2 ，所以函数 f (x ) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 3x - y - 5 = 0 .……………… 4 分（Ⅱ）解：由f (x ) > -x + 2 ，得 ln x - a > -x + 2 ， x即 a < x ln x + x 2 - 2x .……………… 6 分设函数g (x ) = x ln x + x 2 - 2x ，则 g '(x ) = ln x + 2x - 1 ， ……………… 8 分因为 x ∈ (1, +∞) ，所以 ln x > 0 ， 2x -1 > 0 ，所以当 x ∈ (1, +∞) 时， g '(x ) = ln x + 2x - 1 > 0 ， ……………… 10 分故函数 g (x ) 在 x ∈ (1, +∞) 上单调递增，所以当 x ∈ (1, +∞) 时， g (x ) > g (1) = -1.……………… 11 分因为对于任意 x ∈ (1, +∞) ，都有 f (x ) > -x + 2 成立，所以对于任意 x ∈ (1, +∞) ，都有a < g (x ) 成立.所以 a ≤-1.……………… 13 分- 1 , 0, 120. 解：（Ⅰ）数列- 3 , - 1 , 1 , 3为三阶期待数列 …………………………………………1 分22数列88 8 8为四阶期待数列, ………………………………………2 分（Ⅱ）设该 2013 阶“期待数列”的公差为 d ，2013(a + a) 因为a 1 + a 2 + a 3 + + a 2013 = 0 ，∴12013= 0,2∴ a 1 + a 2013 = 0 ，即a 1007 ∴ a 1008 = d ,= 0 ， …………………………………………3 分当 d=0 时,与期待数列的条件①②矛盾，a+ a+ + a= 1, 当 d>0 时，据期待数列的条件①②可得 1008100920132∴ 1006d + 1006 ⨯1005 d = 1 ,即d = 1,2 2 1006 ⨯1007 ∴ a n = a 1007 + (n -1007)d =n -1007. 1006 ⨯1007(n ∈ N *且n ≤ 2013) ，当 d<0 时，同理可得a n = -n +10071006 ⨯1007. (n ∈ N *且n ≤ 2013) .…………………………………8 分【注】只写一种的扣一分; n 的范围未写的扣一分S = 0 ≤ 1（Ⅲ）当 k=n 时，显然n成立； …………………………………………………………10 分2当 k<n 时，根据条件①得S k = a 1 + a 2 + + a k = -(a k +1 + a k +2 + ⋅⋅⋅ + a n ) ，即 S k = a 1 + a 2 + + a k = a k +1 + a k +2 + + a n ，∴ 2 S k = a 1 + a 2 + + a k + a k +1 + a k +2 + + a n ≤ a 1 + a 2 + + a k + a k +1 + a k +2 + + a n = 1,S ≤ 1(k = 1, 2, 3, , n).k2………………………………………………………………………14分。
【名师解析】北京市重点中学2015届高三上学期第一次月考数学(理)试题(解析版)
北京市重点中学2015届高三上学期第一次月考数学（理）试题（解析版）【试卷综析】试题考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、导数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，知识点综合与迁移。
试卷的整体水准应该说比较高，综合知识、创新题目的题考的有点少,试题适合阶段性质考试.第I 卷 （选择题 共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项） 【题文】1．已知集合{}220M x x x = -<，{}N x x a = <，若M N ⊆，则实数a 的取值范围是A ．[)2,+∞B ．()2,+∞C ．(),0-∞D ．(],0-∞ 【知识点】交集及其运算．A1【答案解析】A 解析：由M 中不等式变形得：()20x x -<， 解得：02x <<，即M=()0,2，∵{}N x x a = <，且M N ⊆， ∴a≥2，则a 的范围为[)2,+∞．故选：A ．【思路点拨】求出M 中不等式的解集确定出M ，根据N 以及M 为N 的子集，确定出a 的范围即可．【题文】2．下列四个命题：p 1：∃x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x <⎝⎛⎭⎫13x p 2：∃x ∈(0，1)，log 12x>log 13xp 3：∀x ∈(0，＋∞)，⎝⎛⎭⎫12x>log 12x p 4：∀x ∈⎝⎛⎭⎫0，13，⎝⎛⎭⎫12x<log 13x 其中的真命题是A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 【知识点】全称命题，特称命题。
A2【答案解析】D 解析：对于p 1：在(0，＋∞)中，不存在x 的值使⎝⎛⎭⎫12x<⎝⎛⎭⎫13x，故p 1错误；对于p 3：令x= 12，⎝⎛⎭⎫12x>log 12x 不成立；故p 3错误；p 2 ，p 4正确。
《解析》北师大附中2015届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
北师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）一、选择题（10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入第Ⅱ卷选择题的答案表中．）1．（5分）若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）2．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题3．（5分）曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为（）A．3x+y+3=0 B．3x﹣y+3=0 C．3x﹣y=0 D．3x﹣y﹣3=04．（5分）若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π5．（5分）已知||=6，||=3，•=﹣12，则向量在向量方向上的投影是（）A．2B．﹣2 C．4D．﹣46．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．107．（5分）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A．B．C．D．8．（5分）已知，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度9．（5分）如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是（）km．A．5（+）B．5（﹣）C．10（﹣）D．10（+）10．（5分）若函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，方程f（x）﹣mx﹣2m=0有两个实数解，则实数m的取值范围是（）A．0＜m≤B．0＜m＜C．＜m≤l D．＜m＜1二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若sinα+cosα=，则sin2α的值是．12．（5分）若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为rad．13．（5分）已知函数（ω＞0）在单调增加，在单调减少，则ω=．14．（5分）已知函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，f（2）=4，则f=．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=+k为闭函数，则k的取值范围是．三、解答题（共75分）16．（15分）已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，（1）求的值；（2）求与的夹角θ；（3）求||的值．17．（10分）已知，，若，求：（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程．（2）f（x）的单调递增区间．（3）当时，函数f（x）的值域．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．19．（12分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？20．（12分）已知函数f（x）=﹣（x+2）（x﹣m）（其中m＞﹣2）．g（x）=2x﹣2．（Ⅰ）若命题“log2g（x）≥1”是假命题，求x的取值范围；（Ⅱ）设命题p：∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；命题q：∃x∈（﹣1，0），f（x）g（x）＜0．若p∧q是真命题，求m的取值范围．21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．北师大附中2015届高三上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（10小题，每小题5分，共50分．请将答案填入第Ⅱ卷选择题的答案表中．）1．（5分）若集合A={x|y=2x}，集合，则A∩B=（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．[0，+∞）D．（﹣∞，+∞）考点：函数的定义域及其求法；交集及其运算．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：求出集合A中函数的定义域确定出A，求出集合B中函数的定义域确定出B，求出A与B的交集即可．解答：解：集合A中的函数y=2x，x∈R，即A=R，集合B中的函数y=，x≥0，即B=[0，+∞），则A∩B=[0，+∞）．故选C点评：此题属于以函数的定义域为平台，考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）下列关于命题的说法错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，x2+x+1≥0B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件C．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”D．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题考点：复合命题的真假；四种命题；命题的真假判断与应用．专题：阅读型．分析：根据全称命题的否定是特称命题判断A是否正确；根据充分、必要条件的判定方法判断B是否正确；根据逆否命题的定义判断C是否正确；利用复合命题的真值表判定D是否正确．解答：解：根据全称命题的否定是特称命题，∴A正确；∵x=1⇒x2﹣3x+2=0，当x2﹣3x+2=0时，x=1不确定，根据充分必要条件的判定，B正确；根据逆否命题的定义，是逆命题的否命题，∴C正确；∵p∧q为假命题根据复合命题真值表，P，q至少一假，∴D错误；故选D点评：本题考查命题的真假判断及复合命题的真假判断，特别要注意全称命题与特称命题互为命题的否定命题．3．（5分）曲线y=x3+1在点（﹣1，0）处的切线方程为（）A．3x+y+3=0 B．3x﹣y+3=0 C．3x﹣y=0 D．3x﹣y﹣3=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：先求出函数y=x3+1的导函数，然后求出在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程即可．解答：解：y′=3x2y′|x=1=3，切点为（﹣1，0）∴曲线y=x3+1在点（﹣1，0）切线方程为y﹣0=3[x﹣（﹣1）]，即3x﹣y+3=0故选B．点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．4．（5分）若sin2t=﹣cosxdx，其中t∈（0，π），则t=（）A．B．C．D．π考点：定积分．专题：导数的综合应用．分析：将已知中等式中的定积分化简求值，化为关于t的三角函数方程解之．解答：解：因为﹣cosxdx=﹣sinx=0，所以sin2t=0，因为t∈（0，π），所以2t=π，所以t=；故选：B．点评：本题考查了定积分的计算以及三角函数求值，属于基础题．5．（5分）已知||=6，||=3，•=﹣12，则向量在向量方向上的投影是（）A．2B．﹣2 C．4D．﹣4考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：向量在向量方向上的投影为cos＜，＞=，代入数值计算即可．解答：解：向量在向量方向上的投影为：cos＜，＞===﹣4故选：D点评：本题考查向量投影的求法，属基础题．6．（5分）设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A．B．C．D．10考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：计算题．分析：由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．解答：解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．7．（5分）如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，，且，则（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用；相等向量与相反向量．专题：计算题．分析：根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出，利用平面向量基本定理求出x，y的值解答：解：由题意，∵，∴，即，∴，即故选A．点评：本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未知的向量用已知向量表示，是解题的关键．8．（5分）已知，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：通过化简整理，可得g（x）=f（x﹣），由此结合函数图象平移的规律，即可得到本题的答案．解答：解：∵∴g（x）=sin2x==f（x﹣），∵函数y=f（x﹣）的图象是由函数y=f（x）的图象向右平移个单位而得∴为了得到g（x）=sin2x的图象，只要将f（x）的图象右平移个单位故选A点评：本题以三角函数的图象平移，考查了函数图象平移的公式和图象变换等知识，属于基础题．9．（5分）如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若船C位于A的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B处与船C的距离是（）km．A．5（+）B．5（﹣）C．10（﹣）D．10（+）考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；解三角形．分析：由题意可得AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°，由三角形内角和定理可得∠ACB=75°，由正弦定理求出BC的值．解答：解：由题意可得AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°所以，∠ACB=75°，由正弦定理：，即BC==10（﹣）km，故选：C．点评：本题考查三角形内角和定理，正弦定理的应用，求出AB=20，∠BAC=30°，∠ABC=75°，是解题的关键．10．（5分）若函数f（x）满足f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，方程f（x）﹣mx﹣2m=0有两个实数解，则实数m的取值范围是（）A．0＜m≤B．0＜m＜C．＜m≤l D．＜m＜1考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：根据f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，求出x∈（﹣1，0）时，f（x）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．解答：解：∵f（x）+1=，当x∈[0，1]时，f（x）=x，∴x∈（﹣1，0）时，f（x）+1==，∴f（x）=﹣1，因为g（x）=f（x）﹣mx﹣2m有两个零点，所以y=f（x）与y=mx+2m的图象有两个交点，函数图象如图，由图得，当0＜m≤时，两函数有两个交点故选：A．点评：此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力．二、填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）若sinα+cosα=，则sin2α的值是﹣．考点：二倍角的正弦．专题：计算题．分析：将已知的等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，即可求出sin2α的值．解答：解：把sinα+cosα=两边平方得：（sinα+cosα）2=，即sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+sin2α=，解得：sin2α=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式．将已知的等式两边平方是本题的突破点．12．（5分）若扇形的周长是8cm，面积4cm2，则扇形的圆心角为2rad．考点：弧长公式．专题：计算题．分析：设扇形的圆心角为α，半径为R，则根据弧长公式和面积公式有，故可求扇形的圆心角．解答：解：设扇形的圆心角为α，半径为R，则⇒．故答案为：2．点评：本题主要考察了弧长公式和面积公式的应用，属于基础题．13．（5分）已知函数（ω＞0）在单调增加，在单调减少，则ω=．考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；正弦函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：由题意函数在时取得最大值，求出ω的范围，根据单调性，确定ω的值．解答：解：由题意又ω＞0，令k=0得．（由已知T＞2π．如k＞0，则ω≥2，T≤π与已知矛盾）．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义，正弦函数的单调性，考查逻辑思维能力，是基础题．14．（5分）已知函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，f（2）=4，则f=﹣4．考点：抽象函数及其应用；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由于函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，可推得函数f（x）是以12为最小正周期的函数，即有f=f（﹣2），再由函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，可得f（x）图象关于原点对称，由f（2）=4即可得到答案．解答：解：由于函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，则f（x+12）=﹣f（x+6）=f（x），则函数f（x）是以12为最小正周期的函数，则f=f（12×167+10）=f（10）=f（﹣2），由于函数y=f（x﹣1）关于点（1，0）对称，则将y=f（x﹣1）的图象左移1个单位，得到y=f（x）的图象，即有f（x）图象关于原点对称，由于f（2）=4，则f（﹣2）=﹣f（2）=﹣4．则f=﹣4．故答案为：﹣4．点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的周期性和对称性及运用，考查运算能力，属于中档题．15．（5分）设函数f（x）的定义域为D，若函数y=f（x）满足下列两个条件，则称y=f（x）在定义域D上是闭函数．①y=f（x）在D上是单调函数；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上值域为[a，b]．如果函数f（x）=+k为闭函数，则k的取值范围是（﹣1，]．考点：函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：若函数f（x）=+k为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，故a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，由此能求出k的取值范围．解答：解：若函数f（x）=+k为闭函数，则存在区间[a，b]，在区间[a，b]上，函数f（x）的值域为[a，b]，即，∴a，b是方程x=+k的两个实数根，即a，b是方程x2﹣（2k+2）x+k2﹣1=0（x，x≥k）的两个不相等的实数根，当k时，解得，﹣1＜k；当k＞﹣时，解得k无解．综上，可得﹣1＜k．故答案为：（﹣1，﹣]点评：本题考查函数的单调性及新定义型函数的理解，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．三、解答题（共75分）16．（15分）已知||=4，||=3，（2﹣3）•（2+）=61，（1）求的值；（2）求与的夹角θ；（3）求||的值．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）由（2﹣3）•（2+）=61，利用向量的运算法则，计算化简即可．（2）利用向量夹角公式计算．（3）利用（2）的结论和数量积运算性质即可得出．解答：解：（1）由（2﹣3）•（2+）=61，得4﹣4﹣3=61将||=4，||=3，代入，整理得=﹣6（2）cosθ===﹣，又0≤θ≤π，所以θ=．（3）|+|===．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量夹角的范围，根据三角函数的值求角，属于基础题．17．（10分）已知，，若，求：（1）f（x）的最小正周期及对称轴方程．（2）f（x）的单调递增区间．（3）当时，函数f（x）的值域．考点：平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：先由向量的运算结合三角函数公式化简为，（1）由公式易求得得周期和对称轴；（2）转化为函数y=的减区间；（3）由x的范围开始逐步求解范围，可得答案．解答：解：由题意可得：=…（4分）（1）由上可知：T==π…（5分）由2x=k解得：对称轴方程为…（7分）（2）f（x）增区间即为的减区间，由≤2x，解得f（x）的单调递增区间为…（10分）（3）∵∴∴∴值域为…（13分）点评：本题为三角函数和向量的综合应用，熟练利用公式是解决问题的关键，属中档题．18．（12分）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．（1）若△ABC的面积等于，求a，b；（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．考点：解三角形；三角形中的几何计算．专题：计算题．分析：（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．解答：解：（1）∵c=2，cosC=，∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，又△ABC的面积等于，sinC=，∴，整理得：ab=4，（4分）联立方程组，解得a=2，b=2；（6分）（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，（8分）联立方程组，解得：，，又sinC=，则△ABC的面积．（10分）点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）某工厂有一批货物由海上从甲地运往乙地，已知轮船的最大航行速度为60海里/小时，甲地至乙地之间的海上航行距离为600海里，每小时的运输成本由燃料费和其他费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元．（Ⅰ）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）为使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？考点：函数最值的应用．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）利用轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比，比例系数为0.5，其余费用为每小时1250元，可求全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（Ⅱ）求导数，确定函数的单调性，即可求出使全程运输成本最小，轮船的多大速度．解答：解：（Ⅰ）由题意得：，即：…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令y'=0，解得x=50，或x=﹣50（舍去）．…（8分）当0＜x＜50时，y'＜0当50＜x＜60时，y'＞0（均值不等式法同样给分）…（10分）因此，函数在x=50处取得极小值，也是最小值．故为使全程运输成本最小，轮船应以50海里/小时的速度行驶．…（12分）点评：本题考查函数最值的应用，考查导数知识的运用，确定函数模型是关键．20．（12分）已知函数f（x）=﹣（x+2）（x﹣m）（其中m＞﹣2）．g（x）=2x﹣2．（Ⅰ）若命题“log2g（x）≥1”是假命题，求x的取值范围；（Ⅱ）设命题p：∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；命题q：∃x∈（﹣1，0），f（x）g（x）＜0．若p∧q是真命题，求m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：（I）由于命题“log2g（x）≥1”是假命题，可得log2g（x）＜1，即，利用对数函数和指数函数的单调性即可得出x的取值范围；（II）由于p∧q是真命题，可得p与q都是真命题．由于当x＞1时，g（x）＞0，又p是真命题，可得f（x）＜0．由f（1）＜0，可得m＜1．当﹣1＜x＜0时，g（x）＜0．由于q是真命题，则∃x∈（﹣1，0），使得f（x）＞0，利用f（﹣1）＞0，可得m的取值范围．解答：解：（I）∵命题“log2g（x）≥1”是假命题，则log2g（x）＜1，即，∴0＜2x﹣2＜2，解得1＜x＜2．∴x的取值范围是（1，2）；（II）∵p∧q是真命题，∴p与q都是真命题．当x＞1时，g（x）=2x﹣2＞0，又p是真命题，则f（x）＜0．f（1）=﹣（1+2）（1﹣m）＜0，解得m＜1．当﹣1＜x＜0时，g（x）=2x﹣2＜0．∵q是真命题，则∃x∈（﹣1，0），使得f（x）＞0，∴f（﹣1）=﹣（﹣1+2）（﹣1﹣m）＞0，即m＞﹣1．综上所述：﹣1＜m＜1．点评：本题综合考查了二次函数和对数函数的单调性、简易逻辑的有关知识，考查了推理能力和计算能力，属于难题．21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．考点：利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法．专题：计算题；综合题；压轴题；开放型；分类讨论．分析：（I）根据题意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），求导，令导数等于零，解方程，跟据g′（x），g（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间和最小值；（Ⅱ）构造函数h（x）=g（x），利用导数求该函数的最小值，从而求得g（x）与的大小关系；（Ⅲ）证法一：假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，解此绝对值不等式，取时，得出矛盾；证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜立，转化为求函数的值域，得出矛盾．解答：解：（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，∴最小值为g（1）=1；（Ⅱ）=﹣lnx+x，设h（x）=g（x）﹣=2lnx﹣x+，则h′（x）=，当x=1时，h（1）=0，即g（x）=，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞，当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜，（Ⅲ）满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，有，（*）但对上述x0，取时，有Inx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜立．由（Ⅰ）知，的最小值为g（x）=1．又＞Inx，而x＞1 时，Inx 的值域为（0，+∞），∴x≥1 时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x1＞1，使g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）﹣g（x0）≥1，故|g（x1）﹣g（x0）|≥1＞，与假设矛盾．∴不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．点评：此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．。
2022-2023学年北京市汇文中学高三上学期期中考试数学试卷(带讲解)
是 ， ，
故选：C.
5.下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】根据给定条件逐一分析各选项即可判断作答.
【详解】对于A，函数 是奇函数，但在其定义域上不单调，A不正确；
对于B，函数 定义域是R，是奇函数，当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 上也单调递增，
【详解】 ．若 ，当 时， ，所以选项 不成立；
．若 ，当 时，则 ，所以选项 不成立；
．因为 ，将 两边同除以 ，则 ，所以选项 成立；
．如果 满足 ，但是 ，所以选项 不成立．
故选： ．
8.已知等比数列 中， ，且 ，那么 的值是（）.
A.15B.31C.63D.64
【答案】B
【分析】设等比数列 公比为 ，根据已知求出 的值即得解.
【答案】
【分析】根 求出 和 ，由 即可求解.
【详解】因为 是数列 的前 项和.若 ，
可得 ， ，
所以 ，
故答案为： .
14.已知 ，则 的最小值是________.
【答案】5
【分析】将 变形为 ，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】∵ ，∴ ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 的最小值是5,
A.有最大项，有最小项B.有最大项，无最小项
C.无最大项，有最小项D.无最大项，无最小项
【答案】B
【分析】首先求得数列的通项公式，然后结合数列中各个项数的符号和大小即可确定数列中是否存在最大项和最小项.
【详解】由题意可知，等差数列的公差 ，
则其通项公式为： ，
注意到 ，
北京市海淀区2015届高三上学期期中练习数学理试题-Word版内含答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理） 2014.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合1{|}A x x >=∈R ，{|12}B x x =∈-R ≤≤，则A B =（ ）（A ）[1,)-+∞（B ）(1,)+∞（C ）(1,2]（D ）[1,1)-（2）已知向量(2,1)=-a ，(3,)x =b . 若3⋅=a b ，则x =（ ） （A ）6（B ）5（C ）4（D ）3（3）若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q =，则35a a +=（ ） （A ）10（B ）13（C ）20（D ）25（4）要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） （A ）向左平移3π个单位 （B ）向左平移6π个单位 （C ）向右平移3π个单位 （D ）向右平移6π个单位 （5）设131()2a =，21log 3b =，2log 3c =，则（ ）（A ）a b c >>（B ）c a b >>（C ）a c b >>（D ）c b a >>（6） 设,a b ∈R ，则“0ab >且a b >”是“11a b<”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数,0,(),0.x x f x x x -<⎧⎪=⎨⎪⎩≥若关于x 的方程()(1)f x a x =+有三个不相学优等的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） （A ）1[,)2+∞（B ）(0,)+∞ （C ）(0,1)（D ）1(0,)2（8）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .在同一个坐标系中，()n a f n =及()n S g n =的部分图象如图所示，则（ ）-0.4-0.80.7O 87a n (S n )n（A ）当4n =时，n S 取得最大值 （B ）当3n =时，n S 取得最大值 （C ）当4n =时，n S 取得最小值 （D ）当3n =时，n S 取得最小值二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2015届海淀区高三数学上册期中练习题(含答案)
2015届海淀区高三数学上册期中练习题(含答案)2014-2015年海淀高三年级第一学期期中考试数学（理）试卷解析【试卷结构与特点】本次次海淀区的期中考试范围与往年基本一致，即：集合、函数、三角函数、平面向量、解三角形和数列。
1.本次考试的试题结构和高考的试题结构一致，即选择题8个，每题5分，填空题6个，每题5分，解答题6个，其中4题13分，另外两题14分（高考中14分的题目为立体几何和解析几何，本次期中并未涉及这两个知识内容）。
2.试卷总体难度与去年类似，但是难易程度的分布与去年期中考试不同，更类似于2014年的高考真题的难度分布，即常规基本问题的难度下降，产生了很多“送分题”；但是中档问题考核方向不变，但是考核方法有所改变，增强了知识方法之间的综合和深入理解知识后的灵活视同；对于难题而言，从命题和设问的角度可以看出，依旧本着考察数学思想、思维方法的方向，同时鼓励归纳猜想的特征依旧在其中，想完成问题，需要对概念和方法有明确的认识，而不是简单记忆。
值得注意的是，第8题和第14题的题目难度有所下降，同时，第20题也与往常不同，并不是以组合数学为核心的问题，而变成了函数和不等式的综合考核，但思维方式类似。
3.由于具备以上特征，本次考试相比之前的考试具有了更好的区分度，靠着对于题目“熟悉”才能入手的考生无法在此次考核中获得较高的分数，更加强调了知识和概念的理解，以及方法背后隐含的数学思想。
通过以上分析，高三的数学复习，题海战术与高考的要求是相违背的，是一种低效的复习方式。
应在对基础知识和概念的理解上多下工夫，思考和总结与做题并重，特别是要注重对重要数学思想和思维方法的训练和体会。
【试卷分析】一、选择题部分 1.设集合，，则（） A. B. C. D.【分析】本题考查集合的表示与运算，难度不大，掌握表示方法、了解运算概念即可解决。
集合的核心考察主要就集中在集合的表示和运算上，常与基本的解不等式结合考察；同时还要强调，集合作为基本的数学语言，考生应该注意掌握，可以读懂用集合语言表述的答案，同时也可以灵活使用集合语言表述数学问题。
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（ B） f ( x) sin x cos x （ D） f ( x) cos2 x sin 2 x
4．执行如图所示的程序框图，如果输入
（ A） 4 （ B） 16
a 2, b 2 ，那么输出的 a 值为（ ）
开始 输入 a, b
（ C） 256 （ D） log 3 16
log3 a 4
否
a ab
4/9
数学试题答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
C
B
C
A
C
1 9. 2 ； 10.
2 ； 11. 2n-11 ； 4
12
13.1 14
(10,20)
15． 解 : （Ⅰ） 2sin 2 ( B C) 2sin 2 A 2 3 sin Acos A ,
3sin 2 A.
……………………… .2 分
sin A 0, sin A 3 cos A, tan A 3 , ……………………… .4 分
B．命题 p : x R ， x 2
C．命题 p : x R ， x ≤ 2
D．命题 p : x R ， x 2
3．下列函数中， 对于任意 x R ，同时满足条件 f (x) f ( x) 和 f ( x π) f ( x) 的函数（ ）
（ A） f ( x) sin x （ C） f ( x) cos x
3 sin 2A.
16. 如图， PA 平面 ABC ， AB BC ， AB PA 2BC 2 ， M 为 PB 的中点．
2/9
（Ⅰ）求证： AM 平面 PBC ； （Ⅱ）求二面角 A PC B 的余弦值； （Ⅲ）证明：在线段 PC 上存在点 D ，使得 BD AC ，并求 PD 的值．
PC
C D A
1
侧 (左 )视图
1
5 俯视图
7 ． 已知 a, b R ．下列四个条件中，使 a b 成立的必要而不充分的条件是（
）
1/9
（ A） a b 1
（ B） a b 1
（ C） | a | | b |
（ D） 2a 2b
8.
点 P(x, y) 是曲线 C : y =
1 ( x > 0) 上的一个动点，曲线
2015 北京汇文中学高三（上）期中数
一、选择题： （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1. 复数 i (3 4i) 的虚部为（ ）
（ A） 3
（ B） 3i
（ C） 4
（ D） 4i
2 已知命题 p : x R , x ≥ 2 , 那么下列结论正确的是
学（理）
（）
A．命题 p : x R ， x ≤ 2
B M P
17. 设函数 f ( x) ( x 1)2 2k ln x ． （Ⅰ） k=2 时，求函数 f ( x) 的增区间； （Ⅱ）当 k<0 时，求函数 g( x)= f ( x) 在区间（ 0，2] 上的最小值．
18. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且 2 an Sn 2n 1 (n N ) . （Ⅰ）求 a1 ， a2 ， a3 ； （Ⅱ）求证：数列 an 2 是等比数列； （Ⅲ）求数列 n an 的前 n 项和 Tn .
0 A , A 60 ° .
…………………… .6 分
（Ⅱ）在 ABC 中 , BC 2 AB2 AC 2 2AB AC cos60 , BC 7, AC 5,
49 AB 2 25 5AB, AB2 5AB 24 0, AB 8 或 AB 3 ( 舍 ), ………… .10 分
S ABC
EP
大于 1（其中
EQ =-
Q' P ， Q ' 是 Q 的导数），则商品价格
P 的取值范围是
.
EP
Q
三、解答题 , 共 6 小题，共 80 分. 解答要写出文字说明，演算步骤或证明过程 .
15． 已知 ABC 的三个内角分别为 A,B,C, 且 2sin 2 (B C) （Ⅰ）求 A的度数； （Ⅱ）若 BC 7, AC 5, 求 ABC 的面积 S.
19．已知函数
f ( x)
ln x
a ，其中 a
R．
x
3/9
（Ⅰ）当 a 2时，求函数 f ( x) 的图象在点 (1, f (1))处的切线方程； （Ⅱ）如果对于任意 x (1, ) ，都有 f ( x) x 2 ，求 a 的取值范围．
20. 设满足以下两个条件的有穷数列 a1, a2 , , an 为 n（ n =2, 3, 4, … , ）阶“期待数列”：
.
11. 若数列 an 的前 n 项和 Sn n2 10n (n 1，2，3， ) ，则此数列的通项公式为
.
12. 已知 为锐角， cos
5
，则 tan(
)
5
4
13. 不等式组
面积为 1 的直角三角形区域，则
k 的值为 _________.
EQ 14．设某商品的需求函数为 Q = 100 - 5 P ，其中 Q, P 分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性
二 . 填空题：（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
9. 若向量 a,b 满足 | a | | b | | a b | 1, 则 a b 的值为 ______.
（）
10．在△ ABC中，角 A， B， C所对的边分别是 a, b, c . a 3, b 2, A 6 ，则 tan B
是 输出 a
结束
5. 满足 a,b 1,0,1,2 , 且关于 x 的方程 ax2 2x b 0 有实数解的有序数对 (a,b) 的个数
为（ ） A． 14
B． 13
C． 12
D． 10
6 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
（ A） 2 （ C） 4
（ B） 4 3
（ D） 5
）
2
2
3
正 (主 )视图
C 在点 P 处的切线与 x 轴、 y 轴分别交于 A, B 两点，
x
点 O 是坐标原点 . 给出三个命题：① PA = PB ；② OAB 的周长有最小值 4 + 2 2 ；③曲线 C 上存在两点
M , N ，使得 OMN 为等腰直角三角形．其中真命题的个数是
（ A）１
（ B）２
（ C）３
（ D）０
① a1 a2 a3
an 0 ；
② a1 a2 a3
an 1.
（ 1）分别写出一个单调递增的 3 阶和 4 阶“期待数列”；
（ 2）若某 2015 阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
1
（ 3）记 n 阶“期待数列”的前 k 项和为 Sk (k 1, 2,3, , n) ，试证： Sk
.
2