第三章 稳定电流电场
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稳恒电流和稳恒电场
例题一： 例题一：一块扇形碳制电极厚为 t，电流从半径为 r1的端面 S1流向半径为 r2的端面 S2，扇形张角为 面之间的电阻。 α，求：S1 和 S2面之间的电阻。 α dl dr dR = ρ = ρ S2 dS rα t S1
∴R=
∫
r2
r1
ρ
dr rα t
t
r1
r2
r2 ρ ∴R= ln α t r1
S
8
∫∫
*
S
v v j dS = 0
dq 稳恒条件可说为电荷分布不随时间变化 稳恒条件可说为电荷分布不随时间变化dt = 0 ，
场不变时达到稳恒。 即场不变时达到稳恒。
* 电流线不可能在任何地方中断，即是闭合曲线。 电流线不可能在任何地方中断，即是闭合曲线。 * 在没有分支的恒定电路中，通过各截面的电流 在没有分支的恒定电路中，
2
• 电流强度
单位时间内通过任一截面的电量， 任一截面的电量 单位时间内通过任一截面的电量，表示了电路 中电流强弱的物理量。 表示。 中电流强弱的物理量。它是标量用 I 表示。
∆q dq I = lim = dt ∆t → 0 ∆ t
标量 单位：库仑/秒 安培 单位：库仑 秒=安培 （CT −1） A =
v I与 j
的关系
v v v Q j = j⊥ + j// v v v ∴ dI =| j⊥ | ⋅dS = jn dS = j ⋅ dS
v 设某点处电流密度为 j ， v ˆ 面的法线方向。 n 为 d S 面的法线方向。
v j //
ˆ n
v j v j⊥
6
的电流强度为： 通过一个有限截面 S的电流强度为： 的电流强度为 ∴I = §2 稳恒电流 2.1 电流的连续性方程 电流的连续性方程
3-恒定电流的电场和磁场汇编
注： n 是垂直于dl，且通过 dl与曲面相切的单位矢量。
任意线 l 上的电流强度I：
I S J S dl
l
第三章 恒定电流的电场和磁场
IV、J 的另一表达式：
n ds
设电荷体密度为ρ，运动速度为v，则：
dI dq dV vdtdS J n n n n v ds dtds dtds dtds
线元 dl 的乘积 Idl ，称为电流元。
面电流元：
Idl
I
Idl
l S
Idl J s dadl J s dS
体电流元
I J s dS I JdV
V
Idl JdSdl JdV
第三章 恒定电流的电场和磁场
一、安培定律 1、两个电流元间的相互作用力
安培定律的 微分形式
第三章 恒定电流的电场和磁场
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11
矢量磁位 磁偶极子
互感和自感 磁场力
第三章 恒定电流的电场和磁场
3.1 恒定电流的电场
3.1.1 电流密度 I、电流的定义：单位时间内通过某一横截面的电量。
2 1 2 1 S D2 n D1n J 2n J1n J n 2 1 2 1
2 1 式中，Jn=J1n=J2n, 当 时， 分界面上的面电荷密度为零。 2 1
第三章 恒定电流的电场和磁场
由
tan 1 1 静电场的折射定理： tan 2 2
I 思路与上前例相同： I J E U G＝ U
解：
构成方程 J E
4 r I E e 2 r 4 r
电磁学03稳恒电流
6.4, 6.8
自学第7章
1
第三章 稳恒电流 (Steady Current)
本章从“场”的角度出发，以电场的规律为 基础，研究电路的基本规律。
一.电流密度（current density）
对细导线用电流强度 (electric current strength)
的概念就够了。对大块导体还需电流密度的概
i Ii Ri (Ub Ua ) Ii、 i 的正方向：
或 Ua Ub Ii Ri i a 沿电路 b
── 一 段含源电路的欧姆定律 20
△ 六.电容器的充电与放电
充电： i U0 et / R
uc U0 (1 et / )
上式对非均匀导体，非稳恒电流也成立。
9
[例1] 一球形导体带电，因周围空气微弱导电而 漏电。设导体初始带电量为Q0，半径为a 空气电导率为γ
求 :漏电规律及任一时刻的漏电电流
解 因导体电阻可不计，认为导体等势； 为似稳场，场强方向和电流都沿球的径向
解法一：在空气中作同心球面
由高斯定理有 E
1 db 1
R
dR
4
a
b2
4a
得 dQ dt
Q
0
下余同解法一
a
12
[例2] 如图示，已知：h >> a 和大地的 。
求：接地电阻R（ Ua ）。
解：
h
a
I j球对称
j
E
I
4 r 2
rˆ
j I
4
r2
rˆ
Ua
自学第7章
1
第三章 稳恒电流 (Steady Current)
本章从“场”的角度出发，以电场的规律为 基础，研究电路的基本规律。
一.电流密度（current density）
对细导线用电流强度 (electric current strength)
的概念就够了。对大块导体还需电流密度的概
i Ii Ri (Ub Ua ) Ii、 i 的正方向：
或 Ua Ub Ii Ri i a 沿电路 b
── 一 段含源电路的欧姆定律 20
△ 六.电容器的充电与放电
充电： i U0 et / R
uc U0 (1 et / )
上式对非均匀导体，非稳恒电流也成立。
9
[例1] 一球形导体带电，因周围空气微弱导电而 漏电。设导体初始带电量为Q0，半径为a 空气电导率为γ
求 :漏电规律及任一时刻的漏电电流
解 因导体电阻可不计，认为导体等势； 为似稳场，场强方向和电流都沿球的径向
解法一：在空气中作同心球面
由高斯定理有 E
1 db 1
R
dR
4
a
b2
4a
得 dQ dt
Q
0
下余同解法一
a
12
[例2] 如图示，已知：h >> a 和大地的 。
求：接地电阻R（ Ua ）。
解：
h
a
I j球对称
j
E
I
4 r 2
rˆ
j I
4
r2
rˆ
Ua
稳恒电流PPT教学课件
主要内容
1. 电流的稳恒条件 2. 欧姆定律的微分形式及物理意义 3. 电动势
§3.1 电流的稳恒条件和导电规律
1.电流强度 电流密度矢量 2.电流的连续方程 稳恒条件 3.欧姆定律 电阻 电阻率 4.电功率 焦耳定律 5.金属导电的经典微观解释
3.1.1 电流强度 电流密度矢量
1. 产生电流的条件有两个： （1）存在可以自由移动的电荷（自由电荷）； （2）存在电场 2. 电流的方向：
u0
的
2
2m
2m
• 和气体分子运动论中一样，电子的平均飞行时间 （即平均 碰撞速率 的倒数）与其平均自由程 和平均热运动速 率 ,有如下关系： 1
•
所以： 因为e,m,
u
u
e
E
2m
(1)
, E 都与电场强度无关，故上式说明了自由电
子的漂移速度 与 成正比。
如图所示，以ΔS为底， uΔt为高作一柱体，则此柱 体内的全部自由电子将在Δt时间间隔内通过ΔS 。因柱体 的体积为uΔtΔS ，故柱体内共有nuΔtΔS个自由电子。 每个电子带电量的绝对值为e，所以在Δt内通过ΔS的电量 为Δq= neuΔtΔS
3.1.5 金属导电的经典微观解释
如果在金属导体中加了电场以后，每个自由电子的轨迹将
逆着电场发生“飘移”。这时可以认为自由电子的总速度是由
它的热运动速度和因电场产生的附加定向速度两部分组成，前 者的矢量平均仍为0，后者的平均叫做漂移速度，下面用 u
来表示它。正是这种宏观上的飘移运动形成了宏观电流。
刺参的人工育苗技术
概述
• 一、国内发展情况及趋势 • 二、价值 • 营养价值 • 药用价值
第一节 刺参生物学及生态学知识
第三章 恒定电场
能转为电能的装置称为电源。
3.2.2 电源电动势 (Source EMF)
图2.2.1 恒定电流的形成
电源电动势是电源本身的特征量，与外电路无关。
局外场强
fe Ee q
f e －局外力
返 回 上 页 下 页
第 三 章
恒定电场
总场强
E Ec Ee
J ( Ec Ee )
电源电动势
三种电流：
传导电流——电荷在导电媒质中的定向运动。 运动电流——带电粒子在真空中的定向运动。 位移电流——随时间变化的电场产生的假想电流。
定义：单位时间内通过某一横截面的电量。
dq I dt
A
返 回 上 页 下 页
第 三 章
恒定电场
3.1.2 电流密度（Current Density)
1. 电流面密度 J 体电荷 以速度 v 作匀速运动形成的电流。 电流密度 电流
J dS 0
S
E dl 0
l
J 0
E 0
构成方程
J E
返 回 上 页 下 页
结论： 恒定电场是无源无旋场。
第 三 章
恒定电场
3.3.2 分界面的衔接条件（Boundary Conditions) 由
E dl 0
l
J dS 0
图2.1.5 J 与 E 之关系
简单证明： 对 J E 两边取面积分
左边 J dS I
S
S U U GU 右边 S E dS S dS l l 返 回 上 页 所以 U RI
下 页
第 三 章
恒定电场
3.1.4 焦尔定律的微分形式 (Differential Form of Joule’s Law) 导体有电流时，必伴随功率损耗，其功率体密度为
第三章：恒定电流.
E1t E2t
1
j1t
2
j2t
在不同导电介质的界面上，恒定电场E切向分量连续
电流线在边界上的“折射”
J法向分量连续， E切向分量连续
2 E2 cos2 1E2 cos1 E2 sin 2 E1 sin 1
tg 2 2 tg1 1
恒定电场的折射定律
二、导电介质与理想电介质界面处的边值关系
U
j E.
U U j S . S l / S l
l l R . S S
j E.
标量，场强E的方向和电流密 度矢量j的方向处处一致
上式给出了j与E的点点对应关系 更适用于表征性质各异的导体材料的特征 适用范围比积分形式大
S
3.4 金属导电的经典电子论
有关金属的第一个理论模型
1900年特鲁德（Paul Drude）提出 把气体分子运动论用于金属，提出了经典的金 属自由电子气体模型
金属自由电子气体模型
晶格（离子实）变化可以忽略 价电子，可以脱出成为独立、自由的电子
金属自由电子气体模型假定
d q内 dt 0,
S
j ds 0 ,
有电流线发自面内，
面内积累负电荷，电荷密度减小。
d q内 dt 0 , j ds 0 ,
S
有电流线止于面内，
面内积累正电荷，电荷密度增加。 d q内 0 , j ds 0 , 电流线连续地穿过， dt S 面内无电荷积累，电荷密度不变。
稳恒电场与静电场的不同之处：
静电场
电荷静止，不激发磁场
静电平衡时导体内部场强为零， E导 体 内 0
1
j1t
2
j2t
在不同导电介质的界面上，恒定电场E切向分量连续
电流线在边界上的“折射”
J法向分量连续， E切向分量连续
2 E2 cos2 1E2 cos1 E2 sin 2 E1 sin 1
tg 2 2 tg1 1
恒定电场的折射定律
二、导电介质与理想电介质界面处的边值关系
U
j E.
U U j S . S l / S l
l l R . S S
j E.
标量，场强E的方向和电流密 度矢量j的方向处处一致
上式给出了j与E的点点对应关系 更适用于表征性质各异的导体材料的特征 适用范围比积分形式大
S
3.4 金属导电的经典电子论
有关金属的第一个理论模型
1900年特鲁德（Paul Drude）提出 把气体分子运动论用于金属，提出了经典的金 属自由电子气体模型
金属自由电子气体模型
晶格（离子实）变化可以忽略 价电子，可以脱出成为独立、自由的电子
金属自由电子气体模型假定
d q内 dt 0,
S
j ds 0 ,
有电流线发自面内，
面内积累负电荷，电荷密度减小。
d q内 dt 0 , j ds 0 ,
S
有电流线止于面内，
面内积累正电荷，电荷密度增加。 d q内 0 , j ds 0 , 电流线连续地穿过， dt S 面内无电荷积累，电荷密度不变。
稳恒电场与静电场的不同之处：
静电场
电荷静止，不激发磁场
静电平衡时导体内部场强为零， E导 体 内 0
工程电磁场--第3章--恒定电场的基本原理
13
E
1
J R J
此式称为欧姆定律的微分形式，是导电媒质 中恒定电场的辅助方程。 若 不随电场强度方向改变而变化，则称导 电媒质为各向同性媒质。 若 不随电场强度和电流密度量值变化，则 称导电媒质为线性媒质。
14
若媒质中 处处相等， 则称导电媒质为均匀 媒质。 许多导电媒质的电导率随温度变化。 如金属导体的电导率 随温度降低而增大， 有些金属或化合物当温度降到某一临界数值 后， ，变为超导体, J E 不再适用。
S
I
d1
1 2
1 2
J1
J2
d2
S
I
36
S
I
d1
1 2
1 2
J1
J2
d2
S
I
37
通过电容器的电流和电流密度分别为
1 2 1 2 I SV0 , J V0 2 d1 1 d 2 2 d1 1 d 2
两种媒质中的电通量密度分别为
1 2 D1 1 E1 J , D2 2 E 2 J 1 2
E
E
31
例 3-2-1 在均匀恒定电流场中，电流密度为 1，沿 x 方向。在 x 从 0 到 1 的区域，媒质的电导率从 1 均匀增加到 2，介质常数保持 0 不变，试求自由电 荷体密度。 解：根据电流连续性，整个区域电流密度不随 x 变化，由 E
1
J ， 1 x ，得
第三章 恒定电场的基本原理
（1）定义电流和电流密度；
（2）电源的电动势和局外电场强度； （3）恒定电场的电流连续性； （4）恒定电场的基本方程； （5）恒定电场的导电媒质分界面条件；
E
1
J R J
此式称为欧姆定律的微分形式，是导电媒质 中恒定电场的辅助方程。 若 不随电场强度方向改变而变化，则称导 电媒质为各向同性媒质。 若 不随电场强度和电流密度量值变化，则 称导电媒质为线性媒质。
14
若媒质中 处处相等， 则称导电媒质为均匀 媒质。 许多导电媒质的电导率随温度变化。 如金属导体的电导率 随温度降低而增大， 有些金属或化合物当温度降到某一临界数值 后， ，变为超导体, J E 不再适用。
S
I
d1
1 2
1 2
J1
J2
d2
S
I
36
S
I
d1
1 2
1 2
J1
J2
d2
S
I
37
通过电容器的电流和电流密度分别为
1 2 1 2 I SV0 , J V0 2 d1 1 d 2 2 d1 1 d 2
两种媒质中的电通量密度分别为
1 2 D1 1 E1 J , D2 2 E 2 J 1 2
E
E
31
例 3-2-1 在均匀恒定电流场中，电流密度为 1，沿 x 方向。在 x 从 0 到 1 的区域，媒质的电导率从 1 均匀增加到 2，介质常数保持 0 不变，试求自由电 荷体密度。 解：根据电流连续性，整个区域电流密度不随 x 变化，由 E
1
J ， 1 x ，得
第三章 恒定电场的基本原理
（1）定义电流和电流密度；
（2）电源的电动势和局外电场强度； （3）恒定电场的电流连续性； （4）恒定电场的基本方程； （5）恒定电场的导电媒质分界面条件；
稳恒电流
第三章 稳恒电流研究问题：讨论导体中稳恒电流的形成及其规律以及直流电路的计算。
电路的基本规律包含两方面的内容，一方面是组成电路的各种元件（电阻和电源等）的伏安特性，另一方面是电路整体的规律，即基尔霍夫定律。
§3.1 稳恒电流的闭合性一、 电流的形成1、电流的形成：大量电荷的定向运动形成电流。
（漂移运动）2、形成电流的条件：（1） 存在可以自由运动的电荷（载流子）。
金属导体中是电子。
酸、碱、盐等电解质溶液中是某种带电微粒，如正、负离子。
半导体中是电子和带正电的空穴。
（2） 存在迫使电荷作定向运动的某种作用。
如机械作用、化学作用、电作用等。
3、电流的效应：热效应、磁效应、化学效应、机械效应等。
这些效应得到广泛的应用，也可以用来检验电流是否存在或量度电流的强弱。
4、说明：（1） 传导电流——金属和电解质导电时，其内部是电中性的，这种电流称之为传导电流；（2） 对流电流——如电子管中的电流（热电子发射，真空中出现大量载流子，在外电场作用下形成电流）。
对流电流在大气现象中起着重要的作用。
整个地球表面和高空大气层间的总电流约为1800A ，这些电流是靠雷雨时的对流电流来补偿的。
二、 电流和电流密度1、电流强度：（1） 定义： tQ I ∆∆= （1A=1C/s ） （2） 意义：描述导线中电流强弱的物理量。
标量，其大小等于单位时间内通过导体内给定截面的电荷量，方向与正电荷运动方向相同。
2、电流密度矢量：（1） 定义： S d j dI ⋅=（2） 意义：细致描述电流分布的物理量。
矢量，其大小等于单位时间内通过垂直于载流子定向运动方向的单位面积的电量，方向为该点正电荷运动的方向。
（3） 微观量表示： u Nq j = （多种载流子情况 i i ii u q N j ∑=）（4） 电流密度和电流强度的关系：一个矢量场和它的通量的关系。
通过任意曲面的电流⎰⎰=⋅=S SdS j S d j I θcos 反映的是单位时间内通过某一曲面的总电量，而电流密度则反映了空间各点电流的分布情况。
chapter3-恒定电场(zhang)
第三章
恒定电场
什么是恒定电场？
静电场：静止电荷产生的电场—静态平衡 恒定电流：
电荷的流动不随时间改变—动态平衡
恒定电场： 维持恒定电流的电场为恒定电场 传导电流—导电煤质中
传导电流是指大量排列在一起的电荷在受到外电场力的作用之下，朝着一个 固定的方向移动，因而实现电能的传导的。 每一个电荷位移十分微小的，仅仅在平衡位置附近运动。但由于电荷排列的 紧密，受力电荷通过与相邻电荷的碰撞，将能量传导给下一个电荷，瞬时传 到很远的地方。
解法二
U
I J dS J 2πrl
r
R2
R1
E
I E J 2πrl I
2π Rl
l
R2 dr I R2 U E dr ln R1 2π lr 2π l R1
I，J，E，P
2
恒定电场的基本性质
2.1 电流连续性方程:
从任一闭合面流出的总电流
(2)电流强度与电流密度的关系: I
S J dS
(3)运动电荷的体电流:已知运动电荷的体密
度v及运动速度v，如果在电流区域某点取一面
元dS垂直于电流方向，则在dt时间内，穿过dS的 电荷为：
dq v vdtdS
则：
J
dI dq / dt v v dS dS
J v v
J E
•
欧姆定律的积分形式只适用于稳恒情况，而欧姆定律的微分形式不仅对
稳恒情况，而且对非稳恒情况也适用。
例3-1：运用欧姆定理的微分形式推导图中均匀导电材料(长度为L,导电率为， 横截面为S)中的电压与电流关系式。 L 解：在导电材料内部，有：J=E，J与E的方向均与电流方向一致。在导体两 端点之间有：
恒定电场
什么是恒定电场？
静电场：静止电荷产生的电场—静态平衡 恒定电流：
电荷的流动不随时间改变—动态平衡
恒定电场： 维持恒定电流的电场为恒定电场 传导电流—导电煤质中
传导电流是指大量排列在一起的电荷在受到外电场力的作用之下，朝着一个 固定的方向移动，因而实现电能的传导的。 每一个电荷位移十分微小的，仅仅在平衡位置附近运动。但由于电荷排列的 紧密，受力电荷通过与相邻电荷的碰撞，将能量传导给下一个电荷，瞬时传 到很远的地方。
解法二
U
I J dS J 2πrl
r
R2
R1
E
I E J 2πrl I
2π Rl
l
R2 dr I R2 U E dr ln R1 2π lr 2π l R1
I，J，E，P
2
恒定电场的基本性质
2.1 电流连续性方程:
从任一闭合面流出的总电流
(2)电流强度与电流密度的关系: I
S J dS
(3)运动电荷的体电流:已知运动电荷的体密
度v及运动速度v，如果在电流区域某点取一面
元dS垂直于电流方向，则在dt时间内，穿过dS的 电荷为：
dq v vdtdS
则：
J
dI dq / dt v v dS dS
J v v
J E
•
欧姆定律的积分形式只适用于稳恒情况，而欧姆定律的微分形式不仅对
稳恒情况，而且对非稳恒情况也适用。
例3-1：运用欧姆定理的微分形式推导图中均匀导电材料(长度为L,导电率为， 横截面为S)中的电压与电流关系式。 L 解：在导电材料内部，有：J=E，J与E的方向均与电流方向一致。在导体两 端点之间有：
工程电磁场 倪光正第3章静态电磁场Ⅱ：恒定电流的电场和磁场
例 3.1 一接地系统
i
2
土壤 J线
1 a
接地体
等位面
[解] 15106 S/m钢
2102 S/m土 壤
1 895950
2 8 0
3.良导体与理想介质 ( 2 0 ) 分界面上的边界条件
1
+
+
+
+
J c1
+
+ E2t + 2 +
2 0 J1n J2n 0
U
E2n E2
E线
E2t
J c1n 0 J c2n 0
2I
R半球
接地器
I
1
a
屏蔽室接地电阻（深度 20 m） 返回 下页
高压大厅网状接地电阻（深度1米）
返回 上页
3.2.3 跨步电压
I
o
a 土壤
~r
E dl
AB
r
r
I
o
a 土壤
~r E dl
r
I dr
rb r 2
I
r
1 b
1 r
r b
bI r2
U 0 (安全电压)
AB r
r
bI
(3) 推广到其他学科，即可籍以用电测法求得非电 量的相似解答。
3.2.2 接地电阻
1.基本概念
接地——将电气设备的某一部分与大地在电气上相联结。 接地器——埋于地中的导体系统 ( 球、棒、网及其组合 ) 。 接地的工程意义：
• 保护性接地 • 工作接地
ⅰ 电子电路中 ⅱ 电力工程中
A
o
B
短路点
第3章 静态电磁场Ⅱ： 恒定电流的电场和磁场