勾股定理单元检测题及参考答案
人教版数学八年级下册第17章 勾股定理 单元习题 含答案
第17章勾股定理一．选择题（共10小题）1．已知Rt△ABC的三边分别为a、b、c，则下列结论不可能成立的是（）A．a2﹣b2＝c2B．∠A﹣∠B＝∠CC．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 D．a：b：c＝7：24：252．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1 B．2018 C．2019 D．20203．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．B．0.8 C．3﹣D．4．如图△ABC中，∠D＝90°，C是BD上一点，已知CB＝9，AB＝17，AD＝8，则DC的长是（）A．8 B．9 C．6 D．155．下列说法中，正确的个数有（）①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为；②直角三角形的最大边长为，最短边长为1，则另一边长为；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A．1个B．2个C．3个D．4个6．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．7．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝BD，AC⊥BD，若AB＝4，AD＝5，则DC的长（）A．7 B．C．D．28．如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25米，高7米的台阶上铺设红地毯，已知台阶的宽为3米，则共需购买（）m2的红地毯．A．21 B．75 C．93 D．969．如图，某同学在做物理实验时，将一支细玻璃棒斜放入了一只盛满水的烧杯中，已知烧杯高8cm，玻璃棒被水淹没部分长10cm，这只烧杯的直径约是（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm10．如图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AC＝12km，BC＝16km，则M，C两点之间的距离为（）A．13km B．12km C．11km D．10km二．填空题（共5小题）11．现有两根木棒的长度分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，其中有一个角为直角，则所需木棒的最短长度为．12．已知一个三角形的三条边的长分别为、和，那么这个三角形的最大内角的大小为度．13．如图所示的网格是正方形网格，△ABC和△CDE的顶点都是网格线交点，那么∠BAC+∠CDE＝°．14．如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝13，BC边上的中线AD＝6，则△ABD的面积是．15．如图，在△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝24，D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，当△ADE为直角三角形时，则AD的长为．三．解答题（共6小题）16．如图，正方形网格的每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点都在格点上．（1）分别求出AB，BC，AC的长；（2）试判断△ABC是什么三角形，并说明理由．17．如图，是一个长8m，宽6m，高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少米．18．如图，A、B两点都与平面镜相距4米，且A、B两点相距6米，一束光线由A射向平面镜反射之后恰巧经过B点，求B点到入射点的距离．19．如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DC．试判断△BEF的形状，并说明理由．20．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）证明：△ABC是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．21．如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P，Q 的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止运动，连接PQ，设它们的运动时间为t（t＞0）秒．（1）设△CBQ的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；（2）线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．参考答案一．选择题（共10小题）1．C．2．D．3．C．4．C．5．D．6．D．7．B．8．C．9．D．10．D．二．填空题（共5小题）11．30cm．12．9013．45°．14．15．15．17．三．解答题（共6小题）16．（1），，；（2）△ABC是直角三角形，理由如下：∵，AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形．17．①将正面和左面展开，过点B向底面作垂线，垂足为点C，则△ABC为直角三角形，∵AC＝×8+×6＝8m，BC＝5m，∴AB＝＝＝m．故壁虎爬到蚊子处的最短距离为m．②将正面和上面展开，则A到B的水平距离为6m，垂直距离为7m，此时的最短距离为m③将下面和右面展开，则A到B的水平距离为11m，垂直距离为2m，此时的最短距离为5m．综上所述，壁虎爬到蚊子处的最短距离为米．18．作出B点关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点O，则O点就是光的入射点．因为B′D＝DB，所以B′D＝AC，∠B′DO＝∠OCA＝90°，∠B′＝∠CAO，所以△B′DO≌△ACO（ASA），则OC＝OD＝AB＝×6＝3米．连接OB．在Rt△ODB中，OD2+BD2＝OB2，所以OB2＝32+42＝52，即OB＝5（米），所以点B到入射点的距离为5米．19．【解答】证明：设正方形ABCD的边长为4x，∵E是边AD的中点，点F在边DC上，且DF＝DC，∴AE＝DE＝2x，DF＝x，CF＝3x，∴在Rt△EDF中，EF2＝ED2+DF2＝x2+（2x）2＝5x2；在Rt△AEB中，EB2＝EA2+AB2＝（2x）2+（4x）2＝20x2；在Rt△BCF中，BF2＝BC2+CF2＝（4x）2+（3x）2＝25x2；∴EF2+BE2＝BF2，∴△BEF是直角三角形．20．【解答】（1）证明：∵在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，∴AC2＝AD2+CD2＝82+62＝100，∴AC＝10（取正值）．在△ABC中，∵AC2+BC2＝102+242＝676，AB2＝262＝676，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为直角三角形；（2）解：S阴影＝S Rt△ABC﹣S Rt△ACD＝×10×24﹣×8×6＝96．21．（1）如图1，当0＜t≤3时，BQ＝t，BC＝4，∴S＝×4×t＝2t；如图2，当3＜t≤5时，，AQ＝t﹣3，则BQ＝3﹣（t﹣3）＝6﹣t，∴S＝×4×（6﹣t）＝12﹣2t；（2）连接CQ，如图3，∵QP的垂直平分线过点C，∴CP＝CQ，∵AB＝3，BC＝4，∴AC＝＝＝5，∴42+t2＝（5﹣t）2，解得t＝；或42+（6﹣t）2＝（5﹣t）2，显然不成立；∴AQ＝3﹣＝．。
勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题及答案一、选择题1. 勾股定理适用于（）A. 任意三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 锐角三角形答案：B2. 在直角三角形中，如果两直角边的长度分别为3和4，那么斜边的长度是（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A3. 如果一个三角形的三边长分别为a、b、c，且a²+b²=c²，那么这个三角形是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定答案：B二、填空题4. 在直角三角形中，如果一个锐角为30°，那么另一个锐角为______。
答案：60°5. 如果一个直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，那么另一条直角边长为______。
答案：8三、计算题6. 已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，求斜边的长度。
答案：斜边长度为13，因为5² + 12² = 25 + 144 = 169，所以斜边长度为√169 = 13。
7. 一个直角三角形的斜边长为17，一条直角边长为8，求另一条直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为15，因为17² - 8² = 289 - 64 = 225，所以另一条直角边的长度为√225 = 15。
四、应用题8. 一个梯子的顶端靠在垂直的墙上，梯子的底部距离墙3米。
如果梯子与地面和墙形成一个直角三角形，且梯子的长度为5米，那么梯子的顶端距离地面的高度是多少？答案：梯子顶端距离地面的高度为4米。
根据勾股定理，3² +高度² = 5²，即9 + 高度² = 25，所以高度² = 16，高度= √16 = 4米。
9. 一个长方形的长和宽分别为6米和4米，求这个长方形的对角线长度。
答案：对角线长度为√(6² + 4²) = √(36 + 16) = √52 ≈ 7.21米。
五、证明题10. 证明：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理测试题及答案
勾股定理测试题及答案一、选择题1. 勾股定理适用于以下哪个几何形状？A. 三角形B. 矩形C. 圆形D. 正方形答案：A2. 在直角三角形中，斜边的长度与两直角边的关系是？A. 斜边长度等于两直角边长度之和B. 斜边长度等于两直角边长度之差C. 斜边长度等于两直角边长度的平方和的平方根D. 斜边长度等于两直角边长度的平方和的平方根的倒数答案：C二、填空题1. 在一个直角三角形中，如果两条直角边的长度分别是3和4，那么斜边的长度是______。
答案：52. 已知直角三角形的一条直角边长为6，斜边长为10，则另一条直角边的长度是______。
答案：8三、解答题1. 一个直角三角形的两条直角边长分别为9cm和12cm，求斜边的长度。
答案：斜边的长度为\( \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} =\sqrt{225} = 15 \)cm。
2. 一个直角三角形的斜边长为13cm，其中一条直角边长为5cm，求另一条直角边的长度。
答案：另一条直角边的长度为\( \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \)cm。
四、证明题1. 证明：如果一个三角形的三边长满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
答案：设三角形的三边长分别为a、b和c，其中c为最长边。
根据勾股定理，如果三角形是直角三角形，那么满足a²+b²=c²。
反之，如果a²+b²=c²，那么可以构造一个直角三角形，其中直角边长分别为a和b，斜边长为c。
因此，如果一个三角形的三边长满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
第十七章《勾股定理》单元同步检测试题及答案
第十七章《勾股定理》单元检测题题号 一 二 三总分 19 20 21 22 23 24分数一、选择题(每小题3分，共30分)1.分别以下列五组数为一个三角形的边长：①6，8，10；②13，5，12 ③1，2，3；④9，40，41；⑤321，421，521.其中能构成直角三角形的有（ ）组 A.2B.3C.4D.52.已知△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠C ，则它的三条边之比为（ ） A.1∶1∶2 B.1∶3∶2 C.1∶2∶3 D.1∶4∶1 3．如图所示，数轴上点A 所表示的数为a ，则a 的值是( )A .5＋1B ．－5＋1C .5－1D . 54.已知四个三角形分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角度数之比为3∶4∶5；③三边长分别为7，24，25；④三边长之比为5∶12:13.其中直角三角形有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5.放学以后，萍萍和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若萍萍和晓晓行走的速度都是40米/分，萍萍用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，萍萍家和晓晓家的距离为（ ）A.600米B.800米C.1000米D.不能确定6.如图1所示，要在离地面5•米处引拉线固定电线杆，使拉线和地面成60°角，若要考虑既要符合设计要求，又要节省材料，则在库存的L 1＝5.2米，L 2＝6.2米，L 3＝7.8米，L 4＝10米四种备用拉线材料中，拉线AC 最好选用（ ） A.L 1 B.L 2 C.L 3 D.L 47．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m 的B 处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 的A 处，则旗杆折断部分AB 的高度是（ ） A ．5mB ．12mC ．13mD ．18m7题图 8题图8．如图，P 为等腰△ABC 内一点，过点P 分别作三条边BC 、CA 、AB 的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，已知AB=AC =10，BC =12，且PD ︰PE ︰PF =1︰3︰3，则AP 的长为（ ） A ．43B ．203C ．7D ．89．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝40，CB ＝9，M ，N 在AB 上且AM ＝AC ，BN ＝BC ，则MN 的长为( )[来源:]A ．6B ．7C ．8D ．910．已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距( )A ．25海里B ．30海里C ．35海里D ．40海里二、填空题(每小题4分，共24分)5m BCAD图111．如果梯子的底端离建筑物，那么长的梯子可以到达建筑物的高度是．12.如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为____________ m.13．如图，三个正方形的面积分别为S1＝3，S2＝2，S3＝1，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，∠1＋∠2＝____________度．14．一个直角三角形的两边长分别为5 cm，12 cm，则这个直角三角形的第三边长为____________．15．如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为____________．16．如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为20，3，2，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是____________．17．如图，有一个长为50cm，宽为30cm，高为40cm的长方体木箱，一根长70cm 的木棍________放入(填“能”或“不能”)．18．如图，从点A(0，2)发出的一束光，经x轴反射，过点B(4，3)，则这束光从点A到点B所经过路径的长为_______.三、解答题(共46分)19．(6分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5.(1)求△ABC的周长；(2)判断△ABC是否是直角三角形．20．(8分)如图，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东60°方向行了100 3 km到达B点，然后再沿北偏西30°方向行了100 km到达目的地C点，求出A，C两点之间的距离．21.(8分)如图，△ABC中，AB＝AC，D是AC边上的一点，CD＝1，BC＝5，BD ＝2.（1）求证：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的面积．22．(8分)甲、乙两位探险者今年到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源，为了不至于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为12千米．如图，早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进．上午10：00，甲步行到A，乙步行到B，问甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？23．(8分)如图，某中学有一块四边形的空地ABCD，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m.若每平方米草皮需要200元，问学校需要投入多少资金购买草皮？24．(8分)如图所示，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？参考答案一.选择题:题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C C B C B C C二.填空题:11．12.480 13.90 14.13 cm或119 cm9216.25 17.能 1841三.解答题:19.解：(1)∵AD⊥BC，∴△ABD和△ACD均为直角三角形．∴AB2＝AD2＋BD2，AC2＝AD2＋CD2.又∵AD＝12，BD＝16，CD＝5，∴AB＝20，AC＝13.∴△ABC的周长为20＋13＋16＋5＝54.(2)由(1)知AB＝20，AC＝13，BC＝21，∵AB2＋AC2＝202＋132＝569，BC2＝212＝441，∴AB2＋AC2≠BC2.∴△ABC不是直角三角形．20．解：∵AD∥BE，∴∠ABE＝∠DAB＝60°.又∵∠CBF＝30°，∴∠ABC＝180°－∠ABE－∠CBF＝180°－60°－30°＝90°.在Rt△ABC中，AB＝1003km，BC＝100 km，∴AC＝AB2＋BC2＝（1003）2＋1002＝200(km)，∴A，C两点之间的距离为200 km.21．（1）证明：∵CD＝1，BC＝5，BD＝2，∴CD2＋BD2＝BC2.∴△BDC是直角三角形．（2）设AB＝AC＝x，在Rt△ADB中，∵AB2＝AD2＋BD2，∴x2＝（x－1）2＋22.解得x＝52.∴AC＝52.∴S△ABC＝12AC·BD＝12×52×2＝52.22．解：∵早晨8：00甲先出发，他以4千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以6千米/时的速度向北行进，∴上午10：00时，OA＝8千米，OB＝6千米，(3分)∴AB＝82＋62＝10(千米)＜12千米，(6分)∴甲、乙二人相距10千米，还能保持联系．(8分)23．解：如图，连接BD.(1分)∵∠A＝90°，AB＝3m，AD＝4m，∴在Rt△ABD 中，由勾股定理得BD2＝AB2＋AD2＝32＋42＝52，即BD＝5m.在△CBD中，CD2＝132，BC2＝122，BD2＝52，∵122＋52＝132，即BC2＋BD2＝CD2，∴∠DBC＝90°.(5分)故S四边形ABCD ＝S△BAD＋S△DBC＝12·AD·AB＋12DB·BC＝12×4×3＋12×5×12＝36(m2)．(7分)∴学校需投入的资金为36×200＝7200(元)．(9分)答：学校需要投入7200元购买草皮．(10分)24．解：根据题意，得PQ＝16×1.5＝24（海里），PR＝12×1.5＝18（海里），QR＝30（海里），∵242+182＝302，即PQ2+PR2＝QR2，∴∠QPR＝90°．由“远航号”沿东北方向航行可知，∠QPS＝45°，则∠SPR＝45°，即“海天”号沿西北方向航行．。
第一章 勾股定理单元测试题(含答案)
第一章 勾股定理单元测试题一、认真填一填 —— 要相信自己．1．如图1,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．S S S 321图1 图22．如果梯子的底端离建筑物5m ，那么13m 的消防梯可达建筑物的高度为 3．在△ABC 中，∠C =900， ∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若c =10，a ﹕b =3﹕4，则a =____，b =_____． （2）若a =b ，c 2=m ，则a 2=______. （3）若c =61，a =60，则b =______.4．将直角三角形的各边扩大相同的倍数，则得到的三角形一定是_______三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）．5．在Rt △ABC 中，AC =8，在△ABE 中，DE 为AB 边上的高，DE =12，S △ABE =60，则BC 长为_______．6．小明把一根70cm 长的木棒放到一个长、宽、高分别为30cm 、40cm 、50cm 的木箱中，他能放进去吗？答： .（填“能”、或“不能”）7．如图2，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为8．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm 现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上， 且与AE 重合，则CD 的长为.E DA9．观察下列表格：请你结合该表格及相关知识，求出b 、c 的值.即b = ，c =10．如图所示，将长方形ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 上F 点处，已知CE ＝3厘米，AB ＝8厘米，则图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿平方厘米．二、细心选一选 —— 要认真考虑．11. 一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形一定是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．以上答案都不对12. 满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是（ ）A ．222b c a =- B ．a ∶b ∶c=3∶4∶5 C ．∠C=∠A －∠B D ．∠A ∶∠B ∶∠C=12∶13∶15 13．下面说法正确的是（ ） A ．在Rt △ABC 中，a 2+b 2=c 2B ．在Rt △ABC 中，a =3，b =4，那么c =5 C ．直角三角形两直角边都是5，那么斜边长为10D ．直角三角形中，斜边最长14．如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( ) A.1倍 B. 2倍 C. 3倍 D. 4倍15．有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（ ）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,12 16. 如图所示，在△ABC 中，三边a,b,c 的大小关系是（ ）A.a ＜b ＜cB. c ＜a ＜bC. c ＜b ＜aD. b ＜a ＜c17．△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ） A ．42 B ．32 C ．42 或 32 D ．37 或 3318．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）715242520715202425157252024257202415(A)(B)(C)(D)A B C D三、精心做一做 —— 要注意审题（共47分）19．一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm ，高为12cm ，吸管放进杯里（如图所示），杯口外面至少要露出4.6cm ，问吸管要做多长？20.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，任意连结这些小正方形的顶点，可得到一些线段.请在图中画出2AB =2、2CD =5、2EF =13这样的线段，并选择其中的一个说明这样画的道理.21．在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树直向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？22．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km /h .如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？观测点23．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？24．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直至算法统宗》里由一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”参考答案1．169 ;2．12米；3．（1）．6，8； （2）．2m； （3）．11； 4. 直角；5. 6；6．能；7. 49；8. CD =3cm ． 提示：由题可知CD =DE ，AC =AE ，设CD =x cm ，在Rt △BDE 中，有42+ x 2= 8－x ．2，解得x =3． 9. 85，86；10．30；11．B ； 12．D ； 13. D ； 14．B ； 15．C ； 16.D ； 17．D ； 18．C ； 19. 解：设吸管长x cm ，由勾股定理得：（x －4.6）2=122+（2.5×2）2，解得x =17.6，即吸管要做17.6cm 长． 20.画图略，结合勾股定理说明．21．分析 为了求解问题，将这个实际问题转化为数学问题，于是，根据题意画出图形，将问题转化到在直角三角形中来，从而可以运用勾股定理构建方程求解. 解 如图1，D 为树顶，AB ＝10ｍ，C 为池塘，AC ＝20 m ，设BD 的长是x m ，则树高(x ＋10)m.因为AC +AB ＝BD +DC ，所以DC ＝20+10－x ，在△ACD 中，∠A ＝90°，所以AC 2+AD 2＝DC 2.故202+(x ＋10)2＝(30－x )2，解得x ＝5.所以x ＋10＝15，即树高15米.说明 勾股定理的本身就是数形结合的体现，求解时它又与方程紧密相联.22．在Rt △ABC 中：BC 2＝225030 ＝1600，∴BC ＝40,小汽车速度＝40÷2＝20米/秒＝72千米/时>70千米/时. ∴这辆小汽车超速了23．解：如图，甲从上午8：00到上午10：00一共走了2小时，走了12千米，即OA =12．乙从上午9：00到上午10：00一共走了1小时，图1B走了5千米，即OB =5．在Rt △OAB 中，AB 2=122十52＝169，∴AB =13， 因此，上午10：00时，甲、乙两人相距13千米．∵15＞13， ∴甲、乙两人还能保持联系．答：上午10：00甲、乙两人相距13千米，两人还能保持联系． 24．分析 诗的意思告诉我们：当秋千静止在地上时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这是秋千的绳索是呈直线状态，要求这个秋千的绳索有多长？要解决这个古诗中的问题，我们可以先画出图形，再运用勾股定理求解.解 如图1，不妨设图中的OA 为秋千的绳索，CD 为地平面，BC 为身高5尺的人，AE 为两步，即相当于10尺的距离，A 处有一块踏板，EC 为踏板离地的距离，它等于一尺.设OA ＝x ，即OB ＝OA ＝x ，F A ＝BE ＝BC －EC ＝5－1＝4尺，BF ＝EA ＝10尺.在Rt △OBF 中，由勾股定理，得OB 2＝OF 2+BF 2，即x 2＝(x －4)2+102， 解这个方程，得x ＝14.5（尺） 所以这个秋千的绳索长度为14.5尺.图2F OD ECB A。
人教版数学八年级下第十七章《勾股定理》单元检测题含答案
1 / 6《勾股定理》单元检测题一、选择题（每小题只有一个正确答案）1．设直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，斜边长为c ，已知1213b c ==，，则a=( )A. 1B. 5C. 10D. 252．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（ ）A. 15817a b c ===，，B. 91215a b c ===，，C. 72425a b c ===，，D. 357a b c ===，，3．一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为（ ）A. 10B. 12C. 24D. 484．如图，有一个由传感器控制的灯A 装在门上方离地高4.5 m 的墙上，任何东西只要移至距该灯5 m 及5 m 以内时，灯就会自动发光，请问一个身高1.5 m 的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（ ）A. 4 mB. 3 mC. 5 mD. 7 m5．下列选项中，不能用来证明勾股定理的是( )A. B. C. D.6．若直角三角形的三边长分别为a b -、a 、a b +，且a 、b 都是正整数，则三角形其中一边的长可能为（ ）A. 22B. 32C. 62D. 827．如图，△ABC 中，AC =3，BC = 5，AD ⊥BC 交BC 于点D ，AD =125，延长BC 至E 使得CE =BC ，将△ABC 沿AC 翻折得到△AFC ，连接EF ，则线段EF 的长为（ ）A. 6B. 8C. 325D. 3238．如图,点P 是平面坐标系中一点,则点P 到原点的距离是（ ）A. 3B. 2C. 7D. 59．如图，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm 2 ，则该半圆的半径为（）A. (4+5)cmB. 9cmC. 45cm D. 62cm10．如图，长方体的底面边长分别为2cm和3cm，高为6cm. 如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要， ，A. 11cm 34 C. (8＋10)cm D. (7＋5二、填空题11．一个直角三角形的两条直角边长为6和8，则它的斜边上的高是________．12．如图所示,一段楼梯,高BC是3 m,斜边AC是5 m,如果在楼梯上铺地毯,那么至少需要地毯________.13．如图，在东西走向的铁路上有A，B两站（视为直线上的两点）相距36千米，在A，B 的正北分别有C，D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米，现要在铁路AB上建一个蔬菜加工厂E，使蔬菜基地C，D到E的距离相等，则E站应建在距A站_____千米的地方．14．如图，在Rt△ABC中，∠BCA，90°，点D是BC上一点，AD，BD，若AB，8，BD，5，则CD，________，3 / 615．如图，点A 、B 、O 是单位为1的正方形网格上的三个格点，⊙O 的半径为OA ，点P 是优弧AmB 的中点，则△APB 的面积为_______．三、解答题16．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝1，CD 3，DA ＝1，且∠B ＝90°.求：(1)∠BAD 的度数；(2)四边形ABCD 的面积(结果保留根号)，17．如图是“赵爽弦图”，其中ABH 、BCG 、CDF 和DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，根据这个图形的面积关系，可以证明勾股定理.设AD c AE a DE b ===，，，取102c a b =-=，． ()1正方形EFGH 的面积为______，四个直角三角形的面积和为______；()2求2()a b +的值．18．如图，甲、乙两船从港口A 同时出发，甲船以30海里/时的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/时的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C，B 两岛相距100海里，则乙船航行的方向是南偏东多少度？19．如图，一架长2.5m 的梯子AB 斜靠在墙AC 上，，C =90°，此时，梯子的底端B 离墙底C 的距离BC 为0.7m ．（1）求此时梯子的顶端A 距地面的高度AC ；（2）如果梯子的顶端A 下滑了0.9m ，那么梯子的顶端B 在水平方向上向右滑动了多远？1 / 6参考答案1．B2．D3．B4．A5．D6．B7．A8．A9．C10．B11．4.812．7m13．1214．1.415212+16．（1）135°；（2122+解析：（1）∵AB=BC=1，且∠B=90°，∴∠BAC=45°，22=2AB BC +， 而3DA=1，∴CD 2=AD 2+AC 2，∴△ACD 是直角三角形，即∠DAC=90°，∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=135°；（2）∵S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD ，而S △ABC =12AB×BC=12， S △ACD =12AD×22， ∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12+12（）17．4；96解：（1）∵HE =a ﹣b =2，∴S 正方形EFGH =HE 2=4．∵AD =c =10，∴S 正方形ABCD =AD 2=100，∴四个直角三角形的面积和=S 正方形ABCD ﹣S 正方形EFGH =100﹣4=96．故答案为：4；96；（2）由（1）可知四个直角三角形的面积和为96，∴4×12ab =96，解得：2ab =96．∵a 2+b 2=c 2=100，∴（a +b ）2=a 2+b 2+2ab =100+96=196．18．乙船航行的方向为南偏东55°.解析：由题意可知，在△ABC 中，AC ＝30×2=60，AB ＝40×2=80，BC ＝100，∴AC 2=3600，AB 2=6400，BC 2=10000，∴AC 2＋AB 2＝BC 2，∴∠CAB ＝90°，又∵∠EAD=180°，∠EAC=35°，∴∠DAB ＝90°－∠CAE ＝90°－35°＝55°，∴乙船航行的方向为南偏东55°.19．（1）此时梯顶A 距地面的高度AC 是2.4米；（2）梯子的底端B 在水平方向滑动了1.3m ．解析：（1）∵∠C=90°，AB=2.5，BC=0.7∴22AB BC -222.50.7-（米）， 答：此时梯顶A 距地面的高度AC 是2.4米；（2）∵梯子的顶端A 下滑了0.9米至点A′，∴A′C=AC﹣A′A=2.4﹣0.9=1.5（m ），在Rt△A′CB′中，由勾股定理得：A′C 2+B′C 2=A′B′2，即1.52+B′C 2=2.52，∴B′C=2（m ）∴BB′=CB′﹣BC=2﹣0.7=1.3（m ），答：梯子的底端B 在水平方向滑动了1.3m ．。
第一章 勾股定理单元测试卷（含答案与解析）
【新北师大版八年级数学（上）单元测试卷】第一章《勾股定理》（含答案与解析）班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________一.选择题：（每小题3分，共36分）1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）A．100 B．28 C．14 D．28或1002.下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形 B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形 D．三个角度之比为1：1：2的三角形3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25 C．斜边长为25 D．三角形的面积为204.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形5.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：256.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米 B．800米 C．1000米 D．不能确定7.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算9.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2 B．a2+c2=b2 C．b2+c2=a2 D．以上关系都有可能10.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．5111.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米 B．10米 C．12米 D．14米12.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定二、填空题：（每小题3分，共12分）13．如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为．（2）斜边x= ．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形．15.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= ．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= ．三.解答题：（共52分）17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求：（1）△ABC的周长；18.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．19.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．20.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．21.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B 距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）22.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．23.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．含答案与解析一.选择题：（每小题3分，共36分）1．已知一个直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长的平方是（）A．100 B．28 C．14 D．28或100【分析】根据已知题意，求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解即可．【解答】解：（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82=x2，解得：x2=100；（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2=82，解得x2=28．故选：D．2.下列说法不能得到直角三角形的（）A．三个角度之比为1：2：3的三角形B．三个边长之比为3：4：5的三角形C．三个边长之比为8：16：17的三角形D．三个角度之比为1：1：2的三角形【分析】A、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状；B、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；C、根据比值并结合勾股定理的逆定理即可判断出三角形的形状；D、根据角的比值求出各角的度数，便可判断出三角形的形状．【解答】解：A、最大角=180°×=90°，故为直角三角形；B、32+42=52，故为直角三角形；C、82+162≠172，故不为直角三角形；D、最大角=180°×=90°，故为直角三角形．故选：C．3.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（）A．斜边长为5 B．三角形的周长为25【分析】利用勾股定理求出后直接选取答案．【解答】解：两直角边长分别为3和4，∴斜边==5；故选A．4.△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一个角为90°，②利用勾股定理的逆定理．【解答】解：A、根据三角形内角和定理，可求出角C为90度，故正确；B、解得应为∠B=90度，故错误；C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．故选B．5.若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4 B．3：4：6 C．4：6：7 D．7：24：25【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方．【解答】解：A、因为22+32≠42，所以不能组成直角三角形，故选项错误；B、因为32+42≠62，所以不能组成直角三角形，故选项错误；C、因为42+62≠72，所以不能组成直角三角形，故选项错误；D、因为72+242=252，所以能组成直角三角形，故选项正确；故选D．6.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（）A．600米B．800米C．1000米D．不能确定【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，OA=40×20=800m．OB=40×15=600m．在直角△OAB中，AB=1000米．故选C．7.已知一直角三角形的木版，三边的平方和为1800cm2，则斜边长为（）A．80cm B．30cm C．90cm D．120cm【分析】设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理及已知不难求得斜边的长．【解答】解：设此直角三角形的斜边是c，根据勾股定理知，两条直角边的平方和等于斜边的平方．所以三边的平方和即2c2=1800，c=±30（负值舍去），取c=30．故选B．8.在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算【分析】利用勾股定理将AB2+AC2转化为BC2，再求值．【解答】解：∵Rt△ABC中，BC为斜边，∴AB2+AC2=BC2，∴AB2+AC2+BC2=2BC2=2×32=18．故选A．9.在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，则下列关系正确的是（）A．a2+b2=c2B．a2+c2=b2C．b2+c2=a2D．以上关系都有可能【分析】根据勾股定理，分∠C是直角，∠B是直角，∠A是直角，三种情况讨论可得a，b，c之间的关系．【解答】解：在Rt△ABC中，a，b，c为△ABC三边长，∠C是直角，则有a2+b2=c2；∠A是直角，则有b2+c2=a2．故选：D．10.如图，带阴影的矩形面积是（）平方厘米．A．9 B．24 C．45 D．51【分析】根据勾股定理先求出直角边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．【解答】解：∵ =15厘米，∴带阴影的矩形面积=15×3=45平方厘米．故选C．11.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：如图，设大树高为AB=10m，小树高为CD=4m，过C点作CE⊥AB于E，则EBDC是矩形，连接AC，∴EB=4m，EC=8m，AE=AB﹣EB=10﹣4=6m，在Rt△AEC中，AC==10m，故选B．12.如图所示，一圆柱高8cm，底面半径为2cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程（π取3）是（）A．20cm B．10cm C．14cm D．无法确定【分析】先将图形展开，根据两点之间，线段最短，利用根据勾股定理即可得出结论．【解答】解：如图所示：沿AC将圆柱的侧面展开，∵底面半径为2cm，∴BC==2π≈6cm，在Rt△ABC中，∵AC=8cm，BC=6cm，∴AB===10cm．故选：B．二、填空题：（每小题3分，共12分）13．如图（1）、（2）中，（1）正方形A的面积为．（2）斜边x= ．【分析】（1）由勾股定理可求出正方形A的边长的平方，而正方形的面积=边长×边长，正好为所求出的值．（2）由勾股定理可得：斜边的平方=两直角边的平方和，将两直角边代入即可求出x的值．【解答】解：（1）设A的边长为a，如图（1）所示：在该直角三角形中，由勾股定理可得：所以正方形A的面积为a2=36．（2）如图（2）所示：在该直角三角形中，由勾股定理可得：x2=52+122，所以，斜边x=13．14.四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，任选三根组成三角形，其中有个直角三角形．【分析】要组成三角形，由三角形的边长关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据直角三角形的性质，两个直角边的平方和等于斜边的平方，从四个数中可以得出5cm、12cm、13cm可以满足要求，其中5cm、12cm为直角边，13cm为斜边．【解答】解：∵四根小木棒的长分别为5cm，8cm，12cm，13cm，∴可以组成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．要组成直角三角形，根据勾股定理两边的平方和等于第三边的平方，则只有5cm、12cm、13cm的一组．∴有1个直角三角形．15.已知a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，则S△ABC= 24 ．【分析】直接利用勾股定理结合已知得出关于b的等式，进而求出答案．【解答】解：∵a，b，c分别是Rt△ABC的两条直角边长和斜边长，且a+b=14，c=10，∴a=14﹣b，则（14﹣b）2+b2=c2，故（14﹣b）2+b2=102，解得：b1=6，b2=8，则a1=8，a2=6，即S△ABC=ab=×6×8=24．故答案为：24．16.在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4= 4 ．【分析】运用勾股定理可知，每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积，据此即可解答．【解答】解：观察发现，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为：4．三.解答题：（共52分）17.如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD=12，BD=16，CD=5．求：（1）△ABC的周长；（2）判断△ABC是否是直角三角形？为什么？【分析】（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，先根据勾股定理求出AB和AC的长，继而即可求出△ABC 的周长；（2）根据勾股定理的逆定理，看△ABC的三边是否符合勾股定理，即可判断出△ABC是否是直角三角形．【解答】解：（1）在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理得：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2，又AD=12，BD=16，CD=5，∴AB=20，AC=13，△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BD+DC=20+13+16+5=54．（2）∵AB=20，AC=13，BC=21，AB2+AC2≠BC2，∴△ABC不是直角三角形．18.如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，小强同学测量出BC=1m，NC= m，BN=m，AC=4.5m，MC=6m，求MA的长．【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△BCN的形状，再由勾股定理即可得出结论．【解答】解：∵BC=1m，NC= m，BN=m，∴BC2=1，NC2=，BN2=，∴BC2+NC2=BN2，∴AC⊥MC．在Rt△ACM中，∵AC=4.5m，MC=6m，MA2=AC2+CM2=56.25，∴MA=7.5 m．19.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m 后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高．【解答】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2∴x2+52=（x+1）2解得x=12∴AB=12∴旗杆的高12m．20.如图，对任意符合条件的直角三角形BAC，绕其锐角顶点逆时针旋转90°得△DAE，所以∠BAE=90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE面积相等，而四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，根据图形写出一种证明勾股定理的方法．【分析】证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，化简整理得到勾股定理．【解答】解：由图可得：正方形ACFD的面积=四边形ABFE的面积=Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和，即S正方形ACFD=S△BAE+S△BFE，∴b2=c2+，整理得：a2+b2=c2．21.有一只蚂蚁要从一个圆柱形玻璃杯的点A爬到与A相对的点B处，如图，已知杯子高8cm，点B 距杯口3cm，杯子底面半径为4cm．蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为多少？（π取3）【分析】从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，再由勾股定理进行解答即可．【解答】解：从点A处竖直向上剪开，此圆柱体的侧面展开图如图，其中AC为圆柱体的底面周长，则AC=2πr≈2×3×4=24（cm），则E′B=E′D′=AC=×24=12（cm）．又∵EA=8cm，EE′=3cm，∴AE′=EA﹣EE′=8﹣3=5（cm）．在Rt△ABE′中，AB2=AE′2+E′B2=52+122=132，∴AB=13（cm），∵两点之间，线段最短，∴蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为13cm．22.如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC=10厘米，AB=8厘米．（1）求BF与FC的长．（2）求EC的长．【分析】（1）由图形翻折变换的性质可知，AD=AF=10，在Rt△ABF中利用勾股定理即可求解BF，再由BC=12厘米可得出FC的长度；（2）将CE的长设为x，得出DE=10﹣x=EF，在Rt△CEF中，根据勾股定理列出方程求解即可．【解答】解：（1）∵△ADE折叠后的图形是△AFE，∴AD=AF，∠D=∠AFE，DE=EF．∵AD=BC=10cm，∴AF=AD=10cm．又∵AB=8cm，在Rt△ABF中，根据勾股定理，得AB2+BF2=AF2∴82+BF2=102，∴BF=6cm，∴FC=BC﹣BF=10﹣6=4cm．（2）设EC的长为xcm，则DE=（8﹣x）cm．在Rt△EFC中，根据勾股定理，得：FC2+EC2=EF2，∴42+x2=（8﹣x）2，即16+x2=64﹣16x+x2，化简，得16x=48，∴x=3，故EC的长为3cm．23.如图，有两条公路OM、ON相交成30°角，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A．当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．（1）求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．【分析】（1）直接利用直角三角形中30°所对的边等于斜边的一半求出即可；（2）根据题意可知，图中AB=50m，AD⊥BC，且BD=CD，∠AOD=30°，OA=80m；再利用垂径定理及勾股定理解答即可．【解答】解：（1）过点A作AD⊥ON于点D，∵∠NOM=30°，AO=80m，∴AD=40m，即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；（2）由图可知：以50m为半径画圆，分别交ON于B，C两点，AD⊥BC，BD=CD=BC，OA=80m，∵在Rt△AOD中，∠AOB=30°，∴AD=OA=×80=40m，在Rt△ABD中，AB=50，AD=40，由勾股定理得：BD=30m，故BC=2×30=60米，即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响．∵重型运输卡车的速度为18千米/小时，即=300米/分钟，∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300=0.2（分钟）=12（秒）．答：卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．。
人教版八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测卷及答案解析
八年级数学下册第17章《勾股定理》单元检测卷分值：120分时间：90分钟一、选择题.（本大题共12道小题，共36分）1．下列线段能组成直角三角形的一组是（）A ．1，2，2B ．3，4，5C ，2D ．5，6，72．△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，下列命题中的假命题是（）A ．如果∠C －∠B ＝∠A ，则△ABC 是直角三角形B ．如果222c b a =-，则△ABC 是直角三角形，且∠C ＝90°C ．如果2()()c a c a b +-=，则△ABC 是直角三角形D ．如果∠A ∶∠B ∶∠C ＝5∶2∶3，则△ABC 是直角三角形3．如图，小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O ，在数轴上找到表示数2的点A ，然后过点A 作AB ⊥OA ，使AB ＝3(如图).以O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴正半轴于点，则点所表示的数介于（）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间4．如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是（）A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米5．若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足222()()0a b a b c -+-=，则△ABC 是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形6．如图，将一根长厘米的筷子置于底面直径为6厘米，高为8厘米的圆柱形杯子中，则筷子露在杯子外面的长度至少为（）厘米．A．1B．2C．3D．47．我市在旧城改造中，需要在一块如图所示的三角形空地上铺设草坪，如果每平方米草坪的价格为x元，则购买草坪需要的花费大概是（）提示：2≈1.414，3≈1.732A．150x元B．300x元C．130x元D．260x元8．等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（）A．10B．310C．10或310D．4或3109．如图所示，长方形ABCD中，点E在边AB上，将长方形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD＝5，DC＝3，则BF的长是（）A．1B．2C．3D．410．小明想知道学校旗杆的高度，她发现旗杆上的绳子刚好垂到地面，当她把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端距离地面1米，则旗杆的高是（）A．8米B．10米C．12米D．13米11．如图，圆柱的底面周长是14cm，圆柱高为24cm，一只蚂蚁如果要沿着圆柱的表面从下底面点A爬到与之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为（）A．14cm B．15cm C．24cm D．25cm12．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书周髀算经中就有“若勾三、股四、则弦五”的记载。
八下数学第17章《勾股定理》单元测试卷(附答案)
八下数学第17章《勾股定理》单元测试一、选择题(共10小题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，152.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.纯角三角形D.等腰直角三角形3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点(即网格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.44.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.75.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.156.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10寸)，双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)AB为()A.100寸B.101寸C.102寸D.103寸7.2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生.爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度.将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为()A.10mB.11mC.12mD.13m8.如图，笑笑将一张A4纸(A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了一个角，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒10.如图，小明(视为小黑点)站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B.那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是()A.2米B.2.2米C.2.5米D.2.7米二、填空题(共8小题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝.12.直角三角形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝.14.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为.15.已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于.16.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝°(点A，B，P是网格线交点).17.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为km.18.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了米.(假设绳子是直的)三、解答题(共4小题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D 、E ，AP 平分∠BAC ，与DE 的延长线交于点P .(1)求PD 的长度；(2)连结PC ，求PC 的长度.20.如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形IECF 中，IE ＝EC ＝CF ＝FI ＝x(1)小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD ＝BE ＝a ﹣x ，AD ＝AF ＝b ﹣x因为AB ＝BD +AD ，所以a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得x ＝(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S △ABC ＝S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到x 与a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路MN 的一侧点A 处有一村庄，村庄A 到公路MN 的距离为600米，假使宣讲车P 周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P 在公路MN 上沿PN 方向行驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？22.有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m(水平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度.参考答案一、选择题(共10小题)1.下列各组数中，不是勾股数的是()A.3，4，6B.7，24，25C.6，8，10D.9，12，15【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需满足两小边的平方和等于最长边的平方.【解答】解：A、32+42≠62，不是勾股数，此选项正确；B、72+242＝252，是勾股数，此选项错误；C、62+82＝102，是勾股数，此选项错误；D、92+122＝152，是勾股数，此选项错误.故选：A.2.在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.纯角三角形D.等腰直角三角形【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可.【解答】解：∵在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，∵BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，故选：B.3.如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中，点A、B都是格点(即网格线的交点)，则线段AB的长度为()A.3B.5C.6D.4【分析】由勾股定理即可得出线段AB的长.【解答】解：由勾股定理得：AB＝＝5；故选：B.4.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图如图，由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成.记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝21，则S2的值是()A.9.5B.9C.7.5D.7【分析】根据正方形的面积和勾股定理即可求解.【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且a＞b，由题意可知：S1＝(a+b)2，S2＝a2+b2，S3＝(a﹣b)2，因为S1+S2+S3＝21，即(a+b)2+a2+b2+(a﹣b)2＝213(a2+b2)＝21，所以3S2＝21，S2的值是7.故选：D.5.如图，是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果EF＝4，AH＝12，那么AB等于()A.30B.25C.20D.15【分析】在直角三角形AHB中，利用勾股定理进行解答即可.【解答】解：∵△ABH≌△BCG，∴BG＝AH＝12，∵四边形EFGH都是正方形，∴HG＝EF＝4，∴BH＝16，∴在直角三角形AHB中，由勾股定理得到：AB＝＝＝20.故选：C.6.在我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有开门去阃(kǔn)一尺，不合二寸，问门广几何.”大意是说：如图，推开双门(AD和BC)，门边缘D、C两点到门槛AB距离为1尺(1尺＝10寸)，双门间的缝隙CD为2寸，那么门的宽度(两扇门的和)AB为()A.100寸B.101寸C.102寸D.103寸【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论.【解答】解：设OA＝OB＝AD＝BC＝r，过D作DE⊥AB于E，则DE＝10，OE＝CD＝1，AE＝r﹣1.在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即(r﹣1)2+102＝r2，解得2r＝101.故门的宽度(两扇门的和)AB为101寸.故选：B.7.2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式.倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生.爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度.将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为()A.10mB.11mC.12mD.13m【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x.【解答】解：设旗杆高度为x，可得AC＝AD＝x，AB＝(x﹣1)m，BC＝5m根据勾股定理得，绳长的平方＝x2+12，右图，根据勾股定理得，绳长的平方＝(x﹣1)2+52，∴x2+22＝(x﹣1)2+52，解得x＝11.故选：B.8.如图，笑笑将一张A4纸(A4纸的尺寸为210mm×297mm，AC＞AB)剪去了一个角，量得CF ＝90mm，BE＝137mm，则剪去的直角三角形的斜边长为()A.50mmB.120mmC.160mmD.200mm【分析】解答此题只要把原来的图形补全，构造出直角三角形解答.【解答】解：延长BE、CF相交于D，则EFD构成直角三角形，运用勾股定理得：EF2＝(210﹣90)2+(297﹣137)2＝1202+1602＝40000，所以EF＝200.则剪去的直角三角形的斜边长为200mm.故选：D.9.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°.公路PQ上A处距O点240米.如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响.那么火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为()A.32秒B.36秒C.40秒D.44秒【分析】过点A作AC⊥ON，利用锐角三角函数的定义求出AC的长与200m相比较，发现受到影响，然后过点A作AD＝AB＝200m，求出BD的长即可得出居民楼受噪音影响的时间.【解答】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB＝AD＝200米，∵∠QON＝30°，OA＝240米，∴AC＝120米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB＝200米，∵AB＝200米，AC＝120米，∴由勾股定理得：BC＝160米，CD＝160米，即BD＝320米，∵火车在铁路MN上沿ON方向以10米/秒的速度行驶，∴影响时间应是：320÷10＝32秒.故选：A.10.如图，小明(视为小黑点)站在一个高为10米的高台A上，利用旗杆OM顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B.那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是()A.2米B.2.2米C.2.5米D.2.7米【分析】首先得出△AOE≌△OBF(AAS)，得出OE＝BF，AE＝OF，求出OE+OF＝AE+BF ＝CD＝17米，得出EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝7米，求出BF＝OE＝5米，OF＝12米，得出CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝12米，OM＝OF+FM＝15米，由勾股定理求出ON＝OA＝13米，进而求出MN的长即可.【解答】解：作AE⊥OM于E，BF⊥OM于F，如图所示：则∠OEA＝∠BFO＝90°，∵∠AOE+∠BOF＝∠BOF+∠OBF＝90°∴∠AOE＝∠OBF在△AOE和△OBF中，，∴△AOE≌△OBF(AAS)，∴OE＝BF，AE＝OF，∴OE+OF＝AE+BF＝CD＝17(米)∵EF＝EM﹣FM＝AC﹣BD＝10﹣3＝7(米)，∵OE+OF＝2EO+EF＝17米，∴2OE＝17﹣7＝10(米)，∴BF＝OE＝5米，OF＝12米，∴CM＝CD﹣DM＝CD﹣BF＝17﹣5＝12(米)，OM＝OF+FM＝12+3＝15(米)，由勾股定理得：ON＝OA＝＝＝13(米)，∴MN＝OM﹣OF＝15﹣13＝2(米).故选：A.二、填空题(共8小题)11.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC：AC＝3：4，则BC＝9.【分析】设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，再根据勾股定理即可得出答案.【解答】解：设BC＝3x，AC＝4x，又其斜边AB＝15，∴9x2+16x2＝152，解得：x＝3或﹣3(舍去)，∴BC＝3x＝9.故答案为：9.12.直角三角形的两边长为3cm，4cm，则第三边边长为5.【分析】根据勾股定理分两种情况解答，一是把两边长都看作直角边，二是把4cm长边看作斜边，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)若把两边都看作是直角边，那么据已知和勾股定理，设第三边长为xcm，则：x2＝32+42＝25，∴x＝5；(2)若把4cm长的边看作斜边，设第三边长为xcm，则：x2+32＝42，x2＝42﹣32＝7，∴x＝.故答案为：5或.13.如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，则S2＝9.【分析】由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理列出关系式，结合正方形面积公式得到S3＝S1+S2，即可求出S2的值.【解答】解：∵△ABC为直角三角形，∴AB2＝AC2+BC2，∵以Rt△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，且S1＝6，S3＝15，∴S3＝S1+S2，则S2＝S3﹣S1＝15﹣6＝9，故答案为：914.中国古代三国时期的数学家赵爽，创作了一幅“勾股弦方图”，通过数形结合，给出了勾股定理的详细证明如图，在“勾股弦方图”中，以弦为边长得到的正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，这一图形被称作“赵爽弦图”张天同学要用细塑料棒制作“赵爽弦图”，若正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，则所用细塑料棒的长度为100.【分析】根据正方形的面积可得两个正方形的边长分别为13和7，再根据勾股定理可求得直角三角形的两条直角边长，进而求解.【解答】解：∵正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成，∴AE＝BF，∠AEB＝90°，∵正方形ABCD与正方形EFCH的面积分别为169和49，∴AB＝13，EF＝7，在Rt△ABE中，BE＝BF﹣EF＝AE﹣7根据勾股定理，得AE2+BE2＝AB2，即AE2+(AE﹣7)2＝132解得，AE＝12，所以BE＝12﹣7＝5，所以所用细塑料棒的长度为：4(AB+AE)＝4(13+12)＝100.故答案为100.15.已知三角形三边长分别为5，12，13，则此三角形的最大边上的高等于.【分析】根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，利用它的面积：斜边×高÷2＝短边×短边÷2，就可以求出最长边的高.【解答】解：∵52+122＝132，∴根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，最长边是13，设斜边上的高为h，则S△ABC＝×5×12＝×13h，解得：h＝，故答案为.16.如图所示的网格是正方形网格，则∠PAB+∠PBA＝45°(点A，B，P是网格线交点).【分析】延长AP交格点于D，连接BD，根据勾股定理得到PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，求得PD2+DB2＝PB2，于是得到∠PDB＝90°，根据三角形外角的性质即可得到结论.【解答】解：延长AP交格点于D，连接BD，则PD2＝BD2＝1+22＝5，PB2＝12+32＝10，∴PD2+DB2＝PB2，∴∠PDB＝90°，∴∠DPB＝∠PAB+∠PBA＝45°，故答案为：45.17.勘测队按实际需要构建了平面直角坐标系，并标示了A，B，C三地的坐标，数据如图(单位：km).笔直铁路经过A，B两地.(1)A，B间的距离为20km；(2)计划修一条从C到铁路AB的最短公路l，并在l上建一个维修站D，使D到A，C的距离相等，则C，D间的距离为13km.【分析】(1)由垂线段最短以及根据两点的纵坐标相同即可求出AB的长度；(2)根据A、B、C三点的坐标可求出CE与AE的长度，设CD＝x，根据勾股定理即可求出x 的值.【解答】解：(1)由A、B两点的纵坐标相同可知：AB∥x轴，∴AB＝12﹣(﹣8)＝20；(2)过点C作l⊥AB于点E，连接AC，作AC的垂直平分线交直线l于点D，由(1)可知：CE＝1﹣(﹣17)＝18，AE＝12，设CD＝x，∴AD＝CD＝x，由勾股定理可知：x2＝(18﹣x)2+122，∴解得：x＝13，∴CD＝13，故答案为：(1)20；(2)13；18.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17米，此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了9米.(假设绳子是直的)【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再根据题意可得CD长，然后再次利用勾股定理计算出AD长，再利用BD＝AB﹣AD可得BD长.【解答】解：在Rt△ABC中：∵∠CAB＝90°，BC＝17米，AC＝8米，∴AB＝＝＝15(米)，∵此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点D的位置，∴CD＝17﹣1×7＝10(米)，∴AD＝＝＝6(米)，∴BD＝AB﹣AD＝15﹣6＝9(米)，答：船向岸边移动了9米.故答案为：9.三、解答题(共4小题)19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，AC＝3，DE垂直平分AB，分别交AB、BC 于点D、E，AP平分∠BAC，与DE的延长线交于点P.(1)求PD的长度；(2)连结PC，求PC的长度.【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质解答；(2)作PF⊥AC于F，根据角平分线的性质定理求出PF，根据勾股定理计算即可.【解答】解：(1)∵DE垂直平分AB，∴AD＝AB＝2，∵AP平分∠BAC，∴∠PAD＝∠BAC＝45°，∴DP＝AD＝2；(2)作PF⊥AC于F，∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，PF⊥AC，∴PF＝PD＝2，∠PAC＝45°，∴AF＝PF＝2，∴FC＝AC﹣AF＝1，在Rt△PFC中，PC＝＝.20.如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，正方形IECF 中，IE ＝EC ＝CF ＝FI ＝x(1)小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD ＝BE ＝a ﹣x ，AD ＝AF ＝b ﹣x因为AB ＝BD +AD ，所以a ﹣x +b ﹣x ＝c ，解得x ＝(2)小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S △ABC ＝S △AIB +S △AIC +S △BIC 可以得到x 与a 、b 、c 的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：(3)请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理.【分析】(1)根据全等三角形的性质和线段的和差即得结论；(2)根据大三角形的面积等于三个小三角形的面积和即可求解；(3)综合(1)和(2)的结论进行推导即可得结论.【解答】解：(2)因为S △ABC ＝S △ABI +S △BIC +S △AIC＝cx +ax +bx 所以x ＝.答：x 与a 、b 、c 的关系为x ＝.(3)根据(1)和(2)得：x＝＝.即2ab＝(a+b+c)(a+b﹣c)化简得a2+b2＝c2.21.为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员.如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：(1)请问村庄能否听到宣传，请说明理由；(2)如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？【分析】(1)根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；(2)根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论.【解答】解：(1)村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，∴村庄能听到宣传；(2)如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ＝米，∴PQ＝1600米，∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，∴村庄总共能听到8分钟的宣传.22.有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m(水平距离BC＝6m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度.【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝(x﹣3)m，利用勾股定理可得x2＝62+(x ﹣3)2.【解答】解：在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，设秋千的绳索长为xm，则AC＝(x﹣3)m，故x2＝62+(x﹣3)2，解得：x＝7.5，答：绳索AD的长度是7.5m.。
人教版数学八年级下册第17章《勾股定理》单元检测题含答案解析
八年级数学第17章《勾股定理》单元检测题分值：120分时间：90分钟一、选择题（本大题共12道小题，共36分）1.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是A. 1，2，3B. 4，5，6C. 9，12，15D. 1，，2.下列命题的逆命题是真命题的是A. 若，则B. 两个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等C. 全等三角形的对应角相等D. 若三角形的三边长之比为，则该三角形是直角三角形3.如图，在数轴上点A，B所表示得数分别是，1，，，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点点D在点B的右侧，则点D所表示的数是A. B. C. D.4.一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高长为A. 13B.C.D.5.如图，一次飓风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树干底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是A.5米B. 6米C. 7米D. 8米（第5题图）（第6题图）6.如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为A. 9B. 6C. 4D. 37.如图，在中，，，，则的面积为．A.24B. 36C. 48D. 60（第7题图）8.如图，一架长的梯子AB靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端A到墙根O的距离为，如果梯子的顶端B下滑至，那么梯子底端将滑动A. B. C. D.9.以下定理，其中有逆定理的是A. 对顶角相等B. 互为邻补角的角的平分线互相垂直C. 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补D. 直角三角形的两条直角边长的平方和等于斜边长的平方10.如图，中，，，，将折叠，使B点与AC的中点D重合，折痕为EF，则线段BF的长是A. B. 2 C. D.11.如图，有两条公路OM，ON相交成，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点80米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，距拖拉机中心50米的范围内均会受到噪音影响，已知有两台相距40米的拖拉机正沿ON方向行驶，它们的速度均为10米秒，则这两台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪音影响的时间为A. 6秒B. 8秒C. 10秒D. 18秒12.如图，已知：，点、、在射线ON上，点、、在射线OM上，、、均为等边三角形，若，则的边长为A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18分）13.已知一个直角三角形的两条边的长分别为3和5，则第三条边的长为______．14.已知x，y，z均为正数，且，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为___________．15.如图是“赵爽弦图”，、、和是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和四边形EFGH都是正方形如果，，那么AH等于．16.如图，等腰和中，，连接若，，则四边形ABCD的面积是___________17.如图是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A、B、C、D的面积之和为，最大的正方形边长为______cm．18.如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为________杯壁厚度不计．三、解答题（本大题共6小题，共66分）19.如图，在中，，于点D，，，求BD的长．20.如图，将四边形ABCD的土地绿化，测得，，，，且，若每平方米草皮120元，问共需多少钱？21.如图，在四边形ABCD中，，．求证：；过点B作，垂足为E，求证：．22.如图所示，永定路一侧有A、B两个送奶站，C为永定路上一供奶站，CA和CB为供奶路线，现已测得，，，．连接AB，求两个送奶站之间的距离；有一人从点C处出发沿永定路边向右行走，速度为，多长时间后这个人距B送奶站最近？并求出最近距离．23.如图，是等腰直角三角形，，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且。
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1
EC
D
B
F
A
C
B
A
《勾股定理》单元检测题
（满分：100分 时间：45分钟）
班级 姓名 成绩
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．如图，阴影部分是一个长方形，它的面积是（ ）
A．32cm B．42cm C．52cm D．62cm
（1题图） （2题图）
2．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．三角形的三边长a，b，c满足222abcab，则这个三角形是（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形
4．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3∶4，则较短直角边的长
为（ ）
A．3 B．6 C．8 D．5
5．若直角三角形的三边长为6，8，m，则2m的值为（ ）
A．10 B．100 C． 28 D．100或28
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是（ ）
A．365 B．125 C．9 D．6
7．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆
恰好过点B．若AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是（ ）
A．100π24 B．100π48
C．25π24 D．25π48
1cm
4cm
3cm
2
B
169
25
4cm
2cm
5cm
P
Q
8．勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若
勾三、股四，则弦五”的记载．如图1是由边
长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以
用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放
入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
点D，E，F，G，H，I都在长方形KLMJ的边
上，则长方形KLMJ的面积为（ ）
A．90 B．100 C．110 D．121
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．如图，字母B所代表的正方形的面积为 ．
（11题图） （14题图） （15题图）
10．等腰△ABC的腰长AB为10 cm，底边BC为16 cm，则底边上的高为 ．
11．一艘轮船以16 km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开
港口以30 km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距_______ km．
12．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小
圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小
忽略不计）范围为____________．
13．如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm．若一只蚂蚁从P
点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为 cm．
14、
有两棵数，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米，一只小鸟从一棵树的树
梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 米。
三、解答题（共58分）
16．（本小题满分16分，每8题分）
（1）如图所示，90BOAF，BO=3 cm，AB=4 cm，AF=12 cm，求图中
半圆的面积．
3
D
C
B
A
B
C
D
E
A
A
B
F
A
O
B
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的
高，DE=12，S△ABE=60，求BC的长．
17．（本小题满分10分）
如图所示的一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39 m，BC=36 m，
求这块草坪的面积．
18．（本小题满分10分）
如图，一艘货轮在B处向正东方向航行，船速为25 n mile/h，此时，一艘快艇
在B的正南方向120 n mile的A处，以65 n mile/h的速度要将一批货物送到货轮上，
问快艇最快需要多少时间？
4
C'
E
DCBA
E
F
C
D
B
A
A
BDC
F
E
19．（本小题满分10分）
如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在'C处，'BC交AD于
点E．
（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；
（2）若4AB，8AD，求△BDE的面积．
20．（本小题满分12分）
如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E，F分别是
AB，AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）如图1，试说明222BECFEF；
（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．
图1 图2