初三数学一元二次方程整数根问题及应用

一元二次方程整数根问题及应用中考要求例题精讲板块一：一元二次方程的整数根问题☞有理数根问题方程20ax bx c ++=（0a ≠，a 、b 、c【例1】 已知关于x 的一元二次方程22131(1)0444x mx k m k k +-+--+=有有理根，求k 的值。

【解析】略【答案】∵原方程的根为有理根221314[(1)]444m k m k k ∆=-⨯⨯-+--+2231(1)44m k m k k =+++++所以∆为完全平方式，因此22131()244k k k +=++，整理得230k k +=解得0k =或13k =-☞整数根问题【例2】 已知1240m <<，且关于x 的二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，求整数m ． 【解析】由原方程由整数解可知，224(1)44(21)m m m ∆=+-=+必然是一个完全平方数．又1240m <<可知，252181m <+<，又21m +为奇数，故214924m m +=⇒=．此时原方程的两个实数根为：1,22(1)501422m x +±±==，不妨设12x x >，则132x =，218x = 故24m =．满足∆为完全平方数只是条件之一，另外一个条件也必须同时满足，要引起注意．【答案】24m =【巩固】一直角三角形的两直角边长均为整数，且满足方程2(2)40x m x m -++=，试求m 的值及此直角三角形的三边长【解析】略【答案】由题意得，2124m m ∆=-+，∴x =∴2124m m -+必为平方数，令22124m m n -+=（n 为正整数）整理得22(6)32m n --=，∴(6)(6)32m n m n -+--= ∴6m n -+与6m n --同奇同偶因此61662m n m n -+=⎧⎨--=⎩或6864m n m n -+=⎧⎨--=⎩解得157m n =⎧⎨=⎩或144m n =⎧⎨=⎩当157m n =⎧⎨=⎩时，方程2(2)40x m x m -++=为217600x x -+=，解得5x =或12x = ∴直角三角形斜边为13 当122m n =⎧⎨=⎩时，方程2(2)40x m x m -++=为214480x x -+=，解得6x =或8x = ∴直角三角形斜边为10【巩固】已知a 是正整数，如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数，求a 的值及方程的整数根．【解析】观察易知方程有一个整数根11x =，将方程的左边分解因式，得：2(1)(18)560x x a x ⎡⎤-+++=⎣⎦．因为a 是正整数，所以关于x 的方程：2(18)560x a x +++= ……① 的判别式2(18)2240a ∆=+->，它一定有两个不同的实数根．而原方程的根都是整数，所以方程①的根都是整数，因此它的判别式2(18)224a ∆=+-应该是一个完全平方数． 设22(18)224a k +-=(其中k 为非负整数)，则22(18)224a k +-=，即：(18)(18)224a k a k +++-=．显然18a k ++与18a k +-的奇偶性相同，且1818a k ++≥，1818a k a k +++-≥． 而2241122564288=⨯=⨯=⨯，所以： 18112182a k a k ++=⎧⎨+-=⎩，或1856184a k a k ++=⎧⎨+-=⎩，或1828188a k a k ++=⎧⎨+-=⎩ 解得3955a k =⎧⎨=⎩，或1226a k =⎧⎨=⎩，或010a k =⎧⎨=⎩．而a 是正整数，所以只可能3955a k =⎧⎨=⎩，或1226a k =⎧⎨=⎩．当39a =时，方程①即257560x x ++=，它的两根分别为1-和56-．此时原方程的三个根为1，1-和56-．当12a =时，方程①即230560x x ++=，它的两根分别为2-和28-． 此时原方程的三个根为1，2-和28-．【答案】当39a =时，原方程的三个根为1，1-和56-；当12a =时，原方程的三个根为1，2-和28-【例3】 若关于x 的方程()()()26911715540k k x k x ----+=的解都是整数，则符合条件的整数k 的值有_______个．【解析】当6k =时，得2x =；当9k =时，得3x =-，当9k ≠时，解得196x k =-，269x k=-， 当6139k -=±±±，，时，1x 是整数，这时753153k =-，，，，；当91236k -=±±±±，，，时，2x 是整数这时10811712153k =，，，，，，综上所述，367915k =，，，，时原方程的解为整数．【答案】367915k =，，，，【巩固】若k 为正整数，且关于k 的方程22(1)6(31)720k x k x ---+=有两个相异正整数根，求k 的值． 【解析】原方程变形、因式分解为2(1)(1)6(31)720k k x k x +---+=，[(1)12][(1)6]0k x k x +---=．即1121x k =+，261x k =-．由121k +为正整数得1,2,3,5,11k =；由61k -为正整数得2,3,4,7k =． 所以2,3k =使得1x ，2x 同时为正整数，但当3k =时，123x x ==，与题目不符，所以，只有2k = 为所求．【答案】2k =【例4】 已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值．【解析】本题的难点在于a 并不是整数，如果在采用求根公式，然后讨论∆是否为完全平方数，难度不小，因此本题采用韦达定理来求解【答案】设方程2(6)0x a x a +-+=的两个根为1x 、2x根据题意得12126x x a x x a +=-⎧⎨⋅=⎩①②，将②代入①，整理得12126x x x x +=-∴212267111x x x x -==-++∵1x 、2x 均为整数 ∴21x +的值为1±或7±当211x +=时，20x =，16x =，0a = 当211x +=-时，22x =-，18x =-，16a = 当217x +=时，26x =，10x =，0a = 当217x +=-时，28x =-，12x =-，16a = 综上所述，0a =或16a =【巩固】已知关于x 的方程2(6)0x a x a +-+=的两根都是整数，求a 的值． 【解析】设两个根为12x x ≥，由韦达定理得12126x x ax x a +=-⎧⎨=⎩． 从上面两式中消去a 得12126x x x x ++=⇔12(1)(1)7x x ++=⇔121711x x +=⎧⎨+=⎩或121117x x +=-⎧⎨+=-⎩即1260x x =⎧⎨=⎩或1228x x =-⎧⎨=-⎩．所以120a x x ==或16．点评：利用韦达定理，然后把参数消去，得到的是关于1x ，2x 的不定方程，而求解这个对称的不定方程往往是容易入手的．【答案】0或16【例5】 当m 为何整数时，方程222525x mx m -+=有整数解．【解析】解法1：将方程222525x mx m -+=左边因式分解可得 (2)(2)5x m x m --=故2521x m x m -=⎧⎨-=⎩，或2125x m x m -=⎧⎨-=⎩，或2521x m x m -=-⎧⎨-=-⎩，或2125x m x m -=-⎧⎨-=-⎩解得31x m =⎧⎨=⎩，13x m =-⎧⎨=-⎩，31x m =-⎧⎨=-⎩，13x m =⎧⎨=⎩解法2：将方程222525x mx m -+=整理成标准形式：2225250x mx m -+-=由原方程有整数解，首先必须满足222(5)42(25)940m m m ∆=-⨯⨯-=+为一个完全平方数， 不妨设2(0)n n ∆=>，则有22940(3)(3)40m n n m n m +=⇒-+=， 又3n m -、3n m +的奇偶性相同，故它们必然同为偶数，则有32320n m n m -=⎧⎨+=⎩，32032n m n m -=⎧⎨+=⎩，32320n m n m -=-⎧⎨+=-⎩，32032n m n m -=-⎧⎨+=-⎩，34310n m n m -=⎧⎨+=⎩，31034n m n m -=⎧⎨+=⎩，31034n m n m -=-⎧⎨+=-⎩，34310n m n m -=-⎧⎨+=-⎩ 解得311m n =⎧⎨=⎩，311m n =-⎧⎨=⎩，17m n =⎧⎨=⎩，17m n =-⎧⎨=⎩522m n±=⨯中检验可知，均满足题意，故1m =±或3m =±． 注意，题中要求有整数解即可，没要求所有的根都是整数，要注意区分这一点．点评：解法2看似复杂，但却是一元二次方程的整数根问题的通用解法，“希望杯”等考试中也常考到这种方法，值得引起注意．解法1看似简单，但使用起来有较多的局限性，如果无法进行因式分解，或者所分解的整数的因数过多，使用起来将很复杂．【答案】1m =±或3m =±板块二：一元二次方程的应用【例6】 两个农妇一共带100个鸡蛋上市场，两人带蛋数不同，但是卖得钱数一样，于是，第一个农妇对第二个说：“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板。

”第二个农妇答道：“但是你的鸡蛋如果换给我，我就只能卖得263个铜板。

”试问，这两个农妇各有多少个鸡蛋？【解析】如果设第一个农妇有x 个鸡蛋，则第二农妇有(100)x -个，根据第一个农妇的话，“如果你的鸡蛋换给我，我可以卖得15个铜板。

”这就说明，第一个农妇卖鸡蛋的价格是每个15100x-，同理可推出，第二个农妇卖鸡蛋的价格是每个203x个铜板。

由此可列出方程【答案】解：设第一个农妇有x 个鸡蛋，则第二个农妇有(100)x -个鸡蛋，根据题意得，第一个农妇卖鸡蛋得到15100x x ⋅-个铜板，第二个农妇卖鸡蛋得到20(100)3x x ⋅-个铜板∴1520(100)1003x x x x-=- ∴216080000x x +-=，解得140x =，2200x =-（舍） 答：第一个农妇带有40个鸡蛋，第二个农妇带有60个鸡蛋 【例7】 一个六位自然数，把它的左端的第一个数字移到它的右端所得到的新的六位数是原六位数的3倍，求原六位数【解析】题中要移动的仅是原六位数左端的第一个数字，其余不动，所以我们应该把六位数分为两部分，即左端第一位为一部分，其余为第二部分，并分别设出这两部分【答案】设原六位数的左端的第一个数字为x ，后五位数为y ，则原数为510x y ⋅+，新六位数为10y x ⋅+根据题意，得5103(10)y x x y ⋅+=⋅+，∴42857y x = ∴451010y ≤<，而19x ≤≤ ∴x 只能取1或2当1x =时，42857y =；当2x =时，85714y = 答：原六位数为142857或285714【例8】 现有男、女工1100人，其中全体男工和全体女工可用同样的天数完成同样的工作，若将男工人和女工人数对调一下，则全体男工25天能完成的工作，让全体女工去做需36天才能完成，问男、女工各有多少人？【解析】略【答案】解法一：设男工人x 人，则女工人为(1100)x -人；有设全体男工人和全体女工人各用y 天完成此项工作，则男工人每天完成工作的1xy ，而女工人每天完成工作的1(1100)x y-；交换人数后，全体男工人每天完成工作的1100x xy -，全体女工人每天完成工作的(1100)x x y- ∴11002536(1100)x xxy x y-⋅=⋅- ∴223625(1100)x x =-，即2225(1100)36x x =- ∴5(1100)6x x =-或5(1100)6x x =--（舍去）∴500x =，1100600x -=答：男工人有500人，女工人有600人方法二：设男工人有x 人，女工人则有(1100)x -人，又设同一工作男工人需做y 天，女工人需做z 天，这样，一个男工人，一个女工人一天各完成全部工作的1y ，1z∴11(1100)11(1100)2536x x y z x x y z ⎧=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⋅⎪⎩ ∴11003625(1100)z xy x z x y x -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩ ∴11003625(1100)x x x x -=- 下略【例9】 某电厂规定，该厂家属区的每户居民如果一个月的用电量不超过A 度，那么这个月这户居民只需交10元电费，如果第一个月的用电量超过A 度，则这个月除了仍要交10元电费外，超过部分还要按每度100A元缴费⑴该厂某户居民2月份用电90度，超过规定的A 度，则超过部分应交电费________元（用A 表示）【解析】略【答案】⑴由于90A >，所以该户居民2月份超过部分应缴电费(90)100AA -⋅元⑵从表中可知，3月份缴电费25元，超过10元，所以可以知道3月份用电超过A 度；而4月份交电费10元，可知4月份用电未超过A 度 3月应缴费10(80)25100AA +-= 整理得28015000A A -+=，解得30A =或50A = ∵4月份用电未超过A 度，所以45A ≤ ∴50A =【例10】 甲、乙两人分别从A 、B 两地到C 地，甲从A 地到C 地需3个小时，乙从B 地到C 地需2小时40分。