【新课标】浙教版最新2018年八年级数学下册《三角形的中位线》单元考点练习及答案解析一

4．5 三角形的中位线
1．三角形的三条中位线的长分别为3 cm ，4 cm ，5 cm ，则原三角形的周长为(B ) A ．6.5 cm B ．24 cm C ．26 cm D ．52 cm
(第2题)
2．如图，在▱ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是BC 边的中点，AB ＝4，则OE 的长为(B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5
3．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，D 为AB 的中点，连结DC 并延长到点E ，使CE ＝1
3CD ，
过点B 作BF ∥DE ，与AE 的延长线交于点F .若AB ＝6，则BF 的长为(C )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．10
(第3题) (第4题)
4．如图，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，F ，G 分别为AD ，AE 的中点，△AGF 的周长是10，则△ABC 的周长是__40__．
5．如图，在▱ABCD 中，AD ＝8 cm ，点E ，F 分别从点A ，B 同时出发，沿AD ，BC 方向以相同的速度运动(分别运动到点D ，C 即停止)，AF 与BE 相交于点G ，CE 与DF 相交于点H . 则在此运动过程中，线段GH 的长始终等于__4__cm.
【解】 提示：连结EF ，证AG ＝FG ，FH ＝DH .
(第5题) (第6题)
6．如图，在四边形ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AD ＝
BC .若∠PEF ＝18°，则∠PFE ＝__18°__．
7．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形．
(第8题)
8．如图，CD 是△ABC 的中线，E ，F 分别是AC ，CD 的中点．若EF ＝1，则BD ＝__2__．
(第9题)
9．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6，中线CE ＝5.延长AB 到点D ，使BD ＝AB .求CD 的长． 【解】 取AC 的中点F ，连结BF .
∵AB ＝AC ，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴AE ＝AF . 又∵∠A ＝∠A ， ∴△ABF ≌△ACE (SAS )． ∴BF ＝CE .
∵BD ＝AB ，AF ＝CF ， ∴BF 是△ACD 的中位线， ∴CD ＝2BF .∴CD ＝2CE ＝10.
(第10题)
10．如图，在△ABC 中，D 是边BC 上的中点，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于点E .求证：AE ＝12
CE .
【解】 取BE 的中点G ，连结DG . ∵D ，G 分别是BC ，BE 的中点， ∴DG 是△BCE 的中位线，
∴DG ∥AC ，DG ＝1
2
CE .
∴∠FAE ＝∠FDG ，∠AEF ＝∠DGF . ∵F 是AD 的中点，∴AF ＝DF . ∴△AEF ≌△DGF (AAS )．∴AE ＝DG . ∴AE ＝12
CE .
11．如图，在四边形ABCD 中，R ，P 分别是BC ，CD 上的点，E ，F 分别是AP ，RP 的中点，当点P 在CD 上从点C 向点D 移动而点R 不动时，下列结论成立的是(C )
A ．线段EF 的长逐渐增大
B ．线段EF 的长逐渐减小
C ．线段EF 的长不变
D ．线段EF 的长与点P 的位置有关 【解】 提示：连结AR ，可证EF ＝1
2
AR .
(第11题) (第12题)
12．如图，已知△ABC 的周长为a ，A 1B 1，B 1C 1，A 1C 1是△ABC 的三条中位线，它们构成了△A 1B 1C 1，△A 2B 2C 2是由△A 1B 1C 1的三条中位线A 2B 2，B 2C 2，A 2C 2构成的……如此进行下去，得到△A n B n C n ，则△A 1B 1C 1的周长为__a 2__，△A 2B 2C 2的周长为__a 4__，△A 3B 3C 3的周长为__a
8__，
△A n B n C n 的周长为__a
2
n __．
【解】 根据中位线定理可知，△A 1B 1C 1的周长为a 2，△A 2B 2C 2的周长为12·a 2＝a
2
2……△A n B n C n
的周长为a
2
n .
13．如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，BC ＝3，EF ∥BC ，求EF 的长．
(第13题)
【解】 延长CE 交AB 于点G .
∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ， ∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°.
∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，
∴∠EBC ＝∠GBE ＝12∠ABC ，∠ECB ＝1
2∠BCD .
∴∠EBC ＋∠ECB ＝90°. ∴∠BEC ＝∠BEG ＝90°.
∵∠GBE ＝∠EBC ，BE ＝BE ，∠BEG ＝∠BEC ， ∴△BEG ≌△BEC (ASA )．∴GE ＝CE . ∵EF ∥BC ，∴∠FEB ＝∠EBC . ∴∠FBE ＝∠FEB .∴FB ＝FE .
∵∠FBE ＋∠BGE ＝90°，∠FEB ＋∠FEG ＝90°， ∴∠FEG ＝∠BGE ， ∴FG ＝FE .∴FG ＝FB . ∴EF 是△BCG 的中位线． ∴EF ＝1
2
BC ＝1.5.
(第14题)
14．如图，在四边形ABCD 中，AB 与CD 不平行，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．求证：EF ＜1
2
(AB ＋CD )． 【解】 连结BD ，取BD 的中点G ，连结EG ，FG . ∵E ，G 分别是AD ，BD 的中点， ∴EG 是△ABD 的中位线，∴EG ＝1
2AB .
同理，FG 是△BCD 的中位线，∴FG ＝1
2CD .
∵在△EFG 中，EF ＜EG ＋FG ， ∴EF ＜1
2
(AB ＋CD )．
15．已知：如图①，BD ，CE 分别是△ABC 的外角平分线，过点A 作AF ⊥BD ，AG ⊥CE ，
垂足分别为F ，G ，连结FG ，延长AF ，AG ，与直线BC 相交，易证FG ＝1
2
(AB ＋AC ＋BC )．
(1)如图②，BD ，CE 分别是△ABC 的内角平分线，则线段FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
(2)如图③，BD 为△ABC 的内角平分线，CE 为△ABC 的外角平分线，则线段FG 与△ABC 三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
(第15题)
【解】 (1)猜想：FG ＝1
2(AB ＋AC －BC )．证明如下：
如解图①，分别延长AG ，AF 交BC 于点H ，K .
(第15题解①)
易证△BAF ≌△BKF ， ∴AF ＝KF ，AB ＝KB .
同理，AG ＝HG ，AC ＝HC .∴FG ＝1
2
HK .
又∵HK ＝KB －BH ＝AB －(BC －HC )＝AB ＋AC －BC ，∴FG ＝1
2(AB ＋AC －BC )．
(2)猜想：FG ＝1
2
(BC ＋AC －AB )．证明如下：
如解图②，延长AF 交BC 于点K ，延长AG 交BC 的延长线于点H .
(第15题解②)
易证△BAF ≌△BKF ， ∴AF ＝KF ，AB ＝KB .
同理，AG ＝HG ，AC ＝HC ，∴FG ＝1
2KH .
又∵KH ＝BC ＋HC －KB ＝BC ＋AC －AB . ∴FG ＝1
2
(BC ＋AC －AB )．
(第16题)
16．如图是某城市部分街道的示意图，AF ∥BC ，EC ⊥BC ，AB ∥DE ，BD ∥AE ，甲、乙两人同时从B 站乘车到F 站，甲乘1路车，路线是B →A →E →F ；乙乘2路车，路线是B →D →C →F .假定两车的速度相同，那么谁先到达F 站？请说明理由．
【解】 两人同时到达F 站．理由如下： 连结BE ，交AF 于点G . ∵AB ∥DE ，BD ∥AE ， ∴四边形ABDE 是平行四边形． ∴EG ＝BG ，AB ＝DE ，BD ＝AE .① 又∵GF ∥BC ，∴EF ＝CF .② 又∵BC ⊥EC ，∴GF ⊥EC ， ∴CD ＝DE .
∵AB ＝DE ，∴AB ＝CD .③ 由①②③可知，
AB ＋AE ＋EF ＝BD ＋CD ＋CF ，
∴两人同时到达F 站．
(第17题)
17．如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，AB ＜AC ，在AC 上截取CE ＝AB ，M ，N 分别为
BC ，AE 的中点．求证：MN ∥AD .
【解】 连结BE ，取BE 的中点F ，连结FN ，FM . ∵N 为AE 的中点， ∴FN 为△ABE 的中位线， ∴FN ∥AB ，FN ＝1
2AB .
同理，FM ∥AC ，FM ＝1
2CE .
∵CE ＝AB ，∴FN ＝FM ， ∴∠FMN ＝∠FNM .
∵FM ∥AC ，∴∠FMN ＝∠MNC . ∴∠MNC ＝∠FNM ＝1
2∠FNC .
∵FN ∥AB ，∴∠FNC ＝∠BAC . ∵AD 为△ABC 的角平分线，
∴∠DAC ＝1
2∠BAC .∴∠MNC ＝∠DAC .
∴MN ∥AD .。